Xử lý số tín hiệu
Chương 5:
Biến đổi Z


1. Biến đổi Z
 Biến đổi Z của tín hiệu rời rạc x(n):

X ( z )  n x(n) z  n


 Biến đổi Z của một chuỗi rời rạc là hội tụ khi:

| X ( z ) | n | x(n) z  n |  


 Tập hợp các giá trị của z làm cho

n
x
(
n
)
z
n


tụ được gọi là miền hội tụ (ROC: region of
convergence) .

hội


ROC : z
Z

X ( z)  1
Vậy: x(n)   (n) 


1. Biến đổi Z (tt)
c. X ( z )  n0 a z


n n

 

 n0 az


1 n

Để X(z) hội tụ thì: |az-1|<1 hay |z|>|a|. Lúc đó:
1
Im
X ( z) 
1
1  az
ROC

1

Để X(z) hội tụ thì: |a-1z|
Z
x(n  n0 ) 

z  n0 X ( z ), ROC  Rx

Z

z m
VD:  (n  m) 

3.

Nhân cho chuỗi luỹ thừa
 z
z x(n)  X  , ROC | z0 | Rx
 z0 
n
0

Z

Ghi chú: Giả sử Rx  a1 | z | a2 thì ROC | z0 | Rx | z0 | a1 | z || z0 | a2

VD: Tìm biến đổi Z và ROC của x(n)  r n cos(0 n)u(n), r  0


2. Tính chất của biến đổi Z (tt)
4.

Đạo hàm của X(z)

7.

Tích chập
Z
x1 (n) * x2 (n) 

X 1 ( z ) X 2 ( z ), ROC  Rx1  Rx2

VD: Dùng biến đổi Z tính tích chập của bộ lọc và tín hiệu
ngõ vào sau:
h = [1, 2, -1, 1]
x = [1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1]


3. Tính nhân quả và ổn định
1.

Điểm cực và zero:
P( z )
X ( z) 
Q( z )

Điểm zero: các giá trị của z làm cho P(z)=0.
Điểm cực: các giá trị của z làm cho Q(z)=0.

Ký hiệu:


3. Tính nhân quả và ổn định (tt)
2.


Vậy: x(n) nhân quả: có ROC nằm ngoài max(p1,…,pN)


3. Tính nhân quả và ổn định (tt)
Xét tín hiệu phản nhân quả có dạng

x(n)  k 1  Ak pknu(n  1)

Im

N

Tín hiệu này có biến đổi Z là:

Ak
X ( z )  k 1
1
1  pk z
N

Mặt phẳng z
p2

p1
ROC

Re
p3




Nếu x(n) phản nhân quả và ổn định:
 | z | 1 ROC
  | pi | 1

| z | min i {| pi |}


4. Biến đổi Z ngược
 Công thức của biến đổi Z ngược:

x(n)   X ( z ) z n1dz
C

Trong đó, C là một đường kín trong miền hội tụ của
biến đổi Z.

Cho những chuỗi thông thường hay các hệ thống
LTI, người ta thường dùng các quy trình đơn giản
hơn để tìm biến đổi Z ngược.


4. Biến đổi Z ngược (tt)
Dùng các tính chất của biến đổi Z và các cặp biến
đổi Z thông dụng



1 

1  p1 z
1  p2 z
1  pM z 1







Với Ai  1  pi z 1 X ( z ) z  pi , i  1, 2, ..., M


4. Biến đổi Z ngược (tt)
VD: Tìm biến đổi Z ngược của
Giải:

1  2 z 1
X ( z) 
1  0.8 z 1  4 z 2

1  2 z 1
0.1
0.9
X ( z) 


1
1
1

 R(z) là đa thức dư của phép chia N(z)/D(z).
 R(z) có bậc nhỏ hơn D(z).
 Biến đổi Z ngược của R(z)/D(z) có thể tìm được như cách ở
trên.


4. Biến đổi Z ngược (tt)
3.

Phương pháp “Khử - phục hồi”:
 Đặt
1
W z  

X ( z )  N ( z )W ( z )
D( z )

 Khai triển phân số từng phần của W(z)

VD: Tìm biến đổi Z ngược của





6  z 5
X ( z) 
, ROC  z z  0.5
2
1  0.25 z

 Công thức biến đổi Z:
 Nhận xét: X ( ) 

 jn
x
(
n
)
e
n


X ( z )  n x(n) z  n


 jn
x
(
n
)
e
 X ( z ) z e j
n


⇒ Biến đổi DTFT chính là biến đổi Z trên vòng tròn

đơn vị (z=ejw).




Đảo thời gian:

5.

Vi phân:

6.

Tích chập:

7.

Định lý Parseval:

DTFT
x(n) 
 X ( )
dX ( )
DTFT
nx(n)  j
d
DTFT
x(n) * y(n)  X ( )Y ( )

1
|
x
(
n



2

d

  X ( )Y


*

( )d


5. Phổ tần số (tt)
 Phổ tần số tuần hoàn với chu kỳ 2π

X (  k 2 )  n x(n)e  jn e j 2k  X ( )


 Khoảng Nyquist: -π≤ω≤π
 Chia thành các miền tần số thấp, trung bình và cao:
π/2

MEDIUM

π

HIGH


 Phổ biên độ của X(ω):

Xét một biến đổi Z đơn giản có 1 cực và 1 zero.
1  z1 z 1 z  z1
X ( z) 

1
1  p1 z
z  p1
 Phổ tần số:

X ( )  X ( z ) z e j
 Phổ biên độ:

X ( ) 

e j  z1
e j  p1

e j  z1
 j
e  p1


5. Phổ tần số (tt)

X ( ) 

e j  z1
e j  p1