một số phơng pháp sử dụng diện tích trong
chứng minh hình học
1. Phơng pháp 1
Sử dụng diện tích để chứng minh quan hệ độ dài của các đoạn thẳng
Ví dụ1
Cho hình bình hành ABCD. Từ điểm B vẽ một cát tuyến cắt cạnh CD tại
điểm M. Từ điểm D vẽ một cát tuyến cắt cạnh BC tại điểm N sao cho
BM=DN. Gọi I là giao điểm của BM và DN. Chứng minh khoảng cách từ A
đến BM bằng khoảng cách từ A đến D N.
Nhận xét
Đối với bài toán này nếu không dùng phơng pháp sử dụng diện tích thì
khó mà giải quyết đợc. Nhng để phát hiện ra bài toán này phải dùng phơng
pháp sử dụng diện tích để chứng minh 2 đoạn thẳng bằng nhau lại càng khó
hơn.
Giáo viên phải gợi mở cho học sinh thấy rằng giả thiết đã có BM=DN
mà phải chứng minh khoảng cách từ A đến BM và DN bằng nhau lại có hai
tam giác BAM và tam giác DAN không thể bằng nhau đợc.
Vậy phải chăng
SVBAM =
SVDAN

Đó là điều mà ngời muốn giải quyết bài toán phải nghĩ tới.
lời giải ( theo hình 1)
SVBAM = S ABCD (SVADM + SVBMC )

kẻ EF đi qua M là EF vuông góc với BC thì
1
1
SVADM + SVBMC = ME.AD + MF .BC
2
2


Tơng tự qua N kẻ PQ AB . Ta cũng chứng minh đợc diện tích tam
giác AND bằng một nửa diện tích hình bình hành ABCD
Vậy
S BAM = S ADN =

1
S ABCD
2

Suy ra 2 đờng cao hạ từ A tới BM, hạ từ A xuống DN bằng nhau ( vì hai đáy
BM = DN theo giả thiết)


Ví dụ 2
Cho tam giác ABC, trung tuyến AM, một đờng thẳng song song với
cạnh BC cắt các cạnh AB, AC và trung tuyến AM lần lợt tại D,E,F. Chứng
minh rằng FD = FE.
Nhận xét
Bài này có thể giải bằng nhiều cách khác nhau nhng ở đây tôi xin phép
trình bầy phơng pháp sử dụng diện tích để chứng minh.
Lời giải (theo hình 2)
Hạ DK và EH vuông góc với AM (K,H AM). Ta có SABM = SACM (1) (có
chung đờng cao và hai đáy bằng nhau BM = MC).
SDBM = SECM (2) (Có đờng cao DI = EN và hai đáy bằng nhau).
Từ (1) và (2) suy ra SABM - SDBM = SACM - SECM
hay SADM = SAEM.

Hình 2


3. Phơng pháp 3
Sử dụng diện tích hình học để chứng minh hai đờng thẳng song song
ví dụ 1
Cho hình bình hành ABCD. Các điểm E,F,G,H thứ tự thuộc các cạnh
AB,BC,CD,DA sao cho EG không song song với AD. Cho biết diện tích
EFGH bằng nửa diện tích hình bình hành. Chứng minh FH//CD.
Nhận xét
Đối với bài toán này thì từ giả thiết diện tích EFGH bằng nửa diện tích
hình bình hành thì ngời giải toán có thể nhận ra ngay đợc sử dụng phơng pháp
diện tích để chứng minh. Nhng chng minh nh thế nào? vận dụng diện tích nh
thế nào? để có đợc FH//CD . đó là một vấn đề hơi khó
Lời giải: (theo hình 4)
Kẻ EM // AD ( M CD )
Nối F với H; H với M; F với M
Gọi khoảng cách giữa hai đờng
thẳng song song EM và AD
là h thì :
E

F

B

C
G
M

Hình 4
1
h. AH

(1)
Lại có S EHM = 2 h.EM S EHM = S AEH + S HDM

Tơng tự ta cũng có S MFE = S EBF + S FMC (2)

D


Từ biểu thức (1) và (2) suy ra
S HEFM = S EHM + S FME = S AEH + S HDM + S EBF + S FMC =

Vậy

S HEFM =

1
S ABCD
2

1
S ABCD
2

1
2

Mà S EFGH = S ABCD (theo giả thiết) SEFMH = S

EFGH


hai đờng cao BH và CK tơng ứng thuộc MN bằng nhau

Nên BHKC là hình chữ nhật do đó MN // BC
Ví dụ 3
Cho tam giác ABC có AB = 4cm; BC = 5cm; AC = 6cm. Gọi I là giao
điểm của các phân giác; G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng
IG//BC
Lời giải (theo hình6)
Ta có SGBM = 1/3 SABM (Vì 2 tam giác có chung đờng cao thuộc AM và đáy


GM =1/3 AM). Tơng tự SGCM =1/3 SACM nên SGBM + SGCM = 1/3(SABM+ SACM) =
1/3 SABC tức là SGBC =1/3SABC (*)
Kẻ ID vuông góc với AB, IK Vuông góc với BC; IE vuông góc với AC thì ID =
IK = IE
đặt chúng bằng r ta có :SIBC = 1/2 BC.IK = 1/2.5.r = 2,5r (1).
mà SABC = SIBC + SICA + SIAB = 1/2BC.IK + 1/2CA.IE + 1/2AB.ID =2,5.r +
1/2.6.r +1/2.4.r = 2,5r + 3r + 2r = 7,5r (2).
Từ (1) và (2) suy ra SIBC = 1/3SABC (**).
Từ (*) và (**) suy ra SIBC = SGBC
kẻ GH vuông góc với BC thì IK và GH
lần lợt là các đờng cao của tam giác
IBC và tam giác GBC nên IK = GH
suy ra tứ IGHK là hình chữ nhật
(vì có IK song và bằng GH; góc K bằng 1V)

Hình 6

Suy ra IG//KH mà K, H thuộc BC suy ra IG//BC.
4. phơng pháp 4

Nếu bài toán này không sử dụng diện tích để chứng minh thì rất khó mà giải
quyết đợc . Khi sử dụng diện tích của tam giác thì bài toán trở nên rất đơn
giản.
Lời giải (theo hình 8)
A
Gọi độ dài các cạnh tam giác là a , đờng cao là h.
Thì Sabc = S AMB +S BMC + SCMA
D
1
1
1
MD. AB + ME.BC + MF . AC
2
2
2
1
= a.( MD + ME + MF )
2
B
1
Vậy Sabc= a.( MD + ME + MF )
hình 8
2
1
Mà
= a.h MD+ME+MF = h không đổi
2

=


AH
AH .BC
2
OD OK S BOC
=
=
Nên
AD AH S ABC
OE S COA OF S AOB
=
=
Tơng tự :
;
BE S ABC CF S ABC
OD OE OF
Do đó:
+
+
=1
AD BE CF
AD OA BE OB CF OC
suy ra
+
+
=1
AD
BE
CF
OA
OB

Vì DH KA ; DI KC
nên ta có : DH . AN = 2 S ADN (1)
DI . CM = 2S CDM (2)
Mà S ADN =

1
S ABCD
2

hình 10

(Vì tam giác AND và hình bình hành ABCD có chung đáy AD và đờng cao t1
2

ơng ứng bằng nhau) . Tơng tự S CDM = S ABCD Nên S ADN = S CDM

(3)

Từ (1), (1) và (3) suy ra : DH . AN = DI . CM
ví dụ 4
Cho tam giác ABC, O là điểm bất kỳ nằm trong tam giác, các tia AO,BO,CO
cắt các cạnh BC,CA,AB lần lợt tại các điểm P,Q,R. Chứng minh rằng:
OA
OB
OC
+
+
3 2.
OP
OQ


Q

R
B
P
hình 11

2

C

Tơng tự ta có:
OP
=
OQ

z 2 + x2
OC
va
=
2
y
OR

x2 + y 2
z2

2
2

2x x y y z z

6. Phơng pháp 6
Sử dụng diện tích để chứng minh một số bài toán cực trị trong hình học.
Các bài toán cực trị trong hình học thờng đợc trình bày theo hai cách:
Cách 1:
Chỉ ra một hình rồi chứng minh hình đó có đại lợng cần tìm cực trị lớn
hơn hoặc nhỏ hơn yếu tố của mọi hình khác.
Cách 2:


Thay điều kiện một đại lợng cực trị bằng các điều kiện tơng đơng, cuối
cùng dẫn đến điều kiện xác định đợc vị trí các đại lợng hình học để đạt cực trị
.
ví dụ 1
cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a, lấy điểm M tùy ý trên đờng chéo AC,
kê ME AB, MF BC . Xác định vị trí của M trên đờng chéo AC để diện
tích tam giác DEF nhỏ nhất. Tìm giá trị đó?
Lởi giải: (theo hình 12)
SVDEM = SVAME (Chung đáy EM , đờng cao bằng nhau)
SVDMF = SVCMF (Chung đáy FM, đờng cao bằng nhau)
SVDEF = SVDEM + SVDMF + SVEMF
1
2

= SVABC SVBEF = (a 2 BE.BF )
Vậy SVDEF nhỏ nhất khi và chỉ khi BE.BF lớn nhất
hình 12
Do BE+BF = a (vì EM = AE = BF do tam giác AEM vuông cân)
a

a, Nhỏ nhất
b, Lớn nhất
Lời giải (theo hình 13)
Kẻ AH BC ; BE AM ; CF AM
Ta có: SABC = SAMB + S AMC =

1
AM .( BE + CF )
2

hình 13

Hay AM ( BE + CF ) = 2 SABC không đổi nên :
a, BE + CF nhỏ nhất AM lớn nhất nên có 2 khả năng xảy ra :
- Nếu AB AC thì AM lớn nhất bằng AB và M B khi đó tổng BE +
CF bằng độ dài đờng cao hạ từ đỉnh C xuống cạnh AB.


- Nếu AC AB thì AM lớn nhất bằng AC và M C , khi đó tổng độ dài
BE + CF bằng độ dài đờng cao hạ từ đỉnh B xuống cạnh AC.
b, BE + CF lớn nhất AM nhỏ nhất.
Vì AM AH nên AM Min AM = AH M H . Khi đó E và F cũng
trùng với H. Nên tổng BE + CF nhận giá trị lớn nhất bằng BC.