BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
----------

NGUYỄN THÀNH VINH

CẤU TRÚC PHA CỦA NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN
(BEC) MỘT THÀNH PHẦN Ở NHIỆT ĐỘ CỰC THẤP

Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết và vật lí toán
Mã số: 60.44.01.03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT LÍ

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Lê Viết Hòa

HÀ NỘI - 2015


LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên tôi xin được bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy
giáo hướng dẫn PGS. TS Lê Viết Hòa, khoa Vật lý trường ĐH Sư Phạm Hà
Nội, người đã trực tiếp hướng dẫn trực tiếp cũng như giúp đỡ tôi trong suốt
quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn này. Thầy đã cung cấp cho tôi
rất nhiều hiểu biết về một lĩnh vực mới là lí thuyết chuyển pha khi tôi mới bắt
đầu bước vào thực hiện luận văn. Trong quá trình thực hiện luận văn thầy
luôn định hướng, góp ý và sửa chữa những chỗ lỗi sai giúp tôi hoàn thành tốt
luân văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Vật Lý trường ĐH
Sư Phạm Hà Nội, cũng như các thầy cô trong trường đã giảng dạy, giúp đỡ
chúng tôi nhiệt tình trong khoá học này.

Ngưng tụ Bose – Einstein

3

CJT

Cornwall Jackiw Tomboulis

4

EOS

Phương trình trạng thái

5

SD

Schwinger-Dyson

6

HF

Hartree-Fock


MỤC LỤC
Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết và vật lí toán.....................................................1
HÀ NỘI - 2015..................................................................................................1



MỞ ĐẦU
1.Lý do chọn đề tài
Sự tồn tại của ngưng tụ Bose – Eintein (BEC) trong khí Bose ở nhiệt độ
cực thấp đã được Einstein tiên đoán từ năm 1925 nhưng mãi đến năm 1995
mới thực sự được kiểm chứng bằng thực nghiệm và từ đó đến nay việc nghiên
cứu các tính chất vật lý của BEC tạo nên từ khí Bose đã trở thành một trong
những lĩnh vực hấp dẫn nhất của vật lý hiện đại vì nó mở ra một khả năng
thực tế cho việc tạo nên các vật liệu mới với những đặc tính vượt trội so với
các vật liệu truyền thống. Mặc dù đã có nhiều tiến bộ trong việc nghiên cứu
các tính chất của BEC, nhưng vẫn còn nhiều vấn đề chưa được sáng tỏ như
cấu trúc pha, tính bất ổn động lực... Đặc biệt, gần đây thực nghiệm còn chứng
tỏ có thể thay đổi các tham số để điều chỉnh quá trình ngưng tụ theo ý muốn.
Do đó nghiên cứu một cách toàn diện cấu trúc pha của BEC cũng như khảo
sát vai trò của hằng số tương tác là một trong những vấn đề cấp thiết trong
việc hoàn thiện hiểu biết về BEC.
2. Mục đích đề tài
Trong luận văn này chúng ta tập trung nghiên cứu cấu trúc pha của
BEC được tạo ra từ khí Bose một thành phần với mục đích sau:
1. Tìm hiểu lý thuyết chuyển pha và lí thuyết trường ở nhiệt độ và mật
độ hữu hạn.
2. Nghiên cứu cấu trúc pha của BEC một thành phần với các nhiệm vụ
cụ thể: thiết lập phương trình trạng thái, trên cơ sở đó sẽ thực hiện tính số để
vẽ giản đồ pha trong trường hợp nhiệt độ hoặc các hằng số liên kết thay đổi.
3. Đối tượng nghiên cứu
Là khí Bose một thành phần được mô tả bằng mật độ Lagrangian sau:
 ∂ ∇2 
*
*φ + λ( φ*φ)

tham khảo là phần chính gồm 3 chương:
Chương I: Trình bày tổng quan về lí thuyết chuyển pha.
Chương II: Phương pháp tác dụng hiệu dụng ở nhiệt độ và thế hóa hữu
hạn với những khái niệm cơ bản như: Thế hiệu dụng CJT, hàm Green nhiệt
độ, khai triển loop, hình thức luận thời gian thực và thời gian ảo…
Chương III: Cấu trúc pha của BEC trong khí Bose một thành phần ở
nhiệt độ cực thấp

2


Chương I:
TỔNG QUAN VỀ LÝ THUYẾT CHUYỂN PHA
1.1. Khái niệm pha và đặc tính của các loại chuyển pha
* Pha là trạng thái của một hệ vật lý với các tính chất và đối xứng xác
định. Ví dụ là: pha rắn, pha lỏng của kim loại và hợp kim; Pha sắt từ, thuận từ
của các vật liệu từ; pha xê nhét, pha thuận xê nhét của các chất điện môi; pha
siêu dẫn hoặc pha dẫn điện của các chất siêu dẫn [1].
* Chuyển pha là sự thay đổi trạng thái từ mức độ đối xứng này sang
mức độ đối xứng khác, hình thành các tính chất mới của vật liệu. Đối xứng đề
cập ở đây có thể là đối xứng tinh thể (chuyển pha rắn - lỏng, chuyển pha xê
nhét - thuận xê nhét), nhưng cũng có thể là đối xứng của các tham số vật lý
khá. Ví dụ: trong chuyển pha sắt từ - thuận từ, đối xứng tinh thể nói chung
không thay đổi nhưng đối xứng của mô men từ thay đổi: các mômen từ có
một phương dị hướng (đối xứng thấp) trong pha sắt từ nhưng lại đẳng hướng
(đối xứng cao) trong pha thuận từ.
* Tại điểm chuyển pha (ở nhiệt độ T = T C ), trạng thái (và do đó các
hàm trạng thái) của hệ có thể thay đổi một cách liên tục (theo phân loại của
Ehrefest đây là chuyển pha loại hai) hoặc có thể thay đổi một cách đột ngột
(chuyển pha loại một) nhưng đối xứng tại điểm chuyển pha bao giờ cũng thay

 ∂F1 
 ∂F2 

÷ = 
÷
 ∂T T
 ∂T T

(1.2a)

 ∂F1 

÷
 ∂X i T

(1.2b)

C

C

C

 ∂F 
=  2 ÷ = x i1 = x i2
 ∂X i T
C

∂2 F1 
∂2 F2 

mô men từ,… cũng thay đổi liên tục ( ΔV = 0, ΔM = 0,... ).
Hệ quả trực tiếp từ biểu thức (1.3) là bước nhảy của nhiệt dung
x 
 x 
 ∂S 
ΔC p = Δ T  ≠ 0. tương tự, Δ  i  ≠ 0; Δ  i  ≠ 0. Điều này có nghĩa là
 ∂T 
 Ti 
 ∂X i 
1 ∂V 1 ∂ 2G
=
≠ 0; hệ
tại điểm chuyển pha loại hai, hệ số giãn nở nhiệt α =
T ∂T T ∂p∂T
∂M ∂ 2 F
số từ hoá χ =
=
≠ 0. Như vậy có thể nói rằng tại điểm chuyển pha
∂H ∂H 2
loại hai không thể phân biệt được các pha. Khi đi qua điểm chuyển pha loại
hai ta chỉ dịch chuyển khỏi điểm mà qua đó tính chất của các pha và sự phụ
thuộc nhiệt độ của các tính chất đó trở nên khác nhau.
Đối với các chuyển pha loại một, ngược lại các đại lượng nhiệt động là
đạo hàm bậc nhất của thế nhiệt động như mật độ, entropy,… thay đổi đột
ngột, sự biến đổi của enthanpy tự do và một số biến số nhiệt động tại điểm
chuyển pha loại một và loại hai được minh hoạ trên hình 1.1. Ở chuyển pha
loại một, sự sắp xếp lại của mạng tinh thể (sự thay đổi kích thước giữa các
nguyên tử và góc giữa các mặt tinh thể) xảy ra trong một khoảng nhiệt độ
thấp hẹp. Hệ quả là đối xứng của vật thể thay đổi một cách đột ngột. Đồng
thời trạng thái của tinh thể, nội năng và các đại lượng nhiệt động khác sẽ thay

(b)

T

TC

TC

TC

C

T

T
TC

T
TC

Hình 1.1. Sự biến đổi enthanpy và một số biến số nhiệt động thể tích (V), entropy (S)
và nhiệt dung ( C P ) tại điểm chuyển pha loại một (a) và loại hai (b)

Theo phân loại của Ehrenfest, cũng có thể tồn tại các chuyển pha cao
hơn, trong trường hợp đó nói chung, có thể gọi là chuyển pha đa tới hạn.
Chuyển pha này có các đặc điểm sau đây:
- Các hàm thế nhiệt động thay đổi liên tục khi đi qua điểm chyển pha.

6


tích của các pha đồng tồn tại, hiệu số này tiến tới không tại điểm tới hạn.

7


Chuyển pha là bậc một nếu tồn tại một sự thay đổi gián đoạn của tham số trật
tự và là loại hai nếu tham số trật tự tiến tới không liên tục tại T = TC.
Ý tưởng cơ bản là ở điểm tới hạn tham số trật tự là đại lượng quan
trọng duy nhất. Để đơn giản ta hãy xét trường hợp tham số trật tự là một vô
hướng M. Khi tham số trật tự thay đổi một lượng dM thì công sinh ra trên hệ
được viết:
dw = HdM. H – trường liên hợp của M
Trong trường hợp ferromagnetic H chính là trường ngoài tác dụng lên
hệ, khi H = 0, tham số trật tự là hàm chính quy của nhiệt độ, nhưng nó có thể
có đạo hàm gián đoạn tại TC khi H ≠ 0. Sự có mặt của trường ngoài không cho
chuyển pha xảy ra.
Dùng H và T như các biến nhiệt động độc lập ta có thể suy ra tất cả các
hàm nhiệt động từ năng lượng tự do Gibbs G (H, T)
Q ( H,T ) = e − G(H,T)/kT = Tre − H/kT
ˆ

ở đây H là Hamiltonian của hệ.
Độ từ hóa

M=−

∂G
∂H

1 ∂M

do đó có một ý nghĩa quan trọng trong các nghiên cứu hiện tượng chuyển pha,
để mô tả sự chuyển pha, hay sự thay đổi (hoặc phá vỡ) đối xứng Landau đã
đưa thêm vào khái niệm tham số trật tự (

). Tham số trật tự là một đại lượng

vật lý có giá trị bằng không trong pha đối xứng cao (hay pha bất trật tự). Khái
niệm tham số trật tự này có ý nghĩa định tính rõ rệt: khi nhiệt độ giảm trật tự
của hệ tăng lên. Như vậy, ngoài các tham số quen thuộc như áp suất p, nhiệt
độ T, lực suy rộng h, các hàm thế nhiệt động của hệ vật lý bây giờ đựơc biểu
diễn như là các hàm số của tham số trật tự, G = G(p,T,h, η ). Tham số trật tự
được sử dụng để mô tả sự thay đổi định tính của hàm thế nhiệt động ở gần
điểm chuyển pha liên quan đến sự áp suất chiếm vị trí tinh thể của các nguyên
tử khác loại trong hợp kim đôi CuZn, của độ từ hoá trong các vật liệu từ, của
độ phân cực trong các chất điện môi,… Do vậy, các tham số trật tự có thể là
các đại lượng vật lý đó (bảng 1.1).
Tham số trật tự η thay đổi từ η = 0 (hỗn độn tuyệt đối) đến η = 1 (trật
tự tuyệt đối) khi được làm lạnh đến thấp hơn nhiệt độ chuyển pha T = T C , vật
có thể bắt đầu thay đổi từ trạng thái hỗn độn sang trạng thái trật tự một phần.
Tiếp tục giảm nhiệt độ, mức độ trật tự có thể hoàn toàn đạt được. Sự phụ
thuộc nhiệt độ của tham số trật tự được minh hoạ trên hình 1.2. Đối với
chuyển pha loại một, η thay đổi một cách nhảy bậc (hình 1.2a). Còn đối với
chuyển pha loại hai, η thay đổi một cách nhảy bậc từ từ (hình 1.2b)

9


η

η


373

Sắt từ - thuận từ

Độ từ hoá

Fe

1044

Xê nhét - thuận xê nhét

Độ phân cực

BaTiO 3

408

Siêu dẫn - dẫn điện thường Số cặp Cooper

Pb

7,4

Hêli thường – hêli siêu
chảy

Heli 3


trong đó E là nội năng của vật thể.
Lưu ý rằng:
dE = TdS – pdV

(1.5)

dE = dE – TdS – SdT = - SdT – pdV

(1.6)

nên
Năng lượng tự do F còn được gọi là thế nhiệt động ứng với V và T. Từ
đây ta có thể xác định được:
 ∂F 
 ∂F 
S= −  ÷
và p = − 
÷
 ∂T  V=const
 ∂V T=const

(1.7)

Đặc điểm của thế nhiệt động là nếu biết đại lượng đó và lập đựơc các
đạo hàm riêng của nó, ta có thể xác định được tất cả các đại lượng còn lại.
Theo nghĩa đó, hàm số:
G = E – TS + pV = F + pV

(1.8)



n

/k B T

)

(1.10)

trong đó E n là năng lượng tương tác của hệ với trường ngoài.
Ta sẽ sửa dụng các biểu thức (1.9) và (1.10) để tính toán năng lưọng tự
do, enthanpy tự do và thảo luận các đặc tính chuyển pha trong các chương sau.
Việc tìm hiểu một cách đầy đủ tính chất của thế nhiệt động tại điểm
chuyển pha cho đến nay vẫn còn có những khó khăn lớn. Tuy nhiên, về mặt
toán học và một cách hoàn toàn hiện tượng luận, lý thuyết Landau đã rất
thành công trong việc mô tả các chuyển pha siêu dẫn, chuyển pha xênhét,
chuyển pha từ, …chỉ dựa trên việc khai triển hàm enthanpy tự do theo chuổi
luỹ thừa của tham số trật tự. Ở lân cận điểm chuyển pha, đại lượng η nhận
những giá trị nhỏ bất kỳ, do đó ta có thể khai triển G(p,T, η ) thành chuỗi lũy
thừa của η như sau:
2
3
4
G = G 0 + αη + Aη + βη + Bη + …

(1.11)

trong đó G 0 là enthanpy tự do của hệ trong trạng thái bất trật tự:
α,β,A,B và các hệ số khai triển phụ thuộc vào p và T.


biện luận về và giá trị của các hệ số A và β trong các số hạng bậc hai và bậc
ba, trước hết ta có thể nhận xét rằng để η có giá trị hữu hạn, hệ số B của số
hạng bậc bốn ( hay một cách tổng quát là số hạng bậc cao nhất trong khai
triển Landau) phải có giá trị dương. về hệ số A trong số hạng bậc hai, như ta
minh hoạ trên hình 1.3 ta có thể thấy rằng: A > 0 ở T > T C để G có cực tiểu
η = 0 , và A < 0 ở T < T C để G có cực tiểu tại 0 < η ≤ 1. Vì A có dấu đối
nhau ở hai phía của T C nên có thể bằng không tại chính điểm đó. Do vậy ta
có thể đặt:
A(p,T C ) = 0

(1.12)

Có thể xảy ra hai trường hợp với số hạng bậc ba. Số hạng bậc ba có thể
đồng nhất bằng không do tính chất đối xứng của tinh thể (hay của pha tương

13


ứng), β = 0 . Ví dụ đối với các vật liệu từ, enthanpy tự do G là một hàm vô
hướng của các véc tơ từ độ, nên chỉ có thể chứa các số hạng bậc chẵn, nói
cách khác G không được thay đổi theo phép đảo thời gian nhưng mô men từ
có thể thay đổi dấu. Do đó trong khai triển Landau của G theo chuỗi của η
không chứa các số hạng bậc lẻ theo η trong trường hợp này, điểm chuyển pha
chỉ có một điều kiện, A(p,T) = 0. Điều kiện này xác định p, T như hàm số của
nhau. Như vậy trong mặt phẳng (p,T) có tồn tại cả một đường các điểm
chuyển pha loại hai (hình 1.4).
Khi số hạng bậc ba tồn tại, để G( η ) có cực tiểu và là trạng thái bền
vững với η = 0 thì ngoài điều kiện A(p,T C ) = 0 còn phải có thêm β (p,T C ) =
0. Khi đó điểm chuyển pha được xác định bằng trường hợp của chuyển pha
rắn - lỏng, chuyển pha các tinh thể lỏng. Do tồn tại số hạng bậc ba trong khai


(1.13)

trong đó các hệ số khai triển A và B được giả thíết là các hàm giải tích
của T.
Sự phụ thuộc vào tham số trật tự của năng lượng tự do được biểu diễn
trên hình 1.5. Từ hình này, chúng ta thấy rằng:
* Đường cong 1 có cực tiểu năng lượng tại tương ứng với trạng thái bất
trật tự của hệ (ở T > T C ). Điều kiện của trạng thái này là: A > 0 và B > 0.
* Đường cong 3 có cực tiểu năng lượng tại η = η0 ( ≠ 0) tương ứng với
trạng thái trật tự của hệ (T < T C ). Điều kiện của trạng thái này là A < 0, B > 0.
* Đường cong 2 nhận được ở nhiệt độ tới hạn T = T C và là giớn hạn
giữa trạng thái (1) và (3). Điều kiện của trạng thái này là A = 0, B > 0.
Với sự thay đổi liên tục qua điểm chyển pha như vậy, có thể cho phép
biểu diễn sự phụ thuộc nhiệt độ của hệ số A như sau:
A(T) = A 0 (T − T C ) với A 0 > 0

(1.14)

Trong các khảo sát dưới đây, sự phụ thuộc như vậy của hệ số A được
sử dụng, còn hệ số B được giả thiết là một hằng số.
F
A>0

A=0

1

A

Hay:
Các nghiệm tương ứng của phương trình này là:
η1 = 0
η22 = −
η2 = ±

A
B
−

(1.17a)
(1.17b)

1
A
A0
=±
T − TC 2 .
B
B

(1.17c)

Nghiệm số η1 tương ứng với trạng thái bất trật tự ở T > T C . Các
nghiệm số η2 là hoàn toàn giống nhau, tương ứng với các trạng thái trật tự có
hướng ngược nhau của tham số trật tự (ví dụ như véc tơ từ độ trong quá trình
từ hoá và đảo từ, véc tơ độ phân cực và khử phân cực).
Trong các lý thuyết về hiện tượng tới hạn, chỉ số tới hạn β được định
nghĩa như sau:

A
B

Do đó:
A 02
S2 = S0 +
(T − TC )
B

(1.20)

Ở T = T C , S2 = S1 = S0 , do đó entropy là một hàm liên tục của nhiệt độ.
Khi qua chuyển pha loại hai, ΔS = 0 , tức là không có ẩn nhiệt kèm theo
ΔQ=TΔS=0 . Mặt khác, biểu thức (1.20) cũng cho thấy ở T < T C entropy
giảm theo sự giảm của nhiệt độ.
1.5.3. Nhiệt dung
Nhiệt dung đẳng áp của hệ được xác định bằng biểu thức:
 ∂S 
C p = T ÷ .
 ∂T  p

(1.21)

Trong pha đối xứng (hay pha bất trật tự, T = (T C + ε ), S = S 0 , do đó C
p1

=C p0 . Trong pha bất đối xứng (pha trật tự, T = (T C − ε )), từ phương trình

(1.20) ta có:
C p2 = C p0

Đường liền nét: lý thuyết landau, đường đứt nét: thực nghiệm

1.5.4. Độ cảm
Chúng ta hãy tiếp tục xét bài toán với việc đưa thêm vào đại lượng lực
tổng quát h. Đại lượng này có liên hệ với tham số trật tự như sau:
h=−

∂F
.
∂η

(1.14)

Dễ dàng nhận thấy rằng nếu η là độ từ hoá M thì h là từ trường đặt vào
H, còn nếu η là độ phân cực điện môi P thì h là cường độ điện trường E,…
Khi có mặt của lực tổng quát, năng lượng bổ sung thêm số hạng − ηh ,
do đó năng lượng tự do có dạng:
1
1
F = F0 + Aη2 + Bη4 +... − hη.
2
4
Điều kiện cực tiểu của F dẫn đến phương trình trạng thái của hệ:
Aη + Bη3 − h = 0

(1.25)

Từ đây ta có phương trình mô tả các đường cong Arrott quen thuộc ở
lân cận điểm chuyển pha:


.
A A 0 ( T − TC )

(1.29)

Đối với chất sắt từ biểu thức (1.29) chính là định luật Curie – Weiss.
Trong pha trật tự, T < T C , η ≠ 0 nên:
χ T (T < T C ) =

1
A+3Bη2

(1.30)

2
η2 được xác định từ phương trình (1.17b) ( η = − A/B ) nên ta nhận được

χ T (T