www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh
Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ ThayTungToan
ELIP VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
GV: Nguy n Thanh Tùng
I. KI N TH C C
S
ng trình t c c a elip) tr
c tiên
.c
om
/g
ro
up
s/
Ta
iL
bo
ok
D a trên các ki n th c c b n này, k t h p v i các bài toán tr c các b n đã đ c tìm hi u, s giúp ta gi i
quy t d dàng các l p bài toán liên quan t i elip. C th :
+) Khi g p bài toán “Tìm đi m thu c ( E ) th a mãn đi u ki n (*) cho tr c ” thì v c b n ta c n thi t l p
x2 y2
1 M ( a sin t ; b cos t ) .
a2 b2
+) Khi g p bài toán “Vi t ph ng trình chính t c c a elip (E)” c n c t ngh a chính xác d ki n c a bài toán
d a trên các ki n th c c b n liên quan t i elip và tính đ i x ng c a elip (elip nh n hai tr c t a đ làm hai tr c
đ i x ng và g c t a đ làm tâm đ i x ng).
w
w
theo m t n. Ví nh : M ( E ) :
II. CÁC VÍ D M U
Ví d 1. Trong m t ph ng t a đ Oxy , vi t ph
b ng
ng trình chính t c c a elip ( E ) bi t r ng ( E ) có tâm sai
5
và hình ch nh t c s c a ( E ) có chu vi b ng 20 .
3
1
a 2 b2
và 2.(2 a 2b ) 20 a b 5 b 5 a (v i 0 a 5 )
2
5
Khi đó ta có: a b c a (5 a )
ho c a 15 (lo i)
a
a2
a
a
3 18 45 0 3
2
2
V i a 3 b 2 . V y ph
2
ng trình chính t c c a elip ( E ) là:
x2 y 2
1
9
ie
up
s/
c
3
MF1 a a x0 5 5 x0
Cách 1: G i M ( x0 ; y0 ) , suy ra
MF a c x 5 3 x
0
0
2
a
5
uO
2
iL
2
Ta
ng trình Elip ( E ) :
5
5
.fa
ce
bo
ok
V y M (5; 0)
Cách 2:
w
w
w
x02 y02
x02 y02
M
E
(
)
1
1 (1)
4
3 3
ng th ng qua M c t E t i hai đi m A, B sao cho MA 2MB .
Ví d 3. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho elip ( E ) :
đ
ng trình
Tham gia các khóa h c môn Toán c a Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng trên HOCMAI.VN
t tin chinh ph c thành công kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh
Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ ThayTungToan
Gi i:
x02
y02 1 x02 4 y02 4 0 (1)
4
+) Do M n m trong ( E ) nên t MA 2 MB
+) G i B ( x0 ; y0 ) ( E )
(2 2 x0 ) 2
+) Mà A ( E )
(2 2 y0 )2 1 x02 4 y02 2 x0 8 y0 4 0 (2)
2
B ;
x0 ; y0
x0 4 y0 2 x0 8 y0 4 0
5
5 5 5
01
2
2
x A 2 x0
x A 2 2 x0
3
3
MA 2 MB
A(2 2 x0 ; 2 2 y0 )
y A 2 2 y0
y 2 2 y 2
0
ng trình tham s c a ( E ) :
nên g i A 2 2 sin t; 2 cos t
y 2 cos t
om
2 2 sin t 2 2 cos t
ce
Khi đó h d ( A, )
bo
ok
.c
+) Ph
3
2 2 sin t cos t
3
sin t 1 t 4 k 2
4
3
+) V i t
+) V i t k 2 A 2; 2
k 2 A 2; 2
4
4
V y A 2; 2 ho c A 2; 2 .
Bài 1. Trong m t ph ng t a đ Oxy , vi t ph
đ
ng trình chính t c c a elip ( E ) có tâm sai b ng
3
và đ dài
3
ng chéo hình ch nh t c s b ng 2 5 .
Gi i:
+) G i ph
ng trình chính t c c a elip ( E ) có d ng:
Tâm sai e
c
3
a2
.
c2
a
3
3
(2a ) 2 (2b) 2 2 5 a 2 b 2 5 b 2 5 a 2
+) Khi đó a 2 b 2 c 2 a 2 5 a 2
x2 y 2
1 và M (1; 1) . M t đ
8
4
th ng d đi qua M c t ( E ) t i A, B sao cho MA.MB l n nh t. Tìm t a đ A, B .
Gi i:
+) M (1; 1) thu c mi n trong c a ( E ) nên d luôn c t ( E ) t i A, B
ng trình
ng
s/
Ta
iL
ie
uO
Bài 2. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho elip ( E ) có ph
up
x 1 mt
ng th ng d có d ng:
(1 mt )2 (1 nt )2
1 m 2 2n 2 t 2 2(m 2n)t 5 0
8
4
5
Theo h th c Vi – et ta có: t1t2 2
a 2b 2
5(m 2 n 2 )
2
2
2
2
+) Khi đó MA.MB mt1 nt1 . mt2 nt2 m 2 n 2 t1t 2 2
m 2n2
5
m2
2 2
m n2
w
w
m2
m2
,
do
x2 y2
A 6; 1
A 6; 1
1 x2 6
x 6
ho
c
.
4
8
y
1
y
1
B 6; 1
B 6; 1
Tham gia các khóa h c môn Toán c a Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng trên HOCMAI.VN
t tin chinh ph c thành công kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh
Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ ThayTungToan
Bài 3. Trong m t ph ng t a đ Oxy . L p ph
ng trình chính t c c a elip trong m t ph ng Oxy bi t đi m
8 1
M ;
thu c elíp và tam giác F1MF2 vuông t i M , trong đó F1 , F2 là hai tiêu đi m c a elíp.
3 3
Gi i:
+) G i ph
x2
y2 1
4
uO
ng trình chính t c c a elip ( E ) c n l p là:
ng trình chính t c c a elip ( E ) bi t r ng elip ( E ) có hai tiêu
ie
V y ph
c: b 2 3 8b 2 3 b 2 3 b2 b 4 1 b 2 1 a 2 4
hi
D
+) Thay (2) vào (1) ta đ
nT
2
2
đi m F1 và F2 v i F1 3; 0 và có m t đi m M thu c ( E ) sao cho tam giác F1MF2 vuông t i M và có di n
s/
tích b ng 1 .
ng trình chính t c c a elip ( E ) có d ng:
/g
ro
+) G i ph
up
Gi i:
x2 y2
1 v i a b 0
a 2 b2
om
w
Ta có S F1MF2
1
.fa
2
w
1
ce
bo
ok
.c
8
ng trình chính t c c a elíp đi qua đi m M 1;
và tiêu đi m
2
c a elip nhìn tr c nh v i m t góc 600 .
Tham gia các khóa h c môn Toán c a Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng trên HOCMAI.VN
t tin chinh ph c thành công kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh
Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ ThayTungToan
Gi i:
x2 y2
1 v i a b 0
a 2 b2
G i F1 (c; 0) là tiêu đi m c a ( E ) và B1 (0; b), B2 (0; b) là hai đ nh thu c tr c nh c a ( E )
+) G i ph
ng trình chính t c c a elip ( E ) có d ng:
0
y2 1
4
hi
D
x2 y2
1. Gi s F1 , F2 là hai tiêu đi m
8
4
c a elip, trong đó F1 có hoành đ âm. Tìm t a đ đi m M trên ( E ) sao cho MF1 MF2 2 .
ng trình
ie
iL
Ta
up
s/
+) ( E ) có ph
Gi i:
a 2 2
x2 y2
ng trình
bo
ok
.c
+) Khi đó MF1 MF2 2 2 x0 2 x0 2
2; 3 ho c M
.fa
2; 3 .
w
V y M
ce
y 3
x2
25 9
c a b 4
Tham gia các khóa h c môn Toán c a Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng trên HOCMAI.VN
t tin chinh ph c thành công kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh
Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ ThayTungToan
4
4
c
c
MF1 a a x0 5 5 x0 ; MF2 a a x0 5 5 x0
+) G i M ( x0 ; y0 ) ( E ) 2
v i x0 0
2
x0 y0 1 (*)
25 9
2
2
4
4
4
ng chu n x
a
a2
a2
8 a 2 8c
e
c
c
x2 y 2
1.
32 16
s/
ng trình chính t c c a elip là:
up
+) Suy ra ph
Ta
iL
;
;
;
,M
;
.
4
4
4
4
4
4
4
4
w
w
.fa
ce
a 5
x2 y 2
MF1 MF2 F1 F2 2a 2c
+) T ( E ) :
1 b 3
pMF1F2
ac 9
25 9
2
2
2
2
c a b 4
4
+) Suy ra di n tích tam giác MF1 F2 là: S MF1 F2 pr 9. 12
3
S MF1F2 12
1
hoành đ âm.
Gi i:
+) G i ph
ng trình chính t c c a elip ( E ) c n l p là:
x2 y2
1 v i a b 0
a 2 b2
a x0 a
G i M ( x0 ; y0 ) ( E )
cx0 a c MF1 a c
MF
a
1
a
Suy ra đ dài MF1 l n nh t b ng : a c 8 (1)
hi
D
nT
x2 y2
1 . Vi t ph
Ta
V y ph
a a 2 16 8
a c 8
a 5
c:
b 4
b 4
b 4
s/
T (1) và (2) ta đ
ai
H
oc
01
x02 x02
a
b
om
/g
ro
x
y
1 (*) y02 2 y0 1;0;1 (vì y0 )
8
2
+) V i y0 1 thay vào (*) ta đ c: x0 2 (th a mãn)
G i M ( x0 ; y0 ) ( E )
bo
ok
Suy ra 4 đi m có t a đ nguyên trên ( E ) là: M 1 (2;1), M 2 (2; 1), M 3 (2;1), M 4 (2; 1)
w
w
w
.fa
ce
+) T ( E ) : y 2 1 b 1
e
9
3
a
2
2
c a b 2 2
MF a ex0
+) G i M ( x0 ; y0 ) ( E ) 1
MF2 a ex0
MF 3MF2
MF1 3MF2 0
T gi thi t ta có: 1
MF1 3MF2 MF2 3MF1 0
MF2 3MF1
MF2 3MF1 0
10 MF1.MF2 3 MF12 MF22 0 16MF1.MF2 3 MF1 MF2 0
16 a ex0 . a ex0 3. 2a 0 16( a 2 e 2 x02 ) 12a 2
01
2
+) M t khác M ( E ) y02 1
a2
x 2
4e
2
0
ai
H
oc
2
up
s/
Ta
iL
ie
9 2 46
9 2
9 2 46
9 2
46
46
V y M
c l i s giúp gi i bài toán ng n g n h n r t nhi u, mà ví
om
/g
ro
trong nhi u tr ng h p, vi c bi n đ i theo chi u ng
d trên là m t đi n hình.
ng chu n c a ( E ) là 6. L p ph
bo
ok
gi a hai đ
.c
Bài 13. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho đi m M 3;1 , đ
ng elip ( E ) đi qua đi m M và kho ng cách
ng trình chính t c c a ( E ) .
(1)
2
6 a 3c a 9c 9(a b ) b
e
c
9
3 1
+) M t khác M 3;1 ( E ) 2 2 1 (2)
a b
Thay (1) vào (2) và rút g n ta đ c: a 4 12a 2 36 0 a 2 6 b 2 2
V y ph
ng trình ( E ) c n l p là:
x2 y 2
1
6
2
Tham gia các khóa h c môn Toán c a Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng trên HOCMAI.VN
t tin chinh ph c thành công kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Ta có chu vi hình ch nh t c s : 4(a b) 12 2 3 a b 3 2 3
(1)
+) Không m t tính t ng quát gi s đ nh B (0; b) và hai tiêu đi m F1 (c; 0), F2 (c;0) t o thành tam giác đ u
b2
Do BF1 F2 luôn cân t i B , nên BF1 F2 đ u khi BF1 F1F2 BF F1 F2 c b 4c c
3
2
x2 y 2
1
36 27
hi
D
bo
ok
( E ) có hai tiêu đi m F1 3;0 , F2
om
ng trình chính t c c a elip ( E ) có d ng:
.c
+) G i ph
2
nT
ng trình chính t c c a elip ( E ) c n l p là:
1
A 3; . L p ph
2
2
1
x2 y2
1 v i a b 0
a2 b2
3; 0 , suy ra c 3
ce
+) Khi đó a 2 b 2 c 2 3 a 2 b 2 3 ( E ) :
x2
y2
1
b2 3 b2
ng trình chính t c c a ( E ) là :
w
V y ph
w
4
2
2
c
c
c
c
Khi đó P a x0 a x0 3 x02 y02 a x0 a x0
a
a
a
a
Tham gia các khóa h c môn Toán c a Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng trên HOCMAI.VN
t tin chinh ph c thành công kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh
Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ ThayTungToan
a2
y0 4 3 1
0
0
0
0
0
0
2
a
4
4
V y P 1 .
Bài 16. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho elip ( E ) có ph
ng trình
x2 y 2
1 v i hai tiêu đi m F1 , F2
9
5
舞
(hoành đ c a F1 âm). Tìm t a đ đi m M thu c elip sao cho MF1 F2 = 60 0
2
F1 (2;0)
2
1 2
1 2
nT
2
ai
H
oc
ng trình
hi
D
+) ( E ) có ph
01
Gi i:
2
3 5 5
3 5 5
75
ie
uO
2
2
2
3
3 x0 3 x0 42 2. 3 x0 .4.cos 60 0 4 x0 3 x0
3
3
3
4
Oxy , cho đ
ng tròn (C ) : x 2 y 2 8 . Vi t ph ng trình chính
t c elip ( E ) , bi t r ng ( E ) có đ dài tr c l n b ng 8 và ( E ) c t (C ) t i b n đi m t o thành b n đ nh c a m t
hình vuông.
om
/g
ro
+) (E) có đ dài tr c l n b ng 8 2a 8 a 4
+) (E) c t (C ) t i b n đi m phân bi t t o thành b n đ nh c a m t hình vuông nên 4 đ nh n m trên hai đ
phân giác thu c góc ph n t th nh t và th hai .
Ta gi s A là m t giao đi m c a (E) và (C ) thu c đ
ng
ng phân giác : y x .
+) G i A(t ; t ) ( t 0 ). Ta có: A (C ) t t 8 t 2 (vì t 0 ) A(2; 2)
2
+) Mà A ( E )
2
22 22
16
.
2 1 b2
2
4 b
3
Tham gia các khóa h c môn Toán c a Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng trên HOCMAI.VN
t tin chinh ph c thành công kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
x2 y2
1 ( v i a b 0 )
a 2 b2
Vì (E) đi qua các đ nh A, B, C, D và A Ox nên không m t tính t ng quát gi s : A( a; 0) và B (0; b) .
Mà hình thoi ABCD có AC = 2BD 2OA 4OB OA 2OB
a 2b (vì a b 0 ) hay A(2b;0) và B (0; b )
G i H là hình chi u c a O lên AB
hi
D
ng trình chính t c c a elip ( E ) :
up
ng trình chính t c c a elip ( E ) là:
om
V y ph
1
1
1
1
1
1
hay 2 2 b 2 5 a 2 4b 2 20
OH R 2 ( vì đ
iL
ie
uO
nT
G i ph
ng trình chính t c c a elip ( E ) có tâm sai b ng
3
, bi t di n
5
w
w
w
.fa
ce
bo
ok
facebook.com/ ThayTungToan
+) G i F1 (c; 0), F2 (c;0) là các tiêu đi m và B1 (0; b), B2 (0; b) là các đ nh trên tr c bé.
Suy ra F1 B2 F2 B1 là hình thoi , khi đó: S F1B2 F2 B1
2
1
1
12
F1 F2 .B1 B2 .2c.2b 2bc 24 bc 12 b
2
2
c
2
5
12
Khi đó a 2 b 2 c 2 c c 2 25c 4 1296 9c 4 c 4 81 c 3 (do c 0 )
3 c
Suy ra a 5; b 4 . V y ph
ng trình chính t c c a elip ( E ) c n l p là:
x2 y 2
1
25 16
4
ce
Vì đ
c 4
4
c a
a 5
5
.c
ng trình chính t c c a elip ( E ) có d ng:
bo
ok
+) G i ph
om
/g
ro
up
s/
25 9
Bài 21. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho elip ( E ) : 4 x 2 9 y 2 36 có hai tiêu đi m F1 và F2 v i F1 có hoành
ng trình chính t c c a elip ( E ) c n l p là:
w
V y ph
đ âm. Tìm t a đ đi m M thu c ( E ) sao cho MF12 2MF22 đ t giá tr nh nh t. Tìm giá tr nh nh t đó.
Gi i:
+) Ta có ( E ) : 4 x 2 9 y 2 36
x2 y2
1 , suy ra
9
4
a 3; b 2
c
5
e
2
2
3
3
5
5
6
81
+) Xét hàm f ( x0 ) x02
v i x0 3;3
x0
5
5
6
3
; f '( x0 ) 0 x0
3;3
5
5
nT
hi
D
ai
H
oc
01
Ta có f '( x0 ) 2 x0
4
3 4
3
V y MF12 2MF22 đ t giá tr nh nh t khi M
;
;
ho c M
.
5
5 5
5
x2 y 2
1 và đi m I (1; 2) . L p ph ng trình đ
16 9
th ng d đi qua I , c t ( E ) t i hai đi m phân bi t A, B sao cho I là trung đi m c a AB .
Gi i:
+) I (1; 2) thu c mi n trong c a ( E ) nên d luôn c t ( E ) t i A, B
ng
bo
ok
.c
om
2(9m 32n)
Theo h th c Vi – et ta có: t1 t2
9m 2 16n2
x x 2 xI
2 m(t1 t2 ) 2
+) I là trung đi m c a AB khi A B
y A yB 2 yI
4 n(t1 t2 ) 4
Tham gia các khóa h c môn Toán c a Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng trên HOCMAI.VN
t tin chinh ph c thành công kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh
Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ ThayTungToan
2m(9m 32n)
9m 2 16n 2 0
m(t1 t2 ) 0
9m 32n 0 (do m2 n 2 0 )
n(t1 t2 ) 0
2n(9m 32n) 0
9m 2 16n 2
m 32
D
thu c ( E ) sao cho tam giác ABC vuông cân t i A .
Gi i:
s/
+) Ta có B, C thu c ( E ) và tam giác ABC vuông cân t i A . M t khác A(3; 0) Ox và elip ( E ) nh n Ox, Oy
.c
om
/g
ro
up
B (m; n)
làm các tr c đ i x ng nên B, C s đ i x ng nhau qua tr c Ox . Do đó g i
v i n0
C
(
m
;
n
)
ok
m 3
m2
2
2
Suy ra
(m 3) 1 5m 27 m 36 0
12
m
9
5
+) V i m 3 n 0 (lo i)
w
w
w
12 3
12 3
B 5 ; 5
B 5 ; 5
12
3
facebook.com/ ThayTungToan
x02
Khi đó g i B ( x0 ; y0 ) C ( x0 ; y0 ) và
y02 1 v i x0 3
9
+) Ta giác ABC vuông cân t i A nên:
1
1 2
12
9
3
(do x0 3 ) y02
AH BC 3 x0 .
9 x02 x0
y0
2
2 3
5
25
5
12 3
12 3
+) Do B có tung đ d ng nên ta có: B ; và C ; .
5
5 5
5
x2 y 2
1
25
9
+) G i M ( x0 ; y0 ) ( E )
MF 5 4 x ; MF 5 4 x
0
2
0
1
5
5
Vì tam giác F1MF2 vuông t i M nên :
uO
nT
2
iL
+) ( E ) :
ng thu c ( E ) sao
hi
D
0
16
16
2
1 2
/g
2
2
om
2
1
5 7 9
5 7 9
c: M
ho c M
.
;
4 4
4 ; 4
4
i m t góc vuông và M có hoành đ d
Gi i:
ng trình chính t c c a elip ( E ) có d ng:
ng.
x2 y2
1 v i a b 1
a2 b2
ng tròn ngo i ti p hình ch nh t c s có bán kính R 34 nên a 2 b 2 34
c
a2 b2 4
2
2
2
a 5
e
25(a b) 16a
Khi đó ta có h :
c4
5 2 2
a
a
2
0
1
5
5
Vì tam giác F1MF2 vuông t i M nên :
2
MF MF F1 F
2
1
2
2
2
2
2
4
4
175
81
5 x0 5 x0 64 x02
y02
5
5
16
ai
H
oc
x2 y 2
Bài 27. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho đ ng th ng d : 3 x y 4 0 và elip ( E ) :
1 . Vi t
9
4
ph ng trình đ ng th ng vuông góc v i d và c t ( E ) t i hai đi m A, B sao cho di n tích tam giác OAB
b ng 3.
Gi i:
+)
ng th ng vuông góc v i đ ng th ng d : 3 x y 4 0 nên có d ng: x 3 y c 0
Khi đó ph ng trình hoành đ giao đi m c a và ( E ) là:
ie
4 x 2 ( x c) 2 36 5 x 2 2cx c 2 36 0 (*)
up
x2 c
x c
ng th ng c t ( E ) t i hai đi m phân bi t A x1 ; 1
, B x2 ;
3
3
Ta
iL
Ta có d c t ( E ) t i hai đi m A, B khi và ch khi (*) có hai nghi m phân bi t hay
2
c
10
, suy ra: SOAB 3
w
w
w
d (O , )
ce
x x
10
2
x2 x1 2 1
3
3
3 10
(th a mãn (2*))
2
ng th ng c n l p là 2 x 6 y 3 10 0 ho c 2 x 6 y 3 10 0 .
Bài 28. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho bi t elip ( E ) có chu vi hình ch nh t c s b ng 16 2 3 , đ ng
th i m t đ nh c a ( E ) t o v i hai tiêu đi m m t tam giác đ u. Vi t ph
t a đ và c t ( E ) t i b n đi m là b n đ nh c a m t hình vuông.
ng trình đ
ng tròn (T ) có tâm là g c
Gi i:
Tham gia các khóa h c môn Toán c a Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng trên HOCMAI.VN
t tin chinh ph c thành công kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
+) G i ph
ng trình chính t c c a elip ( E ) có d ng:
uO
ie
x2 y2
1
64 48
ng tròn (T ) có d ng: x 2 y 2 R 2
ng trình ( E ) :
up
+) Ph
2
s/
V y ph
2
b
ok
.c
om
B ( x; y )
G i A( x; y )
C ( x; y )
Khi đó hình ch nh t ABCD thành hình vuông thì AB BC 2 x 2 y x 2 y 2
ng trình đ
w
V y ph
w
w
.fa
ce
x2 y2 R2
2
R2
2
2
1 và đi m M (2;1) . Vi t ph ng trình đ ng
25 9
th ng d đi qua M c t ( E ) t i hai đi m A, B sao cho trung đi m c a đo n th ng AB n m trên đ ng th ng
: y 2x .
Bài 29. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho elip ( E ) :
Gi i:
Tham gia các khóa h c môn Toán c a Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng trên HOCMAI.VN
t tin chinh ph c thành công kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh
Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ ThayTungToan
22 12
1 nên M n m trong ( E ) , suy ra m i đ ng th ng qua M đ u c t ( E ) t i hai đi m phân bi t
25 9
+) N u d đi qua M (1; 2) và song song v i Ox hay d có ph ng trình x 1
thì trung đi m c a AB là đi m I (1; 0) không thu c đ ng th ng y 2 x (lo i)
+) Do
ng trình đ
ng th ng d đi qua M (2;1) có h s góc k có d ng: y k ( x 2) 1
Khi đó t a đ A, B là nghi m c a h :
2
1
(25k 9) x 50k (2k 1) x 25(2k 1) 225 0 (*)
25 9
+) G i A( x1 ; y1 ), B( x2 ; y2 ) . Ta có:
01
Do đó g i ph
up
s/
Ta
iL
ie
uO
nT
1
1
k
tam giác ABC , bi t ( E ) nh n A(0; 2) làm đ nh và tr c tung làm tr c đ i x ng.
om
/g
ro
Bài 30. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho elip ( E ) :
bo
ok
.c
Gi i:
+) Do ABC là tam giác đ u và A(0; 2) nên B, C đ i x ng nhau qua tr c tung
nên g i B ( x0 ; y0 ) C ( x0 ; y0 ) v i x0 0
a 3
2 y0 3x0 y0 2 3 x0 B x0 ; 2 3 x0
2
w
w
Khi đó h
1 x0
16 3 x0 0
16 3
x0
13
13
32 3
16 3 22 a 2 x0 13
1
768 3
B
S ABC ah
;
13
2
169
48
13
h 2 y0
13
V y S ABC
768 3
.
169
1
2
1
2
ai
H
oc
x02 y02
1 (*)
100 25
+) G i M ( x0 ; y0 ) ( E )
MF a c x 10 3 x ; MF a c x 10 3 x
0
0
2
0
0
1
a
a
2
2
2
2
3
3
300 200 x02 100 x02 x02 0 x0 0
2
4
2
+) Thay x0 0 vào (*) ta đ c: y0 25 y0 5
2
ie
uO
nT
hi
D
ro
( E1 ) :
w
w
w
.fa
ce
bo
ok
.c
Gi i:
Tham gia các khóa h c môn Toán c a Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng trên HOCMAI.VN
t tin chinh ph c thành công kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh
Tùng
17 8
V y M ; .
5 5
uO
nT
hi
D
x2 y 2
Bài 33. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho elip ( E ) :
1 và hai đi m A(3; 2), B (3; 2) . Tìm trên ( E )
9
4
đi m C có t a đ d ng sao cho di n tích tam giác ABC l n nh t.
Gi i:
+) Ph ng trình đ ng th ng AB là: 2 x 3 y 0
ie
x02 y02
1
9
4
2 x 3 y0
1
om
/g
2
.c
2
.fa
ce
bo
ok
x02 y02
3 2
1
3 2
3 2
9
x0
4
+) D u “=” x y ra khi :
i m t góc vuông và hình ch nh t c s c a ( E ) n i ti p đ
ng tròn có ph
ng trình
x 2 y 2 20 .
Gi i:
x2 y2
+) G i ph ng trình chính t c c a elip ( E ) là 2 2 1 v i a b 0
a
b
1
0
Do F
nên OM F1 F2 OM c 2 a 2 b 2 4 (1)
1MF2 90
2
+) Hình ch nh t c s c a ( E ) n i ti p đ ng tròn : x 2 y 2 20 a 2 b 2 20 (2)
Tham gia các khóa h c môn Toán c a Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng trên HOCMAI.VN
t tin chinh ph c thành công kì thi THPTQG s p t i !
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh
MF1 MF2 F1 F2
x2 y2
+) Ta có ( E ) :
1 b 3
p
9
25 9
2
2
2
c a b 4
4
2.9.
1
2 pr
3 3 y y 3
Khi đó S MF1 F2 pr d ( M , Ox ).F1F2 d ( M , Ox )
M
M
F1 F2
2
8
01
Bài 35. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho elip ( E ) :
+) M t khác M ( E ) xM 0 . V y M (0;3) ho c M (0; 3) .
iL
đi m M , sao cho M nhìn hai tiêu đi m c a ( E ) d
Gi i:
ng trình chính t c c a elip ( E ) đi qua
nT
Bài 36. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho đi m M 2 3; 2 . Vi t ph
Gi i:
w
w
w
.fa
ce
bo
ok
.c
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
GV: Nguy n Thanh
Tùng
HOCMAI.VN
facebook.com/ ThayTungToan
x02
2
y0 1
G i A( x0 ; y0 ) ( E ) 4
v i x0 (2; 2)
B( x ; y )
0
0
1
1
Khi đó S ABC d (C , AB ). AB 2 x0 . 2 y0 (2 x0 ) y0
2
2
x02 (2 x0 )3 (2 x0 )
2
2 2
2
(1)
S ABC (2 x0 ) . y0 (2 x0 ) . 1
4
4
M t khác áp d ng B T Cauchy ta có:
2
A 1; 3 , B 1;
2
3
2
ie
3
2
up
N CÁC B N Ã QUAN TÂM !
w
w
w
.fa
ce
.
2
2
2
2
uO
nT
hi
D
ai
H
oc
01
4
GV: Nguy n Thanh Tùng
Copyright: Tài liệu đại học ©