68

CHƯơNG 3
Vận dụng và triển khai công thức tỷ số diện tích
đánh giá mức độ an toàn của kết cấu

3.1. mở đầu
Trong điều kiện hiện nay, các thông tin mà ta nhận biết được hầu hết
là không chính xác hoặc không chắc chắn(uncertainty), nhưng vẫn cần phải
đưa ra các quyết định, các hành động xử lý một cách hợp lý và đúng đắn.
Chính vì vậy cần phải có một lý thuyết toán học để mô hình hóa những yếu
tố luôn chứa đựng những thông tin không chính xác, không chắc chắn, hay
mơ hồ(vague) ở bên trong nó. Hầu hết các bài toán liên quan đến hoạt động
nhận thức, trí tuệ của con người đều hàm chứa những đại lượng, thông tin
mà bản chất là không chính xác, không chắc chắn, không đầy đủ. Chẳng
hạn, chẳng bao giờ chúng ta có các thông tin, dữ liệu cũng như các mô hình
toán - lý đầy đủ và chính xác cho các bài toán về dự báo thời tiết hay dự
báo về những trận động đất, sóng thần... kể cả những thông tin về thiên tai,
thật khó mà xác định trước được một cách chắc chắn và chính xác.
Trong lĩnh vực tính toán thiết kế và xây dựng công trình, đa số các
trường hợp những mô hình được thiết lập, những sơ đồ tính của kết cấu chủ
yếu được xây dựng trên cơ sở dựa vào các giả thiết, để đơn giản và thuận
lợi trong tính toán. Bản chất của môi trường và các tác nhân tác động luôn
chứa đựng tính chất ngẫu nhiên, rất khó nhận định một cách chính xác, cho
nên chấp nhận các giả thiết trong tính toán thường không phản ánh đầy đủ
những tình huống có thể xảy ra trong thực tế.
Trong các sự vật và hiên tượng tính không chắc chắn có thể tồn tại ở
những mức độ khác nhau và xuất hiện từ nhiều nguồn khác nhau tùy thuộc
vào sự nhận thức của con người. Có những quá trình mà xét về bản chất ta
không thể sử dụng một mô hình toán học nào để mô tả một cách chính xác




70

Tính không chắc chắn
(Uncertainty)

Thuộc về
ngẫu nhiên
(Stochastic)

Khoảng
`
(Interval)

Ngẫu nhiên
(Randomness)

Không chính
thức
(Inforrmal)

Ngẫu nhiên mờ
(Fuzzy randomness)

Thuộc về
ngữ nghĩa
(Linguistic)

Mờ

là quá trình ngẫu nhiên, quá trình mờ và phức tạp nhất là quá trình ngẫu
nhiên mờ đã nêu trong [84]. Sau đây sẽ xem xét việc chuyển mô hình đánh
giá của một hệ thống kỹ thuật (HTKT) chứa các đại lương ngẫu nhiên sang
mô hình đánh giá khi hệ thống chứa các đại lượng mờ.
Theo lý thuyết độ tin cậy, xét một hệ chịu tác động của môi trường
mà véc tơ trạng thái và véc tơ chất lượng được biễu diễn bởi hệ phương
trình :

trong đó:

Lu = q

(3.1)

Gv = u

(3.2)

u = {ui} l véc t trng thái ca h thng kỹ thuật
q = {qi} l véc tơ tác động ngoi qui v ti trng
v = {vi} l véc tơ cht lng ca h thống kỹ thuật.

L: Toán t vi phân hoc i s, l phép ánh xạ từ véc tơ tác động sang
véc tơ trạng thái.
G: Phép ánh xạ từ véc tơ trạng thái sang véc tơ chất lượng.
Các véc t u, q, v l các tham số ngẫu nhiên, chứa các biến không gian x
v thi gian t. Gi 0 l véc tơ không gian cht lng, cha các phn t ch
tiêu cht lng qui nh trc, biu din min an ton ca h thng (các
giá trị cho phép, cng phá hoi, tn s dao ng, gia tc dao ng,
bin dng, chuyển vị ) v W l véc tơ cha HTKT (Véc tơ HT chim


u3

q3
q(t)

L

v3

q1

u1

v1
B
0

u2

q2

v(t)

G

u(t)

v2



L, G tiền định thì V cũng là đại lượng ngẫu nhiên. Nếu biên B không tiền


định thì độ tin cậy được đo bằng xác suất của V rơi vào trong 0. Khi các
~

~

tham số đầu vào và HT mờ và qua hai phép ánh x mờ L , G thì biến
trạng thái và biến chất lượng sẽ là các số mờ. Để ý rằng trong mô hình mờ,
phần tử hoặc hệ kết cấu bị phá hoại được quan niệm ở các mức độ khác
nhau và được biểu diễn bằng một hàm mờ. Trên hình 3.4a khi đặc trưng
chất lượng đạt đến giá trị 1 kết cấu bắt đầu bị phá hoại, quá trình tiếp
tục xảy ra cho đến khi 2 kết cấu bị phá hoại hoàn toàn. Với kết cấu có
i (1 , 2 ), ta nói kết cấu bị phá hoại một phần. Trong khoảng (1 , 2 )

tồn tại ít nhất một giá trị C mà tại đó qua thống kê và kinh nghiệm cho
thấy kết cấu đã được xem là bị phá hoại. Ta gọi giá trị C là giá trị trung
tâm, nó kết hợp với hai giá trị 1 , 2 tạo thành số mờ đặc trưng cho sự phá
hoại của kết cấu.(Hình 3.4b)
( )

( )

1

0

1


74
Trong trường hợp chung, hình dung một pháp tuyến trên mặt B tại một
điểm xét k sẽ cắt không gian chất lượng 0 qua 3 điểm, tạo thành một số
mờ v~k* tại điểm đó. Tham số chất lượng đầu ra tương ứng là ~vk cũng là một
số mờ. Bài toán đánh giá độ tin cậy chuyển sang bài toán so sánh ~vk với ~vk* .
Từ hình 3.3-Không gian mờ chỉ tiêu chất lượng, ta nhận xét về mức độ
an toàn của hệ thống kỹ thuật qua các trường hợp sau :
- Khi ảnh (tham số chất lượng đầu ra ~vk ) thuc min bên trong đường
biên B1 tức là ~vk hoàn toàn không cắt ~vk* nghĩa là ~vk < ~vk* thì h thng k
thut lm vic với mức độ an toàn là 100% hay mức độ phá hoại là 0%.
- nh thuc min ngoi của đường biên B2 tức là ~vk hoàn toàn cũng
không cắt v~k* và ~vk > v~k* thì h thng k thut lm vic với mức độ phá hoại
là 100% hay mức độ an toàn là 0%.
- nh thuc miền nằm khoảng giữa 2 đường biên B1 và B2: H thng k
thut lm vic với các mức độ an toàn khác nhau phụ thuộc vào mức độ
giao nhau của ảnh(trạng thái) với 3 lớp của không gian chất lượng 0.
Như đã nói ở trên, mọi phép đánh giá đều là phép so sánh hai véc tơ,
rộng hơn là hai tập, tổng quát là hai không gian, để thống nhất với sơ đồ
trên Hình 3.2 ta sử dụng phép so sánh của hai véc tơ.
Véc tơ 1 là véc tơ tiêu chuẩn hay có thể gọi là véc tơ chứa các tiêu
chí đánh giá, có số chiều bằng số lượng các tiêu chí về chất lượng kỹ thuật,
mỹ thuật, kinh tếTrị số xác định của mỗi tiêu chí là một điểm hay một
khoảng trên trục của nó. Đối với lĩnh vực kỹ thuật xây dựng, thông thường
giá trị của mỗi tiêu chí xác định một điểm hoặc một khoảng trên trục tiêu
chí. Nói cách khác, biên của véc tơ 1 tùy thuộc vào tiêu chuẩn.
Véc tơ 2 là véc tơ trạng thái của đối tượng được đánh giá. Véc tơ này,
có số chiều và đơn vị đo mỗi chiều tương ứng với véc tơ 1. Với bản chất
của công trình xây dựng là chất lượng suy giảm theo thời gian do sử dụng


~
R R1 , R2 ,..., Ri ,..., Rn



~
~ ~
~
~
Q Q , Q ,..., Q ,..., Q
1

2

i

n

Từ tiêu chuẩn đánh giá, dựa vào các phương pháp xây dựng hàm
thuộc trong lý thuyết tập mờ sẽ nêu trong mục 3.4, xây dựng được hàm
~

thuộc của mỗi tiêu chuẩn Ri (i=1,2,,n) (H.3.5) dưới dạng số mờ tuyến


76
tính (thường dùng số mờ tam giác) hoặc dạng số mờ phi tuyến (thường
dùng dạng Gauss hoặc dạng hình chuông).
Từ kết quả giải bài toán cơ học kết cấu bằng PTHH mờ, xác định
được trạng thái chuyển vị và nội lực của hệ kết cấu dưới dạng các số mờ

a2

c2

b2

x

~

~

Hình 3.6.Tập mờ Qi dạng tổng quát

Hình 3.5.Tập mờ Ri dạng tổng quát
~

Xét tập mờ Qi của phần tử kết cấu thứ i trong tập trạng thái của hệ
~

kết cấu cần đánh giá có hàm thuộc Q (x) và tập mờ Ri của tiêu chuẩn thứ i
i

trong tập tiêu chuẩn được dùng để đánh giá có hàm thuộc R (x) như trên
i

~

~



M

1
2 M

1 0

a

0
Hình 3.7a

x

b x

0
Hình 3.7b

2

1

a 0

b
Hình 3.7c
~


Từ hai nhận xét trên, ta hoàn toàn có thể xem khi mức an toàn của
phần tử là SP =100% thì tương đương với độ tin cậy của nó là Ps =1; và
trong trường hợp ngược lại độ tin cậy của nó là Ps = 0.
~

Trường hợp tổng quát như hình 3.7c, hàm thuộc của tập mờ M i có
một phần bên trái và một phần bên phải trục tung, nghĩa là tập trạng thái có
một phần bị vượt tiêu chuẩn hoặc bị phá hoại (tương ứng với phần gạch
chéo bên trái trục tung) và một phần đạt tiêu chuẩn hoặc an toàn ( tương
ứng với phần bên phải trục tung). Xuất phát từ ý tưởng mô hình giao thoa
~

ngẫu nhiên, về mặt toán học có thể xem hàm thuộc của M i là một dạng
~

phân bố của khoảng an toàn M i , khi đó theo định nghĩa hình học về xác
suất [73]: xác suất xuất hiện phần phân bố bên trái trục tung(phần gạch
~

chéo) của khoảng an toàn M i được tính bằng tỷ số của phần phân bố đó
~

trên toàn bộ phân bố của M i . Xác suất xuất hiện phần phân bố bên trái trục


78
~

tung của khoảng an toàn M i chính bằng xác suất phá hoại của phần tử(độ
không tin cậy Pf của phần tử) được xác định với công thức như sau:



~
M

( x)dx

0
b



(3.6)
~
M

( x)dx

a

Dễ dàng nhận thấy : Pf + Ps = 1 như trong định nghĩa độ tin cậy theo
mô hình ngẫu nhiên.
Sau khi xác định được độ tin cậy của tất cả các phần của hệ kết cấu
ta hoàn toàn có thể xác định độ tin cậy của hệ kết cấu dựa trên định nghĩa
về sự phá hoại cụ thể, xây dựng mô hình tính độ tin cậy theo các sơ đồ điện
hoặc xác định độ tin cậy của hệ kết cấu theo khoảng như công thức sau:
n
i
s


Từ công thức (3.5), (3.6) được trình bày ở trên, để thuận tiện cho
việc sử dụng công thức tính toán độ tin cậy cho các bài toán có các đại
lượng không chắc chắn ở dạng các số mờ tam giác, dưới đây tác giả triển
khai công thức tính độ tin cậy mờ cho kết cấu trong trường hợp số mờ trạng
thái kết cấu và số mờ tiêu chuẩn là các số mờ có hàm thuộc dạng tam giác
như sau.
~

Xét tập mờ Qi của phần tử kết cấu thứ i trong tập trạng thái của hệ
~

kết cấu cần đánh giá có hàm thuộc Q (x) và tập mờ Ri của tiêu chuẩn thứ i
i

trong tập tiêu chuẩn được dùng để đánh giá có hàm thuộc R (x) dạng tam
i

~

~

giác như trên hình 3.8a và hình 3.8b. Ta có các tập mờ Ri , Qi là các số mờ
dạng tam giác, dựa trên các phép toán tính số mờ đã giới thiệu trong
~

~

~

chương 2 xác định được tập mờ khoảng an toàn M i = Ri - Qi cũng là một số

0

a2

c2

b2

x

a

~
Mi

2

0 c b

x

Hình 3.8c.

Hình 3.8b.
~

a).Tập mờ dạng tam giác Qi
~

b).Tập mờ dạng tam giác Ri

Độ tin cậy

2
M

(3.11)

: Ps =

T (3.8), (3.9), (3.10) v (3.11) có 2 trng hp :
+ Khi im 0 thuc on ac :
Pf = x2 / hh1

(3.12)

+ Khi im 0 thuc on cb :
Pf = 1 - (h-x)2 / hh2
x2 / hh1 vi

hay :

(3.13)
0 x h1

Pf(x) =

(3.14)
1 - (h-x)2/ hh2 vi h1 x h1 h2

T (3.10) v (3.13) suy ra độ tin cậy :

x

h

xi

hh1 / 2

1-Đồ thị hàm Ps(x)
2-Đồ thị hàm Pf(x)

~

~

Xét trường hợp tập mờ Ri dạng số tỏ và Qi dạng tam giác :
Trong thực tế, tập tiêu chuẩn có thể ở dạng số tỏ, là một giá trị xác
định. Khi đó xem tập tiêu chuẩn là một trường hợp riêng của số mờ tam
giác với độ rộng trái và độ rộng phải bằng không như trên Hình 3.10b.
~

Nghĩa là tập tiêu chuẩn Ri là một số mờ tam giác với giá trị cận dưới, giá
trị trung tâm và giá trị cận trên bằng nhau (a2 = b2 = c2 ). Việc tính toán tập
~

~

~

mờ khoảng an toàn M i = Ri - Qi , được tính như đối với phép hiệu hai số mờ

0

a2 = c2 = b2

x

a

2

0 c

Hình 3.10c.

Hình 3.10b.
~

~

~

Hình 3.10. Hàm thuộc tập mờ dạng tam giác Qi , Ri và M i
3.3. Ví dụ minh họa

b

x


82

0

5.970594 6.061381

6.152168 x (Tm)

Hình 3.12. Hàm thuộc mômen mờ khả năng tại C
Đánh giá độ tin cậy của kết cấu tại tiết diện C.
~

~

Sau khi xác định được hàm thuộc của hai tập mờ M C và [M ] , ta tiến
hành đánh giá độ tin cậy của kết cấu theo công thức Tỷ số diện tích, công
thức (3.14) và (3.15). Trong bảng dưới đây trình bày kết quả tính độ tin cậy
của kết cấu dầm tính theo một số công thức trong [25], [96], [106] và theo
công thức Tỷ số diện tích đã được vận dụng và triển khai trong luận án.
Bảng 3.1: So sánh kết quả sử dụng công thức tính.
Công thứcTỷ số diện

Công thức [25]

Công thức [96]

Công thức [107]

tích
PS

Pf

của hai tập Ri và Qi mà chưa xét đến tham số bề rộng đáy của phần giao
nhau này, vì vậy dẫn đến kết quả sai khác nhiều so với ba công thức còn
lại.
Như đã biết, để phân tích và đánh giá độ tin cậy của kết cấu công

trình cần phải có dữ liệu ban đầu của các đại lượng trong bài toán đánh giá
độ tin cậy để xây dựng hàm thuộc cho tập trạng thái của phần tử kết cấu và
xây dựng hàm thuộc cho tập tiêu chuẩn. Trong định nghĩa về tập mờ, hàm
thuộc thể hiện vai trò đầy đủ tạo thành tập mờ, do vậy xác định một tập mờ
có nghĩa là xác định hàm thuộc của nó. Do tính năng đa dạng của tập mờ
trên nhiều lĩnh vực và phạm vi nghiên cứu nên hàm thuộc được xác định
theo những phương pháp khác nhau, dưới đây, tác giả luận án trình bày một
số phương pháp thường được sử dụng để xây dựng tập mờ.
3.4. Một số phương pháp xây dựng tập mờ
Các nhà nghiên cứu đã đưa ra rất nhiều phương pháp để tính mức độ
~

thuộc của một đối tượng x vào một tập mờ A , tức là tính (x). Giá trị (x)
có thể xác định được bằng phương pháp trực quan, phương pháp chuyên
gia, phương pháp sử dụng mạng nơron, sử dụng thuật toán di truyền hoặc
có thể tính được thông qua lập luận logic, phương pháp hồi quy mờ [40],
[49], [62], [84]... Dưới đây NCS trình bày tóm tắt một số phương pháp xác
định hàm thuộc cho các đại lượng có tính chất mờ thường được các nhà
nghiên cứu sử dụng trong các ngành kỹ thuật.
3.4.1. Phương pháp chuyên gia [40], [49]
Hàm thuộc của tập mờ được xây dựng dựa vào chuyên gia hiểu biết
về vấn đề quan tâm. Phương pháp chuyên gia gồm hai bước :


84


1

,0 C i 1

(3.18)

i 1

Phương pháp này thường được sử dụng trong công tác chẩn đoán kỹ
thuật và đánh giá sự cố của công trình.
3.4.2. Phương pháp sử dụng mạng nơron [40], [62]
Phương pháp xác định hàm thuộc bằng cách sử dụng mạng truyền
thẳng từ các dữ liệu đầu vào và thu được đầu ra trong một hệ thống gồm
nhiều nơron, là những đơn vị xử lý, cấu tạo và sự hoạt động của nó theo mô
phỏng nơron trong não người. Với đầu vào là dữ liệu x, xử lý qua mạng
nơron ta được dữ liệu đầu ra yi, được xem là mức độ thuộc của điểm dữ liệu
x vào tập mờ Ai, với yi = Ai(x). Phương pháp này được sử dụng trong lĩnh
vực điều khiển mờ, các hệ chuyên gia, robot...
3.4.3. Phương pháp sử dụng thuật toán di truyền [62]
Phương pháp được áp dụng phổ biến trong các bài toán đánh giá khả
năng của một hay nhiều sự kiện, các bài toán chọn quyết định trong trường
hợp bất định... Về bản chất, tập mờ là sự tổng quát hóa của tập kinh điển
nên khi sử dụng các thuật toán di truyền kèm theo những ràng buộc nhất
định ta hoàn toàn có thể xác định được hàm thuộc theo các tập mờ trong
một số trường hợp. Ví dụ, một số hàm thuộc xác định bằng thuật toán di
truyền có thể tìm thấy trong [62].
3.4.4. Phương pháp hồi qui tuyến tính mờ [91]



Lúc này, bài toán phân tích hồi qui được xác định như sau :
Từ tập hợp các dữ liệu tỏ đã cho (x1 , y1), (x2 , y2),..., (xn , yn), chúng ta cần
tìm các hệ số mờ ~1 , ~2 ,..., ~n , mà với các hệ số này, phương trình (3.19)
biểu diễn phù hợp nhất đối với các điểm dữ liệu theo tiêu chuẩn nào đó
thích hợp. Trong [78] sử dụng phương pháp này để xác định hàm thuộc cho
ứng suất mờ của trạng thái kết cấu.


86
3.4.5. Phương pháp trực quan[40], [49], [84]
Phương pháp dựa vào sự hiểu biết trực quan, dựa vào ngữ nghĩa của
các từ để đưa ra các hàm thuộc, phương pháp này được áp dụng để xác định
các tập mờ trên đường thẳng thực dựa trên tập dữ liệu kỹ thuật cho dưới
dạng khoảng, thường biểu diễn các tập mờ thể hiện bằng ngôn ngữ như
chuyển vị lớn, kết cấu rất cứng, ... Ví dụ, khi nói động đất, thường sử
dụng khái niệm: rất yếu, yếu, vừa, hơi mạnh, mạnh, rất mạnh. Về mặt toán
học, có thể quan niệm đó là giá trị của các biến ngôn ngữ (miền xác định là
tập hợp kinh điển) theo từng mức độ thuộc khác nhau, chẳng hạn từ gia tốc
nền đất [37] có thể xây dựng tập mờ cấp động đất D={Rất Yếu, Yếu, Vừa,
Hơi Mạnh, Mạnh, Rất mạnh} trên tập giá trị rõ của gia tốc đỉnh nền đất.
Mỗi giá trị ngôn ngữ trong tập D được mô tả bằng một tập mờ có tập xuất
xứ là các giá trị vật lý của gia tốc nền agR.
Như vậy từ một giá trị rõ của gia tốc nền là a A ta được một vectơ
hàm thuộc D(a) thể hiện mức độ thuộc của cấp động đất thông qua biến
ngôn ngữ là :

a D (a )

Rất Yếu (a)
Yếu (a)

10

x(%)

Hình 3.13. Hàm thuộc tỷ số cản tới hạn mờ của mô hình
Dựa vào các giá trị trên tam giác ta có hàm thuộc của tỷ số cản mờ
như sau:
5 x
1 5 1 ; khi 1 x 5
( x)
1 x 5 ; khi 5 x 10
10 5

(3.21)

3.5. Kết luận chương 3
Trong chương 3 tác giả luận án đã nghiên cứu vận dụng và chứng
minh một công thức đánh giá độ tin cậy cho kết cấu trên cơ sở lý thuyết tập
mờ. Từ kết quả tính toán ta thấy các công thức đánh giá cho kết quả gần
như giống nhau, sai khác giữa các công thức gần như bằng không, cho thấy
công thức Tỷ số diện tích là đáng tin cậy và có thể xem là một công thức
tổng quát để đánh giá độ tin cậy của kết cấu theo mô hình mờ.
Tuy đã có ý tưởng trình bày như trong tài liệu [103] nhưng cho đến
nay trong khả năng tìm kiếm tác giả chưa thấy có công bố nào về việc vận
dụng công và triển khai công thức(4) để đánh giá độ tin cậy trong lĩnh vực
kết cấu, có thể nói đây cũng là một đóng góp của NCS trong việc nghiên
cứu vận dụng cái mới theo hướng chứng minh khác vào lĩnh vực đánh giá
độ tin cậy của kết cấu.
Công thức đánh giá độ tin cậy theo công thức Tỷ số diện tích được
triển khai và chứng minh đủ chặt chẽ và có khả năng áp dụng trong lĩnh

ứng dụng công thức đề xuất trong chương 3 đánh giá mức độ an toàn cho
kết cấu về điều kiện chuyển vị và điều kiện bền.
4.1. Sơ đồ tổng quát các bước đánh giá mức độ an toàn cho kết cấu
Tham số vật liệu,kích thước hình học dạng số mờ

Số liệu đầu vào

Tham số tải trọng tĩnh dạng số mờ
Tham số tải trọng động dạng số mờ
Tập mờ khả năng, tiêu chuẩn về độ bền và độ cứng

mô hình tính kết cấu & PTVP dao
động có tham số mờ

M~ ~x C~ ~x K~ ~x F~

Các giả thiết: -Sàn tuyệt đối cứng
-Khối lượng tập trung ở mức sàn
-Bỏ qua ảnh hưởng biến dạng dọc trục
Sử dụng Nguyên lý Đa Lăm Be viết phương trình
cân bằng động cho các bậc tự do

giảI pTVP dao động có tham số
mờ bằng pp khai triển theo dạng
riêng

nghiệm dạng symbolic của các
thành phần chuyển vị mờ Tại các
bậc tự do




90
4.2. Phương trình vi phân dao động có tham số mờ.
4.2.1. Phương trình vi phân dao động của kết cấu khung chịu tải trọng
động trong trường hợp có tham số mờ
Trong chương 1, NCS đã trình bày nội dung cơ bản về mô hình tính
kết cấu khung phẳng chịu tác dụng của tải trọng động và đưa ra phương
trình vi phân dao động của kết cấu, theo (1.25) ta có:

M x C x K x F

(4.1)

Trong trường hợp bài toán dao động chứa các tham số không chắc chắn
dưới dạng tham số mờ thì phương trình (1.25) được biểu diễn dưới dạng
phương trình vi phân dao động mờ như sau [84]:

M~ ~x C~~x K~ ~x F~
~

~

(4.2)

~

trong đó: [ M ], [ K ], [ C ] lần lượt là các ma trận khối lượng, ma trận độ
cứng và ma trận cản nhớt mờ của hệ kết cấu ( n bậc tự do), có dạng:
~




~
x1
~
~ x 2
x ,

~

x n



r11
~
~
r21

~
rn1

~
r12 ~
r1n
~
r22 ~
r2 n
~

x2
~
x lần lượt là véc tơ gia tốc mờ, tốc độ

~
xn

mờ và chuyển vị mờ của các bậc tự do của hệ kết cấu.
~
~
~
F1 (t ) P1
P1
~ ~
~
~
~~
~ P2
F2 (t ) P2 ~
F P . f (t )
= . f (t ) là véc tơ tải trọng động, với P là



~
~
F~ (t ) P
P
n n
n

det ([ K ] ~ 2 [ M ]) = 0

(4.3)

. Xác định ma trận dạng riêng { ~i } tương ứng với dạng dao động
~
Aki
~
~
riêng thứ i chứa các phần tử ki với ki ~ ;
A1i
~

Trong đó Aki là biên độ dao động của khối lượng thứ k tương ứng
~

với dạng dao động thứ i, và A1i là biên độ dao động của khối lượng thứ 1
tương ứng với dạng dao động thứ i.
Tương ứng với từng tần số dao động riêng mờ ~i (i 1,2...,.n) , để xác
~
định các biên độ dạng dao động riêng Aki (k=1..n), thay ~i vào phương trình

sau :
~
~ ~
([ K ] ~i2[ M ]){ Ai } 0

(4.4)

Giải phương trình (4.4) lần lượt với tất cả ~i (i 1,2...,.n) xác định tất

{ ~i* }=- ([ Bi ]11 ) 1 . {Bi }1 .
Ta có ma trận dạng riêng thứ i chứa các phần tử ~ki được xác định
1 ~1i

1 ~ ~
{ ~i }= ~ * = 2i = 2i ;
i
~ni ~ni
~

. Xác định ma trận vuông [ ] chứa tất cả các ma trận dạng riêng
{ ~i } được gọi là ma trận các dạng chính:
1 1
~ ~
~
~
~
~
[ ]=[ 1 2 n ] = 21 22

~ ~
n1 n 2

1 ~11
~2 n ~21
=


~nn ~n1


ẩn số u~ (t ) biểu diễn hệ số biên độ dao động:
~ ~ ~
~ ~ ~
~ ~
~
[ M ][ ]{u} [C ][ ]{u } [ K ][ ]{u~} {F }

(4.6)

Để có thể nhận được hệ phương trình mà trong đó mỗi phương trình
biểu diễn độc lập một dạng dao động chính, ta nhân 2 vế của phương trình
(4.6) với ma trận {~i }T :

~i T [M~ ][~]{u~} ~i T [C~][~]{u~ } ~i T [ K~ ][~]{u~} ~i T {F~} (4.7)