Mục lục
Trang
MỤC LỤC……………………………………………………………………………...1
I. MỞ ĐẦU.....................................................................................................2
1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................................2
2.Mục đích nghiên cứu........................................................................................................2
3.Đối tượng nghiên cứu.......................................................................................................3
4.Phương pháp nghiên cứu..................................................................................................3

II. NỘI DUNG .................................................................................................................3
1.Cơ sở lý luận khoa học.....................................................................................................3
2.Thực trạng vấn đề.............................................................................................................3
3.Nội dung ..........................................................................................................................4
Nội dung 1………………………………………………………........................................4
Nội dung 2………………………………………………………………………………...8
Loại 1 : Các loại câu hỏi nhận biết.....................................................................................8
Loại 2 : Các loại câu hỏi thông hiểu...................................................................................9
Loại 3 : Các loại câu hỏi vận dụng thấp...........................................................................12
Loại 4 : Các loại câu hỏi vận dụng cao.............................................................................15

III. KẾT LUẬN ……………………………………………………………………...19
Tài liệu tham khảo ………………………………………………………….21
Danh mục sáng kiến kinh nghiệm đã được đánh giá......................................22

11


I. Mở đầu
1/ Lý do chọn đề tài.
Lí thuyết về số phức là một ngành toán học mới,mà học sinh còn nhiều bỡ ngỡ
vì một thời gian dài học quen với số thực.Với mục đích mở rộng tập hợp số để cho

- Đối tượng nghiên cứu: các khái niệm và các dạng toán cơ bản của số phức.
- Phạm vi nghiên cứu: Các kiến thức cơ bản về số phức trong chương trình SGK
chuẩn môn toán lớp 12.
4/Phương pháp nghiên cứu
-

Kết hợp linh hoạt các phương pháp dạy học
Tổng kết kinh nghiệm, tìm ra những khó khăn, thuận lợi khi giải quyết các bài
toán ở những lớp trước.

II. Nội dung
1.Cơ sở lý luận khoa học :

Đối với học sinh THPT, việc hiểu một khái niệm là điều cần thiết. Song để học sinh
hiểu sâu và có hứng thú cần cho học sinh thấy được ý nghĩa và tác dụng của khái niệm,
đặc biệt cần vận dụng khái niệm đó vào giải một số bài toán cụ thể.
Đề tài được nghiên cứu thực hiện trên thực tế các tiết dạy về lý thuyết và bài tập số
phức trong chương trình sgk chuẩn lớp 12 mà trọng tâm là thưc hiện các phép tính trên
tập số phức. Khi giải bài tập về số phức, người học cần phải biết vận dụng được lý
thuyết vào trong thực hành.Các tiết dạy bài tập phải được thiết kế theo hệ thống từ dễ
đến khó, từ đó có thể giúp học sinh tiếp cận và nắm bắt những kiến thức cơ bản nhất,
và dần dần phát triển khả năng tư duy, khả năng vận dụng các kiến thức đã học một
cách linh hoạt vào giải toán. Từ đó học sinh có hứng thú và động cơ học tập tốt.
2.Thực trạng vấn đề
Trong chương trình toán học lớp 12 khái niệm về số phức, modul,số phức liên hợp …
khá trừu tượng .Các bài tập liên quan đến chúng nhiều, phong phú và đa dạng vì vừa
liên quan đến kiến thức đại số vừa liên quan đến kiến thức hình học phẳng .
33




Nội dung
Nhận biết

Thông hiểu

Vận dụng
thấp

Các năng lực
hướng tới
cho học sinh
Vận dụng
cao
44


-Thưc hiện các
phép toán trên
tập số phức
- Tìm quỹ tích
các điểm biểu
diễn hình học
của số phức
Giải phương
Giải
trình bậc hai
phương
trên tập số
trình qui về phức

của số
của số phức…
phức…

Giải phương
trình bậc hai
trên tập số
phức…

f. Biên soạn câu hỏi và bài tập theo các mức độ nhận thức.
NỘI DUNG
I. Số
phức

Nhận biết

-Tìm phần
thực, phần ảo
Dạng của số phức.
đại -Tìm số phức
số liên hợp.
của VD: Tìm phần
số thực và phần
phức ảo của các số
phức sau :
a.z = 1 – 2i
b.z = - e
c.z = 3i
VD: Tìm số
phức liên hợp

Thực hiện các phép -Thực hiện
cộng, trừ, nhân, chia các phép
nhiều số.
tính phức
VD: Tính :
tạp
a.(1 + 2i).(5 –i) : 2i - Tìm quỹ
b.(2 –i) :(5+4i)(1+i) tích các
c.(2+i)2 –(1 - i)3
điểm biễu
diễn số
phức.
- Giải điều
kiện cho
trước tìm z
VD:
1.Tính :
a.(1+3i)3
(4 –3i)2
(2+i)2.
(3+80i+i3)
b.(3 - i)16 .
55


(1+2i)16
2.Trong mặt
phẳng Oxy,
tìm tập hợp
các điểm

của
số
phức
và
phư
ơng
trình
bậc
hai

1.
Căn
bậc
hai
của
số
phức

Phát biểu định Lập được hệ
nghĩa căn bậc phương trình
hai của số phức tìm căn bậc hai
-Xác định được
phần thực a,và
phần ảo b.

Giải được phương
trình tìm căn bậc
hai

Ví dụ 1:

hai, hoặc biến đổi

Giải điều
kiện
tìm z rồi
sau
đó tìm căn
bậc hai
Ví dụ 4:
Tìm căn bậc
hai của z
biết :
z2 = |z|2 + z

Giải một số
phương
trình qui về
66


trình bậc hai):

thức nghiệm

đơn giản về bậc hai

Ví dụ 6:
-Tính biệt thức
∆ (∆ ') của
phương trình :

phương
trình bậc hai
trên tập số
phức.

Ví dụ 8:
1.Giải
phương
trình:
b) z ( z − 2) − 3 z + 1 = 0;(z+1)(z+2).
(z+3)(z+4)
c) z 2 − 5 z = 2( z 2 + 3). = 24
2. Cho z1, z2
là hai
nghiệm
phức của
phương
trình :
z2+2z+
+10 = 0 .
Tính giá trị
của
biểu thức
A=
|z1|2 + |z2|2

Kết luận : Phương pháp ở đây, tôi đã sử dụng là: Hệ thống hóa khái niệm về số phức
và các khái niệm khác có liên quan , giải thích thông qua các ví dụ từ mô hình cụ thể
đến các mô hình trừu tượng. Sau đó hướng dẫn học sinh giải các bài tập tuơng ứng...
Nội dung 2 : Một số dạng câu hỏi về số phức trong đề thi TNKQ tương

3 i
+
D. 4 4

3 i
+
4 4

HD : Áp dụng qui tắc thực hiện phép chia
Câu 2 : Cho pt : 2x2 – 6x + 5 = 0 .Gọi z1 , z2 lần lượt là hai nghiệm của phương trình.
Kết luận nào sau đây là đúng :
2
1

A.z + z

2
2

9
= 2

.

B. z1

2

7
-z = 4.

HD : Thay z vào vế trái để tìm kết quả
Câu 4 : Cho 3 số phức z1 = 1 – i ; z2 = - 1 + i ; z3 = 1 + i. Lựa chọn phương án đúng :
A. z1 = z 2

B. z3 = z1

C. z1 + z 2

= z1 + z2

D. z3 = 2

HD : Thay vào từng biểu thức để lựa chọn phuơng án đúng
Câu 5 : Cho số phức z = − 3 − 3i 3 . Số phức liên hợp với số phức z là :
A. z = 3 − 3i 3

B. z = 3 + 3i 3

C. z = −3 + 3i 3

D. z = −3 3 − 3i
HD : Sử dụng kiến thức về số phức

88


Câu 6 : Cho hai số phức z1 = (1 – i)(2i – 3) và z2 = (1 + i)(3 – 2i). Lựa chọn phương
án đúng :

z

z1, 2 =

z1, 2 =

−3±i 7
4

C.

z1, 2 =

3±i 7
2

−3±i 7
4

HD : Giải phuơng trình bậc hai
_

Câu8 : : Cho số phức z = 3 – i .Điểm M biểu diễn số phức z
A.M(3;-1)

B.M(3;1)

C.M(- 3;- 1)

có tọa độ là :

D.M(- 3;1)

HD : Thực hiện phép tính
99


Câu 11 : Khẳng định nào sau đây là sai :
A. Modul của hai số phức liên hợp thì bằng nhau.
B. Điểm biểu diễn số phức liên hợp đối xứng nhau qua trục Ox
C. Phần thực và phần ảo của số phức z bằng nhau khi và chỉ khi z = 0.
D. |z| = 1 nếu điểm biểu diễn số phức z thuộc đường tròn tâm O, bk R = 1.
HD : Sử dụng kiến thức về số phức
Loại 2 : Các loại câu hỏi thông hiểu
Câu 12 : Cho các số phức z1 = 1 + i ; z2 = - 2 + 2i ; z3 = - 1 – i được biểu diễn lần lượt
bởi các điểm A , B, C trên mặt phẳng . Gọi M là điểm thõa mãn :

Điểm M biểu diễn số phức :
A.z = 6i

B.z = 2

C.z = - 2

D. z = - 6i

HD : - Tìm tọa độ các điểm A, B, C
- Tìm tọa độ điểm M => số phức cần tìm
1
(1 + i 3 )
Câu1 3 : Cho số phức : z = 2
. Kết luận nào sau đây là sai ?
1

D.2

HD : - Giải phuơng trình tìm nghiệm
1010


- Thay vào vế trái để tìm kết quả
1
3
Câu15 : Cho z = - i. Tính A = z3 + z

A.- i

B.0

C.2i

D.2

HD : Thay số phức vào A để tìm kết quả
 z1 + z 2 = 6

Câu 16: Hệ phương trình  z1 .z 2 = 10

Có bao nhiêu nghiệm phức phân

biệt ?
A.0

B.1

− 13i
+z= 2

D.z6 = 64

HD : Thay vào vế trái tìm kết quả
Câu 19 : Trong mặt phẳng phức cho ba điểm A, B, C lần lượt biểu diễn các số phức
z1 = 2; z2 = 4 + i ; z3 = -4i. M là điểm sao cho : OA + OB + OC − 3OM = 0
.
Khi đó M biểu diễn số phức :
A.z = 18 –i

B.z = -9 + 18i

C.z = 2 – i

D.z = -1 + 2i
1111


HD : Tìm tọa độ điểm M
- Suy ra số phức
Câu 20 : Số phức nào sau đây là số thực?
1 − 2i 1 + 2i
+
3
−
4
i
3 − 4i


B.B = 10

C.B = 20

D.B = 10

HD : Giải phuơng trình tìm nghiệm
- Thay vào biểu thức
Câu 22 : Giá trị của biểu thức A = ( 1 + i 3 )6 là :
A.Một số nguyên dương

B.Một số nguyên âm

C.Một số ảo

D.Số 0

HD : Thực hiện phép tính
2
Câu 23 : Cho z = ( 2 + i ) (1 − i 2 )

A.|z| = 81

B.|z| = 9

2

C.|z| = 39



D.4

HD : Giải phuơng trình trùng phuơng
- Trên tập số phức phuơng tŕnh có 4 nghiệm
Loại 3 : Các loại câu hỏi vận dụng thấp
Câu 26 : Cho phương trình x2 – 2x + 2 = 0 . Gọi A và B lần lượt là các điểm biểu diễn
các nghiệm của pt. Khi đó diện tích tam giác OAB là :
A.1đvdt

C. 3 đvdt

B.2đvdt

3
D. 2

đvdt

HD : - Giải phuơng trình tìm tọa độ A , B
- Áp dụng công thức tính diện tích tam giác.
Câu 27 : Tìm số phức z biết z − ( 2 + i ) = 10 , z.z = 25
A.z = 5; z = 3 – 4i. B.z = -5 ; z = 3 – 4i. C.z = 5; z = 3 + 4i. D.z = -5; z = 3 + 4i
HD : Gọi dạng số phức z
- Đưa điều kiện giả thiết vào giải hệ phuơng trình tìm z
Câu 28 : : Cho z = 1 – i, phần ảo của số phức w = ( z )3 + 1 + z + z2 bằng :
A.0

B.- 1



C.| z1.z2| = 133

D.

z1
7
=
z2
5

HD : thay vào vế trái tìm kết quả
Câu 31: Trong mặt phẳng phức cho điểm A(2 ; - 1).Điểm A’ đối xứng với A qua đường
phân giác của góc phần tư thứ nhất .Điểm A’ biểu diễn số phức :
A.z = -1 + 2i

B.z = 1 + 2i

C.z = -2 + i

D.z = 2 + i.

HD : Tìm tọa độ điểm A’
- Suy ra số phức z
Câu 32 : Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A biểu diễn số phức z1 = 1 + 2i. B là điểm
thuộc đường thẳng y = 2 sao cho tam giác OAB cân tại O . B biểu diễn số phức nào
sau đây :
A.z = -1 + 2i

B.z = 1 – 2i

 z = −1 + i 3

 z = 2 − i 3

B.

 z = −1 + i 3

 z = 2 + i 3

C.

 z = −1 − i 3

 z = 2 − i 3

 z = −1 − i 3

D.  z = 2 + i 3

HD : Thực hiện phép tính tìm số phức liên hợp
- Từ đó tìm số phức z
Câu 35 : Số phức z thỏa mãn pt : (2 + i)2 (1 – i)z = 4 – 3i + (3 +i)z là :
A.z = -1 + 3i/4

B.1 – 3i/4

C.- 1 -3i/4

D. 1 + 3i/4


B.z = 2 + 5i

= - ( 1 + 3i)2 là :

C.z = -2 + 5i

D.z = 2 – 5i

HD: Tìm số phức liên hợp rồi suy ra z
Câu 40 : Cho tam giác vuông cân ABC tại C, các điểm A, B theo thứ tự biểu diễn các
4i
2 + 6i
và
số phức i − 1 3 − i

.Điểm C biểu diễn số phức z nào sau đây :

A.z = -1 –i hoặc z = - 3 + i

B.z = 1 – i hoặc z = 3 +i

C.z = 1- i hoặc z = 3 – i

D.z = - 1 – i hoặc z = 3 + i

HD: Tìm tọa độ điểm C
- Từ đó suy ra số phức z
Câu 41 : Nghiệm phức của pt : z2 + |z| = 0 là :
A.0; i ; -i


C.Hai tam giác đều vuông

D.Hai tam giác có cùng trọng tâm

HD : Biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ tìm kết quả

1616


Câu 44 : Nghiệm phức của pt : (2 – i)( z
1
A.- 1 + i ; 2

1
B. 1 – i; 2

1
)
+ 3 + i)(iz + 2i = 0 là :

1
C. 1 + i; 2

1
D.1 – i; - 2

HD : Gọi z ở dạng đại số => tìm z
1 7 1
(i − 7 )

C.3

= 0 là :

D.4

HD: Gọi z ở dạng đại số
- Thay vào giả thiết tìm nghiệm rồi suy ra kết quả.
Loại 4 : Các loại câu hỏi vận dụng cao

( z − 1)(1 + iz )
= i.
1
z−
z
Câu 48: Cho số phức z = a+bi (a, b thuộc R) thỏa mãn phương trình :
2
2
Tính a + b ?

A. 3 + 2 2
HD : Từ gt ta có :

B.4

C. 3 − 2 2

a + (a 2 + b 2 − b)i = ( a 2 +b 2 + 1)i

D. 2 + 2 2

3
C. |b| = 8

39
8

3
D. 8

=>

x 2 + y 2 = 9, c 2 + d 2 = 16, xc + yd = −6, a 2 + b 2 =

3
3
3 3
= − + bi ⇒ b =
4
8
8

Câu 50: Cho các số phức z thỏa mãn | z – 2| = 2. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn
số phức w = (1 - i)z +i là một đường tròn . Tính bán kính r của đường tròn đó?
C.r = 2 2

B.r = 2

A.r =4

D.r = 2


B. 13 + 1

C. 13 + 2

z +1 + i

là :

D.6

1818


Câu 53:

Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện |z – 2 -4i| = | z -2i|. Tìm số phức có

modul nhất?
A. z= -2 + 2i

B.z = -1 +i

C.z = 3 + 2i

HD : z = x + yi => x + y = 4 => |z| =

D.z = 2 +2i

x 2 + y 2 = 2( x − 2) 2 + (2 2 ) 2 ≥ 2 2 ⇒ z = 2 + 2i


là các số phức thỏa mãn

| z1 |=| z 2 |=| z 3 |= 1

.Khẳng định nào sau đây

đúng?
A.
C.

| z1 + z 2 + z 3 |=| z1 z 2 + z 2 z 3 + z 3 z1 |

B.

| z1 + z 2 + z 3 |

| z1 + z 2 + z 3 |>| z1 z 2 + z 2 z3 + z3 z1 |
| z1 + z 2 + z 3 |≠| z1 z 2 + z 2 z3 + z3 z1 |


37

D.

26

1919


9 − 2m
HD : pt đường thẳng BH là : 3x + 2y – 9 = 0 => B( 3 , m) (m >0). Ta có :
AH 2 = BH 2 => m = 6.

37

b = - 1 + 6i => |b| =

Câu 57 : Tìm số phức z thỏa mãn :

| z − 3 − 4i |= 5

2

2

và biểu thức P = |z+2| - |z –i| đạt

giá trị lớn nhất ?
A.z = 5 +5i

z1 − z 2

z1 , z 2 ∈ T

lần

bằng :

D. – 5 + i

. Vậy T là phần mặt phẳng nằm giữa hai đường tròn (C)

tâm I(0,1) ,bk r = 2 và đường tròn (C’) tâm I( -1,0) ,bk r’ = 4
Từ đó z 1 = 0 – i, z 2 = -5 là hai số phức có modul nhỏ nhất và lớn nhất .
Do đó

z1 − z 2

= 5 – i.

Câu 59: Cho số phức z thỏa mãn | z – 3 |= 2|z| và max| z -1 +2i| = a +b 2 .
Tính a + b?

A. 4 2

B.3
2

4
C. 3

C. I(1, 2), R =

5

D.I(1, -2), R = 5.
2

2

2

Đặt z = a + bi và |z| = c  |x + yi + 1 – 2i| = 5c  (x – 1) + ( y – 2) = 25c .
Thử đáp án c = 1, R = 5 thỏa mãn đáp án C.

Đáp án :
1A
11C
21C
31A
41A
51A

2C
12A
22A
32A
42C
52C

3C

37D
47D
57A

8B
18C
28B
38A
48A
58C

9D
19C
29C
39C
49A
59D

10C
20D
30C
40D
50C
60C

Kết luận: Phương pháp ở đây, tôi đã sử dụng là :Nêu các dạng bài tập , hướng dẫn
học sinh nhận dạng và cách giải trong một số ví dụ điển hình, từ đó giúp học sinh rút
ra nhận xét và vận dụng một cách linh hoạt hợp lí trong từng trường hợp cụ thể.
4. Hiệu quả đạt được :
Trước khi thực hiện đề tài , năm 2017 tôi đã khảo sát chất lượng của học sinh 12B và


3

Rèn luyện kĩ năng giải các bài tập thông qua một số bài tập bổ sung nâng
cao .Gợi mở cho học sinh những hướng phát triển, mở rộng bài toán .

Việc chọn trình tự giải các bài toán theo các bước như trên giúp học sinh dễ tiếp thu
hơn và thấy được trong từng bài toán nên áp dụng kiến thức nào cho phù hợp. Mỗi
dạng toán tôi chọn một số bài toán cơ bản để học sinh hiểu cách làm, từ đó làm các bài
tập tương tự và nâng cao hơn. Tôi thấy học sinh tiến bộ hơn nhiều, số đông các em
không còn lúng túng thiếu tự tin như trước nữa, mà các em tích cực tự giác tìm lời giải
cho mỗi bài toán.
Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến kinh nghiệm
2222


do tơi viết, khơng sao chép của ngườì khác.
Xác nhận của thủ trưởng đơn vị
Quảng xương, ngày 12 - 5 - 2018
Người viết skkn

Lê Thị Lý

IV.TÀI LIỆU THAM KHẢO
1.Sách giáo khoa tốn 12, nxbGD, 2008;
2.Sách bài tập tốn 12, nxbGD, 2008
3.Phương pháp giảng dạy mơn tốn, Vũ Dương Thụy, nxbGD, 2009
4.Giải một bài tập như thế nào?G.Polya , nxbGD,2010
5.Sách giáo khoa Đại số nâng cao 12, nxbGD, 2009
6.Hướng dẫn ơn thi TN và THPTQG từ năm 2008 -> 2018 của Bộ GD&ĐT.

đánh
đánh
loại
giá xếp giá xếp
(Ngành GD cấp
huyện/tỉnh; Tỉnh...)
loại
loại
(A, B, hoặc C)
2011 - 2012
Sở GD&ĐT

C
2424


tương đối của tiếp tuyến và
đồ thị hàm số để nâng cao

tỉnh Thanh
Hóa

hiệu quả ôn thi ĐH&CĐ cho
học sinh lớp 12 trường THPT
2

Quảng Xương 4
Hướng dẫn học sinh giải các
bài toán xác suất trong
chương trình 11 nhằm nâng