Phát triển tư duy học sinh khá, giỏi qua bài toán tìm tọa độ trọng tâm
và mô men quán tính của vật rắn”

A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

1. Lý do khách quan:
Trong bối cảnh hiện nay, chất lượng giáo dục đang là vấn đề được toàn xã
hội quan tâm. Giáo dục Việt nam cũng đã và đang nỗ lực đổi mới nhằm phát huy
tính tích cực, chủ động trong học tập của học sinh, tạo nên những thế hệ có khả
năng hiểu biết sâu sắc về lí luận và từ đó vận dụng linh hoạt lí luận vào thực tế.
Để đạt được mục tiêu trên thì ở cấp T.H.P.T, Vật lí là một trong những môn học
đóng vai trò quan trọng. Ngoài việc cung cấp cho học sinh những kiến thức phổ
thông cơ bản, có hệ thống của ngành, nó còn rèn luyện cho học sinh những kỹ
năng như: Kỹ năng quan sát, kỹ năng dự đoán, kỹ năng phân tích, tổng hợp, kỹ
năng ứng dụng… Tuy nhiên, thực tế vẫn tồn tại những hạn chế về dạy và học
trong nhà trường, đó là mới chỉ dừng lại ở chỗ làm sao cho học sinh thuộc công
thức để làm được một số bài tập dạng phổ biến trong các sách và đề thi. Tất yếu
xảy ra là các em hoàn toàn bế tắc khi gặp đề thi mang tính mở.
2. Lý do chủ quan
Trong chương trình vật lí 12- Ban Khoa học tự nhiên, “Động lực học vật
rắn” là phần mới và khó (mới được đưa vào chương trình năm 2008). Nhưng
đây cũng là phần có nhiều bài tập hay có thể giúp học sinh khá, giỏi đào sâu suy
nghĩ và phát triển tư duy logic. Mấu chốt để giải bài toán về “vật rắn” là phải
tìm được tọa độ trọng tâm (điểm đặc biệt) và mô men quán tính (đại lượng giữ
nhiệm vụ quan trọng) trong chuyển động của vật rắn. Tuy nhiên, lí thuyết về
hai vấn đề này trong sách giáo khoa Vật lí 12 ban nâng cao chưa được chú trọng
nhiều lắm, chủ yếu thiên về trình bày để người đọc thừa nhận kết quả.Trong khi
đó, tài liệu tham khảo viết riêng cho “vật rắn” lại rất hiếm. Thế nhưng, thực tế
trong những năm gần đây, những vấn đề liên quan đến trọng tâm và mô men
quán tính lại có mặt ở các câu “chốt” trong các đề thi tuyển sinh, học sinh giỏi

12A2 năm học 2010-2011; học sinh lớp 12A4; 12A8 ;12A9 năm học 2011-2012
trường THPT Bỉm sơn. Thị xã Bỉm Sơn.
IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Phương pháp quan sát sư phạm.
- Phương pháp nêu vấn đề trong giảng dạy
- Phương pháp thống kê, tổng hợp, so sánh.

Giáo viên: Phạm Thị Hiền – Trường THPT Bỉm Sơn

2


Phát triển tư duy học sinh khá, giỏi qua bài toán tìm tọa độ trọng tâm
và mô men quán tính của vật rắn”

B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI

- Xây dựng một hệ thống kiến thức lý thuyết đầy đủ, gọn gàng, sâu sắc.
- Các bài tập mang tính phổ biến, tổng quát được sắp xếp từ dễ đến khó.
- Trong quá trình giảng dạy nên luôn luôn coi trọng việc phát triển tư duy
cho học sinh từ vấn đề đơn giản đến vấn đề phức tạp để tập kĩ năng khái quát,
phân tích, tổng hợp các vấn đề.
- Chỉ ra sự liên hệ và ứng dụng lí thuyết vào thực tế cuộc sống.
II. THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI

* Đặc điểm tình hình của nhà trường:
Trường THPT Bỉm Sơn là trường có bề dày kinh nghiệm, thành tích trong
công tác giảng dạy các đội tuyển học sinh giỏi cấp tỉnh, quốc gia cũng như ôn


%

12A2

Số
bài
kiểm
tra
42

0

0

10

23,8

20

12A4

44

1

2,3

13


SL

%

SL

47,7

8

19

4

9,5

18

38,7

10

22,7

3

6,8

20


i

- Nếu O  G thì rG = 0   mi ri  0  m1 GA1  m2 GA2  ......  mn GAn  0
- Lưu ý: Nếu trọng trường là đều thì g i = g j nên khối tâm trùng với trọng tâm.
* Xét với vật rắn có khối lượng M, khối lượng riêng  :
dm =  dV=  dxdydz thì khối tâm G được xác định bởi đẳng thức:
r
uur
ur
uur  rdm
rG  dm   r.dm  rG

dm


Nếu   const thì rG =

r

  rdxdydz
M

 rdxdydz
V

- Lưu ý: Khi vật rắn đồng tính và có tâm đối xứng thì khối tâm của vật rắn
là tâm đối xứng.
1.2. Mô men quán tính của vật rắn đối với một trục quay cho trước.


Ví dụ 1: Xác định tọa độ trọng tâm của các vật đồng chất có khối lượng là
 trên một đơn vị phân bố tương ứng có hình dạng như sau

a. Đoạn dây hình cung, bán kính R, chắn góc  . Áp dụng cho đoạn dây nửa
đường tròn bán kính R.
b. Bản phẳng hình quạt bán kính R, góc ở tâm  . Áp dụng cho bản bán
nguyệt bán kính R.
c. Hình quạt cầu bán kính R, góc ở tâm là 2  . Áp dụng cho nửa hình cầu
bán kính R.
Hướng dẫn: Với bài toán này giáo viên cần hướng dẫn cụ thể cách phân
tích vi phân chiều dài dl; vi phân diện tích dS (xem như có dạng hình chữ nhật);
vi phân thể tích dV (xem như có dạng hình hộp chữ nhật). Nhận xét do khối
lượng phân bố đều trên các vi phân tương ứng để chỉ ra vi phân dm nhằm giúp
học sinh quen dần cách lập biểu thức tính tích phân .

Giáo viên: Phạm Thị Hiền – Trường THPT Bỉm Sơn

5


Phát triển tư duy học sinh khá, giỏi qua bài toán tìm tọa độ trọng tâm
và mô men quán tính của vật rắn”

Giải tóm tắt:
a) Tọa độ trọng tâm của cung tròn
+ Do tính chất đối xứng nên vị trí khối tâm G của đoạn dây nằm trên trục Ox
+ Xét phần tử vi phân chiều dài rất bé
có độ dài và khối lượng tương ứng là

d

m 
m
2

R

 .R cos.d    cos.d 
2



2 R sin




2

2

+ Áp dụng cho đoạn dây nửa đường tròn     xG 


2 ( với m   . .R )

2R



b) Tọa độ trọng tâm của hình quạt.


1
 .r 2 dr.  cos .d 

m0



4.R sin
3


2

1
2

(với m   R 2 )

2

+ Áp dụng cho hình bán nguyệt     xG 

4R
3

c) Tọa độ trọng tâm của hình quạt cầu.
+ Biện luận như câu a. Trọng tâm nằm trên trục Ox

Giáo viên: Phạm Thị Hiền – Trường THPT Bỉm Sơn

 r dr  cos  .d


0
R





 cos.d





 r .dr  cos .d  d
2

0





R4
sin 2
( 
)2sin 
3R

tâm tổng, hình nào cần tìm công thức tính tọa độ trọng tâm thành phần).
Giải tóm tắt:
a. Tấm bìa mỏng hình chữ nhật …
+ Nhận thấy miếng bìa còn lại là sự ghép
của một hình chữ nhật kích thước a.1,5a
và một hình vuông cạnh a/2 với trọng tâm
tương ứng lần lượt là G1 và G2
Giáo viên: Phạm Thị Hiền – Trường THPT Bỉm Sơn

7


Phát triển tư duy học sinh khá, giỏi qua bài toán tìm tọa độ trọng tâm
và mô men quán tính của vật rắn”

+ Trục tọa độ Ox như hình vẽ. Tọa độ trọng tâm của miếng bìa còn lại
xG 

m1 x1  m2 x2 S1 x1  S2 x2 (0,5a)2 (a) 2  (0,5a) 2
5



a  0,16a
2
2
m1  m2
S1  S2
1,5a  (0,5a)
14

 R2
R2  r 2

( Do khối lượng phân bố đều trên diện tích nên mi : Si )
c. Khối đồng chất một bán cầu và một khối trụ ghép với nhau …
+ Nhận thấy để hệ đứng ổn định thì trọng tâm của các khối

x

đó phải có vị trí thấp hơn vị trí tâm O của khối cầu.
+ Trục đối xứng là trục OM  Ox.
Tọa độ trọng tâm của hệ thống
2
3

3
8

1
2

Với V1   R 3 ; x1   R ; V2   R 2 h; x1  h và mi : Vi
Thay số xG 

m1 x1  m2 x2 V1 x1  V2 x2 3( R 2  2h 2 )


m1  m2
V1  V2
4(2 R  3h)

của đĩa.
e. Công thức tính mô men quán tính của khối cầu đồng chất với trục quay
2
5

qua trọng tâm I G  mR 2 với m là khối lượng của vật, R là bán kính khối cầu.
Hướng dẫn: Với bài toán này, GV nên yêu cầu và hướng dẫn học sinh
cách sử dụng phép tính tổng và cách phân tích các vi phân để sử dụng định
Z

nghĩa tích phân trong tính toán.

r'k

rk

a. Chứng minh định lí Steiner
+Từ định nghĩa mô men quán tính
G

đối với trục quay cho trước

+ Từ hình vẽ

Δ

d

Giải tóm tắt:


ml 2
12

x

lượng dm   dx đặt cách trọng tâm G
của thanh một đoạn x thì mô men quán
tính của nguyên tố này đối với trục
vuông góc với thanh và đi qua G
Giáo viên: Phạm Thị Hiền – Trường THPT Bỉm Sơn

O

9


Phát triển tư duy học sinh khá, giỏi qua bài toán tìm tọa độ trọng tâm
và mô men quán tính của vật rắn”

là dI  x 2 dm  x 2  dx
+ Mô men quán tính của thanh
l
2

l
2

0

0

tâm

G

là
G

dI  r 2 .dm  r 2  dx

+ Mô men quán tính
2 R

I


0

2 R

dI 



 r 2 dx  2 R 3  mR 2 (đpcm)

0

1
2



G

10


Phát triển tư duy học sinh khá, giỏi qua bài toán tìm tọa độ trọng tâm
và mô men quán tính của vật rắn”

nguyên tố này đối với trục vuông góc với mặt phẳng đĩa và đi qua trọng tâm G
là dI  r 2 .dm  r 3 .dr.d
+ Mô men quán tính
2

R

1
1
I    .r 3 .dr  d   R 4  mR 2 (đpcm)
2
2
0
0
2
5
4
+ Xét khối cầu đồng tính, tỉ trọng (khối lượng riêng)   m   R 3 
3

e. Chứng minh công thức mô men quán tính của khối cầu I G  mR 2

5
0
0
0

Ví dụ 2: Xác định mô men quán tính của các vật có hình dạng, trục quay
tương ứng như sau
a. Đĩa tròn đồng chất bán kính R bị khoét đi lỗ tròn bán kính r, tâm cách tâm đĩa
lớn đoạn a với trục quay vuông góc với đĩa và đi qua tâm đĩa lớn, khối lượng m.
b. Quả cầu rỗng, mỏng, đồng chất khối lượng m, bán kính R với trục qua tâm.
c. Hình trụ đặc đồng chất, khối lượng m, bán kính đáy R, chiều cao h với
trục đi qua hai tâm. Từ đó suy ra mô men quán tính của vật rắn hình trụ rỗng
đồng chất, khối lượng m, bán kính đáy R, chiều cao h với trục đi qua hai tâm.
Hướng dẫn: Với bài toán này giáo viên cần hướng dẫn cụ thể cách sử
dụng linh hoạt công thức tính, tính chất cộng mô men quán tính, định lí Steiner
Giáo viên: Phạm Thị Hiền – Trường THPT Bỉm Sơn

11


Phát triển tư duy học sinh khá, giỏi qua bài toán tìm tọa độ trọng tâm
và mô men quán tính của vật rắn”

để xác định mô men quán tính của các vật rắn không có hình dạng cơ bản
nhưng được tạo ra từ các hình cơ bản.
Giải tóm tắt:

x

a. Đĩa tròn đồng chất bán kính R bị

2

1
2

1
2

Do m   ( R 2  r 2 ) nên I   ( R 4  r 4 )   r 2 a 2  m( R 2  r 2 ) 

mr 2 a 2
R2  r 2

b. Quả cầu rỗng, mỏng, đồng chất khối lượng m…
+ Từ công thức tính mô men quán tính của quả cầu đặc G
I1 

2
2 4
m1 R 2    R 5
5
5 3

+ Mô men quán tính của quả cầu rỗng giới hạn bởi hai mặt cầu bán kính R và r
I2 

2
2
2 4
m1 R 2  m2 r 2    ( R 5  r 5 )


Phát triển tư duy học sinh khá, giỏi qua bài toán tìm tọa độ trọng tâm
và mô men quán tính của vật rắn”

Do khối lượng phân bố đều theo thể tích nên
m
m
dV 
dV
V
 R 3 .h
R
R
m
1
+ Mô men quán tính I   dm.r 2   3 2 hr 3dr  .m.R 2
R h
2
0
0

dV có khối lượng là dm 

Tương tự như cách xét với hình cầu mỏng bán kính R ta có mô men quán
tính của hình trụ rỗng khối lượng m, bán kính đáy R, chiều cao h với trục đi qua
hai tâm là I  m.R 2 .
Bài 3: Ứng dụng và nâng cao
Ví dụ 1: Hai thanh cứng nhẹ khối lượng

O

FX

A

M
 M P /O  M F /O  I (1)

 P1 /O
2
(Với I=2ml2)


P1  P2  F  2maG (2)
l
2

+ Thay số và chiếu được: mgl + mg =I

aG
R

ay

x

aG
B

y
Giáo viên: Phạm Thị Hiền – Trường THPT Bỉm Sơn

2
2

3 3
mg
 Fx 
8
Từ đó suy ra: 
 F   7 mg
 y
8

và AOB đều nên ax=

( Dấu trừ cho biết thành phần Fy có hướng lên trên)
+ Độ lớn của lực do trục tác dụng lên hệ hai thanh: F= Fx2  Fy2 

19
mg
4

Về hướng F hợp với phương ngang một góc  xác định bởi
tg  =

Fy
Fx

=

7

và mô men quán tính của vật rắn”

a.+ Định lí động năng : Wđ  Wđo  AP  Wđ  AP
+ Hình trụ lăn không trượt nên:  




mv 2 I 2

 mgs. sin 
2
2

v
R

v2
I
g sin 
(m  2 )  mgs. sin   v 2  2
.s
I
2
R
1
mR 2

+ Mặt khác v2=2a.s nên a=


R2 
m

+ Mặt khác F ms  Fms. max = N  mg. cos 


 (mR 2  I )
I . sin 
 3  tan  0
 m cos   tan  
I
I
2
R 
m

nếu    0 thì hình trụ lăn không trượt
nếu    0 thì hình trụ sẽ trượt tịnh tiến trên mặt phẳng nghiêng
IV. KÊT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC

Thông qua tiến hành nghiên cứu trên các lớp 12 khối A trong hai năm liên
tục với đề tài :“ Phát triển tư duy qua bài toán tìm tọa độ trọng tâm và mô
men quán tính của vật rắn”. Tôi đã thu được một số kết quả đó là đa số các
em đã hiểu được bản chất vấn đề và vận dụng linh hoạt kiến thức của hai vấn đề
này vào các đề thi tuyển sinh, học sinh giỏi các cấp.
Để chứng minh tôi xin đưa ra minh chứng sau:

Giáo viên: Phạm Thị Hiền – Trường THPT Bỉm Sơn

15

38,7

10

22,7

3

6,8

12A7

45

4

8,9

18

40

20

44,4

3

6,7


SL

%

SL

0

0

10

23,8

20

47,7

8

19

4

9,5

Kết quả khảo sát chất lượng vật lí 12 đầu năm của ba lớp khối A của trường
T.H.P.T Bỉm Sơn năm 2011 về phần vật rắn.

12A4


12A9

48

8

16,7

21

43,8

17

35,4

2

4,1

0

0

Lớp

Giỏi

Khá


12

30

19

47,5

5

12,5

0

0

Đối chứng kết quả kiểm tra cùng kì của hai năm học liên tiếp với chất
lượng các lớp gần như tương đương nhưng thực hiện hai cách dạy khác nhau.
Năm 2010 dạy theo cách thừa nhận công thức SGK, năm 2011 dạy theo cách
hiểu bản chất cách thành lập công thức tính thấy kết quả có chiều hướng tốt thể
hiện ở tỉ lệ học sinh đạt điểm khá, giỏi tăng mạnh, tỉ lệ yếu kém giảm nhưng
không đáng kể. Điều này khẳng định tính phù hợp của sáng kiến kinh nghiệm
này trong việc làm tài liệu tham khảo cho các Thầy Cô khi giảng dạy và các em
học sinh khá giỏi.

Giáo viên: Phạm Thị Hiền – Trường THPT Bỉm Sơn

16


Nhằm giúp đỡ các Thầy cô nâng cao kinh nghiệm, tay nghề trong việc dạy
học, giúp các em học sinh biết cách tư duy lôgíc, phân tích, tổng hợp, xử lí các
thông tin. Theo tôi, hàng năm phòng trung học phổ thông thuộc Sở giáo dục đào
Giáo viên: Phạm Thị Hiền – Trường THPT Bỉm Sơn

17


Phát triển tư duy học sinh khá, giỏi qua bài toán tìm tọa độ trọng tâm
và mô men quán tính của vật rắn”

tạo cần lựa chọn và cung cấp cho các trường phổ thông một số sáng kiến, bài
viết có chất lượng, có khả năng vận dụng cao để các Thầy cô có cơ hội học hỏi
thêm ở các đồng nghiệp, có cơ hội phát triển thêm các sáng kiến để rồi tự mỗi
người có thể tìm ra những phương pháp giảng dạy phù hợp nhất với mình, phù
hợp nhất với từng đối tượng học sinh...Đây cũng là cơ hội để các sáng kiến phát
huy tính khả thi theo đúng tên gọi của nó, cơ hội để các Thầy cô có thể giao lưu
với nhau về mặt kiến thức, phương pháp giảng dạy để cùng nhau đưa giáo dục
tỉnh nhà lên tầm cao hơn.
Trên đây chỉ là một số kinh nghiệm và suy nghĩ của bản thân tôi, có thể còn
khiếm khuyết. Rất mong được hội đồng khoa học, các đồng nghiệp nghiên cứu,
bổ sung góp ý để đề tài được hoàn thiện hơn, để những kinh nghiệm của tôi thực
sự có ý nghĩa và có tính khả thi.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

XÁC NH N C A
TH TR

NG Đ N V



Kết luận và đề xuất

Trang 15

Tài liệu tham khảo
1. Sách giáo khoa Vật lý 12-NXB-GD-Năm 2008.
2. 252 bài toán cơ học-Nguyễn Anh Thi-NXB-GD-Năm 2006.
3. Tuyển tập đề thi Olympic 30-4 lần thứ VIII-Năm 2002-NXB-GD.
4. Tuyển tập đề thi Olympic 30-4 lần thứ XI-Năm 2003-NXB-GD.
5.Tuyển tập đề thi Olympic 30-4 lần thứ XV-Năm 2011-NXB-GD.
6.Tuyển tập đề thi Olympic 30-4 lần thứ XVI-Năm 2012-NXB-GD.
7. Giáo trình cơ vật lý-Ngô Quốc Quýnh-NXB Đại học và trung học chuyên
nghiệp Hà Nội.
8.Giáo trình vật lí đại cương tập 1 phần cơ nhiệt- Nguyễn Xuân Chi- NXB
Bách khoa Hà Nội.

Giáo viên: Phạm Thị Hiền – Trường THPT Bỉm Sơn

19