“Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”

MỤC LỤC
PHẦN I: MỞ ĐẦU
Mục

Tên đề mục

Trang

1

Lý do chọn đề tài

2

2

Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài

3

3

Đối tượng nghiên cứu

3

4

Phạm vi nghiên cứu


4

Kết quả

27

PHẦN III: KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
Mục

Tên đề mục

Trang

1

Kết luận

28

2

Kiến nghị

28

3

Tài liệu tham khảo


tiếp đường tròn là như thế nào, còn ít biết vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp để làm
gì ?
- Mặt khác ta biết rằng có nhiều phương pháp để chứng minh một tứ giác là nội
tiếp đường tròn. Khi biết một tứ giác nội tiếp đường tròn thì suy ra được góc trong ở một
đỉnh bằng góc ngoài ở đỉnh đối diện với nó hay vận dụng các Định lý về mối liên hệ giữa
các loại góc của đường tròn để tìm ra những cặp góc bằng nhau. Với phương pháp tứ giác
nội tiếp ta có thể vận dụng để giải một số bài toán hay và khó
- Với lý do đó, tôi đã chọn đề tài nghiên cứu cho mình là:“Một số phương pháp
chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng” nhằm trước hết giải quyết khó khăn
trong thực tế giảng dạy của mình, của giáo viên trong trường, cũng mong được trao đổi

Dương Thị Kim Nhân

2

THCS Lê Đình Chinh


“Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”

với các đồng nghiệp khác. Rất mong được sự đóng góp chân thành để đề tài được phát
huy hiệu quả.
2. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài:
a) Mục tiêu: Nghiên cứu đề tài nhằm mục đích giúp giáo viên nắm rõ các phương pháp
chứng minh tứ giác nội tiếp đồng thời vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp để giải một
số bài toán hay và khó như:
+ Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn.
+ Chứng minh đường tròn đi qua một điểm cố định.
+ Chứng minh quan hệ giữa các đại lượng.
+ Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để tìm quỹ tích một điểm.

- Nghiên cứu về một số phương pháp hướng dẫn học sinh chứng minh tứ giác nội tiếp
trong một đường tròn và cách vận dụng
- Nghiên cứu sách giáo khoa, tài liệu tham khảo, sách nâng cao toán 9.
- Phụ đạo và nâng cao kiến thức cho học sinh lớp 9A1, 9A2 năm học 2014-2015 trường
THCS Lê Đình Chinh, xã Quảng Điền, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk.
5. Phương pháp nghiên cứu:
- Nghiên cứu lý thuyết.
- Điều tra, thực nghiệm, khảo sát kết quả học tập của học sinh.
- Đưa ra tập thể tổ chuyên môn thảo luận
- Thực hiện giảng dạy trên lớp và các tiết chuyên đề cho học sinh lớp 9A1, 9A2 trường
THCS Lê Đình Chinh, xã Quảng Điền, huyện Krông Ana
- Điều tra, đánh giá kết quả học tập của học sinh sau khi tiến hành giảng dạy .
PHẦN II
NỘI DUNG
1.Cơ sở lí luận để thực hiện đề tài:
Nhằm đáp ứng được mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, con đường duy nhất
là nâng cao chất lượng học tập của học sinh ngay từ nhà trường phổ thông. Là giáo viên ai
cũng mong muốn học sinh của mình tiến bộ, lĩnh hội kiến thức dễ dàng, phát huy tư duy
sáng tạo, rèn tính tự học, thì môn toán là môn học hội tụ được những yêu cầu đó
Đặc điểm của lứa tuổi HS THCS là muốn vươn lên làm người lớn, muốn tự mình
khám phá, tìm hiểu trong quá trình nhận thức. Các em có khả năng điều chỉnh hoạt động
học tập, sẵn sàng tham gia các hoạt động học tập khác nhau nhưng cần phải có sự hướng
dẫn, điều hành một cách khoa học và nghệ thuật của thầy, cô giáo. Hình thành và phát
triển tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo cho HS là một quá trình lâu dài.
Dạng toán chứng minh tứ giác nội tiếp là dạng toán rất quan trọng trong chương
trình toán 9 và làm cơ sở để học sinh làm tốt các bài toán có liên quan trong chương trình
toán trung học cơ sở . Vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh chứng minh tứ giác nội
tiếp một cách chính xác, nhanh chóng và đạt hiệu quả cao. Để thực hiện tốt điều này đòi
hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh những kĩ năng như quan sát, nhận xét, đánh giá


b/ Khó khăn:
- Nhân dân xã Quảng Điền đa số nhiều gia đình đông con sống chủ yếu bằng nghề
nông đời sống kinh tế còn nhiều khó khăn, trình độ dân trí không đồng đều, hằng năm
chịu nhiều ảnh hưởng của thiên tai. Do đó hoàn cảnh gia đình còn gặp nhiều khó khăn nên
chưa thực sự quan tâm đến việc học của con em mình dẫn đến ảnh hưởng không nhỏ đến
việc đầu tư thời gian, vật chất, tinh thần cho con em họ. Từ đó ảnh hưởng đến kết quả học
tập của học sinh và của nhà trường.

Dương Thị Kim Nhân

5

THCS Lê Đình Chinh


“Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”

- Đa số HS không yêu thích môn hình học, thậm chí còn sợ học môn này nên thời
gian đầu làm sáng kiến các em chưa thực sự thích nên cũng không dám sáng tạo gì thêm
do đó không phát huy hết tính tích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân.

2.2. Thành công, hạn chế:
a/. Thành công: Với nội dung của đề tài nghiên cứu:“Một số phương pháp chứng minh
Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”sau khi áp dụng vào thực tiễn tôi nhận thấy đã rèn
luyện được cho học sinh kĩ năng giải toán hình học có hiệu quả đặc biệt là phần chứng
minh tứ giác nội tiếp đường tròn
b/. Hạn chế: Vì đây là dạng toán mà đa số các em học yếu đều không thích học nên nói
thật phần vận dụng tứ giác nội tiếp vào chứng minh các bài tập thì đa số các em học sinh
khá giỏi có hứng thú hơn các em trung bình và yếu. Để đề tài trên được áp dụng vào thực
tiễn giảng dạy và đem lại hiệu quả cần phải có lượng thời gian nhất định. Tuy nhiên trong

thức từ lý thuyết vào làm bài tập còn hạn chế. Nguyên nhân chủ yếu của khó khăn trên là:
- Học sinh không đam mê môn Hình học
- Khả năng phán đoán ,định hướng không tới đích .
- Không năng động trong khi chứng minh và vẽ hình .Chính vì vậy hướng dẫn cho
học sinh nắm chắc về khái niệm để vận dụng vào chứng minh là điều quan trọng .
- Do thời lượng luyện tập giờ chính khóa còn ít, vì vậy học sinh chưa có thời gian
để ôn tập, làm bài tập, giải bài tập nhiều.
2.5. Phân tích, đánh giá các vấn đề về thực trạng mà đề tài đã đặt ra:
Đề tài:“Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”
góp phần nâng cao kiến thức, tư duy toán học, khả năng phân tích, chứng minh hình học
cho học sinh, đồng thời giúp cho giáo viên trau dồi kiến thức, nâng cao chất lượng và hiệu
quả giảng dạy.
- Như đã nói ở trên, trong phân phối chương trình của môn toán 9 không có thời
lượng dành riêng cho vấn đề nghiên cứu này. Do đó để thực hiện đề tài này, giáo viên cần
phải lồng ghép vào các tiết luyện tập, các tiết ôn tập chương, các tiết ôn tập học kì 2, các
tiết phụ đạo học sinh yếu kém và bồi dưỡng học sinh giỏi.
- Trong quá trình giảng dạy môn Toán, vai trò của người thầy trong việc tạo hứng
thú cho học sinh đặc biệt quan trọng, do đó mỗi giáo viên phải thường xuyên đưa học sinh
vào các tình huống có vấn đề để các em tư duy, tự tìm tòi kiến thức mới qua mỗi dạng
toán. Đồng thời phải biết động viên, khích lệ, biểu dương sự cố gắng của các em, trân
trọng thành quả đạt được của các em .
- Ngày nay, phương pháp dạy học ở bậc THCS nói chung đã có nhiều biến đổi tích
cực, điều kiện về vật chất ngày càng được nâng lên rõ rệt. Nhưng để đạt được kết quả tốt
yêu cầu mỗi giáo viên phải đầu tư nhiều thời gian cho việc soạn bài và đặc biệt là phải tận
tụy với công việc, tránh tư tưởng chủ quan chỉ cho học sinh tìm hiểu ở mức độ sơ sơ, đưa

Dương Thị Kim Nhân

7


- Và cuối cùng là bằng việc đi từ vấn đề đơn giản, riêng lẻ của bài dạy đến các định
lý và bài toán khó hơn, phức tạp hơn tổng hợp lại một hệ thống các phương pháp chứng
minh tứ giác nội tiếp .
Từ các phương pháp trên đây đối chiếu với lý luận và thực tế tôi rút ra được kinh
nghiệm nhỏ trong quá trình áp dụng đề tài cụ thể như sau:

Dương Thị Kim Nhân

8

THCS Lê Đình Chinh


“Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”

*Nội dung:
1/ .Chuẩn bị :
- Phần trọng tâm của lý thuyết, điều cần ghi nhớ.
- Phân loại các bài tập để vận dụng chứng minh từng phần ghi nhớ.
2/ .Phần lý thuyết:
2.1/ Định nghĩa: Nếu qua bốn đỉnh của một
tứ giác có một đường tròn thì tứ giác đó gọi
là tứ giác nội tiếp trong một đường tròn và
đường tròn đó gọi là đường tròn ngoại tiếp
tứ giác.
2.2/ Định lý : Trong một tứ giác nội tiếp một đường tròn tổng các góc đối diện nhau bằng
hai góc vuông .
* Đảo lại : Nếu một tứ giác có tổng hai góc đối diện nhau bằng hai góc vuông thì tứ giác
đó nội tiếp được trong một đường tròn .
Khi đó : Tứ giác ABCD nội tiếp (O) ⇔

3. Một số vấn đề liên quan đến tứ giác nội tiếp:
3.1. Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp:

Dương Thị Kim Nhân

9

THCS Lê Đình Chinh


“Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”

Một tứ giác sẽ là tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn nếu có một trong các điều
kiện sau :
+) Bốn đỉnh cùng cách đều một điểm nào đó ( đ/n)
+) Tổng các góc đối diện bằng 2v ( định lý đảo)
+) Từ hai đỉnh kề nhau nhìn cạnh ứng với hai đỉnh còn lại dưới hai góc bằng nhau
·
·
của tứ giác ABCD có : DAC
= DBC
= α ⇒ Tứ giác ABCD nội tiếp

+) Hai đỉnh cùng nhìn xuống một cạnh dưới một góc vuông
·
·
(Tứ giác ABCD có: DAC
= DBC
= 900 ) ⇒ Tứ giác ABCD nội tiếp




“Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”

⇒ OB’ = OB = OC = r (1)
· ' C = 900 (GT)
Xét ∆BC’C có : BB

Tương tự trên ⇒ OC’ = OB = OC = r (2)
Từ (1) và (2) ⇒ B, C’, B’, C ∈ (O; r)
⇒ ◊ BC’B’C nội tiếp đường tròn.
Từ bài toán 1 này nếu ta thay đổi dữ kiện là cho tam giác nội tiếp trong đường tròn
và kẻ các đường cao, ta lại phải chứng minh tứ giác mới nội tiếp
*Phương pháp 2: Dựa vào định lý
µ = 1800 hoặc B
µ +D
µ = 1800
Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ⇔ µA + C

* Bài toán 2:
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội
tiếp đường tròn (O), các đường cao AD,
BE,CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn(O)
tại M,N,P . Chứng minh:
a. Tứ giác CEHD nội tiếp.
Chứng minh:
·
·
a/ Xét ◊ CEHD có : CEH
= 900 và CHD


2

2

C

D

Chứng minh tứ giác ABDC nội tiếp.
0
µ
µ
µ
* Chứng minh: Ta có : ∆ABC đều => A = B = C = 60

Dương Thị Kim Nhân

11

THCS Lê Đình Chinh


“Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”

¶ = 1C
µ = 300 => ·ACD = 900
Mặt khác: C
2
1

2. Chứng minh OMKN là tứ giác nội tiếp.
K
y
x

*Chứng minh:
1) ·AMB = ·ANB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
⇒ B là trực tâm của tam giác AEF
⇒ AB ⊥ EF
·
·
⇒ ·NEF = NAB
(cùng phụ với NFE
)
⇒ ∆ vuông NEF
∆ vuông NAB (g.g)
⇒

EF NE
·
= tan600 =
=
= tan NAE
AB NA

3

·
·
·

“Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”

* Bài toán 5 ( Đề mở rộng của bài toán 2)
Câu b. Chứng minh bốn điểm B,C,E,F cùng nằm
trên một đường tròn

·
*Chứng minh: Theo giả thiết: BE là đường cao => BE ⊥ AC ⇒ BCE
= 900
·
CF là đường cao => CF ⊥ AB ⇒ BFC
= 900

Như vậy E và F cùng nhìn BC dưới một góc 900
=> E và F cùng nằm trên đường tròn đường kính BC
=> Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn
Hay tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn đường kính BC.
Đây chính là cách sử dụng cung chứa góc.Cũng từ bài toán 2 ta thay dữ kiện tam giác nội
tiếp chắn nửa đường tròn để chứng minh tứ giác nội tiếp cụ thể của phương pháp này như
sau:
*Phương pháp 4: Dựa vào quỹ tích cung chứa góc
* Bài toán 6:
Cho tam giác ACD. Lấy điểm B sao cho A,
B nằm ở cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa
·
·
DC và có DAC
.Chứng minh tứ giác
= DBC


* Bài toán 7:

M

Cho ∆ ABC cân ở A nội tiếp (O). Trên tia

A

đối của tia AB lấy điểm M, trên tia đối của

1 2

tia CA lấy điểm N sao cho AM=CN.
Chứng minh ◊ AMNO nội tiếp.

O

1

C

B

N

* Chứng minh:
¶
Ta có: ∆ ABC cân ở A và O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC ⇒ µA1 = A
2


Do đó: ◊ AMNO nội tiếp đường tròn (hai đỉnh kề nhau M và N cùng nhìn cạnh OA dưới
cùng một góc). Thế thì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính DC.
Cũng từ bài toán 1 ta lại thay đổi tiếp dữ kiện bài toán nhằm có thêm một cách nữa
chứng minh tứ giác nội tiếp đó là:
*Phương pháp 5: Chứng minh tứ giác nội tiếp bằng tỷ lệ thức:
* Bài toán 8:
Cho tam giác ABC. Lấy một điểm D bất kỳ
sao cho hai đường thẳng AB và CD cắt
nhau tại M.
Chứng minh ◊ ABCD nội tiếp.

*Chứng minh:

Dương Thị Kim Nhân

14

THCS Lê Đình Chinh


“Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”

Nếu xét tứ giác ABCD nội tiếp một đường tròn
Ta có: AB cắt DC tại M ta suy ra được ·ABD = ·ACD = 900
Vậy là : ∆MAC

∆MDB

Đảo lại: Nếu ∆MAC



b thì nó không phải tứ giác lồi.

D

M

A

O
D

A
M
a/

b/

* Củng cố phương pháp này cho học sinh làm bài tập sau:
Bài toán 9:
A
Cho tam giác ABC vuông ở A. Kẻ đường
cao AH . Gọi I, K tương ứng là tâm đường

R

tròn nội tiếp tam giác ABH và ACH .
Đường thẳng IK cắt AC tại N. Chứng minh
tứ giác HCNK nội tiếp được.


¶ = NCH
·
giả sử tứ giác HCNK nội tiếp thì: K
(2) . Thế thì ∆HIK
1

∆ABC (3)

Chứng minh (3): ∆HAB và ∆HCA
đồng dạng =>

HA AB
=
(4)
HC AC

Chứng minh : ∆HAS
Từ (4) và (5) =>

∆HCR ⇒

HA HI
=
(5)
HC HK

HI HK
=
(6)
AB AC

Dương Thị Kim Nhân

16

THCS Lê Đình Chinh


“Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”

*Phương pháp 6 : Dựa vào tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh
đối diện.
*Bài toán 11:
Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), M là điểm
chính giữa của cung AB. Nối M với D, M
với C cắt AB lần lượt ở E và P.
Chứng minh tứ giác PEDC nội tiếp được
đường tròn.

Chứng minh:
·
Ta có : MEP
là góc có đỉnh nằm bên trong (O)
·
⇒ MEP
=

» + MB
¼ )
s®(AD
2

= DCP

Nghĩa là: ◊ PEDC có góc ngoài tại đỉnh E bằng góc trong tại đỉnh C
Vậy ◊ PEDC nội tiếp được đường tròn.
3.3.2. Vận dụng tứ giác nội tiếp vào chứng minh bài tập hay và khó:
* Bài toán 1: Tính số đo góc:
Cho hình vẽ:

E

Hãy tìm số đo các góc của tứ giác ABCD

400

B

x

O
A

Dương Thị Kim Nhân

17

C

x

•

·
·
=> ABC = 40 + x = 40 + 60 = 100 => BAD = 180 − BCD = 180 −120 = 60

* Bài toán 2: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng:
* Bài toán: Cho 3 điểm A,B ,C trên một
đường tròn .Chứng minh rằng chân đường
vuông góc hạ từ một điểm M bất kỳ trên
đường tròn xuống các đường thẳng
AB,BC,CA cùng nằm trên một đường
thẳng .
* Chứng minh :
·
·
= BIM
= 1800
Ta có : Tứ giác BHMI nội tiếp vì BHM

¶ =M
¶ (1)
⇒H
1
1

µ và K
µ cùng nhìn MC dưới một góc vuông )
Tứ giác MHKC nội tiếp (vì H
¶ =M
¶
⇒H

·
¶ = 1800
⇒ BNK
+H
1

Do đó I , H ,K thẳng hàng
* Bài toán 3: Chứng minh các góc bằng nhau:

Dương Thị Kim Nhân

18

THCS Lê Đình Chinh


“Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”

* Bài toán: Gọi H là giao điểm các đường
cao AA';BB';CC' .Chứng minh các đường
cao của tam giác ABC là phân giác các góc
của tam giác A ' B ' C '

*Chứng minh :
Xét tứ giác BA ' HC ' có :
· ' H = 900 (CC ' ⊥ AB )
BC
· ' H = 900 (AA' ⊥ BC )
BA
· ' H + BA

thể chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp và tứ giác ABCE nội tiếp. Suy ra 4 điểm A, B, C,
D và 4 điểm A, B, C, E cùng nằm trên một đường tròn. Hai đường tròn này có ba điểm

Dương Thị Kim Nhân

19

THCS Lê Đình Chinh


“Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”

chung là A, B, C thế nên theo định lý về sự xác định đường tròn thì chúng phải trùng
nhau. Từ đó suy ra 5 điểm A, B, C, D, E cùng nằm trên một đường tròn.
b. Ví dụ : (Bài toán về đường tròn
Euler)
Chứng minh rằng, trong một tam giác
bất kì, ba trung điểm của các cạnh, ba
chân của các đường cao, ba trung điểm
của các đoạn thẳng nối trực tâm với
đỉnh đều ở trên một đường tròn.
*Chứng minh:
Ta có: ME là đường trung bình của ∆AHC
ND là đường trung bình của ∆BHC
⇒ ME = ND =

HC
2

⇒ Tứ giác MNDE là hình bình hành (1)

Cách 1: Ta có thể xét thêm một điểm D cố định nào đó rồi chứng minh tứ giác ABCD nội
tiếp đường tròn. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Cách 2: Ta chọn một điểm nào đó trên đường tròn (ABC) sau đó ta đi chứng minh điểm
đã chọn là điểm cố định.
b.Ví dụ :
Từ một điểm A ở ngoài đường
tròn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến AB,
AC với đường tròn. Lấy điểm D
nằm giữa B và C. Qua D vẽ một
đường thẳng vuông góc với OD
cắt AB, AC lần lượt tại E và F.
Khi điểm D di động trên BC,
chứng minh rằng đường tròn
(AEF) luôn đi qua một điểm cố
định khác A.
Chứng minh:
0
·
Ta có : EBO = 90 (AB là tiếp tuyến với (O) tại B)

·
EDO
= 900 (GT)

⇒ hai đỉnh B và D cùng nhìn đoạn OE dưới một góc vuông.
⇒ ◊ EBOD nội tiếp đường tròn
·
·
⇒ BEO
(1) (cùng chắn cung OB)

Cho đường tròn (O), dây AB không đi
qua tâm. Trên cung nhỏ AB lấy điểm M
(M không trùng với A, B). Kẻ dây MN
vuông góc với AB tại H. Kẻ MK vuông

E
H

A

góc với AN ( K ∈ AN ) .
1) Chứng minh: Tứ giác AMHK
nội tiếp
2) Chứng minh: MN là phân giác
của góc BMK.
3) Khi M di chuyển trên cung nhỏ
AB. Gọi E là giao điểm của HK và BN.
Xác định vị trí của điểm M để
(MK.AN + ME.NB) có giá trị lớn nhất.
Giải :

O

B

K

N

·


1 ¼
1 ¼
·
·
·
·
= MNB
= sđ MB
= MKH
= sđ MH
3) MAB
; MAB

2
2
·
·
⇒ K,M,E,N cùng thuộc một đường tròn
⇒ MNB
= MKH
·
·
⇒ MEN
+ MKN
= 1800 ⇒ ME ⊥ NB

1
1
1

Chứng minh:
Ta có : ◊ ABCD nội tiếp (O)
Ta phải chứng minh:
AC. BD = AB. DC + AD. BC
Thật vậy.
·
·
Lấy E ∈ BD sao cho: BAC
= EAD

⇒ ∆ DAE
⇒

∆ CAB (g. g)

AD DE
=
AC BC

⇒ AD. BC = AC. DE (1)
Tương tự: ∆ BAE
⇒

∆ CAD (g. g)

BE AB
=
CD AC

⇒ BE. AC = CD. AB (2)

M

1

2

l
2

1

D

K

C

Chứng minh:
* Phần thuận:
Ta có CN = AM (tính chất đối xứng tâm)
Vì DK = DM (GT) nên CK = AM
⇒ CK = CN
Lại có ◊ MHKD và ◊ NHKC nội tiếp (vì có hai góc đối vuông góc)
0
0
¶
¶
¶
¶
⇒ M1 = H1 = 45 và N2 = H2 = 45

“Một số phương pháp chứng minh Tứ giác nội tiếp và cách vận dụng”
0
·
·
⇒ DHM = DCO = 45
0
·
Mặt khác DKM = 90

·
·
Nên: DHM
= DKM
= 450
·
⇒ ◊ HKDM nội tiếp ⇒ KHM
= 900

⇒ KH ⊥ NM
⇒ H là hình chiếu của K trên MN.
Kết luận:
Vậy quỹ tích của điểm H là nửa đường tròn đường kính CD, nửa đường tròn này nằm
trong hình vuông.
* Bài toán 9: Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để dựng hình
* Bài toán :Cho tam giác ABC nhọn (AB

=a
·

EOF ·
·
Ta có : EOM
=
= BAC = a
2

·
Xét ∆ MOE có OME
= 900

⇒ EM = OE. sin a
⇒ EF = 2 OE. sin a

Dương Thị Kim Nhân

25

THCS Lê Đình Chinh