Lê Trung Kiên

THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội
ÔN TẬP KIẾN THỨC ÔN THI ĐẠI HỌC

I, Khảo sát hàm số và các vấn đề liên
quan
1.Bảng các đạo hàm
x n ′ = n.x n −1
u n ′ = n.u n −1.u ′

( )

( )

( x ) ′ = 2 1x

( u ) ′ = 2u′u

1
 1 ′
 ÷ =− 2
x
x
( x ) ′ = 1 , c′ = 0 ,

u′
 1 ′
 ÷ =− 2
u
u

( tan x ) ′ = 2
( tan u ) ′ = 2
cos x
cos u
1
u′
( cot x ) = − 2
( cot u ) ′ = − 2
sin x
sin u
2. Xét dấu biểu thức.
• Định lý về dấu của nhị thức
bậc nhất y = f ( x ) =ax + b ( a ≠ 0 )
x
y

−∞
af ( x ) < 0

−

b
a
0

+∞
af ( x ) > 0

• Định lý về dấu của tam thức bậc
2


( k.u ) ′ = k.u′
( uv ) ′ = u′v + uv′

+∞

−∞

x
y

af ( x ) > 0

y

0

af ( x ) < 0

0

•

Định lý vi-et: Khi phương trình
bậc hai
2
ax + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) có hai nghiệm
b

 x1 + x 2 = − a


Nếu PT 3 vuông góc với đường
1
thẳng y = ax + b thì f ′ ( x 0 ) = −
a
• Nếu PT 3 tạo với trục 0x một góc
α thì f ′ ( x 0 ) = ± tan α
• Nếu PT 3 cắt hai trục tọa độ tạo
thành một tam giác vuông cân thì
f ′ ( x 0 ) = ±1
4. Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số
• Tìm tập xác định của hàm số
• Tính đạo hàn f ′ ( x ) , tìm các

điểm x i ( i = 1, 2...n ) mà tại đó đạo hàm
bằng không hoặc không xác định.
• Sắp xếp x i theo thứ tự tăng dần
và lập bảng biến thiên.
• Nêu các kết luận về sự đồng biến
nghịch biến của hàm số
5. Quy tắc 1 tìm cực trị hàm số
• Tìm tập xác định của hàm số
• Tính f ′ ( x ) , tìm các

điểm x i ( i = 1, 2...n ) mà tại đó đạo hàm
bằng không hoặc không xác định.
• Sắp xếp x i theo thứ tự tăng dần
và lập bảng biến thiên
• Từ bảng biến thiên suy ra các
điểm cực trị của hàm số.

trên một khoảng, nửa khoảng ta có thể
lập bảng biến thiên của hàm số trên
khoảng, nửa khoảng đó và từ đó kết
luận. Không phải hàm số nào cũng có
GTLN, GTNN.
8. Đường tiệm cận
• Đường tiệm cân ngang: y = y 0 là
tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
y = f ( x ) nếu: lim f ( x ) = y 0
x →±∞

• Đường tiệm cận đứng: x = x 0 là
tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
= ±∞
y = f ( x ) nếu xlim
→x ±
0

9. Sơ đồ khảo sát hàm số

• Tìm tập xác định của hàm số.
• Xét chiều biến thiên của hàm số
+Tìm y’
+Tìm các điểm tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc
không xác định
+Xét dấu y’ và suy ra chiều biến thiên của
hàm số (đồng biến,ngịch biến).
• Tìm cực trị
• Tìm giới hạn và tiệm cận (nếu có).
• Lập bảng biến thiên

sin 2 x + cos 2 x = 1
1
1
1 + tan 2 x =
,1 + cot 2 x =
2
cos x
sin 2 x
sin x
cos x
t anx =
, cot x =
, tan x cot x = 1
cos x
s inx
2.Công thức cộng lượng giác
sin ( a ± b ) = sin a cos b ± cos a sin b
cos ( a ± b ) = cos a cos b msin a sin b

t ana ± tan b
1 mtan a tan b
3.Công thức cung nhân đôi
sin 2a = 2sin a cos a
tan ( a ± b ) =

cos2a = cos 2a − sin 2 a = 2 cos 2 a − 1
= 1 − 2sin 2 a
2 tan a
tan 2a =
1 − tan 2 a

2
5. Công thức cung nhân ba
sin 3a = 3sin a − 4sin 3 a;
cos 2 a =

cos3a = 4 cos 3 a − 3cos a
6.Công thức biến đổi tổng thành tích
a+b
a−b
cos a + cos b = 2cos 
÷cos 
÷
 2 
 2 
a+b a−b
cosa- cos b = −2sin 
÷sin 
÷
 2   2 
a+b
a −b
sin a + sin b = 2sin 
÷cos 
÷
 2 
 2 
a+b a −b
sin a − sin b = 2cos 
÷sin 
÷

− tan α cot α
tan
− cot α
− cot α tan α
cot
9.Phương trình sinx=a
• a > 1 phương trình vô nghiệm
sin α = a

• a ≤ 1 có góc α :  π
π
 − 2 ≤ α ≤ 2
Được gọi là arcsin a
sin f ( x ) = sin g ( x )
f ( x ) = g ( x ) + k2π
⇔
,k∈¢
f ( x ) = π − g ( x ) + k2π

https://sites.google.com/site/letrungkienmath

− sin α
−cosα
tan α
cot α


Lê Trung Kiên
•


1
3
2
−
-1
−
−
2
2
2
π
π
π
π
6
4
3
2
0
0
0
0
0
30
45
60
900
sin
1
2

π
π
π
0
6
4
3
2
0
0
0
0
0
30
45
60
900
cos
1
3
2
1
0
2
2
2

https://www.facebook.com/letrungkienmath

THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội

tan f ( x ) = tan g ( x )
•
⇔ f ( x ) = g ( x ) + kπ, k ∈ ¢
Góc

•
Góc

tan

Bảng tan các góc đặc biệt
π
3
−600
−

− 3

π
4
−450

−

−1

π
6
−300
− 3

Góc

⇔ f ( x ) = g ( x ) + kπ, k ∈ ¢

https://sites.google.com/site/letrungkienmath


Lê Trung Kiên
•
Góc

THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội

Bảng cot các góc đặc biệt
π
π
π
π
6
4
3
2
0
0
0
30
45
60
900
3

−

−1

- 3

III, Số phức

• Số phức Z = a + bi , a là phần
thực của Z, b là phần ảo của Z, i là số

i 2 = −1

• Mô đun của số phức Z = a + bi
được tính bởi công thức

Z = a 2 + b2
• Cho số phức Z = a + bi thì số
phức Z = a − bi được gọi là số phức liên
hợp của Z = a + bi
• Cho Z1 = a + bi, Z2 = c + di

Z1 ± Z2 = ( a ± c ) + ( b ± d ) i

Z1Z2 = ( ac − bd ) + ( ad + bc ) i
Z2 ( ac + bd ) ( ad − bc )
= 2
+ 2
i
Z1

v
( s inx ) ′ = cos x

( ku ) ' = k. ( u ) '

( )

.

( )

( sin u ) ′ = cos u. ( u ) ′

( cos x ) ′ = − s inx ( cos u ) ′ = − sin u.( u ) ′
1
cos 2 x
1
( cot x ) ′ = − 2
sin x
x
x
(e )'=e

( t anx ) ′ =

(a )'=a
x

x



α

= a α bα

a loga b = b
log a ( a α ) = α

( x)′ =1

lg b = log b = log10 b

https://www.facebook.com/letrungkienmath

a

u )'=

u'
u ln a

α

aα
a
=
 ÷
bα
b
3. Các công thức Loogarít

( ab )

bậc hai của a là: ±i a

là: x =
1,2

1
1
 ÷' = − 2
x
x
1
x '=
2 x
( u + v ) ' = u '+ v '

ln a = log e a;

https://sites.google.com/site/letrungkienmath


Lê Trung Kiên

THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội

log a ( b1b 2 ) = log a b1 + log a b 2
b 
log a  1 ÷ = log a b1 − log a b 2
 b2 

Dạng 1: A.a 2x + B.a x + C = 0 đặt
t = a x ( t > 0 ) phương trình trở thành
A.t 2 + Bt + C = 0
Dạng 2:
x
A.a 2x + B ( ab ) + C.b 2x = 0
2x

x

a
a
⇔ A.  ÷ + B  ÷ + C = 0
b
b
x

a
Đặt t =  ÷ ( t > 0 )
b
Dạng 3:
A.a x + B.b x + C = 0 với ab = 1
x
hoặc a x .b x = 1 ta đặt t = a ( t > 0 ) . Khi
1
x
đó b =
t
• Loogarít hóa
https://www.facebook.com/letrungkienmath

log a f (x) = log a g(x) ⇔ 
f ( x ) > 0
f (x) = g(x)
⇔
g ( x ) > 0
• Đặt ẩn phụ
Dạng 1:
A(log a x) 2 + B ( log a x ) + C = 0
đặt t = log a x ⇔ At 2 + Bt + C = 0 ,
chú ý ( log a b ) = log a2 b
2

Dạng 2:
A log a x + Blog x a + C = 0 đặt

https://sites.google.com/site/letrungkienmath


Lê Trung Kiên
t = log a x ⇔ log x a =
•

THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội
1
( x > 0, x ≠ 1)
t

Mũ hóa
log a b = c ⇔ b = a c
• Dùng tính đơn điệu

ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) ( 2 ) có hai nghiệm
b
c
x1 ; x 2 thì x1 + x 2 = − , x1x 2 =
a
a
• Nếu hai số u, v có tổng S=u+v và
tích P=uv thì u và v là các nghiệm
của phương trình x 2 − Sx + P = 0
• (2) có hai nghiệm phân biệt
a ≠ 0
⇔
∆ > 0 ( ∆ ' > 0 )
• (2) có hai nghiệm trái dấu ⇔ ac < 0
2
2
2
2
( A + B + C ) = A + B + C + 2AB + 2BC + 2AC• (2) có hai nghiệm cùng âm
a ≠ 0
A 2 − B2 = ( A − B ) ( A + B )

∆ ≥ 0 ( ∆ ' ≥ 0 )
3
3
2
2
⇔
( A ± B ) = ( A ± B) ( A mAB + B )
 x1 x 2 > 0

2
∆ = b – 4ac
a n x n + a n −1x n −1 + ...a1x + a 0 = 0 với các
b

Kết luận
2
p
 ∆ ' = b ' − ac, b ' = ÷
hệ số nguyên có nghiệm hữu tỉ
thì p
2

q
(2) có hai nghiệm
∆>0
là ước của a 0 và q là ước của a n
phân biệt
( ∆ ' > 0)
Dạng 2: Phương trình trùng phương
x1,2=
b)Bất phương trình lôgarit
• a>1
f (x) ≤ g(x)
log a f (x) ≤ log a g(x) ⇔ 
f (x) > 0
• 0 < a 0

d x


b 1
Đặt t = x + × phương trình trở thành
d x
phương trình bậc hai.
Dạng 4: Phương trình:
( x + a ) ( x + b ) ( x + c ) ( x + d ) = m , với
a + b = c + d . Biến đổi phương trình về
dạng:
 x 2 + ( a + b ) x + ab   x 2 + ( c + d ) x + cd  = m
2
Đặt t = x + ( a + b ) x + ab biến đổi về
phương trình bậc hai.
Dạng 5: Phương trình:
( x + a ) ( x + b ) ( x + c ) ( x + d ) = mx 2 với
a.b = c.d . Biến đổi phương trình về:

 x 2 + ( a + b ) x + ab   x 2 + ( c + d ) x + cd  = mx 2

xét x = 0 ; x ≠ 0 chia hai vế cho x 2 ta
có :
ab  
cd 

 x + ( a + b ) + x   x + ( c + d ) + x  = m

ab
biến đổi phương trình về

2

g(x) ≥ 0
f(x) = g(x) ⇔ 
 f(x) = ±g(x)
g(x) ≥ 0
⇔
2
2
( f(x) ) = g ( x )
5. Phương trình chứa ẩn dưới dấu
căn.
Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu
căn thông thường ta bình phương hai vế
của phương trình, khi bình phương hai
vế của phương trình ta cần chú ý điều
kiện hai vế cùng lớn hơn hoặc bằng 0
g(x) ≥ 0
f(x) = g(x) ⇔ 
2
f(x) = g ( x )
f(x) ≥ 0
f ( x) = g ( x) ⇔ 
f(x) = g(x)

(

(

)

trừ từng vế của phương trình cho nhau,
bao giờ cũng phân tích được thành nhân
tử ( x − y )

x
y

8. Hệ phương trình đẳng cấp:
Phương trình đẳng cấp bậc hai có dạng:
a1x 2 + b1xy + c1 y 2 = d1
 2
2
a 2 x + b 2 xy + c 2 y = d 2
Cách giải:
• Cách 1: Đặt x = ty tìm t và giải
phương trình.
• Cách 2: Chuyển phương trình về
dạng
2
Ax + Bxy + Cy 2 = 0
Xét y = 0 thay vào phương trình
Xét y ≠ 0 chia 2 vế của phương trình ta
x
được phương trình bậc hai với
y
9. Định lý về dấu của nhị thức bậc
nhất:
y = f ( x ) =ax + b ( a ≠ 0 )
x


x −∞
x1
x2
x=

y

af ( x ) > 0

0

af ( x ) < 0

0

•
+∞

af ( x ) > 0

∆
b
2

∆ = b − 4ac  ∆′ = ( b′ ) − ac = , b′ = ÷
4
2

+) Nếu +) Nếu ∆ < 0 ( ∆′ < 0 ) phương
trình y = 0 vô nghiệm.


+∞

11. Bất phương trình chứa ẩn trong
dấu giá trị tuyệt đối
g(x) > 0
• f(x) < g(x) ⇔ 
 −g(x) < f(x) < g(x)

10. Định lý về dấu của tam thức bậc
2
hai: y = ax + bx + c ( a ≠ 0 )

x
y

−∞

af ( x ) > 0

+) Nếu ∆ = 0 ( ∆′ = 0 ) phương trình y=0
b
có nghiệm kép x1,2 = −
2a

12. Bất phương trình chứa ẩn trong
căn

https://www.facebook.com/letrungkienmath



•

VI, Tích Phân và ứng dụng
1. Bảng các nguyên hàm- tích phân
• Các nguyên hàm cơ bản
α
∫ x dx =

xα +1
+ C, α ≠ −1, α ∈ ¡
α +1

1

∫ xdx = ln x + C , ∫ dx = x + c ,
1

∫x

2

dx = −

1
+C
x

1
2

1 (ax + b)
α +1

∫ (ax + b) dx = a
α

α +1

∫

+ C, α ≠ −1, α ∈ ¡

https://www.facebook.com/letrungkienmath

dx =

ax + b

dx

dx =

1 ax + b
e
+C
a

α ax + b
+ C , α > 0, α≠ 1
a ln α

∫ sin (ax + b)dx = − a co t(ax + b) + C

2

∫ e dx = e
•

1

∫x

x

sin(ax + b)
+C
a

2

dx = tan x + C

∫ co t xdx = ln sin x + C

+C

∫ cos (ax + b)dx = a tan(ax + b) + C

2

∫ tan xdx = − ln cos x + C

dx
1
x−a
=
ln
+C
2
2a
x+a
−a
dx
1
a+x
=
ln
+C
2
2a
a−x
−x
dx

x ±p
2

dx
a 2 − x2

= ln x + x2 ± p + C
= arcsin

b

ϕ( b )

b

ϕ( a )

I = ∫ f ( ϕ ( x ) ) .ϕ′ ( x ) dx =
Chú ý:

∫ f ( t ) dt

t = ϕ ( x ) ⇒ dt = ϕ′ ( x ) dx

g(t) = ϕ ( x ) ⇒ g′ ( t ) dt = ϕ′ ( x ) dx

• Phương pháp đổi biến số
dạng 2.
b

I = ∫ f ( x ) dx

• Diện tích S của hình phẳng giới
hạn bởi đồ thị của hàm số y = f ( x ) liên tục
và trục hoành,x=a; x=b (a
a
x=
sin t

•

Phương pháp tích phân từng
phần
b
b b
udv
=
uv
− vdu
∫a
a ∫a
Chú ý:
 u = f ( x )
du = f ′ ( x ) dx
⇒


dv = g ( x ) dx  v = ∫ g ( x ) dx
P(x)cosx
dx P(x)sinx

∫

u
dv

lnx
P(x)dx

https://www.facebook.com/letrungkienmath

a

•

Hàm số y = f ( x ) − g ( x ) không

đổi dấu trên đoạn [ a; b ] thì :
b

∫
a

b

f ( x ) − g ( x ) dx = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx
a

• Thể tích V của khối tròn xoay
khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị
hàm số y = f (x) trục 0x và hai đường
thẳng x=a, x=b xung quanh trục 0x được
b

2
tính: V = π f ( x ) dx



Lê Trung Kiên

1
Sxq = πrl,Stp = πrl + πr 2 , V = πr 2 h
3
2
2
2
·
Chú ý: l = h + r . Góc ASB được gọi
là góc ở đỉnh của hình chóp.
• Hình, khối trụ tròn xoay

Sxq = 2πrl;Stp = 2πrl + 2πr 2 ; V = πr 2 h
Chú ý: l=h
• Hình, khối cầu.
4
S = 4πr 2 , V = πr 3
3
Chú ý:
+ Để tính diện tích,thể tích các
hình, khối nhiều khi ta phân chia hoặc
thêm các hình, khối để được hình,khối
mới có diện tích, thể tích dễ tính hơn.
+ Với những bài toán về tính thể tích
khối chóp đôi khi ta sử dụng định lý:
Cho hình chóp S.ABC. Trên các tia SA,
SB, SC ta lấy các điểm A’, B’, C’ khi đó:

nếu mặt cầu đó tiếp xúc với tất cả các
mặt của hình đa diện, mặt cầu đgl ngoại
tiếp hình đa diện nếu tất cả các đỉnh của
hình đa diện đều nằm trên mặt cầu.
• Một hình chóp có mặt cầu ngoại
tiếp khi và chỉ khi đáy có đường tròn
ngoại tiếp, tâm mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp là giao của đường thẳng qua tâm
đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy, vuông
góc với mặt phẳng đa giác đáy và mặt
phẳng trung trực của một cạnh bên.
4. Các hình thường gặp:
• Hình chóp là hình có đáy là một
đa giác và đỉnh là một điểm không nằm
trên mặt phẳng chứa đáy. Tùy theo đáy
là tam giác, tứ giác… mà ta gọi là hình
chóp tam giác, hình chóp tứ giác…
• Hình chóp được gọi là hình chóp
đều nếu nó có đáy là đa giác đều và có
chân đường cao trùng với tâm của đáy.
• Hình chóp cụt là hình tạo bởi
thiết diện song song với đáy cắt các cạnh
bên của hình chóp và đáy.
• Hình chóp cụt đều là hình chóp
cụt hình thành do cắt hình chóp đều.
• Hình tứ diện là hình chóp tam
https://sites.google.com/site/letrungkienmath


Lê Trung Kiên

• Hình lăng trụ đứng có đáy là
hình vuông các mặt bên đều là hình
vuông được gọi là hình lập phương.
Chú ý: Đa giác đều là đa giác có các
cạnh và các góc bằng nhau.
5. Các kiến thức về quan hệ vuông góc
• Để chứng minh một đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng ta chứng minh
nó vuông góc với hai đường thẳng cắt
nhau nằm trong mặt phẳng
• Hai mặt phẳng vuông góc khi
mặt phẳng này chứa một đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng kia. Hai mặt
phẳng vuông góc thì đường thẳng nào
nằm trong mặt này vuông góc với giao
tuyến sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.
• Cách xác định khoảng cách từ
một điểm đến một mặt phẳng
https://www.facebook.com/letrungkienmath

THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội
+) Để tính khoảng cách từ một điểm
M xuống mặt phẳng (P) ta thực hiện:
B1: Chọn trong (P) một đường
thẳng a và dựng mặt phẳng (Q) qua M
và vuông góc với a
B2: Xác định giao tuyến b của (Q)
và (P).
B3: Dựng MH vuông góc với b thì
MH là khoảng cách từ M đến (P).

A ( x A ; y A ) , B ( x B ; y B ) , C(x C ; y C ) .
Tọa độ trung điểm I của AB, trọng
tâm G của tam giác ABC được tính
theo công thức.
x + xB + xC
xA + xB


xG = A

 x I =

3
2
, 

 y = yA + yB
 y = y A + yB + yC
I

 G
2
3
3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
https://sites.google.com/site/letrungkienmath


Lê Trung Kiên

THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội

(x

− xA ) + ( yB − yA )
2

B

2

r
r
r
Cho a và b đều khác véc tơ 0
a1 .b1 + a2 .b2
rr
c
os
a;
b =
thì ta có:
a12 + a22 . b12 + b22
•

( )

4. Phương trình tham số của đường
thẳng.
• Đường thẳng ∆ qua điểm
M ( x 0 ; y0 )
r

Hai đường thẳng song
song có cùng VTCP
6.
Hai đường thẳng vuông
góc thì VTPT của đường này là
VTCP của đường thẳng kia.
7.
Phương trinh các trục
tọa độ:
x = t
x = 0
0x : 
; 0y : 
y = 0
y = t
5. Phương trình tổng quát của đường
thẳng
• Phương trình ∆ : ax+by+c=0 (2)
đgl
phương trình tổng quát của đường thẳng
• Đường thẳng ∆ qua điểm
M ( x 0 ; y0 )
r
có VTPT n = ( a; b ) thì ∆ có phương
trình tổng quát
∆ : a ( x − x 0 ) + b ( y − y0 ) = 0
•

Một số chú ý:
r

THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội

Phương trình ∆ : ax+by+c=0 , nếu
∆ P∆ ' thì phương trình
∆ ' : ax+by+m=0 , m ≠ c
6.
Hai đường thẳng vuông
góc thì VTCP của đường này là
VTPT của đường thẳng kia.
7.
Phương trình các trục
tọa độ:
0x : y = 0; 0y : x = 0
6. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Xét hai đường thẳng:
∆1: a1x + b1y + c1 = 0 và ∆2: a2x + b2y +
c2 = 0
Tọa độ giao điểm của ∆1 và ∆ 2 là
nghiệm
của
hệ
:
 a1 x + b1y + c1 = 0
a x + b y + c = 0 (I )
 2
2
2
• ∆1 cắt ∆2 ⇔ (I) có 1 nghiệm
• ∆1 // ∆2 ⇔ (I) vô nghiệm

d ( M; ∆ ) = 0
a 2 + b2
d ( M;0x ) = y0 ; d ( M;0y ) = x 0

9. Phương trình đường tròn
• Phương trình đường tròn (C) tâm
I(a; b), bán kính R:
(x – a)2 + (y – b)2 = R2
• Phương trình đường tròn (C) tâm
O(0; 0), bán kính R: x2 + y 2 = R2
Phương trình:
x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0
2
với a + b2 – c > 0 là phương trình
đường tròn tâm I(a; b), bán kính R =
a2 + b2 − c .

• Cho (C) có tâm I(a; b), M(x0; y0) ∈
(C). Phương trình tiếp tuyến với (C) tại
M0(x0; y0):
(x0–a)(x–x0) + (y0–b)(y–y0)=0
• Nhận xét :
∆ là tiếp tuyến của (C) ⇔ d(I, ∆) = R
10. Phương trình Elip
Cho 2 điểm cố định F1, F2 và một độ dài
không đổi 2a lớn hơn F1F2.
M ∈ (E) ⇔ F1M + F2M = 2a
F1, F2: các tiêu điểm
F1F2 = 2c: Tiêu cự .
Phương trình

r r
a + b = (a1 + b1; a2 + b2 ; a3 + b3 )
r r
a − b = (a1 − b1; a2 − b2 ; a3 − b3 )
r
ka = k (a1; a2 ; a3 ) = (ka1; ka2 ; ka3 ) (k ∈ R)

( x − a)

a = b
r r  1 1
• a = b ⇔ a2 = b2
a = b
 3
3
r r
• Với b ≠ 0 :
rr
a , b cuøng phöông
 a1 = kb1

⇔ ∃k ∈ R : a2 = kb2
 a = kb
 3
3

uuur
AB = ( x B − x A ; y B − y A ; z B − z A )

xA + xB + xC


r r
a ⊥ b ⇔ a1b1 + a2 b2 + a3b3 = 0
3. Tích có hướng của hai véc tơ
•

r

+ ( y − b) + ( z − c) = R 2
2

2

A ( x − x 0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0

là trung điểm AB, G là trọng tâm của tam giác ABC
thì ta có:

rr
cos(
a
,b) =
•

2

r
M(x 0 ; y 0 ; z 0 ) có VTPT n = ( A; B;C ) là

A ( x A ; yA ; zA ) , B ( x B ; yB ; z B ) , C ( x C ; yC ; zC ) M

• Phương trình mặt cầu tâm
I ( a; b;c ) bán kính R là:

r

Cho a ( a1 ;a 2 ;a 3 ) và p b = ( b1 ; b 2 ; b3 ) .

rr a a a a a a 
a; b  =  2 3 ; 3 1 ; 1 2 ÷
 
 b 2 b3 b3 b1 b1 b 2 
https://www.facebook.com/letrungkienmath

Chú ý:
r
.VTPT là véc tơ ≠ 0 có giá vuông góc với mặt
phẳng,
. Nếu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì
VTCP của đường thẳng là VTPT của mặt phẳng
. Mặt phẳng qua A, B , C thì nó có một VTPT

r uuur uuur
n =  AB; AC 

.Hai mặt phẳng song song có cùng VTPT
. Phương trình mặt phẳng đặc biệt.

( 0xy ) : z = 0; ( 0yz ) : x = 0; ( 0xz ) : y = 0 6.

Phương trình đường thẳng

. Hai đường thẳng song song thì có cùng VTCP.
. Phương trình đường thẳng đặc biệt:

x = t
x = 0
x = 0



0x :  y = 0; 0y :  y = t ; 0z :  y = 0
z = 0
z = 0
z = t



https://sites.google.com/site/letrungkienmath


Lê Trung Kiên

THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội

7. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
•

Khoảng cách từ M ( x 0 ; y0 ; z o )

đến mặt phẳng ( α ) :Ax + By + Cz + D = 0 là


• cos ( d;d ' ) = cos u d ; u d '
r r
• cos ( ( α ) ; ( β ) ) = cos n ( α ) ; n ( β )
r r
• sin ( d; ( α ) ) = cos u d ; n α

(

(

(

)

)

)

9. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
• Để xét vị trí tương đối của hai
đường thẳng

 x = x 0 + u1t
r

d :  y = y 0 + u 2 t , có VTCP u = ( u1 ; u 2 ; u 3 ) , qua
z = z + u t
0
3


z = z 0 + u 3 t
 Ax + By + Cz + D = 0
-Nếu hệ phương trình vô nghiệm thì d song song
( α)
-Nếu hệ phương trình có vô số nghiệm thì d nằm
trong ( α )
-Nếu hệ phương trình có một nghiệm thì d cắt
( α)

 x = x '0 + u '1 t '
r

d ' :  y = y '0 + u '2 t ' ,có VTCP u ' = ( u '1 ; u '2 ; u '3 )
z = z ' + u ' t '
0
3

ta làm theo các bước:

r
r
 u ' = ku
Bước 1. Nếu 
thì d trùng d’
 M ∈ d '
r
r
 u ' = ku
Nếu 
thì d song song với d’.

Pn = n ( n − 1) ...2.1 = n!
4. Chỉnh hợp
Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n ≥ 1) . Kết quả
của việc lấy k phần tử của tập hợp A và sắp xếp
chúng theo mộ thứ tự nào đó đgl một chỉnh hợp
chập k của n phần tử đã cho.
Ta kí hiệu số các chỉnh hợp chập k của n phần tử
n!
k
là: A n =
( n − k) !
5. Tổ hợp
Giải sử tập hợp A có n phần tử ( n ≥ 1) . Mỗi tập
con gồm k phần tử của A đgl một tổ hợp chập k
của n phần tử đã cho.
Ta kí hiệu số các tổ hợp chập k của n phần tử là :
n!
C kn =
k!( n − k ) !

THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội

( ab )

α

= a α bα

α



n ( A ) : Số phần tử của A; n ( Ω ) : số các kết quả
xảy ra của một phép thử.
• P ( ∅ ) = 0, P ( Ω ) = 1
•
•

0 ≤ P ( A) ≤ 1

A, B xung khắc:
P ( A ∪ B) = P ( A ) + P ( B)

( )

•

P A = 1− P ( A)

•

A và B là hai biến cố độc lập:
⇔ P ( A.B ) = P ( A ) .P ( B )

C kn = C nn −k ; Ckn −−11 + C kn −1 = C kn
6. Công thức nhị thức Niu-Tơn
n
( a + b ) = C0n a n + C1n a n −1b + ... + Cnk a n − k bk + ...
n

+C nn −1ab n −1 + C nn b n = ∑ C kn a n − k b k