Chương 7,8:
BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC
BIẾN ĐỔI FOURIER NHANH
Giảng viên: Ths. Đào Thị Thu Thủy
Chương 7,8:
BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC
BIẾN ĐỔI FOURIER NHANH
7.1 KHÁI NiỆM DFT
7.2 BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC (DFT)
7.3 CÁC TÍNH CHẤT DFT
7.4 BiẾN ĐỔI FOURIER NHANH (FFT)
(BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG TRONG MIỀN TẦN SỐ
RỜI RẠC)
CNDT_DTTT 3
7.1 KHÁI NiỆM DFT
X(ω) có các hạn chế khi xử lý trên thiết bị, máy tính:
► Tần số ω liên tục
► Độ dài x(n) là vô hạn: n biến thiên -∞ đến ∞
Biến đổi Fourier dãy x(n):
jn
n
X( ) x (n)e
ω
ω
+∞
−
=−∞
=
∑
Khi xử lý X(Ω) trên thiết bị, máy tính cần:
► Rời rạc tần số ω -> ω

N
j
π
còn lại
r
N
r
N
jmNr
N
j
mNr
N
WeeW ===
−+−
+
ππ
2
)(
2
)(
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−≤≤
=
∑
−

ϕ
=
Trong đó:
)(kX
-phổ rời rạc biên độ
)](ar
g
[)(
k
X
k
=
ϕ
-phổ rời rạc pha
► IDFT:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−≤≤
=
∑
−
=
: 0
10:)(
1
)(
1

1
)(
10: )()(
1
0
1
0
NnWkX
N
nx
NkWnxkX
N
k
kn
N
N
n
kn
N
► Cặp biến đổi Fourier rời rạc:
Ví dụ 7.1: Tìm DFT của dãy:
{
}
4,3,2,1 )(
↑
=nx
∑
=
=
3

22)3()2()1()0()()1(
3
4
2
4
1
4
3
0
4
jWxWxWxxWnxX
n
n
+−=+++==
∑
=
2)3()2()1()0()()2(
6
4
4
4
2
4
3
0
2
4
−=+++==
∑
=

DFT
NN
kXakXanxanxa )()()()(
22112211
+⎯⎯→←+
► Nếu:
► Thì:
N
DFT
N
kXnx )()(
22
⎯⎯→←
b) Dịch vòng:
)()(
N
DFT
N
kXnx ⎯⎯→←
► Nếu:
)()(
0
0 N
kn
N
DFT
N
kXWnnx ⎯⎯→←−
► Thì:
Với:

, x(n-2)
4
{
}
4,3,2,1 )(
↑
=
nx
x(n)
n
0 1 2 3
4
3
2
1
a)
n
x(n-2)
0 1 2 3 4 5
4
3
2
1
n
x(n+3)
-3 -2 -1 0
4
3
2
1

=
−nx
{
}
3,2,1,4 )3(
4
↑
=
+nx
c) Chập vòng:
N
DFT
N
kXnx )()(
11
⎯⎯→←
NN
DFT
NN
kXkXnxnx )()()()(
2121
⎯⎯→←⊗
► Nếu:
► Thì:
N
DFT
N
kXnx )()(
22
⎯⎯→←

NNNN
nxnxnxnx )()()()(
1221
⊗
=
⊗
)()(
~
)(
22
nrectmnxmnx
NNN
−
=
−
Và:
Dịch vòng dãy
x
2
(-m) đi n đ/vị
Ví dụ 7.3: Tìm chập vòng 2 dãy
{
}
4,3,2,1 )(
2
↑
=
nx
{
}

}
0,4,3,2 )(
1
↑
=
mx
 Xác định x
2
(-m)
4
:
{
}
2,3,4,1 )()(
~
)(
44242
↑
=
−
=
−
nrectmxmx
 Chọn độ dài N:
m
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
4
3
2
1

)(
4242
nrectmxmx
−
=
−
m
0 1 2 3
4
3
2
1
)()(
~
)(
4242
nrectmxmx
−
=
−
 Xác định x
2
(n-m) là dịch vòng của x
2
(-m) đi n đơn vị
n>0: dịch vòng sang phải, n<0: dịch vòng sang trái
x
2
(1-m)
4

2
1
x
2
(-m)
4
► Tìm biến đổi nghịch IDFT 10 điểm của
X(k) = 1 + 2δ(k) với 0 ≤ k ≤ 9
30:)()()(
3
0
424143
≤≤−=
∑
=
nmnxmxnx
m
 n=0:
 Nhân các mẫu
x
1
(m) & x
2
(n-m)
và cộng lại:
26)0()()0(
3
0
424143
=−=

Vậy:
{
}
25,16,23,26 )()()(
424143
↑
=
⊗
=
nxnxnx
7.4 BiẾN ĐỔI FOURIER NHANH FFT
7.4.1 KHÁI NiỆM BiẾN ĐỔI FOURIER NHANH FFT
 Vào những nămthậpkỷ 60, khi công nghệ vi xử lý phát
triểnchưamạnh thì thờigianxử lý phép tóan DFT trên
máy tương đốichậm, do số phép nhân phứctương đối
lớn.
 DFT của x(n) có độ dài N:
10 :)()(
1
0
−≤≤=
∑
−
=
NkWnxkX
N
n
kn
N
 Để tính X(k), với mỗi giá trị k cần có N phép nhân và (N-

1
3,5 ,1n
1
2,4 ,0n
)()(
N
kn
N
N
kn
N
WnxWnx
∑∑
−
=
+
−
=
++=
1)2/(
0r
)12(
1)2/(
0r
2
)12()2()(
N
rk
N
N

1)2/(
0r
2/1
)12()(
N
kr
N
WrxkX
Đặt:
)(.)()(
10
kXWkXkX
k
N
+=
► Lấyvídụ minh họa cho x(n) vớiN=8
∑∑
−
=
−
=
++=
1)2/(
0r
2/
1)2/(
0r
2/
)12(.)2()(
N

N/2
điểm
x(0)
x(2)
x(4)
x(6)
X(0)
X(1)
X(2)
X(3)
DFT
N/2
điểm
x(1)
x(3)
x(5)
x(7)
X(4)
X(5)
X(6)
X(7)
W
0
W
1
W
2
W
3
W

(3)
n chẵn
n lẽ
 Phân chia DFT- N điểm -> 2 DFT- N/2 điểm;
► Qui ước cách tính X(k) theo lưu đồ:
- Nhánh ra của 1 nút bằng tổng các nhánh vào nút đó
-Giátrị mỗi nhánh bằng giá trị nút xuất phát nhân hệ số
► Sau đó đánh lạichỉ số theo thứ tự các mẫux(n),tiếptục
phân chia DFT củaN/2điểm thành 2 DFT củaN/4điểm
theo chỉ số nchẵnvàlẽ và cứ thế tiếptục phân chia cho
đến khi nào còn DFT 2 điểmthìdừng lại.
► Ví dụ X
0
(k) được phân chia:
∑∑
−
=
−
=
==
1)2/(
0r
2/
1)2/(
0r
2/0
)()2()(
N
kr
N

1)4/(
0l
4/2/
1)4/(
0l
4/
)12()2(
N
kl
N
k
N
N
kl
N
WlgWWlg
)(.)(
012/00
kXWkX
k
N
+=
 Phân chia DFT- N/2 điểm -> 2 DFT- N/4 điểmcủaX
0
(k)
DFT
N/4
x(0)
x(4)
W

X
01
(1)
W
2
N/2
W
3
N/2
 Phân chia X
1
(k) tương tự:
)(.)()(
112/101
kXWkXkX
k
N
+=
DFT
N/4
x(1)
x(5)
W
0
N/2
W
1
N/2
X
10

3
N/2