SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG I

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HƯỚNG DẪN
HỌC SINH LỚP 12 TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG I
TRẢ LỜI NHANH CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
VỀ BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA SỐ PHỨC

Người thực hiện: Nguyễn Thị Sáu
Chức vụ: Giáo viên.
SKKN thuộc lĩnh vực : Toán học.

THANH HOÁ NĂM 2018


MỤC LỤC
Mục

Nội dung

Trang

1. Mở đầu
1.1

Lý do chọn đề tài

2


2.3

Các biện pháp tiến hành giải quyết vấn đề

4

2.4

Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

13

3. Kết luận, kiến nghị
3.1

Kết luận

13

3.2

Kiến nghị

13

2


1 – MỞ ĐẦU:

nhanh nhạy, chính xác vấn đề và phát triển tư duy học sinh: tư duy phân tích,
tổng hợp logic, sáng tạo và tạo thói quen cho học sinh khi giải quyết một vấn đề
luôn luôn tìm tòi khám phá những điểm đặc trưng, dấu hiệu nhận biết mấu chốt
để giải quyết vấn đề nhanh, chính xác nhất.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
Đề tài được áp dụng trong chương Số Phức của chương trình giải tích lớp 12,
học sinh ôn thi THPT Quốc gia.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
Trên cơ sở lý thuyết cơ bản trong sách giáo khoa, trước các câu hỏi trắc
nghiệm về cực trị của Số Phức, Tôi thường hướng dẫn học sinh nêu vấn đề từ
những kiến thức nào đã học, trình bày bài Số Phức rồi mới nhận dạng có dài, mất
thời gian hay không ? có giải quyết được vấn đề hay không ? có gặp khó khăn gì

3


không? Từ đó khuyến khích các em, phát hiện và tìm ra những đặc điểm đặc
trưng có thể làm dấu hiệu nhận biết để giải quyết vấn đề chính xác và triệt để.
Để học sinh tiếp cận vấn đề, Tôi chia thành năm bài toán và các phương pháp
làm bài toán cực trị của Số phức thông qua hệ thống kiến thức liên quan, nhận
xét dấu hiệu nhận biết đặc trưng, đến các ví dụ cụ thể để học sinh hình dung một
cách trực quan và biết cách sử dụng phù hợp từng phương pháp vào các bài toán
thích hợp, biết cách phối hợp các phương pháp với nhau để đưa ra được phương
án trả lời nhanh và chính xác nhất.
2 – NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
2.1. Cơ sở lí luận:
Để thực hiện đề tài, cần dựa trên những kiến thức cơ bản:
- Các phép biến đổi về số phức, số phức liên hợp.
- Các phép tính về cộng trừ và nhân chia số phức.
- Các ép biến đổi liên quan đến mô đun của số phức.

12C5

45

14

7

Đứng trước thực trạng trên tôi nghĩ nên hướng cho các em tới một cách giải
quyết khác trên cơ sở kiến thức trong SGK. Song song với việc cung cấp tri
thức, tôi chú trọng rèn rũa kỹ năng phát hiện và phân dạng bài toán, tính toán
với các điểm cực trị, tương giao giữa các đồ thị hàm số đã có trên hình vẽ, phát
triển tư duy cho học sinh để trên cơ sở này học sinh không chỉ học tốt phần này
mà còn làm nền tảng cho các phần kiến thức khác.

4


2.3. Các biện pháp tiến hành giải quyết vấn đề:
Để làm bài toán về cực trị của số phức, học sinh có thể dựa trên cách làm
tuần tự các bước giải tự luận như đã học, Tuy nhiên cách làm trên lại gặp khó
khăn do thời gian để xử lí bốn phương án trả lời sẽ mất quá nhiều thời gian và
mệt mỏi, học sinh tự đặt câu hỏi có thể dựa trên một số đặc điểm đặc trưng nào
của các dạng đồ thị hàm số biểu diễn hình học của số phức để tìm được phương
án chính xác một cách nhanh nhất.
Sau đây ta sẽ xét một số dạng bài toán quen thuộc và phương pháp giải
nhanh câu hỏi trắc nghiệm về cực trị của số phức, mỗi dạng tôi đưa ra một số bài
toán cơ bản và ví dụ minh hoạ, trên cơ sở lý thuyết đã có hướng dẫn học sinh
cách phân tích sử dụng phương pháp phù hợp và lựa chọn cách giải đúng và
ngắn gọn nhất.


z2
r
+
max z =
z1
z1

lớn nhất của z : 
min z = z2 − r

z1
z1

2

2

5


Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z − 2 − 4i = 5 . Giá trị nhỏ nhất của z là:
A. 3 5
B. 5
C. 5
Hướng dẫn:
Tập hợp các điểm M ( z ) là đường tròn có tâm I ( 2; 4 ) và
bán kính R = 5

D. 13

( x − 2 ) + ( 2 x − 4 ) = 5
 x = 1
⇒ N ( 1;2 )

y
=
2
 y = 2x

⇔ 2
⇔
 x = 3
x − 4x + 3 = 0

⇒ M ( 3;6 )
  y = 6

+ Số phức z có môđun lớn nhất là z = 3 + 6i ứng với điểm M ( 3;6 ) .
+ Số phức z có môđun nhỏ nhất là z = 1 + 2i ứng với điểm N ( 1; 2 ) .
Vậy chọn đáp án C
Ví dụ 4: Nếu các số phức z thỏa mãn ( 1 + i ) z + 1 − 7i = 2 thì z có giá trị lớn
nhất bằng:
A. 4.
B. 3.
C. 7
D. 6.
Hướng dẫn:
6



Vậy max z = OI + R = 02 + ( −1) + 1 = 2 ⇒ Chọn đáp án B.
2

Bài toán 2: Trong các số phức z thỏa mãn z − z1 = r1 , ( r1 > 0 ) . Tìm giá trị nhỏ
nhất, lớn nhất của P = z − z2 .
PP giải:
Gọi I , A, M lần lượt là các điểm biểu diễn của z1 ,z2 ,z .
max P = AM 1 = r1 + r2
IA
=
z
−
z
=
r
⇒
Khi đó:

1
2
2
min P = AM 2 = r1 − r2
Muốn tìm các số phức sao cho Pmax , Pmin thì ta đi tìm hai giao
điểm M 1 , M 2 của đường tròn ( I , r1 ) với đường thẳng AI .
Tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn z1.z − z2 = r1 , ( r1 > 0 ) .
Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của P = z − z3 .
Giải: max P =

z2
r

Ví dụ 2: Trong số phức z thỏa mãn z − 5i ≤ 3 , số phức có z nhỏ nhất thì có
phần ảo bằng bao nhiêu?
A. 4.
B. 0.
C. 3.
D. 2.
Hướng dẫn:
Tập hợp các điểm M ( z ) là đường tròn có tâm I ( 0;5 ) và
bán kính R = 3.
Vì z = OM nên số phức z có môđun nhỏ nhất là z = 2i
ứng với điểm M 1 ( 0;2 ) .
⇒ Chọn đáp án C.

Ví dụ 3: Trong tất cả các số phức z thỏa mãn z − 2 + 2i = 1 ,gọi z = a + bi, ( a, b ∈ ¡ )
là số phức có z + 4i đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị biểu thức P = a ( b + 2 ) .
A. P = 2 −

1
2

B. P = − 2 −

1
2

1
2

C. P = + 2


( x − 2 ) + ( y + 2 ) = 5 ( x − 2 ) + ( x − 4 + 2 ) = 1 ( x − 2 ) =

2
1
1


x = 2+
x = 2−
y = x − 4


1
1 
1
1 




2

2
⇔
∨
⇒ M1  2 +
; −2 +
;M2 2−
; −2 −
1 ⇔

1 
;2 +
÷
2
2
⇒ AM 1 > AM 2 ⇒ M 2 là điểm biểu diễn số phức cần
1
1 
;2 −
÷
2
2

tìm.
1

a
=
2
−

1 
1 
1
2
z = a + bi
⇒ z = 2−
+  −2 −
i


F1 ( −c;0 ) , F1 ( c;0 ) nên thường đề bài sẽ cho dưới dạng:
z − c + z − c = k , ( 0 < c, k ∈ ¡ )
⇒ M ∈ elip ( E ) nhận F1 ( −c;0 ) , F1 ( c;0 ) làm tiêu điểm và có độ dài trục lớn
bằng k = 2a .
k

 z max = a = 2
⇒ 
2
2
 z = b = k − 4c
 min
2
Tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn z1.z + z2 + z1.z − z 2 = k , . Tìm giá trị nhỏ
nhất, lớn nhất của P = z .
k 2 − 4 z2
k
Ta có: max z =
và min z =
2 z1
2 z1

2

Ví dụ1: Trong tất cả các số phức z thỏa mãn z + 4 + z − 4 = 10 , gọi M , m lần
lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất z . Khi đó, giá trị biểu thức P = M − m2
bằng
A. P = −6
B. P = −13
C. P = −5

=3
min

2
Bài toán 4: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 + z2 = m + ni và z1 − z2 = p > 0. Tìm
giá trị lớn nhất của P = z1 + z2 .
PP giải:
 z1 = a + bi
a + c = m
⇒ z1 + z2 = a + c + ( b + d ) i = m + ni ⇒ 
Giả sử: 
c + d = n
 z2 = c + di
Ta có: z1 − z2 = a − c + ( b − d ) i ⇒ z1 − z 2 = ( a − c ) + ( b − d ) = p.
Khi đó:
2

2

2

( 1 + 1 ) ( a + b ) + ( c + d )  = 2 ( a + b + c + d ) .
2
2
2
2
a + c) + ( b + d ) + ( a − c) + ( b − d )
(
m2 + n2 + p 2
2


2

2 ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) = m 2 + n 2 + p 2 ⇒ P ≤ m 2 + n 2 + p 2 ⇒ max P = m 2 + n 2 + p 2
Ví dụ 1: Với hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 + z2 = 8 + 6i và z1 − z2 = 2 . Tìm giá
trị lớn nhất của P = z1 + z2 .
A. 4 6
B. 5 + 3 5
C. 2 26
D. 34 + 3 2
Hướng dẫn:
Áp dụng công thức trên ta được :
P = z1 + z2 ≤ 82 + 62 + 22 = 2 26 ⇒ Chọn đáp án C.
Bài toán 5: Cho số phức z thỏa mãn z − z1=z − z2. Tìm GTNN của T =z − z0.
PP giải:
điều kiện z − z1=z − z2 thực chất là phương trình đường thẳng.
Nếu ta gọi M là điểm biểu diễn z , A là điểm biểu diễn z1 và B là điểm biểu
diễn z2 thì giả thiết tương đương với MA = MA hay M nằm trên đường trung trực
của AB . Gọi I là điểm biểu diễn của z0 thì T = IM .
Vậy IM nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của I trên d . Giá trị nhỏ nhất
bằng min T = d ( I , d ) .
Lưu ý: Không phải phương trình đường thẳng nào cũng có dạng z − z1=z − z2,
cho nên khi gặp giả thiết lạ, cách tốt nhất để nhận biết giả thiết là đường thẳng
hay đường tròn là gọi z = x + yi rồi thay vào phương trình.
Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z + i + 1 = z − 2i . GTNN của z là:

10


1

từ A đến (d).
1 + 1 + 4
=3 2.
Vậy min T =
2
Chọn đáp án D.
A.

Ví dụ 3: Biết rằng số phức z thỏa mãn
u = ( z + 3 − i ) z + 1 + 3i là một số thực. Giá trị

(

)

nhỏ nhất của z là:
A.

B. 2 2

2

C.

Hướng dẫn:
Dùng bất đẳng thức. Đặt z = x + yi, ( x, y ∈ ¡

(

)

34 17
99 23
99 23
− i
C. z =
D. z = − + i
34 17
34 17
Hướng dẫn:
Đặt z = x + yi, ( x, y ∈ ¡ ) ta có M(x;y) là
điểm biểu diễn của z
z − 1 + 3i = 2 + i − z ⇔ 2 x + 8 y + 5 = 0
Tập hợp các điểm biểu diễn của z là
đường thẳng d: 2 x + 8 y + 5 = 0
z + i − 3 = AM ; với A ( 3;−1)
Phương trình đường thẳng ∆ qua A, và vuông góc với d: 4 x − y − 13 = 0
Khi đó z + i − 3 nhỏ nhất khi và chỉ khi AM nhỏ nhất khi và chỉ khi AM ⊥ d .
Khi đó M = ∆ ∩ d .
99 23
 99 23 
− i
Tìm M  ; − ÷. Vậy z =
34 17
 34 17 
Chọn đáp án C.
Ví dụ 5: Gọi z là số phức thỏa z − 1 + 2i = z + 3 − i và z − 1 + 2i nhỏ nhất. Khi
đó tổng phần thực và phần ảo của z là:
A. −

5


12


Bài 1. Cho số phức z thỏa mãn z + 2 − 2i = 1 . Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của z lần lượt là:
A. 2 2 + 1;2 2 − 1
B. 2 + 1; 2 − 1
C. 2;1
D. 3 + 1; 3 − 1
Bài 2. Cho số phức z thỏa mãn z + 1 + 2i = 4 5 . Giá trị nhỏ nhất của z lần
lượt là:
A. 5
B. 3 5
C. 5 5
D. 5 3
Bài 3. Trong các số phức z thỏa mãn z − 3 + 4i = z thì số phức z có môđun nhỏ
nhất là:
A. z =

11
+i
2

3
2

B. z = − 2i

5

B. .
C.
D. P = − 2
3
3
Bài 7. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − 2 − i = 1 . Giá trị lớn nhất của z − 1

A. P =

1
4

B. P =

1
2

C. P = −

là:
A. 2 + 1
B. 2 − 1
C. 2
D. 1
Bài 8. Cho số phức z thỏa mãn z + 1 − 2i = 2 . Tích giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của z − i bằng:
A. 5.
B. 2.
C. 1
D. 3

Sau khi hướng dẫn học sinh vận dụng các phương pháp trên trong một số
bài tập cụ thể tôi đã tiến hành kiểm tra sự tiếp thu và khả năng áp dụng của học
sinh các lớp kết quả như sau:

Năm

Lớp

Trước khi thực hiện đề tài
Số học sinh
Số học sinh
trả lời chính
Sĩ
trả lời
xác trong
số chính xác
30s – 1p

201712C5 45
2018

15

Sau khi thực hiện đề tài
Số học sinh
Số học sinh
trả lời chính
trả lời chính
xác trong
xác

của người khác.

Nguyễn Thị Sáu
TÀI LIỆU THAM KHẢO
14


[1]. Sách giáo khoa Giải tích cơ bản và Giải tich nâng cao 12
[2]. Chuyên đề Số Phức của Trần Phương - Lê Hồng Đức
[3]. Chuyên đề Trắc nghiệm Số Phức của tác giả Đặng Việt Đông.
[4]. Rèn luyện kĩ năng giải bài tập tự luận và trắc nghiệm Giải tích 12 của tác giả
Lương Mậu Dũng – Nhà xuất bản Giáo dục.

15