LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên tôi xin được bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy giáo
hướng dẫn PGS. TS Lê Viết Hòa, khoa Vật lý trường ĐH Sư Phạm Hà Nội, người
đã trực tiếp hướng dẫn trực tiếp cũng như giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên
cứu và hoàn thành luận văn này. Thầy đã cung cấp cho tôi rất nhiều hiểu biết về một
lĩnh vực mới về lí thuyết chuyển pha khi tôi mới bắt đầu bước vào thực hiện luận
văn. Trong quá trình thực hiện luận văn thầy luôn định hướng, góp ý và sửa chữa
những chỗ lỗi sai giúp tôi hoàn thành tốt luân văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Vật Lý trường ĐH Sư
Phạm Hà Nội, cũng như các thầy cô trong trường đã giảng dạy, giúp đỡ chúng tôi
nhiệt tình trong khoá học này.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn phòng Sau đại học, các phòng ban, thư viện
trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ, và cũng xin chân
thành cảm ơn những bạn bè, đồng nghiệp, đoàn thể cơ quan trường THPT Lạc Thủy
B đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi để tôi hoàn thành luận văn này.
Do được hoàn thành trong một khoảng thời gian hạn chế và mới bước đầu
làm quen với nghiên cứu khoa học độc lập, luận văn không tránh khỏi những thiếu
sót Tôi rất mong nhận được mọi ý kiến đóng quý báu và chỉ bảo của thầy cô, bạn bè
và đồng nghiệp để luận văn hoàn chỉnh hơn.
Hà Nội, tháng 10 năm 2015
Tác giả

Đỗ Thanh Phong

CHÚ THÍCH CÁC KÍ HIỆU VIẾT TẮT

i


STT


KMS

Kubo-Martin- Schwinger

ii


MỤC LỤC

MỞ ĐẦU...........................................................................................................1
1. Lý do chọn đề tài........................................................................................1
2. Mục đích đề tài...........................................................................................1
3. Đối tượng nghiên cứu................................................................................1
4. Nhiệm vụ của đề tài...................................................................................2
5. Phương pháp nghiên cứu của đề tài...........................................................2
6. Cấu trúc của luận văn.................................................................................2
Chương I: THỐNG KÊ LƯỢNG TỬ................................................................3
1.1 Hình thức luận tích phân đường và thời gian ảo......................................4
1.2. Hình thức luận toán tử..........................................................................12
1.3. Hàm phổ ρ(k0)......................................................................................13
1.4. Hàm truyền Matsubara (hoặc thời gian ảo)...........................................16
1.5. Hàm truyền trật tự thời gian (thời gian thực)........................................18
1.6. Việc lấy tổng theo tần số.......................................................................18
Chương II:.......................................................................................................22
LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ Ở NHIỆT ĐỘ HỮU HẠN................22
2.1. Trường vô hướng thực trung hòa..........................................................22
2.1.1. Định lý Wick và hàm truyền..............................................................23
2.1.2. Hiệu chỉnh cấp một: hàm truyền và tổng thống kê............................26
2.1.3. Các quy tắc Feynman.........................................................................31
2.2. Hình thức luận thời gian thực...............................................................32

v


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Cùng với thành công của mô hình Walecka, một mô hình chất hạt nhân mà
trong đó chỉ bao gồm bậc tự do nucleon đã được đề xuất [11], [12]. Thông qua sự
tương tác trực tiếp giữa các nucleon mà các trạng thái liên kết giống như meson,
r
N, N , N,γ μ, N , N, γ μτ, N , đã được hình thành trong môi trường hạt nhân. Mặc

dù mô hình bốn nucleon đã mô tả thành công nhiều tính chất của hạt nhân, mô hình
này vẫn chưa đề cập đến tính chất bất đối xứng giữa proton và neutron tức là chưa
nghiên cứu vai trò của isospin. Chính vì vậy, yêu cầu cấp thiết là phải mở rộng
nghiên cứu sang các chất hạt nhân bất đối xứng vì những thông tin về chúng có vai
trò hết sức quan trọng để hiểu được hàng loạt các vấn đề thời sự của thiên văn học
như sự tồn tại của các sao neutron, sự hình thành các sao siêu mới, tốc độ nguội của
của các sao...
2. Mục đích đề tài
Luận văn này được thực hiện nhằm các mục đích sau:
1. Tìm hiểu lý thuyết trường ở nhiệt độ và mật độ hữu hạn.
2. Nghiên cứu ảnh hưởng của các bậc tự do isospin đến các tính chất của chất
hạt nhân thuộc vùng giữa chất hạt nhân đối xứng và vật chất thuần chứa neutron.
3. Đối tượng nghiên cứu
Là chất hạt nhân được mô tả bằng mật độ Lagrangian có dạng
→→
→ → 

μ
μ


meson ro và meson delta; Fω
μυ = ∂ μ ω
υ − ∂υ

1

ur
r
r
M Nσ; m ; m ω ; m δ ;
Gρ
=
∂
ρ
−
∂
μ
ν
,
μ
μ ν
ν μ;


mρ là khối lượng thuần của các hạt tương ứng; g σ ; g ω ; g δ ; g ρ là các hằng số liên
r

kết, τ =


hình thức luận tích phân đường. Thực tế thì cả hai hình thức luận là tương đương
nhau trong việc giải quyết các bài toán cụ thể, mặc dù trong một số trường hợp thì
hình thức này có thể có ưu thế hơn hình thức luận kia: Ví dụ, việc lượng tử hóa
trường Gauge sẽ đơn giản hơn nhiều nếu ta sử dụng hình thức luận tích phân đường.
Điều này cúng đúng trong trường hợp lý thuyết trường ở nhiệt độ hữu hạn: cả hai
hình thức nói trên đều có thể sử dụng được và ta có thể chuyển từ hình thức luận
này sang hình thức luận kia.
Vì trường hợp đơn giản nhất của lý thuyết trường là lý thuyết trường với số
chiều không gian bằng không, hay nói cách khác chính là cơ học lượng tử, nên
chúng ta sẽ bắt đầu bằng việc trình bày ngắn gọn về cơ học lượng tử ở nhiệt độ hữu
hạn hoặc một cách tương đương là vật lý thống kê lượng tử. Trước hết, chúng ta
tiếp cận vấn đề bằng hình thức luận tích phân đường và sau đó sẽ trở lại hình thức
luận toán tử quen thuộc. Chúng ta sẽ đặc biệt quan tâm tới tích thứ tự thời gian (còn
gọi là T- tích) của các toán tử tọa độ mà nó sẽ được mở rộng cho các toán tử trường
trong lý thuyết trường.
Ở nhiệt độ không, để thuận lợi cho tính toán người ta thường thực hiện việc
kéo dài giải tích từ thời gian thực sang thời gian ảo: t → − iτ hoặc x 0 → − ix 4 . Với
τ (hoặc x4) là số thực. Điều này cũng có nghĩa là ta chuyển từ không gian
Minkowski sang không gian Euclidean, vì các metric của không gian Minkowski
chuyển thành metric của không gian Euclidean (với việc đổi dấu):

t 2 − x 2 = − (τ 2 + x 2 )

(1.1)

Trong không gian xung lượng phép toán tương ứng là: k 0 → − ik 4 . Như sau
này sẽ thấy việc sử dụng không gian Euclidean khi nghiên cứu ở nhiệt độ hữu hạn
đóng vai trò quan trọng hơn nhiều so với ở nhiệt độ không. Do đó phần đầu tiên của

3


H

là vector trạng thái trong biểu diễn Schodinger liên hệ với vector
trong biểu diễn Heisenberg bằng hệ thức:
∧

Ψt

s

=e

−

iHt
h

Do đó bằng cách định nghĩa vector:
∧

qt = e

−

iHt
h

(1.3)



2

Vì vậy hàm truyền là biên độ xác suất chuyển dời lượng tử.
Trong cơ học lượng tử thông thường, chuyển động của một hạt trong một trường
thế không phụ thuộc thời gian V(q) có thể được mô tả bởi biên độ xác suất F(q , t ;q, t) để
'

'

tìm thấy hạt ở vị trí q ' tại thời điểm t ' , khi biết được vị trí q tại thời điểm t
ˆ '
F ( q ' , t ' ; q, t ) = q′ e − iH(t − t) q

(1.6)

ˆ là Hamintonian không phụ thuộc vào thời gian; để đơn giản chúng ta xét
trong đó H
chuyển động một chiều và sử dụng hệ đơn vị tự nhiên trong đó h = 1;c = 1 . Sau này
bất cứ khi nào cần tránh sự nhầm lẫn, ta sẽ sử dụng dấu mũ để biểu thị tác động của
toán tử trong không gian Hilbert các trạng thái.
Chi tiết về biểu diễn tích phân đường của F có thể tìm thấy trong [1] nên ta
sẽ không mô tả chi tiết ở đây và chỉ quan tâm đến sự kéo dài giải tích của nó sang
thời gian ảo:

t → − iτ; t → − iτ
'

(


−τ

'

−τ

 pˆ 2

)  2m +V q( ˆ ) ÷



(1.8)

ở đây pˆ và qˆ là các toán tử xung lượng và tọa độ. Sau đó sử dụng công thức trotter
(còn gọi là tích Lie):

(

lim e

n→ ∞

A

n

e

B


pˆ 2 
 ε

exp  − V ( qˆ ) ÷× expε − exp÷
2m 
 2



 ε
− q
V
 2

( ˆq) ÷


l

(1.10)
Tiếp theo ta hãy tính các yếu tố ma trận trong (1.10). Tác động của toán tử

ˆ lên vector ket q l tuân theo quy tắc thông thường, còn đối với các yếu tố ma
V (q)
trận của các toán tử xung lượng chúng ta bổ sung một bộ đầy đủ các trạng thái p l

ˆ và thu được:
của toán tử p
q l+1


6

1

2m

l

 m  2e
÷
 2πε 

=

l

 m( q
−



l +1

− ql )

2


÷



1

n

2

dq l 



l =1

 m( q − q )
+
∑

2ε

n

l +1

l

2

l=0


2


l +1

cùng bé tại giới hạn ε → 0 . Một cách hình thức, ta gọi

D q (τ )
''

là giới hạn ε → 0

của độ đo tích phân trong (1.12) và chú ý rằng biểu thức ở số mũ của hàm exp cho
tích phân:
S E (τ

'

τ′

1
− τ)= ∫ dτ ''  mq&'2 (τ '' ) + V(q(τ '' )) 
 2

τ

(1.13)

trong đó dấu chấm là đạo hàm cấp một theo τ, SE trong (1.13) thường được gọi là tác
dụng trong không gian Euclidean. Cuối cùng có thể viết biên độ xác suất F dưới


 q(τ) = q
'
'
q(τ ) = q

Điều kiện biên trên đường lấy tích phân q (τ'' ) là: 

Bây giờ chúng ta sẽ thiết lập mối liên hệ với thống kê lượng tử bằng cách áp
dụng (1.14) cho tổng thống kê Z(β) với β = 1/T là nghịch đảo nhiệt độ (trong hệ đơn
vị tự nhiên hằng số Bolzoman kβ = 1). Theo định nghĩa, tổng thống kê có dạng:
Z (β) = Tr e

ˆ
− βH

=

∑e

− βE n

(1.15)

n

ˆ.
trong đó vết được tính bằng một bộ đầy đủ các vector trạng thái của toán tử H

7


(1.18)

Do đó Z (β) có thể được biểu diễn như tích phân đường:


1

Z(β) = ∫ Dq(τ)exp − ∫ dτ  mq& (τ)+V ( q(τ) ) ÷

2
 
β

2

(1.19)

0

= Dq(τ)exp [ − S E (β) ]

∫

Ở đây việc tích phân được thực hiện theo mọi đường với điều kiện biên

q(β) = q(0)

(1.20)


2

− Sβ
E(

)

(1.22)

Thật vậy, chúng ta sẽ chỉ ra rằng vế phải (RHS) của (1.22) có thể đồng nhất
với trung bình nhiệt động của tích theo trật tự thời gian (time – ordered product),
còn gọi là T-tích của các toán tử tọa độ.

8


ˆ − iτ1 ) q(
ˆ − iτ 2 ) )
T ( q(

=

β

1
Z(β)

Tr e

ˆ

Tr Ae
Z(β)

(

β

ˆ được xác định bởi:
của toán tử A

)

(1.25)

T-tích trong (1.23) tác dụng trong thời gian ảo là:

ˆ − iτ1 )q(
ˆ − iτ 2 ) τ1 >τ 2
q(

ˆ − iτ1 )q(
ˆ − iτ 2 ) ) = 
T ( q(

(1.26)

ˆ − iτ 2 )q(
ˆ − iτ1 ) τ 2 >τ1
q(


 ∫ dτ j(τ) q(τ) 
÷
Te

÷


β

ˆ
− βH

0

(1.28)

Từ tính chất hoán vị vòng quanh của vết một tích các toán tử trong trị trung
bình nhiệt động hoặc từ tính tuần hoàn (1.20) của đường lấy tích phân trong hình
thức luận tích phân đường chúng ta suy ra được tính chất sau của hàm truyền:

ˆ − iβ) q(
ˆ − iτ) )
T ( q(

β

ˆ q(
ˆ − iτ) )
= T ( q(0)



1
V(q)ω= q
2

2

2

(1.32)

Với mục đích đơn giản các công thức và giúp cho việc nghiên cứu ở chương
sau thuận tiện, ta đã đặt m = 1. Trước hết ta hãy tính T- tích của các toán tử tọa độ
(1.23) mà sẽ được khái quát thành hàm truyền của trường tự do. Ta sẽ sử dụng
phương pháp tích phân đường (các kết quả này cũng sẽ thu được dưới đây khi sử
dụng hình thức luận toán tử). Dễ dàng tính được phiếm hàm sinh Z(β, j) vì sau khi
tiến hành việc tích phân từng phần trong SE (β) sẽ cho tích phân Gaussian:
Z(β; j) =

∫



q ( 0 ) = qβ(

)

Dq(τ) exp  − ∫ dτ 

= Z(β)exp

'
'
' 
 2 ∫ dτ dτ j(τ) K(τ, τ ) j(τ ) 





(133)

 d2

Trong (1.33) hàm Green K(τ,τ ) là nghịch đảo của  − 2 + ω 2 ÷:
 dτ

'

 d2
2
− 2 +ω
 dτ


'
'
÷K(τ,τ ) = δ(τ − τ )


(1.34)

(1.37)

) −1

Bằng phép tính đơn giản ta có thể thấy (1.36) là sự kéo dài giải tích sang các giá
trị âm của τ với điều kiện tuần hoàn (1.31) thỏa mãn phương trình vi phân (1.34). Đây
là nghiệm duy nhất của phương trình này với điều kiện (1.31).
1.2. Hình thức luận toán tử
Trên đây, chúng ta chỉ giới hạn xét trong thời gian ảo. Trong mục này ta sẽ
quan tâm đến các giá trị thực của thời gian. Trong trường hợp này, để thuận tiện ta
định nghĩa các hàm 2 điểm D > (t, t ' ) và D< (t, t ' ) :

ˆ q(t
ˆ ')
D > (t,t ' ) = q(t)

(1.38a)

β

ˆ ' ) q(t)
ˆ
D < (t, t ' ) = q(t

β

= D > (t ' , t)

(1.38b)



n, m

Nếu sự hội tụ của (1.39) được xác định bởi hàm mũ, thì D > (t ' ,t) được xác
định bởi:
'

β ≤ Im(t - t ) ≤ 0

(1.40a)

trong khi đó D < (t ' ,t) được xác định bởi:
'

β ≥ Im (t - t ) ≥ 0

(1.40b)

Bây giờ ta sử dụng việc coi ( -β Hˆ ) là một toán tử tiến triển trong thời gian ảo

12


ˆ

ˆ

ˆ eβH = q(t
ˆ + iβ)
e −βH q(t)

'

'

= θ(t - t ) D (t, t ) + θ(t - t) D (t, t )
>


(t,t ' ), D < (t,t ' ) chỉ phụ thuộc vào
'

hiệu số (t - t ) , và chúng ta sẽ sử dụng các kí hiệu viết tắt sau:

D > (t) = D > (t, 0)
D < (t) = D < (t, 0)
Ta định nghĩa phép biến đổi Fourier của D>(t) và D

ik 0 t


D > (t − iβ) (1.46)

-∞

Ở đây biểu thức thứ hai được suy từ hệ điều kiện KMS (1.42). So sánh (1.45)
và (1.46) ta có:

13


D (k 0 ) = D ( − k 0 ) = e



-βk 0

>

D (k 0 )

(1.47)

Hơn nữa từ tính chất Hecmite của toán tử qˆ (t) và tính bất biến tịnh tiến ta
suy ra rằng D<(k0) và D>(k0) là các hàm thực của k 0. Hàm phổ ρ(k0) được xác định
bằng biểu thức:

ρ(k 0 ) = D > (k 0 ) − D < (k 0 )



e
∑
Z(β)

− βE n

n, m

=

2π

(1 − e ) × δ( k
-βk 0

0

ˆ
+ E n − E m ) n q(0)
m

2

(1.51)

eδ k [ (E
∑
Z(β)
− βE n

q(t
'

'

 t = t′

=i

(1.52)

Thật vậy, ta có:

14


∞

∫

-∞

dk 0
2π

k 0e

− ik 0 t

d

(1.54)

β

Lấy giới hạn t → 0 của các phương trình trên sẽ cho quy tắc tổng:
∞

∫

-∞

dk 0
2π

kρ(k
)0 =1
0

(1.55)

Cũng có thể thu được quy tắc lấy tổng này từ việc vận dụng (1.51).
Cuối cùng, ta hãy viết ra sự tương tự của hàm truyền trong cơ học lượng tử.
Dễ dàng tìm được dạng của toán tử tọa độ trong trường hợp dao động tử điều hòa
với m =1.

ˆ =
q(t)

1
2ω


− iωt

+

+ [a , a] e

(1.57)

iωt

β

Vì [a, a+] =1, nên ta tìm ngay được hàm phổ tự do ρ F(k0) bằng phép biến đổi
Fourier:

ρ F (k 0 ) = 2πε(k 0 ) δ(k 0

2

−ω

2

)

(1.58)

Có thể dễ dàng kiểm tra thấy rằng hàm phổ tự do này tuân theo điều kiện
dương và quy tắc lấy tổng (1.55). Cũng cần chú ý rằng hàm ρ F không phụ thuộc vào


2πn

(1.60)

β

Ta gọi đó là tần số Matsubara. Nếu chọn τ trong khoảng [0, β], ta có
Δ(τ) = D ( − iτ)
>

từ (1.45):

Δ(τ) =

dk 0

∫ 2π

e

− kτ0

>

D (k 0 )

(1.61)

Sử dụng (1.59a) và biểu thức (1.49) của D > (k 0 ) sẽ dẫn đến:

giải tích liên tục duy nhất thỏa mãn điều kiện:

16


(i) Δ(z) →0 nếu z → ∞ ;
(ii) Δ(z) giải tích bên ngoài trục thực.
Sau đó sự kéo dài giải tích được cho:
∞

Δ(z) = −

dkρ(k
0

∫

0

)

(1.64)

2π z − k 0

−∞

Trong thực tế, đây là sự kéo dài mà ta quan tâm, vì với các giá trị thực của z
hoặc chính xác hơn là với z = k 0 ± iη, η → 0 + , trong đó k0 là thực, chúng ta sẽ thu
được các hàm truyền sớm DA(t) và muộn DR(t):

dk 0

∫

-∞

2π

×

e

− ik ′0 t

(1.67)

'

k 0 + iη

ta tìm được, chẳng hạn, biến đổi Furie D R (k 0 ) của D R (t)
∞

'

dkρ(k
0
D R (k 0 ) = i
×
2π

1.5. Hàm truyền trật tự thời gian (thời gian thực)
Trong mục này ta hãy thiết lập biểu thức cho hàm truyền nhiệt độ trong thời
gian thực. Biến đổi Fourier D (k0) của hàm truyền (1.44) là:

(

D(k 0 ) = ∫ dt eθ(t) D (t) θ (+ t) −D
ik 0 t

>



m

'
0

− k 0 − k 0'

(1.84)

Như đã giải thích trong mục (1.4), biểu thức này có thể được kéo dài giải
tích sang các giá trị của ωm không phải là tần số Matsubara, và nói riêng là giá trị
thực của năng lượng, nhưng tất nhiên là chỉ sau khi việc lấy tổng theo ωn được

20