BÀI TẬP VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Bài 1: Tìm điều kiện của tham số m sao cho
y = x 3 − mx 2 + 2(m + 1) x − 1
a) Hàm số
đạt cực trị tại x=-1.
4
2
2
y = − 2 x − mx − 2m
x= 2
b) Hàm số
đạt cực đại tại điểm
x 2 + mx + 1
y=
x+m
c) Hàm số
đạt cực tiểu tại điểm x=2
1 3
y = x − (7 m + 1) x 2 + 16 x − m
3
Bài 2: Cho hàm số
. Xác định m để:
a) Hàm số có cực đại và cực tiểu
(1; +∞)
b) Hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu x1,x2 thuộc
y = x 3 − mx 2 + (m + 36) x − 5
Bài 3: Cho hàm số
. Xác định m để
a) Hàm số không có cực trị
x1 − x2 = 4 2
b) Hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu x1,x2 và

. Chứng minh hàm số có cực đại, cực tiểu. Viết phương trình đường thẳng
đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số.

x < m + 4 − x2

Bài 9: Xác định m để bất phương trình
vô nghiệm
3
3
sin x = m + cos x
Bài 10: Xác định m để phương trình
có nghiệm.
4
2
y = x − 2mx + m − 1
Bài 11: Cho hàm số
. Tìm m để hàm số có 3 cực trị và ba điểm cực trị của đồ thị hàm
số là các đỉnh của một tam giác:


a) Có diện tích bằng 4
b) Vuông cân
c) Đều
3
2
y = 2 x − 3(2m + 1) x + 6m(m + 1) x + 1
Bài 12: Cho hàm số
. Tìm m để các điểm cực đại, cực tiểu đối xứng
y = x+2
nhau qua đường thẳng

tại điểm có hoành độ x=-2.
y = −2 x + k x 2 + 1
Bài 17: Cho hàm số

. Tìm k để hàm số có cực trị
y = − x + mx + ( m − 1) x + m3 − m 2
3

2

2

Bài 18: Cho hàm số
a) Tìm m để hàm số có hai cực trị. CMR khi đó đường thẳng qua các điểm CT không bao giờ qua
gốc tọa độ.
b) Tìm m để hàm số có cực trị và đường thẳng qua hai điểm cực trị tiếp xúc với đường tròn tâm O,
131
40
bán kính
x 2 − (3m + 2) x + m + 4
y=
x −1
Bài 19: Cho hàm số
a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm CĐ, CT thẳng hàng với điểm M(-2;1)
b) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và trung điểm của đoạn nối hai điểm CĐ, CT cách gốc O
một khoảng bằng 3.
x 2 − (5m − 2) x + 2m + 1
y=
x −1
Bài 20: Cho hàm số

Bài 26: Tìm m để hàm số :
≠0
a) y = x3 – 2mx2 + 1 có cực đại và cực tiểu.
ĐS : m
m 3
4
x − 2 x 2 + (3m + 1) x − 1
− < m 0
e) y = x3 – 3mx2 + (m – 1)x + 2 đạt cực trị tại x = 2
ĐS : m = 1
f) y = x3 – mx2 – mx – 5 đạt cực tiểu tại x = 1
ĐS : m = 1
g) y = x3 + (m + 1)x2 + (2m – 1)x + 1 đạt cực đại tại x = -2
ĐS : m = 7/2
2
x + mx + 1
x+m
h) y =
đạt cực đại tại x = 2


đạt cực đại tại x=1.

4

x
− ax 2 + b
2

3: Cho hàm số y=
. Đònh a,b để hàm số đạt cực trò bằng –2 tại x=1
4. Tìm m để các hàm số sau có cực đại và cực tiểu.
y=

1)

1 3
x + mx 2 + (12 − m) x + 2
3

2)

y=

3)

Đ S: m < -4, m > 3

y = x − 2mx + 1
3

y=

x + 2x + m
x+2

y=

mx + x + m
x+m

4)

5)
6)

7)

m<0,m>

ĐS:

1
10

2

ĐS: m < 3

2


ĐS : m = 1
1
y = mx 3 + (m − 2) x 2 + (2 − m) x + 2
3
2)
đạt cực trị tại x = -1. ĐS : m = 3
3
2
3) y = x – mx – mx – 5 đạt cực tiểu tại x = 1
ĐS : m = 3
3
2
4) y = x + (m + 1)x + (2m – 1)x + 1 đạt cực đại tại x = -2 ĐS : m = 7/2
x 2 + a (1 − a ) x − a 3 + 1
y=
x+a
7. Chứng minh rằng với mọi giá trị của a, hàm số
luôn có cực đại
và cực tiểu.
)- CỰC TRỊ HÀM BẬC 3
Xác định cực trị hàm số
BT1
Tìm m để các hàm số có cực đại cực tiểu
1)
1
y = .x 3 + mx 2 + (m + 6). x − ( 2m + 1)
3
2)

y = (m + 2). x 3 + 3 x 2 + m.x − 5


đạt cực tiểu tại x = 2
BT5(ĐH Huế 1998)
Tìm m để
y = x 3 − 3mx 2 + (m − 1) x + 2

BT13
Cho hàm số
1
1
3

y = .x 3 − (sin a + cos a ) x 2 +  sin 2a .x
3
2
4


đạt cực tiểu tại x = 2
BT6(ĐH Bách Khoa HN 2000)
Tìm m để
y = mx 3 + 3mx 2 − (m − 1) x − 1

1)Tìm a để hàm số luôn đồng biến
2)Tìm a để hàm số đạt cực trị tại x1; x2 thoả mãn

không có cực trị
Phương trình đường thẳng đi qua cực đại cực
tiểu
BT7(ĐH Thuỷ Sản Nha Trang 1999)

y = mx 3 − 3mx 2 + (2m + 1) x + 3 − m

x12 + x 22 = x1 + x 2

Tìm m để hàm số
y = x3 −

3m 2
x +m
2

Có các điểm CĐ và CT nằm về 2 phía của đường
thẳng y = x
5)- CỰC TRỊ HÀM BẬC 4
BT1
Tìm m để hàm số sau chỉ có cực tiểu mà
không có cực đại
y = x 4 + 8m.x 3 + 3(2m + 1) x 2 − 4
BT2
CMR hàm số

f ( x) = x 4 − x 3 − 5 x 2 + 1

Có 3 điểm cực trị nằm trên một Parabol
BT3
Cho (Cm) :
y = f ( x) = 3 x 4 + 4mx 3 + 6mx 2 + 24mx + 1
Biện luận theo m số lượng Cực đại, cực tiểu của
(Cm)
Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại

BT5 (ĐH Kiến trúc 1999)
Tìm m để
có
f ( x) = mx 4 + (m − 1) x 2 + (1 − 2m)
đung một cực trị
6)- CỰC TRỊ HÀM PHÂN THỨC BẬC 2
/ BẬC 1
6.1-Sự tồn tại cực trị- đường thẳng
đi qua CĐ,CT
BT1
Tìm m để các hàm số sau có cực trị
y=

x 2 + 2m 2 x + m 2
x +1

y=

x 2 + (m + 2) x − m
x +1

x 2 + 2mx − m
y=
x+m

y=

x + (m − 1) x − m
x +1


có CĐ ,

CT
BT6 (ĐH Cảnh sát 2000)
Viết phương trình đường thẳng đi qua
CĐ,CT của :
x 2 + mx − 8
y=
x−m
BT7

(ĐH SPHN 1999)

2

− x 2 + mx − m 2
y=
x−m

(CĐ SPHN 1999)

(ĐH Y Thái Bình 1999 )
2m 2 x 2 + (2 − m 2 )( mx + 1)
y=
mx + 1

(ĐH Thái Nguyên 2000)
BT2 (ĐH TCKT 1999)

Cho (Cm) :

Tìm m để hàm số có cực trị. Tìm quỹ tích
của điểm cực trị (Cm)
BT10 (ĐH Thuỷ Sản TPHCM 1999)
Cho hàm số (Cm) :
x 2 − mx − 2m − 2
y=
x −1
Tìm m để hàm số có cực trị. CMR các
điểm cực trị của (Cm) luôn nằm trên một Parabol
cố định
BT11 (ĐH Ngoại Ngữ 1997)
Cho hàm số (Cm) :
x 2 + mx − 2m − 4
y=
x+2
Tìm m để hàm số có CĐ,CT. Tìm quỹ tích
của điểm CĐ
BT12
Cho hàm số (Cm) :
2
x + m(m 2 − 1) x − m 4 + 1
y=
x−m
CMR: trên mặt phẳng toạ độ tồn tại duy
nhất một điểm vừa là điểm CĐ của đồ thị ứng với
m nào đó đồng thời vừa là điểm CT ứng với giá trị
khác của m
6.3-Biểu thức đối xứng của cực đaị, cực tiểu
BT13
Tìm m để

khoảng cách từ 2 điểm đó đến đường thẳng
x + y + 2=0 là bằng nhau
BT16
Tìm m để

x 2 + (m + 2) x + +3m + 2
y=
x+2

có

CĐ,CT đồng thời thoả mãn
2
2
y CD
+ y CT
>

1
2

6.4-Vị trí tương đối của các điểm CĐ - CT
BT17 (ĐH Cần Thơ 1999)
Cho :
x 2 + (2m + 3) x + m 2 + 4m
y=
x+m
Tìm m để hàm số có 2 cực trị trái dấu nhau
BT18 (ĐH QG 1999)
Cho :

BT22


Tìm m để :
y=
cùng dấu
BT23
Tìm m để :
y=

x − mx + 5 − m
x−m
2

x + mx − m
x −1
2

có CĐ,CT

có CĐ,CT

nằm về 2 phía của đường thẳng x-2y-1=0
BT24
Tìm m để :
có một cực
2mx 2 + (4m 2 + 1) x + 2m + 32m 3
y=
x + 2m
trị thuộc góc (II) và một cực trị thuộc góc (IV)

BT1
Tìm cực trị hàm số sau

1
 
5

y=

5
4

BT3

khi x= - 3

x − mx + 2n
x 2 − 2x + 1

x 2 − 4 x +3

= m4 − m2 +1

có 4 nghiệm phân biệt
BT3 (ĐH Kinh Tế 1997)
Cho
f ( x) = x 3 + 3 x 2 − 72 x + 90

Maxf ( x)·
   

mặt phẳng toạ độ
7)- CỰC TRỊ HÀM PHÂN THỨC BẬC 2
/ BẬC 2

ax + b
y= 2
x + x +1

1
 
2
đạt cực đại bằng

x3 −6 x 2 +9 x −2

= m2 − m
có 6 nghiệm phân biệt

BT5
Tìm m để phương trình
2. x 2 − 5 x + 4 = x 2 − 5 x + m
có 4 nghiệm phân biệt
BT6
Tìm cực trị hàm số sau


1)

BT2


y = 3 x + 10 − x 2
3)
y = 3 x 3 − 3x
4)

y = x.

1− x
1+ x

9)- CỰC TRỊ HÀM LƯỢNG GIÁC
HÀM SỐ MŨ,LÔGARIT
BT1
Tìm cực trị hàm số
cos x
y=
− 2 cot g .x
sin 3 x
y = cos 2 x − cos x + 1
1
1
y = 1 + cos x + . cos 2 x + . cos 3x
2
3
y=

sin x − 2
sin x + 1

y = cos x(1 + sin x )

lg x
x

 −x1 
1
e
2 + sin 
y =  
x

0

(Khi x#0)
khi x = 0