Sở GD & ĐT Thanh Hoá
Trờng THPT Quảng Xơng II
Đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT
Bảng A
(Thời gian 180 phút không kể thời gian giao đề).
Bài1: (4 điểm)
Cho hàm số f(x)=x
3
- 6x
2
+9x-1 (C).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
2. Từ một điểm bất kỳ trên đờng thẳng x=2 ta có thể kẻ đợc bao nhiêu
tiếp tuyến đến (C).
(Đại học ngoại thơng khối A năm 2000).
Bài2: (4 điểm).
1. Tính I=

+
3
0
23
xx2x
dx.
2. Cho f(x) = 2x + m + log
2
[mx
2
- 2(m 2)x+ 2m-1].
Tìm m để f(x) có tập xác định là R.
Bài3: (4 điểm).

N trong đoạn BD với AM=DN=x, (0<x<a
2
).
1. Chứng minh với x=
3
2a
thì MN ngắn nhất.
2. Khi MN ngắn nhất chứng minh: MN là đoạn vuông góc chung của AD
'
và DB.
Bài6: (2 điểm).
Cho x,y,z








2
;
6
Chứng minh:
2
2
1
1
ysin
xsinzsin

'
=3x
2
-12x+9
y
'
=0

x=1, x=3
Hàm số đạt cực đại tại x=1, y=3
Hàm số đạt cực tiểu tại x=3, y=-1
Tính lồi lõm và điểm uốn
y
''
=6x-12
Hàm số lồi
x


(
)2,
Hàm số lõm
x

(2,+

)
Điểm uốn x=2, y=1
limy=+


)+x
0
3
-6x
0
2
+9x
0
-1
Tiếp tuyến này qua A khi và chỉ khi
a=(3x
0
2
-12x
0
+9)(2-x
0
)+x
0
3
-6x
0
2
+9x
0
-1
2x
0
3
-12x

0,5
x -

1 3 +

y
'
+ 0 -
y
''
3 +

-

-1
Bài 2
(4điểm)
1
(2điểm)
I=


3
0
2
)1x(x
dx =

3
0

3
x
dx+

3
1
2
3
x
dx -

3
1
2
1
x
dx
=
15
8
+
5
38
0,5
0,5
0,5
0,5
2
(2điểm)
Ta chỉ cần mx

=>m >1
Vậy m>1 thì f(x) có tập xác định R
0,5
0,5
0,5
0,5
Bài 3
(4điểm)
Điều kiện sinx

-1, x

-
+

2k
2
(k

Z)
Đặt ln(sinx+1)=y => sinx+1=e
y
ta có hệ





+=
+=

'
(x)= e
x
1=0 x=1
Vậy phơng trình (3) có nghiệm sinx=0 =>x=k

(k

Z)
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
Bµi 4
(2®iÓm)
Ta cã







+=
+=
+=

 z
≤
y (5)
Tõ (4) vµ (5) ta cã x=y=z nªn x=1+
x
=> x=y=z=
2
53 +
0,5
0,5
0,5
0,5
Bµi5
(4®iÓm)
1
(2®iÓm)
Dùng MM
'

⊥
AD; NN
'

⊥
AD
∆
DNN
'
vu«ng c©n nªn AM'=MM'
Ta cã AM

2
M'N'=a - 2(a-
2
2x
)= x
2
- a
∆
MM'N
⊥
t¹i M' nªn MN
2

=M'M
2
+M'N
2
=
2
2
x
+(M'N'
2
+N'N
2
)=
2
2
x
+(x

VËy f(x) nhá nhÊt khi x=
3
2a
MN
2
=3
2
3
2a









- 2a
3
2a
2
+a
2
0,5
0,5
0,5
=
2
2

1
2
3
2a









+
2
2
2
3
2









a
a

5
2
a
Ta lại có MD
2
=MN
2
+DN
2
=
9
5
2
a
Vậy

MDN

tại N =>MN

DB
Xét


AN'N ta có AN
2
=AN'
2
+N'N
2

3
a
nên AM
2
+MN
2
=
9
5
2
a
do đó
AN
2
=AM
2
+MN
2
=>

AMN

tại M
MN

AD Vậy MN là đờng vuông góc chung
0,5
0,5
0,5
0,5

accbba ))()((
2
2
1
1









a,b,c






1,
2
1
Đặt u=
c
a
; v=
c
b





ta có:
uv
vuuv )1)(1)((
v
vv
2
1
)1)(
2
1
1)(
2
1
(

= 1+
2
1
-v-
v
v
v
1
2
2
1


0,5
0,5
0,5
0,5
Tài liệu tham khảo: 1. Đề thi Đại học của Bộ giáo dục xuất bản năm 1996.
2. Báo toán học và tuỏi trẻ năm 2000