ÔN TẬP CUỐI KỲ
PHƯƠNG PHÁP TÍNH
I. Số gần đúng và sai số:
Sai số tương đối:  a
Sai số tuyệt đối:  a =  a . | a |
Số chữ số đáng tin: k  log ( 2  a )
Sai số luôn luôn làm tròn lên (bất kể quá bán hay không).

y  f ( x1 , x2 ,..., xn )
n

y  
i 1

f
 x1 , x2 ,..., xn  xi
 xi

II. Phương pháp trình phi tuyến:
1. Sai số tổng quát:

| f '( x ) |  m  0

| x *  x | 

| f ( x*) |
m

2. Phương pháp chia đôi:

|ba|

| x – x | (công thức hậu nghiệm)
1  q n n-1

A
(C – B) : B = C
1 A

Tính nghiệm:
( x0 ) =
Tính số lần lặp:

n

g (Ans) =

log q  n  x1  x0 
log q

4. Phương pháp Newton :
 Điều kiện: f ‘(x) ≠ 0 trên [a,b]
f (x) f ’’(x)> 0
f ’(x) f ’’(x) < 0 => x0 = a
f ’(x) f ’’(x) > 0 => x0 = b

ATGroup

Page 1





A = ( x10 ) B = ( x20 ) C = ( x30 )

1
D=
a11 ( b1 – a12 B – a13 C ) :
1
E=
a 22 ( b2 – a21 A – a23 C ) :
1
F=
a 33 ( b3 – a31 A – a32 B ) :
A=D:B=E:C=F


Sai số:

|| x ( m )  x ||

|| x

(m)

|| T ||
|| x ( m )  x ( m 1) ||
1 || T ||

|| T ||m
 x ||
|| x(1)  x(0) ||

0 



2. Phương pháp Gauss – Serdel:
 Khi n = 3:

B = ( x20 ) C = ( x30 )

1
D=
a11 ( b1 – a12 B – a13 C ) :
1
E=
a 22 ( b2 – a21 D – a23 C ) :
1
F=
a 33 ( b3 – a31 D – a32 E ) :
B=E:C=F
ATGroup

Page 2




Sai số:

 a11 0



l21 

lii  1
a21a12
a11

u23  a23 

a31a12
a11
l32 
a a
a22  21 12
a11
a32 

a21
a11

a21a13
a11

l31 

a31
a11


a31a12  


b32 
2
a21
a22 
a11

b21 

a21
a11

b33  a33   b312  b322 

b31 

a11

b12  b13  b23  0

VI. Chuẩn vectơ và chuẩn ma trận:
||A||1 : max tổng cột
||A||∞ : max tổng dòng.
k(A) = ||A|| ||A-1|| : số điều kiện
k càng gần 1 : càng ổn định
k càng xa 1 : càng không ổn định.
VII. Đa thức nội suy Largrange, Newton, Spline:
1. Đa thức nội suy Largrange:
 Bài toán: cần tìm 1 đa thức Ln(x) có bậc ≤ n thỏa
n = số điểm – 1

(x0 – xn)
(x1 – xn)
…
(x – xn)

Dk = tích theo hàng
D0
D1
…
Dn
w(x)

n

w(x) =

 (x  x

k

)

k 0

n

yk
Ln(x) = w(x) 
k 0 Dk


(công thức Newton tiến)
h

y n 1
2 y n  2
n y 0
N n(x) = yn +
p+
p(p + 1) +…+
p(p+1)…(p + n – 1) ;
1!
2!
n!
x  xn
p=
(công thức Newton lùi)
h
(2)





Cách làm: lập bảng => N
xk yk
Δ
Δ2
x0 y0
Δ0= y1 – y0
Δ20 = Δ1 – Δ0


c0  c2  0
y1  y0 c1 ( x1  x0 )

x1  x0
3
c1
d0 
3( x1  x0 )

b0 

b1 

y2  y1 2c1 ( x2  x1 )

x2  x1
3

d1 

c1
3( x2  x1 )

g0(x) = a0 + b0(x –x0) + c0(x-x0)2 + d0(x-x0)3
g1(x) = a1 + b1(x –x1) + c1(x-x1)2 + d1(x-x1)3

x  [x0, x1]
x  [x1, x2]



Ví dụ: ta cần tính các giá trị:

 xk4
k 1

n

 xk2 sin yk
k 1

n

 xk2 yk
k 1

n

 sin2 xk
k 1

n

y

k

sin xk

k 1

3
Quad
4
Log
5
Exp
6
không có
7
Pwr
8
Inv

F(x) = A+Bx
F(x) = _+Cx2 = A +B + Cx2
F(x) = ln(A + Bx)
F(x) = AeBx
F(x) = A.Bx
F(x) =A.xB
1
F(x) =
A  Bx


Bước 4: nhập bảng giá trị
 nhập vào bảng như trong màn hình đối với 570ES
 nhập xk , yk (dấu , ) M+ cho đến khi hết bảng đối với 570MS




2. Bảng 3 điểm:
 Đạo hàm cấp 1
 Sai phân tiến (x0, x0+h, x0+2h)

f '( x) 

3 f ( x0 )  4 f ( x0  h)  f ( x0  2h)
2h

 Sai phân hướng tâm (x0-h, x0, x0+h)

f '( x ) 

f ( x0  2h)  f ( x0 )
2h

 Sai phân lùi (x0-2h, x0-h, x0)

f '( x) 

f ( x0 )  4 f ( x0  h)  3 f ( x0  2h)
2h

 Sai số :

M 3h2

6
ATGroup



I   f ( x)dx
a



Cách giải: chia đoạn [a.b] thành n đoạn nhỏ bằng nhau với bước chia h 

ba
. Ta
n

có công thức sau:

h
I  [ y0  2( y1  y2  ...  yn 1 )  yn ]
2


Sai số:

M 2h2
  (b  a )
12

M 2  max f ''( x )
x[ a ,b ]

XI. Công thức Simpson (xấp xỉ tích phân):
b

x[ a ,b ]

( 4)

( x)

XII. Công thức Euler với hệ phương trình vi phân xấp xỉ:
1. Bài toán: tìm yk và sai số.
 y '  f ( x, y )
x   a, b 

 y ( x0 )  y0

2. Công thức Euler:

yk 1  yk  hf ( xk , yk )
Có nghiệm chính xác là
ATGroup

h

ba
n

y ( xk ) .
Page 7


Khi đó sai số : | y ( xk )  yk |
Bấm máy:


 x ''(t )  f (t ) x '(t )  g (t ) x(t )  h(t )
t   a, b

x
(
t
)

x
x
'(
t
)

x
'
0
0
0
 0
 x(t )  x(t0 )  hx '(t0 )

Cách giải:
 x '(t )  x '(t0 )  hx ''(t0 )

Trường hợp:

XIII. Công thức Range – Kutta bậc 4 với phương trình vi phân cấp 1
Cách giải: Trường hợp xấp xỉ tại x1 = x0 + h ( n = 1)

CALC
 Tính K2:
► thay A bằng B CALC
 Tính K3:
► thay B bằng C CALC
 Tính K4:
► thay C bằng D CALC
 Tính y1:
y0 + 1/6(A + 2B + 2C + D)
ATGroup

X? (nhập x0)

=

Y? (nhập y0) =

X? (nhập x0+h/2)

=

Y? (nhập y0+A/2)

=

X? (nhập x0+h/2)

=

Y? (nhập y0+B/2)

 pk qk 

 2   yk 1   rk  2 2  yk
h 
 h 2h 


p q 
  2k  k  yk 1  f k
 h 2h 

Giải hệ phương trình tìm ra các giá trị y1,…..,yn-1
XV. Phương trình Elliptic:

a  x  b
thỏa:
c  y  d

1. Bài toán: tìm hàm u = u(x,y) xác định trên miền D 

  2u
 2u

 f ( x , y ) ( x , y )  D

2
2

x


x
y


j  1, m  1
i  1, n  1;


Trường hợp ∆x = ∆y = h

 4ui , j  ui 1, j  ui 1, j  ui , j 1  ui , j 1  h 2 f ij

j  1, m  1
i  1, n  1;
 Giải hệ tính được giá trị của các ui,j.
XVI. Phương trình Parabolic:
1. Bài toán: cần xấp xỉ hàm u = u(x,t); x là biến không gian; t là biến thời gian xác định
trong miền D = {a ≤ x ≤ b, t > 0} thỏa

ATGroup

Page 9


2
 u
2  u
( x, t )  D
 t   x 2  f ( x, t )


Sơ đồ ẩn:

  ui 1, j  (1  2  )ui , j   ui 1, j   t fij  ui , j 1

i  1, 2,..., n  1
 j  1, 2,...;
 Giải hệ tính được giá trị của các ui,j
XVII. Các đạo hàm cấp cao (phụ lục):

f

(n)

 ln  ax  b  

 1


( n 1)

 n  1!a n
n
 ax  b 

n

n
1   1 a n !
(n) 
f 

 k




Page 10