ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
- - - - - - - - - o0o - - - - - - - - -

HÀ THỊ LY

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LYAPUNOV ĐỂ NGHIÊN CỨU
TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH BỊ NHIỄU

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
- - - - - - - - - o0o - - - - - - - - -

HÀ THỊ LY

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LYAPUNOV ĐỂ NGHIÊN CỨU
TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH BỊ NHIỄU

Chuyên ngành:

TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số:

60460102


1.5.2 Định lý thứ nhất của Lyapunov về sự ổn định . . . . . . .
1.5.3 Định lý thứ hai của Lyapunov về sự ổn định tiệm cận . . .
1.5.4 Định lý thứ ba của Lyapunov về sự không ổn định . . . . .
1.6 Các ví dụ về phương pháp hàm Lyapunov . . . . . . . . . . . . . .
2 Sử dụng phương pháp số đặc trưng Lyapunov-Bagdanov để
nghiên cứu tính ổn định của các hệ động lực
2.1 Định nghĩa hệ động lực trên thang thời gian đều và một vài khái
niệm mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Định nghĩa hệ động lực trên thang thời gian đều . . . . . .
2.1.2 Định nghĩa tập bất biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Tập ω - giới hạn của hệ động lực . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Chuyển động ổn định theo Lagrange . . . . . . . . . . . . .
2.1.5 Điểm đứng yên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1

5
6
6
9
10
11
16
18
18
21
22
23
25
25
26

.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

39
39
42
49
52

2


Mở đầu
Trong các mô hình ứng dụng của lý thuyết phương trình vi phân, chúng ta
thường gặp các bài toán liên quan đến các hệ phương trình vi phân phi tuyến
hoặc một tập nghiệm nào đó của các phương trình vi phân. Trong các trường

học tập và bảo vệ luận văn.
Cuối cùng tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn gia đình, người thân đã là chỗ dựa
vững chắc cho tôi trong cuộc sống và học tập.
Mặc dù đã có nhiều sự cố gắng nhưng bản luận văn khó tránh khỏi những
thiếu sót. Tôi rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn để bản
luận văn được hoàn thiện hơn.
Hà Nội, tháng 10 năm 2015

Hà Thị Ly

4


Chương 1

Sử dụng các phương pháp Lyapunov
để nghiên cứu tính ổn định nghiệm
của các hệ phương trình vi phân.
Bài toán nghiên cứu tính ổn định của các hệ phương trình vi phân là một
trong những bài toán cơ bản của lý thuyết định tính phương trình vi phân. Để
xác lập các điều kiện đủ cho tính ổn định của các nghiệm hoặc tập nghiệm của
hệ phương trình vi phân ta có thể sử dụng các phương pháp của nhà toán học
Nga A.M. Lyapunov. Phương pháp này được Lyapunov xây dựng từ năm 1918
(xem [2]) và ngày nay đã được phát triển thành một lý thuyết khá hoàn thiện
và có khả năng áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học
tự nhiên.
Trong chương 1 của bản luận văn này, chúng tôi sẽ dành cho việc trình bày
lại một số kết quả cơ bản nhất của các phương pháp nghiên cứu tính ổn định
chuyển động của Lyapunov. Đó là phương pháp số mũ Lyapunov (xem [4]) và
phương pháp hàm Lyapunov (xem [4], [8]). Dựa vào các phương pháp cơ bản

= f (t, x(t)),
(1.1)
dt
trong đó t ∈ R+ , x(.) ∈ B và hàm f : R+ × D → B với D là miền đơn liên trong

không gian Banach B. Từ nay về sau nếu không nói gì thêm ta sẽ hiểu nghiệm
của (1.1) là nghiệm theo nghĩa cổ điển như sau:
Định nghĩa 1.1. Hàm x = x(t), (x : I → B; I ⊂ R+ xác định trên I , khả vi liên
tục theo t ∈ I ) được gọi là nghiệm của (1.1) nếu khi thay vào (1.1) ta thu được
một đồng nhất thức trên I . Tức là
dx(t)
= f (t, x(t)), ∀t ∈ I.
dt

Bài toán Cauchy: Tìm nghiệm x = x(t) của phương trình (1.1) thỏa mãn
điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 với (t0 , x0 ) ∈ I × B cho trước.
Tương ứng với phương trình (1.1) ta thường xét phương trình tích phân sau:
t

x(t) = x0 +

f (τ, x(τ ))dτ.

(1.2)

t0

Nhận xét: Nếu hàm f liên tục theo chuẩn trong B thì ta có thể chỉ ra rằng
nghiệm của (1.2) là nghiệm của bài toán Cauchy và ngược lại.Sau đây ta ký hiệu:
S(ε,η) = (t, x) ∈ R+ × B : |t − t0 | ≤ ε, ||x − x0 || ≤ η ,


(Sx)(t) = x0 +

f (τ, x(τ ))dτ.
t0

Ta có:
t

f (τ, x(τ ))dτ || ≤ ||t − t0 || sup ||f (τ, x(τ ))||

||(Sx)(t) − x0 || = ||

τ ∈[t0 ,t]

t0

≤ δM1 ≤ η.

Suy ra toán tử S là ánh xạ đi từ Bη vào Bη .
Hơn nữa, với x1 , x2 ∈ Bη , từ điều kiện Lipschitz ta có đánh giá:
t

||f (τ, x2 (τ )) − f (τ, x1 (τ ))||dτ

||(Sx2 )(t) − (Sx1 )(t)|| ≤
t0

t


n!
[δM ]n
n
n
||S x2 − S x1 || ≤
|||x2 − x1 |||.
n!

|| (S n x2 ) (t) − (S n x1 ) (t) || ≤

7


n

]
n
Do [δM
n! → 0 khi n → +∞ nên với n đủ lớn thì S là toán tử co trong Bη . Do
đó, sử dụng định lý ánh xạ co ta có thể suy ra rằng phương trình tích phân
t

f (τ, x(τ ))dτ.

x(t) = x0 +
t0

Nên x(t) = (Sx)t có nghiệm duy nhất. Do đó tồn tại duy nhất nghiệm
x(t) ∈ Bη (x0 ).
Định lý 1.2. (Sự kéo dài nghiệm của bài toán Cauchy).

= f (t, x (t)) ,
dt

và
f (t, x) ≤ L ( x ) ,

nên ta suy ra
L( x ) ≥

d x
dt

.

Lấy tích phân dọc theo đường cong x = x(t) từ điểm x0 = x (t0 ) đến điểm x
theo chiều tăng của t ta được:
t

t

1
d x
·
dr
dt
L( x )

dr ≥
t0


d x
.
L( x )

dp
→ ∞, khi p → ∞. Ta suy ra:
L(p)

* Nếu p = x(t) → ∞ khi t → ∞ thì định lý được chứng minh.
* Ngược lại nếu r < ∞, ∀t ∈ R thì nghiệm đã được kéo dài.
1.1.2

Hệ rút gọn

Trong không gian Banach B xét hệ phương trình vi phân
dy
= Y (t, y) ,
dt

(1.4)

(0,1)
với Y ∈ Cty
(Ω) và Ω = {(t, y) |a < t < ∞, y ∈ B} .
Trong đó, mỗi điểm (t0 , y0 ) đối với hệ (1.4) với điều kiện ban đầu y (t, t0 , y0 ) =
y0 . Trong phần này ta giới hạn chỉ xét nghiệm thực.
Giả sử η = η (t) (a < t0 < ∞) là nghiệm của hệ (1.4) và ta cần nghiên cứu tính
ổn định của nó. Gọi UH(η(t)) là lân cận của nghiệm đó sao cho UH(η(t)) ⊂ B với
t ∈ [0, +∞), trong đó




1.1.3

Các khái niệm về ổn định

Để nghiên cứu tính ổn định của phương trình vi phân chúng ta thường áp
dụng các phương pháp của Lyapunov. Đó là phương pháp số mũ Lyapunov hoặc
phương pháp hàm Lyapunov. Trước hết chúng tôi sẽ nhắc lại các khái niệm về
sự ổn định của nghiệm tầm thường của hệ (1.5) được định nghĩa như sau.
Định nghĩa 1.2. Nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình vi phân (1.5) được
gọi là ổn định theo Lyapunov khi t → +∞ nếu ∀ε > 0, t0 ∈ R+ ; ∃δ = δ (t0 , δ) > 0:
∀x0 ∈ H0 ; x0 < δ ⇒ x (t, t0 , x0 ) < ε; ∀t ≥ t0 .

Định nghĩa 1.3. Nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình vi phân (1.5)
được gọi là ổn định đều theo Lyapunov nếu số δ trong định nghĩa (1.2) có thể
chọn không phụ thuộc vào t0 .
Định nghĩa 1.4. Nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình vi phân (1.5)
được gọi là ổn định tiệm cận khi t → ∞ nếu
(i) Nghiệm tầm thường x ≡ 0 là ổn định.
(ii) Tồn tại ∆ > 0 sao cho với mọi x0 ∈ H0 và x0 < ∆ thì
lim

t→+∞

x (t, t0 , x0 (t)) = 0.

Định nghĩa 1.5. Nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình vi phân (1.5)
được gọi là ổn định tiệm cận đều khi t → +∞ nếu
(i) Nghiệm tầm thường x ≡ 0 là ổn định đều.

Lyapunov

Cho một hàm giá trị phức f (t) xác định trên khoảng [t0 , +∞).
Định nghĩa 1.8. Định nghĩa về giới hạn trên.
Số α được gọi là giới hạn trên của hàm f (t) khi t → +∞ nếu α là số lớn nhất
trong các giới hạn riêng của hàm f (t), ký hiệu α = lim f (t).
t→+∞

Định nghĩa 1.9. Định nghĩa về số mũ đặc trưng Lyapunov.
Số (hoặc ký hiệu ±∞) được xác định bởi công thức
1
ln |f (t)| ,
t→∞ t

χ [f ] = lim

(1.6)

được gọi là số mũ đặc trưng Lyapunov của hàm f (t) (hay số mũ đặc trưng).
Ví dụ 1.1. Áp dụng công thức (1.6) ta được
χ [tm ] = 0; χ [exp (±) sin t] = 1;
χ [c = 0] = 0; χ [exp (−t exp sin t)] = −e−1 ;
χ exp t cos 1t
χ exp −t cos 1t

= 1; χ tt = ∞;
= −1; χ t−1 = −∞.

Quy ước: χ [0] = −∞.
Lưu ý một số tính chất:

1
ε
ln |f (t)| < α + .
t
2

Suy ra |f (t)| < exp α + 2ε t.
Do đó, ta có
lim

t→∞

exp

|f (t)|
α + 2ε t exp

ε
2t

≤ lim exp −
t→∞

ε
t = 0.
2

Vậy điều kiện (1.7) là thỏa mãn.
Cho dãy tk → ∞ khi k → ∞, thực hiện đẳng thức (1.9), tồn tại N > 0 sao cho
với k > N , ta có

ε
exp
tk = ∞.
2

Vậy (1.8) đúng.
Điều kiện đủ. Từ (1.7) cho t đủ lớn để có |f (t)| < exp (α + ε) t và khi ε > 0 tùy
ý, ta có
χ [f ] ≤ α.

Bây giờ ta cho dãy tk → ∞ khi k → ∞, thỏa mãn (1.8). Do đó với k đủ lớn thì
|f (tk ) | > exp (α − ε) tk .

Ta có
1
ln |f (tk ) | ≥ α − ε.
k→∞ tk

χ [f ] ≥ lim

Do đó, ta có
χ [f ] ≥ α.

Như vậy nếu điều kiện (1.7) và (1.8) đồng thời thỏa mãn thì χ [f ] = α.
12


Chú ý 1.1. Từ bổ đề trên, nếu χ [f ] = α thì khi t → ∞, |f (t)| sẽ tăng chậm hơn
bất kỳ hàm mũ y2 = e(α+ε)t nào với ε > 0 và theo một dãy tk → ∞ nào đó |f (t)|
sẽ tăng nhanh hơn bất kỳ hàm mũ y2 = e(α−ε)t .

Do đó,
n

fk (t) ≤ α.

χ

(1.10)

k=1

2. Giả sử α = χ [fl (t)] > χ [fk (t)] = αk , k = l.
Theo bổ đề (1.1), tồn tại một dãy tm → ∞ khi m → ∞ mà
|fl (tm )|
= ∞.
m→∞ exp (α − ε) tm
lim

Vì αk = −∞, ta có
n

fk (tm )
k=1

exp (α − ε) tm

≥

|fl (tm )|
−



Định lý 1.4. Số mũ đặc trưng của tích một số hữu hạn các hàm fk (t), k =
1, 2, ..., n không vượt quá tổng các số mũ đặc trưng của các hàm đó, tức là
n

n

fk (t) ≤

χ

(1.11)

χ [fk (t)].
k=1

k=1

Chú ý 1.3. Ta giả thiết rằng +∞ và −∞ là không có đồng thời trong số mũ
đặc trưng.
Chứng minh. Ta có
n

χ
k=1

fk (t) = lim 1t ln
t→∞


χ [fk (t)].
k=1

Vậy ta có (1.11).
Ví dụ 1.2. 1. χ et e−4t = χ e−3t = −3 hoặc χ et e−4t = χ et + χ e−4t =
1 − 4 = −3.
2. χ et cos t e−t cos t = χ [1]. Trong khi đó,
χ et cos t e−t cos t < χ et cos t + χ e−t cos t = 2.

Định nghĩa 1.10. Số mũ đặc trưng của f (t) được gọi là chặt nếu tồn tại giới
hạn hữu hạn
1
lim ln |f (t)| = α.
(1.12)
t→∞

t

Định lý 1.5. Hàm f (t) có số mũ đặc trưng chặt khi và chỉ khi
χ [f ] + χ

1
= 0.
f

Chú ý 1.4. Trong trường hợp này hiển nhiên f (t) = 0 với t > T .
Chứng minh. Điều kiện cần. Từ (1.12) ta có:
1
1
1


(1.13)


Định lý 1.6. Nếu một hàm f (t) có số mũ đặc trưng chặt thì số mũ đặc trưng
của tích của các hàm f (t) và g(t) bằng tổng các số mũ đặc trưng của chúng.
χ [f g] = χ [f ] + χ [g] .

(1.14)

Chứng minh. Theo Định lý 1.4, ta có
χ [f g] ≤ χ [f ] + χ [g] .

Đồng thời ta có
1
f

χ [g] = χ gf

≤ χ [f g] − χ [f ] ,

suy ra
χ [g] + χ [f ] ≤ χ [f g] .

Bất đẳng thức này cùng với điều kiện đầu tiên cho (1.14).
Hệ quả 1.1. χ eαt f (t) = α + χ [f (t)].
Bây giờ ta xét số mũ đặc trưng của một tích phân. Một cách tự nhiên nó sẽ
liên quan đến số mũ đặc trưng của hàm dưới dấu tích phân.
t


t

|F (t)| ≤

t

M e(α+ε)τ dτ

|f (τ )| dτ ≤
t0

t0

M
M (α+ε)t
e(α+ε)t − e(α+ε)t0

χ [F ] = max χ [fij ] ,
i,j

được gọi là số mũ đặc trưng của ma trận F (t).
Bổ đề 1.2. Số mũ đặc trưng của một ma trận hữu hạn chiều trùng với số mũ
đặc trưng của chuẩn của nó, tức là
χ [F ] = χ [ F ] .

Ở đây chuẩn của ma trận A có thể hiểu một trong ba chuẩn sau:
A

I

|ajk |;

= max
j

k
1/2

m

A

II

|ajk |; A

= max


≤ F (t)

III.

II

và với chuẩn thứ


Từ hai bất đẳng thức này, do tính đơn điệu của số mũ đặc trưng, ta có
χ [F ] ≤ χ [ F ] .

(1.15)

Đồng thời
F (t) ≤

|fij (t)|.
i,j

Điều này rõ ràng đúng với hai chuẩn đầu và với chuẩn thứ ba ta sử dụng bất
đẳng thức
1/
2
F (t)

III

|fij (t)|2


F (t) =

Fk (t) .
k=1

Do tính đơn điệu của số mũ đặc trưng và theo Định lý 1.3, ta có
N

χ [ F (t) ] ≤ χ

Fk (t)

≤ max χ [ Fk (t) ] = max χ [Fk (t)] .
k

k=1

k

Vậy điều đầu tiên của định lý được chứng minh.
Bây giờ cho χ [F1 ] > χ [Fk ] , k > 1 và số mũ đặc trưng này được cho bởi phần
(1)
tử fpq
(t) của ma trận F1 (t). Ở đây F (t) = {fij (t)} và Fk (t) = fijk (t) . Theo quy
tắc cộng ma trận
fpq(k) (t),

fpq (t) =
17


Fs (t) do đó F (t) ≤

Chứng minh. Cho F (t) =
s=1

Fs (t) . Sử dụng định lý
s=1

(1.4) ta thu được
N

N

χ [F ] = χ [ F ] ≤

χ [Fs ] .

χ [ Fs ] =
s=1

s=1

Hệ quả 1.3. Số mũ đặc trưng của tổ hợp tuyến tính một số ma trận
Cs Fs (t), (Cs = 0) ,
s

không vượt quá số mũ đặc trưng lớn nhất trong số các số mũ của các ma trận
đó và trùng với với số đó nếu chỉ có một ma trận có số mũ đặc trưng lớn nhất
đó.

2

.

Do đó,
−2L ≤

d x

2

x

dt
2

≤ 2L.

Lấy tích phân bất đẳng thức cuối từ t0 đến t, ta được
−2L (t − t0 ) ≤ 2 ln x (t) − 2 ln x (t0 ) ≤ 2L (t − t0 ) .

Chia cho t và cho t → ∞, ta được
−L ≤ χ [ x ] ≤ L.

Bây giờ ta xét hệ tuyến tính
x˙ = A (t) x, x ∈ Rn , A ∈ C [t0 , ∞) .

(1.17)

Định lý 1.11. Nếu sup A (t) ≤ M thì nghiệm không tầm thường x(t) của hệ

χ [x] = lim

ở đây n là số tự nhiên.
Chứng minh. Rõ ràng
1
1
ln |x (n)| ≤ lim ln x (t) = χ [x] .
n→∞ n
n→∞ n
lim

Nếu ta chỉ ra một dãy số nguyên nk → ∞, (k → ∞) mà
1
ln x (nk ) ≥ χ [x] ,
x→∞ nk
lim

(1.19)

thì bổ đề sẽ được chứng minh vì dãy thỏa mãn đẳng thức (1.18).
Cho tk → ∞ là một dãy có giới hạn trên trong định nghĩa của số mũ đặc
trưng,
1
ln x(tk ) = χ [x] .
k→∞ tk
lim

Xét tập hợp nk = [tk ] và chứng tỏ dãy này là cần tìm. Thật vậy,
1
1

t

≤ 2M đúng.

Thậy vậy, ta có
−3M
1
1
1
3M
+ ln x (tk ) ≤
ln x (nk ) ≤ ln x (tk ) +
.
nk
tk
nk
tk
nk
1
k→∞ nk

Theo nguyên lý hội tụ kẹp, lim

ln x (nk ) tồn tại, và từ giới hạn ở vế trái

của bất đẳng thức cuối cùng ta có điều phải chứng minh.
20


Hệ quả 1.5. Đối với nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của hệ (1.17) các mệnh đề sau


Chứng minh. Theo công thức Ostrogradskii-Liouville, ta có
t

DetX (t) = DetX (t0 ) exp

SpA (τ ) dτ .
t0

Do đó,




t

χ [DetX] = χ exp

SpA (τ ) dτ  .
t0

Định thức là tổng của n! số hạng, mà mỗi số hạng là tích của n phần tử của
ma trận từ các cột khác nhau. Từ đây và định lý (1.3) và (1.4), ta có
m

χ [DetX] ≤

rs αs = σX .
s=1


(1.23)

B (t) = L−1 (t) A (t) L (t) − L−1 (t) L˙ (t) .

(1.24)

Định nghĩa 1.13. Phép biến đổi (1.22) được gọi là phép biến đổi Lyapunov
nếu:
1. L ∈ C 1 [t0 , ∞).
˙
2. L(t), L− 1(t), L(t)
bị chặn với mọi t ≤ t0 . Ma trận L(t) có các tính chất này
được gọi là ma trận Lyapunov.
Chú ý một số tính chất của phép biến đổi Lyapunov.
1. Các phép biến đổi Lyapunov tạo thành một nhóm.
2. Các phép biến đổi Lyapunov không làm thay đổi số mũ đặc trưng.
3.
t
1
t→∞ t

lim
t→∞

1
t

t
1
t→∞ t

tầm thường của hệ (1.25) trong trường hợp sau đây. Giả sử nhờ phép biến đổi
Lyapunov hệ (1.25) có thể đưa được về hệ
y˙ = By, trong đó B = (bij )m×n là ma trận hằng.

(1.26)

Như chúng ta đã biết nếu tất cả các nghiệm đặc trưng λj (B) của hệ (1.26)
đều có phần thực âm, tức là
Reλj (B) < 0, j = 1, 2, ..., n,

khi đó nghiệm tầm thường của (1.26) là ổn định tiệm cận thì từ tính giới nội của
L(t) và L−1 (t) ta có thể suy ra tính ổn định tiệm cận của nghiệm tầm thường
của hệ (1.25).
22


1.4.4

Một số ví dụ về phương pháp số mũ

Ví dụ 1.3. Xét phương trình tiến hóa (xem [3], [5]).
t

u(t) = T (t − s)x +

T (t − τ )F (τ, u(τ ))dτ.

(1.27)

s


 x˙ = −2x + y + 1 xy,
2
 y˙ = −x − 2y +

1+t
1
(x2 + y 2 ).
2 + t2

(1.29)

Ta thấy
+∞
0

1
dt < +∞;
1 + t2

+∞
0

1
dt < +∞, ∀t ∈ R+ .
2 + t2

(1.30)

Vì vậy, để xét tính ổn định của hệ (1.29) ta xét hệ thu gọn