UBND HUYỆN HOÀI NHƠN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Đề chính thức

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2015 – 2016
MÔN: TOÁN 7
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)
(Đề gồm 01 trang)

Bài 1: (4,0 điểm)
a) So sánh: 17 + 26 + 1 và 99 .
b) Chứng minh:

1
1
1
1
1
+
+
+ .... +
+
> 10 .
1
2
3
99
100


Bài 2: (4,0 điểm)
a) Một số nguyên tố p chia cho 42 có số dư r là hợp số. Tìm hợp số r.
2
b) Tìm số tự nhiên ab sao cho ab = (a + b)3
Bài 3: (6,0 điểm)



z 

x 

y







a) Cho x; y; z ≠ 0 và x – y – z = 0. Tính giá trị biểu thức B = 1 − ÷1 − ÷1 + ÷
x
y
z
b) Cho

3x − 2 y 2 z − 4 x 4 y − 3z
x y z
=
=

điểm D sao cho AD = HC. Chứng minh rằng đường thẳng DH đi qua trung điểm của đoạn thẳng
AC.

Ghi chú: Học sinh không được sử dụng các loại máy tính.
Họ và tên thí sinh:.............................................................SBD:............
Họ tên và chữ ký giám thị 1:......................................................................
Họ tên và chữ ký giám thị 2:......................................................................


HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN – TOÁN 7 – NĂM HỌC 2015 – 2016
Câu

Nội dung

So sánh: 17 + 26 + 1 và 99
Ta có: 17 > 16; 26 > 25 => 17 + 26 + 1 > 16 + 25 + 1 = 4 + 5 + 1 = 10
a)
Mà 10 = 100 > 99
Vậy: 17 + 26 + 1 > 99 .
1
1
1
1
1
+
+
+ .... +
+
> 10
1

1
1
+
+
+ .... +
> 100.
= 10
Suy ra:
1
2
3
100
100
1
1
1
1
+
+
+ .... +
> 10
Vậy:
1
2
3
100

Bài1: (4,0 điểm)

Chứng minh:

0,5đ

0,5đ

Cho S = 1 − + − + ... +

1
1
1
1
1
+
+
+ ... +
+
1008 1009 1010
2014 2015
1
1
1
1
1   1 1
1
1 
 1 1
=  1 + + + ... +
+
+
+ ... +
+

÷
1006 1007 1008
2014 2015   2 4 6
2012 2014 
 2 3

0,5đ

1,0đ

1 1 1
1
1
1
= 1 − + − + ...... +
−
+
= S.
2 3 4
2013 2014 2015
2016
Do đó ( S − P ) = 0

0,5đ

Một số nguyên tố p chia cho 42 có số dư là r là hợp số. Tìm hợp số r.

2,0đ

Vì p chia cho 42 có số dư là r nên: p = 42k + r (0 < r < 42, k, r tự nhiên)

Vậy số cần tìm là: ab = 27




z 

x 

y







Cho x; y; z ≠ 0 và x–y–z = 0. Tính giá trị biểu thức B = 1 − ÷1 − ÷1 + ÷
x
y
z
z 



x 

y

x−z y−x z+ y

=
=
Ta có:
4
3
2
16
9
4

Bài 3: (6,0 điểm)

Suy ra: B =

2,0đ
0,5đ
1,0đ
0,5đ
2,0đ
0,5đ

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
b)

4(3x − 2 y ) 3(2 z − 4 x) 2(4 y − 3 z ) 4(3 x − 2 y ) + 3(2 z − 4 x) + 2(4 y − 3 z )
=
=
=
=0
16

3
=
=
− 1 ( x ≠ 2)
x−2
x−2
x−2

M nhỏ nhất 

3
nhỏ nhất  x – 2 lớn nhất và x – 2 < 0
x−2

0,75đ

2,0đ
0,5đ
1,0đ

 x lớn nhất và x < 2  x = 1 (vì x nguyên)

Bài 4: (3,0 điểm)

Khi đó GTNN của M là: M =

a)

3
− 1 = −4 khi x = 1

b)

AC
2

1,0đ

·
Ta có: ·ABH = 900 − xAy
= 300 (∆ABH vuông tại H).
Xét hai tam giác vuông ∆ABH và ∆BAK, có:

0,25đ

· = ·ABH (= 300 )
AB: Cạnh chung; zAx

0,5đ

⇒ ∆ABH = ∆BAK ⇒ BH = AK
AC
AC
(cmt ) ⇒ BH =
2
2
Chứng minh: ΔKMC đều

Mà: AK =

Ta có: ∆AMC vuông tại M có MK là trung tuyến ứng với cạnh huyền


0,25đ

=> AI = AB và ·AIB = ·ABC = 2. ·ACB
·
·
·
Mặt khác: ·AIB = ·ACB + IAC
=> IAC
= ACB
Do đó: IA = IC < HC hay AB < HC = AD
Gọi K là giao điểm của DH với AC.
Vì AD = HC, AB = IC nên BD = HI = HB => ∆DBH cân tại B
1·
·
·
·
= BHD
= ABC
= ACB
Do đó: BDH
2
·
·
·
·
·
Suy ra: KHC
(phụ hai góc bằng nhau)
= ACB