§ 5. KHOẢNG CÁCH
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng
Hoạt động 1: Hình thành khái niệm khoảng cách từ một điểm đến một
đường thẳng, đến một mặt phẳng
Ta đã biết khoảng cách giữa hai điểm A và
B là độ dài của đoạn thẳng AB, đó là độ dài
ngắn nhất nối hai điểm A và B.
Cho điểm O và đường thẳng a. Gọi M là
điểm bất kì trên a, hãy xác định vị trí của M
trên a sao cho khoảng cách từ O đến M là
ngắn nhất ?
Hình 3.1
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên
đường thẳng a, với mọi điểm M nằm trên a,
ta luôn luôn có OH  OM (vì ∆OMH vuông
tại H) và OM = OH  M  H.
Như vậy, với vị trí điểm M là hình chiếu của
O trên a thì OM ngắn nhất.
Tương tự, cho điểm O và mặt phẳng (P). Gọi
M là điểm bất trên (P), hãy xác định vị trí
của M sao cho khoảng cách từ O đến M là
ngắn nhất ?
Hình 3.2
Gọi H là hình chiếu của O trên mặt phẳng
(P), với mọi điểm M  (P), ta luôn luôn có
OH  OM (vì ∆OMH vuông tại H) và OH = OM  M  H. Như vậy, với vị trí của
M là hình chiếu của O trên (P) thì OM ngắn nhất.
Từ đó ta có định nghĩa sau:
ĐỊNH NGHĨA 1
a) Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho điểm O và đường thẳng a. Gọi H là hình chiếu của O trên a. Khi đó độ dài


Hướng dẫn
a) Ta xác định hình chiếu của S trên CD, ∆SCD cân tại S nên nếu gọi I là trung
điểm của CD thì SI  CD  d(S, CD) = SI
a 3
a 3
. Vậy d(S, CD) =
∆SCD là tam giác đều : SI 
.
2
2
b) Ta xác định hình chiếu của S trên (ABCD), vì S.ABCD là hình chóp đều và O là
tâm của mặt đáy  SO  (ABCD)  d(O, (ABCD)) = SO.
a 2
a 2
. Vậy d(S, (ABCD)) =
.
∆SOC vuông tại O : SO  SC 2  OC 2 
2
2
c) Ta xác định hình chiếu của O trên (SCD). Ta có mp(SOI)  mp(SCD) (vì trong
(SCD) có CD  (SOI)), (SOI)  (SCD) = SI, từ O dựng OK  SI  OK  (SCD)
 d(O, (SCD)) = OK.
2


a 6
1
1
1

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với
Hình 3.4
nhau. Gọi A và B là hai điểm tùy ý trên (Q) và
/
/
A , B lần lượt là hình chiếu của A và B trên (P),
tương tự ta luôn luôn có AA/ = BB/  d(A, (P))
= d(B, (P)). Như vậy, d(A, (P)) không phụ thuộc
vào vị trí của điểm A trên (Q).
Ta có định nghĩa :
ĐỊNH NGHĨA 2
a) Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt
phẳng song song
Hình 3.5
Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P).
Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) là khoảng cách từ một điểm
bất kì của a đến (P), kí hiệu là d(a, (P)).
a // (P) : d(a, (P)) = d(A, (P)), A  a.
b) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q) là khoảng cách từ một
điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia, kí hiệu d((P), (Q)).
(P) // (Q) : d((P), (Q)) = d(A, (P)), A  (Q).
∆SOI vuông tại O :

3


Nhận xét
1. Để tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai
mặt phẳng song song, đều qui về việc tính khoảng cách từ một điểm đến

 BA/  (ADC/B/)); (ADC/B/)  (BA/C/) = C/K (K
4
Hình 3.7c


là tâm hình vuông ABB/A/), dựng AH  C/K  AH  (BA/C/)  d(AC, (BA/C/))
AH
AK
a 3
= AH. ∆AHK  ∆C/B/K :
.

 AH 
C' B' C' K
3
b) Ta có (ACD/) // (BA/C/) (vì AC // A/C/ và AD/ // BC/).
a 3
.
Từ điểm A trên (ACD/), ta có AH  (BA/C/)  d((ACD/), (BA/C/)) = AH =
3
3. Đường vuông góc chung và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Hoạt động 3: Hình thành khái niệm đường vuông góc chung giữa hai
đường thẳng chéo nhau.
Giả sử có hai đường ống nước nằm vị trí chéo nhau, người ta muốn nối thông hai
đường ống nước đó với nhau. Hỏi đường ống thứ ba để nối chúng lại với nhau nên
nối như thế nào sao cho tiết kiệm nhất ?
Như vậy, ta tìm hai vị trí lần lượt nằm trên mỗi ống nước sao cho đoạn ống nối hai
vị trí đó là ngắn nhất.

Hình 3.8a

đường thẳng  và  / cùng thỏa mãn điều kiện của bài toán thì  /  (Q)   //  /
và khi đó hai đường thẳng a và b cùng nằm trong mp(,  /), điều này trái với giả
thiết là a và b chéo nhau. Vậy    /.
ĐỊNH NGHĨA 3
a) Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
Đường thẳng  cắt hai đường thẳng a, b chéo nhau và cùng vuông góc với mỗi
đường thẳng ấy được gọi là đường vuông góc chung của a và b. Nếu đường
vuông góc chung  cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b lần lượt tại M và N thì
đoạn thẳng MN gọi là đoạn vuông góc chung của a và b
b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung
của hai đường thẳng đó. Kí hiệu d(a, b).
Nhận xét
1) Cách tìm đường vuông góc chung của hai đường
thẳng chéo nhau a và b.
- Tìm một mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng b
và song song với a.
- Tìm hình chiếu a / của a trên (Q) bằng cách:
Lấy một điểm A tùy ý trên a, dựng AH  (Q),
từ H dựng đường thẳng a / song song với a (a /
là hình chiếu của a trên (Q)), đường thẳng a /
cắt b tại N.
Hình 3.10a
6


- Từ N dựng đường thẳng  song song với AH cắt a tại M thì  là đường vuông
góc chung cần dựng. Đoạn thẳng MN là đoạn vuông góc chung của a và b.
2) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa đường
thẳng này và mặt phẳng song song với nó, chứa đường thẳng kia.


SD a 2
a 2

. Vậy d(AB, SC) =
.
2
2
2
Nhận xét: Nếu bài toán chỉ yêu cầu tính khoảng cách giữa AB và SC thì ta chỉ
cần tính AK, nghĩa là tính khoảng cách giữa AB và mặt phẳng chứa SC song
song với AB (không cần phải dựng đoạn vuông góc chung của AB và SC).
b) Cách 1:
– Ta tìm mặt phẳng chứa đường này và
song song với đường kia : Gọi E là trung
điểm của SA và O là tâm của hình vuông thì
OE // SC  (EBD) chứa BD và song song
với SC.
- Tìm hình chiếu của S trên (EBD) : (SAC)
 (EBD) (vì BD  AC, BD  SA  BD 
(SAC), BD  (EBD)), (SAC)  (EBD) =
OE, từ S kẻ SF  OE thì SF  (EBD).
- Từ O dựng đường thẳng song song với SF
cắt SC tại H thì OH là đoạn vuông góc
chung của BD và SC
Hình 3.11b
Cách 2:
- Ta tìm mặt phẳng chứa SC và song song
với BD : Từ C dựng đường thẳng song
song với BD cắt AB, AD lần lượt tại M

Nhận xét: Trong trường hợp nếu BD  SC, ta có cách dựng đường vuông góc
chung như sau:
- Dựng một mặt phẳng chứa SC và vuông góc với BD (ở đây là (SAC)).
- Dựng giao điểm O của BD và (SAC).
- Trong (SAC) dựng OH  SC thì OH là đoạn vuông góc chung của BD và SC.

Tính OH: ∆COH  ∆CSA :

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
1. Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào đúng ?
a) Đường thẳng ∆ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng a và b nếu ∆
vuông góc với a và ∆ vuông góc với b.
b) Gọi (P) là mặt phẳng song song với cả hai đường thẳng a, b chéo nhau. Khi đó
đường vuông góc chung ∆ của a và b luôn luôn vuông góc với (P).
c) Đường thẳng ∆ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và
b thì ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng (a, ∆) và (b, ∆).
d) Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Đường thẳng nào đi qua một điểm M
trên a đồng thời cắt b tại N và vuông góc với b thì đó là đường vuông góc chung
của a và b.
e) Đường vuông góc chung ∆ của hai đường thẳng chéo nhau a và b nằm trong
mặt phẳng chứa đường này và vuông góc với đường kia.
Hướng dẫn
a) Câu a là câu sai vì ta chỉ có khái niệm đường
vuông góc chung của hai đường thẳng chéo
nhau. Hơn nữa, đường vuông góc chung phải
cắt cả hai đường thẳng chéo nhau đó.
b) (P) // a, (P) // b   a /, b /  (P) : a / // a, b / //
b, a / và b / cắt nhau (vì a và b chéo nhau). Mà ∆
 a, ∆  b  ∆  a / , ∆  b /  ∆  (P). Do
đó câu b là câu đúng.

Vậy ba đường thẳng AH, SK và BC đồng quy.
b) - Ta có SC  BK (gt), do đó ta chứng minh SC  BH.
BH  AC (gt), BH  SA  BH  (SAC)  BH  SC, BK  SC  SC  (BHK).
- Cách 1:
Ta chứng minh HK vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (SBC).
SC  ( BHK )  SC  HK 
  HK  ( SBC )
BC  ( SAI )  BC  HK 
Cách 2:
Ta thấy HK là giao tuyến của (SAI) và (BHK), ta chứng minh (SAI) và (BHK)
cùng vuông góc với (SBC).
10


Vì SC  (BHK), SC  (SBC)  (BHK)  (SBC) (1).
BC  (SAI), BC  (SBC)  (SAI)  (SBC) (2).
(BHK)  (SAI) = HK (3). Từ (1), (2) và (3)  HK  (SBC).
c) Ta có AI  BC (cmt), AI  SA (SA  (ABC)  AI)  AI là đường vuông góc
chung của BC và SA.
3. Cho hình lập phương ABCD.A/B/C/D/ cạnh a. Chứng minh rằng các khoảng
cách từ các điểm B, C, D, A/, B/, D/ đến đường chéo AC/ đều bằng nhau. Tính
khoảng cách đó.



Hình 3.14a

Hình 3.14b

Hướng dẫn

thì I là tâm của tam giác đều A/BD. Ta có DI, BI và A/I cùng vuông góc với AC/ và
BD a 2 a 6


là khoảng cách từ A/, B, D đến AC/.
DI = BI = A/I =
3
3
3
/
Tương tự, AC là trục của tam giác đều CB/D/ có
cạnh bằng a 2 . Gọi K là giao điểm của AC/ và
(CB/D/) thì K là tâm của tam giác đều CB/D/. Ta
a 6
là khoảng cách từ
có CK = B/K = D/K =
3
C, B/, D/ đến AC/.
4. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A/B/C/D/ có
AB = a, BC = b, CC/ = c.
a) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng
(ACC/A/).
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BB/
và AC/.

Hình 3.14d



Hình 3.15a

d(B,(ACC/A/))= BK =
.
a 2  b2
5. Cho hình lập phương ABCD.A/B/C/D/ cạnh a.
a) Chứng minh rằng B/D  (BA/C/).
b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (BA/C/) và (ACD/).
c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC/ và CD/.



Hình 3.16a
Hình 3.16b
Hướng dẫn
a) Cách 1:
Ta chứng minh B/D vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (BA/C/).
BA/  AB/ (hai đường chéo của hình vuông), BA/  AD (vì AD  (ABB/A/))  BA/
 (AB/D)  BA/  B/D (1).
Tương tự BC/  (CDB/)  BC/  B/D (2). Từ (1) và (2)  B/D  (BA/C/).
Cách 2:
Ta có B/B = B/A/ = B/C/ = a và DB = DA/ = DC/ = a 2  B/D là trục của
∆BA/C/  B/D  (BA/C/).
b) Cách 1:
Ta có (BA/C/) // (ACD/), do đó khoảng cách giữa hai mặt phẳng trên bằng khoảng
cách từ một điểm trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. Ta có thể chọn điểm A
trên (ACD/) và tính d(A, (BA/C/)).

13


Vì B/D  (BA/C/)  (AB/D)  (BA/C/), (AB/D) 

6. Cho hình lăng trụ ABC.A/B/C/ có tất cả các cạnh đều bằng a. Góc tạo bởi cạnh
bên và mặt phẳng đáy bằng 300. Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng
(A/B/C/) thuộc đường thẳng B/C/.
a) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy.
b) Chứng minh rằng hai đường thẳng AA/ và B/C/ vuông góc với nhau, tính
khoảng cách giữa chúng.



Hình 3.17a

Hình 3.17b
14


Hướng dẫn
a) Ta xác định góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy. Vì AH  (A/B/C/) và H 
B/C/  HA/ là hình chiếu của AA/ trên (A/B/C/), do đó góc giữa cạnh bên và mặt

phẳng đáy bằng góc 
AA' H  300 .
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy bằng độ dài đoạn AH.
a
∆AA/H vuông tại H: AH = AA/sin300 = .
2
a 3

b) ∆AA/H vuông tại H: A/H = AA/cos300 =
2
A/H là đường cao của tam giác đều A/B/C/  A/H 

15


8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và AB = 2a, BC = a.
Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng a 2 .
a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng đáy (ABCD).
b) Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD; K là điểm bất kì thuộc
đường thẳng AD. Chứng minh rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng EF và SK
không phụ thuộc vào K, hãy tính khoảng cách đó theo a.



Hình 3.19a

Hình 3.19b

Hướng dẫn
a) Vì các cạnh bên hình chóp bằng nhau nên hình chiếu của S trên (ABCD) là tâm
O của hình chữ nhật ABCD  d(S, (ABCD)) = SO.
a 5
∆ABC vuông tại B : AC  AB 2  BC 2  a 5  OA =
.
2
2

a 5
a 3
.
∆SOA vuông tại O : SO  SA  OA  a 2  
 






2

16