Tiểu luận: Cơ Học Lượng Tử

GVHD: PGS. TS. Trương Minh Đức

PHẦN I: MỞ ĐẦU
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Cơ học lượng tử là một trong những lý thuyết cơ bản của vật lý học, nó
mở rộng và bổ sung cho cơ học cổ điển của Newton. Cơ học lượng tử nghiên
cứu về chuyển động và các đại lượng vật lý liên quan đến chuyển động như
năng lượng và xung lượng của các vật có kích thước nhỏ bé, ở đó có sự thể hiện
rõ rệt của lưỡng tính sóng hạt. Lưỡng tính sóng hạt là tính chất cơ bản của vật
chất, chính vì thế cơ học lượng tử được coi là cơ bản hơn cơ học Newton vì nó
cho phép mô tả chính xác và đúng đắn rất nhiều các hiện tượng vật lý mà cơ học
Newton không thể giải thích được.
Chính vì vậy sự ra đời của cơ học lượng tử giúp chúng ta giải quyết được
những khó khăn mà cơ học cổ điển còn ở trong bế tắc.
Việc học tập và nghiên cứu cơ học lượng tử mà nhất là các đối tượng của
nó là không thể thiếu và cần thiết đối với những ai nghiên cứu vật lý đặc biệt là
với sinh viên khoa Vật Lý.
Việc học tập là rất cần thiết đối với mỗi sinh viên để hoàn thành tốt chương
trình học tập của ngành cũng như của khoa đề ra. Với mỗi môn học đều có hệ
thống kiến thức chuyên biệt và cơ học lượng tử cũng vậy. Do đó nhằm giúp cho
mỗi sinh viên học tập tốt học phần cơ học lượng tử cần có hệ thống kiến thức và
hệ thống bài tập cơ bản phục vụ. Nhằm đáp ứng một phần nhỏ mục đích trên thì
em xin chọn vấn đề “Hệ thống, giải bài tập về tích phân chuyển động và các
định luật bảo toàn” làm đề tài nghiên cứu.
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
- Hệ thống hóa cơ sở lý thuyết.
- Xây dựng được các ví dụ bài tập minh họa cho từng phần cơ bản trong
chương “Sự phụ thuộc đại lượng động lực theo thời gian”.
- Nghiên cứu để mở rộng kiến thức, rèn luyện phương pháp giải bài tập,


SVTH: Nguyễn Thị Anh Phương

2


Tiểu luận: Cơ Học Lượng Tử

GVHD: PGS. TS. Trương Minh Đức

PHẦN II: NỘI DUNG
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1. Đạo hàm của toán tử theo thời gian
Đạo hàm của trị trung bình của đại lượng động lực A bằng trung bình của
đạo hàm của đại lượng động lực A theo thời gian
d
dA
A=
.
dt
dt

Biểu thức đạo hàm theo thời gian của toán tử A:
ˆ ∂A
ˆ i
dA
ˆ ˆ
=
+ [H,A].
dt

⇔

ˆ
∂A
= 0, ˆ ˆ
[H,A] = 0.
∂t

Điều kiện để một đại lượng động lực là tích phân chuyển động là đại lượng
động lực đó không phụ thuộc tường minh vào thời gian và toán tử tương ứng
giao hoán với toán tử Hamilton.
3. Tính đối xứng của không gian, thời gian và các định luật bảo toàn
SVTH: Nguyễn Thị Anh Phương

3


Tiểu luận: Cơ Học Lượng Tử

GVHD: PGS. TS. Trương Minh Đức

Cơ học lượng tử cũng có tất cả các định luật bảo toàn như cơ học cổ điển.
Ngoài ra, nó còn bao gồm cả các định luật bảo toàn không có tiền lệ trong cơ
học cổ điển như: bảo toàn chẵn lẻ, bảo toàn tính đối xứng, bảo toàn spin… Khi
một đại lượng động lực là tích phân chuyển động thì nó tuân theo định luật bảo
toàn. Ta sẽ lần lượt xét các định luật sau:
a. Định luật bảo toàn xung lượng
Định luật này liên quan đến tính đồng nhất của không gian. Vì không gian
là đồng nhất nên tính chất vật lý của một hệ kín không thay đổi qua một phép
biến đổi tịnh tiến hệ coi như một tổng thể. Vì tính chất của hệ lượng tử được xác

Như vậy trong phép biến đổi không gian thì hệ tọa độ phải biến thành hệ
tọa độ trái.
Định luật bảo toàn chẵn lẻ có thể phát biểu theo cách khác: Khi một hệ kín
có số chẵn, lẻ xác định thì số chẵn, lẻ đó không thay đổi theo thời gian.

SVTH: Nguyễn Thị Anh Phương

4


Tiểu luận: Cơ Học Lượng Tử

GVHD: PGS. TS. Trương Minh Đức

CHƯƠNG II: BÀI TẬP
Trong chương này khi làm bài tập chúng ta có thể áp dụng một số tính chất
và các giao hoán từ sau để dễ dàng tính toán, trong đó
(1) Các tính chất:
(1.1) Phản đối xứng:

[ Aˆ , Bˆ ] = −[ Bˆ , Aˆ ],

(1.2) Giao hoán với một số vô hướng a:
(1.3) Phân phối đối với phép cộng:
(1.4) Phân phối đối với phép nhân:
(1.5) Đồng nhất Jacobi:

[ Aˆ , a ] = 0,

[ Aˆ + Bˆ , Cˆ ] = [ Aˆ , Cˆ ] + [ Bˆ , Cˆ ],

δ jk = 
÷,
0 khi j ≠ k 

∂f ( x )
,
∂x

 Lˆ j , xˆk  = i hε jkl xˆl ,


 Lˆ j , pˆ k  = i hε jkl pˆ l ,


 Lˆ j , Lˆk  = i hε jkl lˆl ,



 Lˆ j , lˆ2  = 0,



(2.8)
SVTH: Nguyễn Thị Anh Phương

5


Tiểu luận: Cơ Học Lượng Tử


sử dụng công thức tính đạo hàm theo thời gian của hai toán tử
dAˆ dBˆ ∂Aˆ i ˆ ˆ ∂Bˆ i ˆ ˆ
+
=
+ ( H , A) +
+ [ H , B]
dt dt ∂t 
∂t 

=

Aˆ

và

Bˆ

=

∂Aˆ i ˆ ˆ ˆ ˆ ∂Bˆ i ˆ ˆ ˆ ˆ
+ ( HA − A H ) +
+ ( HB − B H )
∂t 
∂t 

=

∂ Aˆ + Bˆ i ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
+ ( H A − AH + H B − B H ]
∂t

. (2)

, ta có


Tiểu luận: Cơ Học Lượng Tử

GVHD: PGS. TS. Trương Minh Đức

Cách khác là từ (1), áp dụng tính chất của toán tử ta được:

(

∂ Aˆ + Bˆ
∂t

) + i [Hˆ , Aˆ + Bˆ ] = ∂Aˆ + i [ Hˆ , Aˆ ] + ∂Bˆ + i [ Hˆ , Bˆ ]
∂t

h

h

∂T

h

. (3)
Từ (1) và (2) hoặc (3) ta có thể suy ra hệ thức cần chứng minh là:
d ˆ ˆ

+ [ H , A]  B + A
+ [ H , B ] 
∂t

∂
t

∂
t






. (5)

Cách khác là đi từ
dAˆ ˆ ˆ dBˆ ∂Aˆ ˆ i ˆ ˆ ˆ ˆ ∂Bˆ ˆ i ˆ ˆ
B+ A
=
B + ( H , A) B + A
+ A [ H , B]
dt
dt ∂t

∂t

=



7


Tiểu luận: Cơ Học Lượng Tử

GVHD: PGS. TS. Trương Minh Đức

d ˆˆ
dAˆ ˆ ˆ dBˆ
( AB) =
B+ A .
dt
dt
dt
2. Bài tập 2
Một hạt dao động điều hòa có điện tích q > 0 và khối lượng m, đặt trong
một điện trường
a) Tính

E0 cos(ωt ).

d p x / dt

và

d E / dt.

b) Giải phương trình cho
Lời giải:


dpˆ x i ˆ
= H , pˆ x
dt 

]
và các hệ

+ 1 kx 2 + qxE0 cos(ωt ).
2
2

Do đó
)
d ¶px i  p 2x 1 2
) 
=  + kx + qxE0 cos(ωt ), px 
dt
h  2m 2


i 1 ) )
1
)
)
= (  p 2x , px  + [kx 2 ), px + [qxE0cos(ωt ), p x ]
h 2m
2
= 0 − qxE0 cos(ω t ).



b) Đạo hàm theo thời gian biểu thức

và sử dụng biểu thức

ta được

qE
d2
1 d
k
x=
px = − x − 0 cos(ωt ).
2
m dt
m
m
dt
Phương trình này cho nghiệm là
 k  qE0
x(t ) = x (0)cos 
t÷
÷− mω sin(ω t ) + A,
m



ới A là hằng số được xác định từ điều kiện đầu, và
v
A = 0 , từ đó


,

Với:
ta có:

SVTH: Nguyễn Thị Anh Phương

9


Tiểu luận: Cơ Học Lượng Tử

GVHD: PGS. TS. Trương Minh Đức

- Về Năng lượng đối với hạt chuyển động tự do một chiều theo trục x:

(

)

1
1
1
 Hˆ , Hˆ  = 2  p) 2x , p) 2x  = 2 p) x  p) 2x , p) x  +  p) 2x , p) x  p) x = 2 p) 2x [ p) x , p) x ] + [ p) x , p) x ] p) 2x = 0
 4m

 



=
z
y
 2m  p x , ypz  −  p x , zp y  = 0,

 2m 

(

tính

) ))
) )
 p 2x , ypz  = y  p 2x , pz  = 0

và

) ))
) )
 p 2x , zp y  = z  p 2x , p y  = 0

)

ta được

) )
 H , Lx  = 0

.



)
)
)
)
L2 = L2x + L2y + L2z ,

ta có:
) )
) 
1 )2 )2 )2
 H , L2  = 
( p x + p y + p z ) + U ( x, y , z ), L2 
 2m

=

)
1
) )
) )
) )
 p 2x , L2  +  p 2y , L2  +  p 2z , L2  + U ( x, y , z ) , L2  .
2m

(

)

Trước hết, ta lần lượt đi tính

)

) ) )
) )
) ) )
 p 2x , L2z  = Lz  p 2x , Lz  +  p 2x , Lz  Lz

) ) ) )
) ) ) ) ) ) ) )
) ) ) )
= Lz px  px , Lz  + px  px , Lz  Lz + Lz  px , Lz  px +  px , Lz  px Lz
) ) )
) ) )
= −2i h Ly px p y + px p y Ly .

(

)

Do đó:

) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
) )
 p 2x , L2  = 2i h Ly px p y + px pZ Ly − Ly p x p y + p x p y Ly

(

Tương tự ta cũng tính và được các kết quả sau:
SVTH: Nguyễn Thị Anh Phương


)
)
)
)
)
)
)
)
) )
 p 2z , L2  =  p 2z , L2x + L2y + L2z  =  p 2z , L2x  +  p 2z , L2y  +  p 2z , L2z 

) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
= −2ih Lx pz p y + pz p y Lx − Ly pz px + pz px Ly

(

)

.

(3)

Suy ra:
) )
 p 2z , L2  = 0

)
) ) )
U ( x, y, z ), L2  = U ( x, y, z ), L2x + L2y + L2z 


÷
∂z
∂z



.

(4)

.

(5)

)
 ∂U ( x, y, z )
∂U ( x, y, z ) 
U ( x, y, z ), Lz  = ih x
−y
÷
∂y
∂x


.

(6)

)
∂U ( x, y, z )

z
∂
y
∂
z
∂
y



 

)  ∂U ( x, y, z ) ∂U ( x, y, z )   ∂U ( x, y, z ) ∂U ( x, y, z )  )
+ Ly  z
−x
−x
 + z
 Ly
∂x
∂z
∂x
∂z

 

)  ∂U ( x, y , z )
∂U ( x, y, z )   ∂U ( x, y , z )
∂U ( x, y, z )  ) 
+ Lz  x
−y

momen xung lượng và bình phương momen xung lượng.
Lời giải:
Do các đại lượng động lực không phụ thuộc tường minh vào thời gian, nên ta
chỉ cần tính các giao hoán tử của toán tử tương ứng với toán tử Hamilton là được.
Cụ thể cần tính các giao hoán tử sau đây
) )
) )
) )
) )
) )
) )
) )
) )
 H , H  ,  H , p x  ,  H , p y  ,  H , pz  ,  H , Lx  ,  H , Ly  ,  H , Lz  ,  H , L2 
,
)
)
)
p 2x
H =
+ U ( x ).
2m

toán tử Hamilton có dạng như sau:
Áp dụng các tính chất của toán tử và các hệ thức giao hoán, ta có
) )
 H , H  = 0

, do đó năng lượng là tích phân chuyển động.
Ta đi tính các giao hoán tử giữa các toán tử của các hình chiếu xung lượng

)
 H , p y  =  p x
 p x , p y  + U ( x), p y  = 0,
+ U ( x), p y  =
 2m
 2m
)2
) )
)
)
)  1 )2 )
)
 H , pz  =  p x
 p x , pz  + U ( x ), p z  = 0.
+ U ( x), pz  =
 2m
 2m

Đối với các hình chiếu của momen xung lượng lên các trục có các toán tử
) ) )
Lx , Ly , Lz

tương ứng là:
Tính cho

)
Lx

.


)
)
)
))
)
)
))
= U ( x), ypz  − U ( x), zp y  = y U ( x), pz  − z U ( x), p y 
= 0.
Lˆ y

Đối với
[

ˆ
Hˆ Ly

,

, ta có:
pˆ x2

]=[

=

2m

+



+ x[

SVTH: Nguyễn Thị Anh Phương

[

,

pˆ x Lˆ y pˆ x

,

+[

Uˆ ( x ) pˆ y

,

1
2 ˆ
2m pˆ x Ly

]

)+[

ˆˆ y
Uˆ ( x ) xp



]

-

]

]


Tiểu luận: Cơ Học Lượng Tử

=

GVHD: PGS. TS. Trương Minh Đức

∂U ( x )
i
pˆ x pˆ y i hy
.
m
∂x
-

Còn đối với

Lˆz

, ta tính như sau



=

ih
pˆ X pˆ y + x Uˆ (x), pˆ y  − y Uˆ (x), pˆ x 
m

=

ih
∂U (x)
pˆ X pˆ y − i hy
.
m
∂x
Lˆ2

Còn đối với bình phương moment xung lượng thì toán tử tương ứng là:
pˆ x2

Hˆ Lˆ

2m

Uˆ ( x ) Lˆ2

1
2
2m pˆ x Lˆ2


 Lx
∂z
∂y  
∂z
∂y 
 

∂U ( x)   ∂U ( x)
∂U ( x)  ˆ
 ∂U ( x)
Lˆ y  z
−x
−x
 + z
 Ly
∂z   ∂x
∂z 
 ∂x

SVTH: Nguyễn Thị Anh Phương

15


Tiểu luận: Cơ Học Lượng Tử

+

GVHD: PGS. TS. Trương Minh Đức


i
= ψn
ψ n = ψ n  Hˆ , Aˆ ψ n ,
dt
dt
h

khai triển móc ta có
ˆ ˆ.
ˆ ˆ − AH
 Hˆ , Aˆ  = HA



Áp dụng tính chất hermite của toán tử
Hˆ

riêng của toán tử

= Enψ n
Hˆ ψ n

Hˆ

rồi áp dụng phương trình trị

, ta được

(



Tiểu luận: Cơ Học Lượng Tử

GVHD: PGS. TS. Trương Minh Đức

Hạt chuyển động trong trường thế U(x). Hãy chứng minh các hệ thức sau:
a.
b.

d 2
ˆˆ X + px
ˆ ˆ x ) / m.
( xˆ ) = ( xp
dt
d
∂U ( x)
ˆˆ x ) = ( pˆ x2 ) / m + xˆ
.
( xp
dt
∂x

d 2
 ∂U ( x) ∂U ( x) 
pˆ x ) = −  pˆ x
+
pˆ x ÷.
(
dt
∂x

 pˆ x2 , xˆ 2  + U ( x ), xˆ 2 
p


  2m
 2m

[

]

[

]

=

1
1
pˆ x pˆ x , xˆ 2 +
pˆ x , xˆ 2 pˆ x
2m
2m

=

1  
∂  
∂  
 pˆ x − i , xˆ 2  + − i , xˆ 2  pˆ x 

d
−∂U ( x)
−∂U ( x) pˆ x2
VT = ( xˆ. pˆ ) = xˆ. pˆ x + pˆ x . xˆ = xˆ.
+ pˆ x
= xˆ.
+
= VP.
dt
dt
dt
∂x
m
∂x
m
c. Ta có:

d
( pˆ x . pˆ x ) = pˆ x . d . pˆ x + d pˆ x . pˆ x = pˆ x . −∂U ( x) + −∂U ( x) . pˆ x
dt
dt
dt
∂x
∂x

VT =

 ∂U ( x) ∂U ( x) 
= −  pˆ x .
+


z

và

. Ta sẽ sử dụng tọa độ

có dạng:

Hˆ = Tˆ (r ,θ ,ϕ ) + Uˆ (r ,θ , ϕ ),
∂
Lˆz = −i h ' ,
∂ϕ

Lˆ2 = −h2 ∆θϕ ' .
Với toán tử động năng là


2
2  1 ∂  2 ∂  1
ˆ
T ( r ,θ , φ ) = − ∆ = −  2  r
 + 2 ∆ θφ 
2m
2m  r ∂r  ∂r  r

Phần góc của toán tử Laplace trong hệ tọa độ cầu có dạng

1 
∂ 

.

Muốn cho giao hoán tử trên bằng không thì thế năng phải không phụ thuộc
θ

U = U ( r ,θ )

nghĩa là

.

 Hˆ , Lˆ2  = Tˆ ( r ,θ , ϕ ) + Uˆ ( r ,θ , ϕ ) , Lˆ2  = Tˆ ( r ,θ , ϕ ) , Lˆ2  + Uˆ ( r ,θ ,ϕ ) , Lˆ2 

 
 
 


[(

= Uˆ ( r ,θ ,φ ) , Lˆ2

)]
.

Muốn cho giao hoán tử này bằng không thì thế năng phải không phụ thuộc
vào

θ



Trong đó là thế vectơ, m là khối lượng của hạt.
a) Tìm toán tử vận tốc của hạt.
b) Thiết lập hệ thức giao hoán giữa các toán tử thành phần.
Lời giải:
a) Thay toán tử Hamilton vào công thức tính toán tử vận tốc ta được như sau

2
 dr i ˆ  i  1  ˆ e  
 
v=
= H , r =   P − A  + U ( r ), r 
dt 
  2m 
c 


[ ]

2
i   1  ˆ e r  r
r r 
=    P − A ÷ , r  + U ( r ) , r  ÷
÷
h   2m 
c  


SVTH: Nguyễn Thị Anh Phương


e 
v x , v y = 2  pˆ x − Ax ,  pˆ y − Ay 
c 
c 
m 

[

]

=

1 
e  e
e
  e 
 pˆ , pˆ y  +  A x , Ay  −  A x , pˆ y  −  pˆ x , A y  ÷
2  x
c  c
m 
c
  c 

=

r
i he  ∂Ax ∂Ay  i he
−
+
=

  e 
 pˆ , pˆ z  +  A y , Az  −  A y , pˆ z  −  pˆ z , A y  ÷
2  y
c  c
m 
c
  c 

=

r
i he  ∂Ay ∂Az  i he
−
+
=
rot
A

÷
x .
m 2 c  ∂z ∂y  m 2 c

1 
e 
e 
pˆ − Az ,  pˆ x − Ax 
2  z
m 
c 
c 


Tiểu luận: Cơ Học Lượng Tử

GVHD: PGS. TS. Trương Minh Đức

Dùng phương trình chuyển động Heisenberg cho tọa độ, hãy chứng tỏ rằng
trị trung bình của xung lượng của hạt ở trạng thái dừng thì bằng không.
Lời giải:
Trị trung bình của xung lượng của hạt ở trạng thái dừng được xác định bởi
công thức sau:
p x = ψ ( x ) pˆ xψ ( x )

(1).
Từ phương trình chuyển động Heisenberg cho tọa độ, ta có
pˆ x = m

[ ]

(

dxˆ
i
i
= m Hˆ , xˆ = m Hˆ xˆ − xˆHˆ
dt



)
(2),

Hˆ

, ta có

} = 1h{

Sử dụng phương trình riêng của toán tử
px = m

}

{

Hˆ

Hˆψ ( x ) xˆψ ( x ) − Hˆψ ( x ) xˆψ ( x )

}
.

là:

Hˆ ψ = Eψ

iE
ψ ( x ) xˆψ ( x ) − ψ ( x ) xˆψ ( x )
h

, thì


dt
∂t h
Hˆ

Với
là hàm Hamilton.
Vì các đại lượng động lực không phụ thuộc tường minh vào thời gian nên
đạo hàm theo thời gian của các đại lượng đó bằng không. Do đó, ta chỉ cần tính
các giao hoán tử của toán tử tương ứng với toán tử Hamilton, ta có:
 Hˆ , Hˆ  =  1 pˆ x2 + 1 mω 2 xˆ 2 , 1 pˆ x2 + 1 mω 2 xˆ 2 


  2m
2
2m
2

ω2
m2ω 4 2 2
2
2
2
2
 pˆ , pˆ  +
 pˆ x , xˆ  +  xˆ , pˆ x  +
 xˆ , xˆ 
=
2
4m 
4 

Do đó, năng lượng là một tích phân chuyển động.
pˆ x

pˆ y pˆ z

b) Các hình chiếu xung lượng tương ứng với các toán tử: , ,
1  1 )2
1
1
2 )2 ) 
) )
 pˆ x2 , pˆ x  +  mω 2 x 2 , pˆ x  = imhx.
 H , p x  2  m px + mω x , px 
2m
2
=
=
1  1 )2
1
1
2 )2 ) 
) )
 pˆ x2 , pˆ y  + mω 2 x 2 , pˆ y  = 0.
 H , p y  2  m px + mω x , p y 
2m
2
=
=
) )
 H , p z 


GVHD: PGS. TS. Trương Minh Đức

1 1
1
1
 Hˆ , Lˆx  =  pˆ x2 + mω 2 xˆ 2 , Lˆx  =
 pˆ X2 , Lˆ x  + mω 2 x 2 , Lˆx 
 2m 

 2  m
 2

=

(

)

1
1
ˆ ˆ z − zp
ˆ ˆ y 
pˆ x  pˆ x , Lˆx  +  pˆ x , Lˆx  pˆ x +  mω 2 x 2 , yp
2m
2

mω 2 2
ˆ ˆ z  −  x 2 , zp
ˆ ˆ y  + y  x 2 , pˆ z  − z  x 2 , pˆ y  ) = 0.

=
( pˆ x pˆ z + pˆ z pˆ x ) +
2m
2

(

ih
mω 2
= pˆ x pˆ z +
z  x 2 , pˆ x  − x  x 2 , pˆ z 
m
2

(

=

)

)

ih
pˆ x pˆ z + mω 2 xi hz.
m

1 1
1
1
 Hˆ , Lˆz  =  pˆ x2 + mω 2 xˆ 2 , Lˆ z  =


ih
mω 2
ˆ
ˆ
= px p y +
x  x 2 , pˆ y  − y  x 2 , pˆ x 
m
2

(

=

ih
pˆ x pˆ y − i hymω 2 x.
m

SVTH: Nguyễn Thị Anh Phương

23

)

)


Tiểu luận: Cơ Học Lượng Tử

GVHD: PGS. TS. Trương Minh Đức

Uˆ ( x ) , Lˆ2  = ih Lˆ y z
+z
Ly − Lz y
−y
Lz ÷


∂x
∂x
∂x
∂x


 ∂ 2U ( x )
∂U ( x )
∂U ( x ) ˆ
∂U ( x )
h2  z 2
−x
+z
L/ y − xy
2
∂x
∂x
∂x
∂x

+ y2

∂ 2U ( x )

Hˆ =
+ a( t) z =
( pˆ x + pˆ y + pˆ z ) + a ( t ) z.
2m
2m

SVTH: Nguyễn Thị Anh Phương

24


Tiểu luận: Cơ Học Lượng Tử

GVHD: PGS. TS. Trương Minh Đức

Ta có:
∂Hˆ ∂ 1
∂
=
pˆ x2 + pˆ y2 + pˆ z2 ) + a ( t ) z = z a ( t )
(
∂t ∂t 2m
∂t

và

,


i ˆ ˆ

)

)

i
a ( t )  pˆ z2 , z  + a ( t )  z, pˆ z2  = 0.
2 mh

Do đó,năng lượng không phải là đại lượng bảo toàn
Đối với các đại lượng động lực khác thì nó không phụ thuộc tường minh
vào thời gian do đó ta chỉ cần tính giao hoán tử của toán tử tương ứng với toán
tử Hamilton.
Đối với các hình chiếu momen xung lượng lên các trục có các toán tử
tương ứng là:
Ta có:

pˆ x + pˆ y + pˆ z

.

1
 Hˆ , pˆ x  =  ( pˆ x2 + pˆ y2 + pˆ z2 ) + a ( t ) z , pˆ x 


  2m

=

1 2 2 2
 pˆ x + pˆ y + pˆ z , pˆ x  +  a ( t ) z, pˆ x 