Mục lục
Nội dung Trang
A. Đặt vấn đề
2
I. Lý do chọn đề tài
2
1. Cơ sở lý luận
2
2. Cơ sở thực tiễn
2
II. Mục đích nghiên cứu 3
III. Nhiệm vụ đề tài 3
IV. Giới hạn đề tài 3
B. Giải quyết vấn đề
4
I. Phơng pháp nghiên cứu 4
II. Nội dung cụ thể 5
1. Kiến thức cơ bản 5
2. Bài tập minh hoạ 6
2.1 Bài tập chứng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn
6
Phơng pháp 1 6
Phơng pháp 2 7
Phơng pháp 3 7
Phơng pháp 4 8
2.2 Bài toán hay và khó vận dụng phơng pháp tứ giác nội tiếp
10
Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đờng tròn. 10
Chứng minh đờng tròn đi qua một điểm cố định. 11
Chứng minh quan hệ giữa các đại lợng. 13

một số bài toán hay và khó .
Với lý do đó, tôi đã chọn đề tài nghiên cứu cho mình là: Phơng
pháp tứ giác nội tiếp
II.Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu đề tài nhằm mục đích giúp giáo viên nắm rõ các ph-
ơng pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đồng thời vận dụng phơng pháp
tứ giác nội tiếp để giải một số bài toán hay và khó nh sau:
Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đờng tròn.
Chứng minh đờng tròn đi qua một điểm cố định.
Chứng minh quan hệ giữa các đại lợng.
- 2 -

Chứng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn để tìm quỹ tích một điểm.
Chứng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn để dựng hình.
Nh vậy, giáo viên có thể giúp học sinh nắm vững, khai thác
sâu, đầy đủ một cách có hệ thống đơn vị kiến thức Tứ giác nội tiếp
trong một đờng tròn.
III. Nhiệm vụ của đề tài
+ Đa ra các phơng pháp chứng minh tứ giác nội tiếp có minh
họa.
+ Đa ra các loại bài tập vận dụng phơng pháp tứ giác nội tiếp hay
và khó có bài tập minh họa.
IV. Giới hạn đề tài
Đề tài này đợc gói gọn với một đơn vị kiến thức trọng tâm ở bộ
môn Hình Học lớp 9.
- 3 -

B Giải quyết vấn đề
I Ph ơng pháp nghiên cứu
Để nghiên cứu đề tài này, tôi đã sử dụng các phơng pháp cơ bản sau:

* Trong một tứ giác nội tiếp tổng số đo hai góc đối diện bằng180
o
.
* Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng180
o
thì tứ giác đó
nội tiếp đợc một đờng tròn.
1.3. Một số phơng pháp chứng minh tứ giác nội tiếp
- Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180
0
.
- Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.
- Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định đợc). Điểm đó
là tâm của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác.
- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dới một
góc

.
1.4. Một số bài toán hay và khó vận dụng phơng pháp tứ giác nội tiếp.
Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đờng tròn.
Chứng minh đờng tròn đi qua một điểm cố định.
Chứng minh quan hệ giữa các đại lợng.
Chứng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn để tìm quỹ tích một điểm.
Chứng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn để dựng hình.
2 - Bài tập minh hoạ
2.1. Bài tập chứng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn.
Ph ơng pháp 1: Dựa vào định nghĩa.
Bài toán 1:
- 5 -
Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn A + C = 180

.
CC AB (GT) BCC = 90
0
.
B, C cùng nhìn cạnh BC dới một góc vuông
B, C nằm trên đờng tròn đờng kính BC
Hay BCBC nội tiếp đờng tròn đờng kính BC.
- 6 -

Ph ơng pháp 2: Dựa vào định lý
Bài toán 2:
Cho tam giác ABC nhọn và nội
tiếp (O), 2 đờng cao BB, CC.
a/ Chứng minh tứ giác BCBC nội
tiếp.
b/ Tia AO cắt (O) ở D và cắt BC ở I.
Chứng minh tứ giác BDIC nội tiếp.
I
O
C'
B'
B
A
C
D
Chứng minh:
a/ (Bài toán 1)
b/ Từ câu a C + BCB = 180
0
(Tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp)

Ta có: ABC cân ở A và O là tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC
A
1
= A
2
AOC cân tại O (vì OA = OC)
A
2
= C
1
nên A
1
= A
2
= C
1

Mà A
1
+ OAM = 180
0
và C
1
+ OCN= 180
0
.
AOM = OCN
Xét OAM và OCN có : OA = OC; AOM = OCN; AM = CN
OAM = OCN (c.g.c)
AMO = CNO hay AMO = ANO

M
ã
ẳ
=
đDM
2
s
DCP
(góc nội tiếp)
Hay
ã
ằ
ẳ
+
=
đ(AD )
2
s MA
DCP
Lại có :
ẳ
ẳ
=AM MB
Nên :
ã
MEP
=
ã
DCP
Nghĩa là: PEDC có góc ngoài tại đỉnh E bằng góc trong tại đỉnh C

* Tứ giác EFGH nội tiếp vì có tổng hai góc đối bằng 180
0
Thật vậy: Ta có : OEH = OAH ( vì cùng chắn cung OH)
OAH = HOD (vì cùng phụ với AOH)
HOD = HGD ( vì cùng chắn cung HD)
OEH =HGD
Chứng minh tơng tự ta đợc : OEF = FGC
Từ đó : OEH + OEF =HGD + FGC
FEH =HGD + FGC
Mặt khác: HGD + FGC+ HGF = 180
0
FEH + HGF = 180
0
( điều phải chứng minh)
2.2. Bài toán hay và khó vận dụng ph ơng pháp tứ giác nội tiếp.
Bài tóan 1. Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đ ờng tròn.
a. Phơng pháp:
- 9 -

Nếu ta phải chứng minh 5 điểm A, B, C, D, E cùng nằm trên một đờng tròn,
ta có thể chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp và tứ giác ABCE nội tiếp. Suy ra 4
điểm A, B, C, D và 4 điểm A, B, C, E cùng nằm trên một đờng tròn. Hai đờng tròn
này có ba điểm chung là A, B, C thế nên theo định lý về sự xác định đờng tròn thì
chúng phải trùng nhau. Từ đó suy ra 5 điểm A, B, C, D, E cùng nằm trên một đ-
ờng tròn.
b. Ví dụ 1: (Bài toán về đờng tròn Euler)
Chứng minh rằng, trong một
tam giác bất kì, ba trung điểm của
các cạnh, ba chân của các đờng
cao, ba trung điểm của các đoạn

0
I (O; OM)
Vì FLP = 90
0
; NKE = 90
0
L; K (O; OM)
Vậy ta có : 9 điểm M; K; E; P; D; I; N; F; L (O; OM)
(Điều phải chứng minh)
c.Bài tập:
- 10 -

1. Cho hình bình hành ABCD có A nhọn. Đờng tròn tâm A bán kính AB
cắt đờng thẳng BC ở điểm thứ hai E. Đờng tròn tâm C bán kính CB cắt đờng thẳng
AB ở điểm thứ hai K. Chứng minh rằng:
a. DE = DK
b. năm điểm A, D, C, K, E cùng thuộc một đờng tròn.
2. Cho hai đờng tròn (O) và (O) ở ngoài nhau.Kẻ các tiếp tuyến chung
ngoài AB và AB, các tiếp tuyến chung trong CD và EF (A, A, C, E (O); B, B,
D, F (O)). Gọi M là giao điểm của AB và EF, N là giao điểm của CD và AB.
H là giao điểm của MN là OO. Chứng minh rằng:
a. MN OO
b. năm điểm O, B, M, H, F cùng thuộc một đờng tròn
c. năm điểm O, A, M, E, H cùng thuộc một đờng tròn
Bài tóan 2. Chứng minh đ ờng tròn đi qua một điểm cố định.
a. Phơng pháp:
Nếu ta phải chứng minh một đờng tròn (ABC) đi qua một điểm cố định,
Cách 1: Ta có thể xét thêm một điểm D cố định nào đó rồi chứng minh tứ
giác ABCD nội tiếp đờng tròn. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Cách 2: Ta chọn một điểm nào đó trên đờng tròn (ABC) sau đó ta đi chứng

- 11 -

F
1
= F
2

K đối xứng với B qua C
Do B và C là hai điểm cố định nên suy ra K cố định
Vậy đờng tròn ngoại tiếp tam giác AEF đi qua điểm K cố định.
Ví dụ 2:
Từ một điểm A ở ngoài
đờng tròn (O) ta vẽ hai tiếp
tuyến AB, AC với đờng tròn.
Lấy điểm D nằm giữa B và
C. Qua D vẽ một đờng thẳng
vuông góc với OD cắt AB,
AC lần lợt tại E và F.
Khi điểm D di động trên
BC, chứng minh rằng đờng
tròn (AEF) luôn đi qua một
điểm cố định khác A.
F
E
A
O
C
B
D
Chứng minh:

cho BD = CE. Chứng minh rằng đờng tròn ngoại tiếp tam giác ADE luôn đi
qua một điểm cố định khác A.
- 12 -

Bài tóan 3. Chứng minh quan hệ về đại l ợng.
Một số bài toán đề cập tới quan hệ về đại lợng nh:
- Chứng minh các hệ thức hình học.
- Chứng tỉ số các đoạn thẳng không đổi (nh hai đoạn thẳng bằng nhau,
đoạn này gấp đôi đoạn kia.) hoặc chứng minh tổng hiệu các góc là
không đổi
* Định lý Ptô - lê mê.
Chứng minh rằng trong một tứ giác nội tiếp, tích của hai đờng chéo bằng
tổng các tích của hai cặp cạnh đối.
Chứng minh:
Ta có : ABCD nội tiếp (O)
Ta phải chứng minh: AC. BD =
AB. DC + AD. BC
Thật vậy.
Lấy E BD sao cho BAC =
EAD
DAE CAB (g. g)

AD DE
AC BC
=
C
O
B
D
A

Chứng minh mỗi điểm của hình H đề có tính chất đã cho.
B ớc 3: Kết luận
b. Ví dụ 1 :
Cho hình vuông ABCD, tâm O.
Một đờng thẳng xy quay quanh
O cắt hai cạnh AD và BC lần lợt
tại M và N. Trên CD lấy điểm K
sao cho DK = DM. Gọi H là
hình chiếu của K trên xy. Tìm
quỹ tích điểm H.
2
1
2
1
l
K
H
N
O
B
A
D
C
M
Chứng minh:
Phần thuận:
Ta có CN = AM (tính chất đối xứng tâm)
Vì DK = DM (GT) nên CK = AM
CK = CN
Lại có MHKD và NHKC nội tiếp (vì có hai góc đối vuông)

;
DOC = 90
0
nên HOCD nội tiếp
DHM = DCO = 45
0
Mặt khác DKM = 45
0
nên DHM = DKM
HKDM nội tiếp KHM = 90
0

KH NM
H là hình chiếu của K trên MN.
Kết luận:
Vậy quỹ tích của điểm H là nửa đờng tròn đờng kính CD, nửa đờng tròn
này nằm trong hình vuông.
Bài tóan 5 . Chứng minh tứ giác nội tiếp đ ờng tròn để dựng hình.
a. Ví dụ:
Cho tam giác ABC nhọn (AB <
AC), điểm D di động trên cạnh
BC. Vẽ DE AB, DF AC.
Xác định vị trí của điểm D để:
a/ EF có độ dài nhỏ nhất.
b/ EF có độ dài lớn nhất.
a
M
O
F
E

1. Cho ABC nhọn nội tiếp (O). Gọi M là một điểm trên cung ABC. Vẽ MD
BC; ME AC; MF AB. Xác định vị trí của M để EF có độ dài lớn
nhất.
- 16 -

III Kết quả thu đ ợc
Sau chuyên đề Phơng pháp tứ giác nội tiếp tôi đã tiến hành dạy cho các
đối tợng học sinh, đã thu đợc kết quả nh sau:
1. Đối với đội tuyển học sinh giỏi của trờng THCS
Kết quả bài kiểm tra cuối chuyên đề của 5 học sinh.
Phơng : 9 Hoa : 8,5
Tiền : 8,5 Huyền : 6
Đức : 7
2. Đối với học sinh lớp 9A.
Sĩ số : 42 Số lợng bài làm : 42
Điểm 9 - 10 : 11 Điểm 7 - 8 : 21
Điểm 5 6 : 9 Điểm 1 4 : 1
IV bài học kinh nghiệm
Qua việc nghiên cứu và tiến hành dạy thử nghiệm chuyên đề đồng thời tôi
có lấy ý kiến của học sinh. Thấy đợc:
+ Bản thân tôi nắm rõ ràng hệ thống kiến thức về tứ giác nội tiếp.
+ Học sinh hiểu rõ và khắc sâu kiến thức hơn.
Vì vậy, các chuyên đề tiếp theo tôi đã đa ra và yêu cầu học sinh dựa vào
cách học nh vậy tự nghiên cứu trớc ở nhà hoặc thảo luận nhóm nhỏ sau đó tôi sẽ
hoàn chỉnh giúp các em trong các buổi học chuyên đề.
Nh vậy, học sinh đã từ học thụ động giờ có thể chủ động hình thành tri thức
bằng cách tự học.
- 17 -

C. Kết luận