Sở GD & ĐT thanh hóa
Trờng THPT tĩnh gia 3
=========***=========
Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12
Môn: Toán
Thời gian: 180 phút
Câu1: (6 điểm)
Cho hàm số y= x
3
+ 4x
2
+ 4x +1.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b) Cho M(x
0
;y
0
) trên đồ thị. Một đờng thẳng d thay đổi đi qua M cắt đồ thị
tại M
1
và M
2
khác M. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn M
1
M
2
.
c) Tìm a sao cho tồn tại 2 tiếp tuyến cùng hệ số góc a của đồ thị hàm số, gọi
các tiếp điểm là M
3
và M

2
0
33
cossin
sin

Câu 4: ( 5 điểm)
Cho tứ diện ABCD có tâm mặt cầu ngoại tiếp O. Tìm các điểm M trong
không gian sao cho 4 trọng tâm của tứ diện MBCD; MCDA; MDAB; MABC cách
đều điểm O.
Đáp án đề thi học sinh giỏi khối 12
Môn: Toán
Câu 1: ( 6 điểm)
a) ( 2 điểm)
TXĐ: D =R (0,25đ)
Chiều biến thiên:
y = 3x
2
+ 8x + 4
y = 0 <=> x = -2; x= -
3
2

Hàm số đồng biến (-

; -2)
);
3
2
( +

x
lim
(0.25đ)
Tính lồi lõm và điểm uốn:
y = 6x + 8 = 0 <=> x= -
3
4
Hàm sô lồi từ (-
3
4
;
), lõm (-
3
4
; +

)
Điểm uốn: I(-
27
11
;
3
4
) (0.25đ)
Bảng biến thiên: (0,5đ)
x
-
∞
-2 -
3

+ 4x
2
+ 4x +1 = k(x-x
0
) + x
0
3
+ 4x
0
2
+ 4x
0
+1
<=> x=x
0
(0, 5 ®)
x
2
+ ( 4 + x
0
)x + x
0
2
+ 4x
0
+ 4 – k = 0(1)
4
2
-2
-4

+ k(
2
43
0
+x
)
I

x =
2
4
0
+x
Giới hạn: (1) có 2 nghiệm phân biệt <=>
0>
f(x
0
)
0

k >
4
83
0
2
0
xx +
(0,5)
k
48

3
(x
3
; y
3
), M
4
(x
4
; y
4
)
y
3
= a(
9
78
)
9
4
8
33
+
+
xx
(0,5đ)
y
4
= a(
9

zkk +


(0,25đ)
Chia 2 vế của phơng trình cho cos
2
x
(1) <=> tg
3
x -2tg
2
x = 3(1-tg
2
x+tgx) (1đ)
<=> tgx=-1 <=> x=-


k+
4
(k
z
) (0,5đ)
tgx=
3
x=


k+
3
(k

x = t (t
8
1

) (0.25đ)

Phơng trình trở thành:

12 += t
t
<=>
012 = t
t
Khảo sát f(t) =
12 t
t
(0.25đ)
f(t) = 2
t
ln2 1 =0 <=> 2
t
=
2ln
1
=

t


f(t) - 0 +


2
0

xxxx
dx
22
coscossinsin +
=

+


2
4
2
4
0
2
1cotcot
cot
1



gxxg
gxd
tgxxtg
dtgx
(0.75đ)

(0.75đ)
Đặt t -
2
1
=
tgy
2
3

=> I + J =
33
4

(0.75đ)
=> I=
33
2

(0.75)
Câu 4: ( 6 điểm)
Đặt
OGOMx 4+=
(0.5đ)
Gọi A, B, C, D lần lợt là trọng tâm của các tứ diện MBCD;
MCDA; MDAB; MABC
Ta có
OAxOAOGOMODOCOBOMOA =+=+++= 4'4
(1đ)
4
'OB