Đề tài: Một số giải pháp giúp học sinh có kỹ năng giải phương trình chứa tham số

MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH CÓ KỸ NĂNG GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ
I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Toán học là môn học có vai trò và vị trí rất đặc biệt quan trọng trong khoa học
kỹ thuật và đời sống, giúp con người tiếp thu một cách dễ dàng các môn khoa học
khác có hiệu quả .Thông qua việc học toán giúp học sinh có thể vận dụng vào các
môn học khác. Chính vì thế toán học có vai trò quan trọng trong trường phổ thông,
nó đòi hỏi người thầy giáo phải sáng tạo để có những phương pháp giảng dạy giúp
học sinh giải quyết bài toán.
Trong việc học toán cũng như trong việc học các môn khác mà học thuộc bài một
cách cứng nhắc. Không chịu suy nghĩ để các kiến thức tiếp thu được trở thành một
kiến thức sống, linh hoạt hơn, sẵn sàng vận dụng được trong bất cứ trường hợp
nào. Là một giáo viên THPT, trong tình hình hiện nay tôi thấy mình phải tìm tòi,
nắm bắt mọi thông tin, nhằm tự rèn luyện cho bản thân cũng như kỹ năng giảng
dạy được tốt hơn. Để luôn đáp ứng tốt nhu cầu của xã hội và phục vụ tốt cho chủ
trương, đường lối chính sách của Đảng và nhà nước đã đề ra.
Tôi được phân công trực tiếp giảng dạy các lớp 10. Đa số học sinh nhận thức
còn chậm giáo viên cần có phương pháp cụ thể cho từng dạng toán để học sinh
nắm được bài tốt hơn.
Trong chương trình toán THPT, mà cụ thể là phân môn Đại số 10, các em học
sinh đã được tiếp cận với phương trình chứa tham số và được tiếp cận với một vài
cách giải thông thường đối với những bài toán cơ bản đơn giản. Tuy nhiên trong
thực tế các bài toán giải phương trình chứa tham số rất phong phú và đa dạng và
đặc biệt là trong các đề thi Đại học - Cao đẳng -THCN, các em sẽ gặp một lớp các
bài toán về phương trình chứa tham số mà chỉ có số ít các em biết phương pháp
giải nhưng trình bày còn lủng củng chưa được gọn gàng, sáng sủa thậm chí còn
mắc một số sai lầm không đáng có trong khi trình bày. Tại sao lại như vậy?
Lý do chính ở đây là: Trong chương trình SGK Đại số lớp 10 hiện hành được
trình bày dưới dạng ôn tập không có ví dụ, còn bài tập chưa đầy đủ và thời gian rất

Trường tôi nằm ở địa hình không mấy thuận lợi như quý vị đã biết. Do đó học
sinh vào lớp 10 không phải thi tuyển và cũng không xét tuyển nên có nhiều học
sinh còn yếu về học lực. Khả năng tiếp thu của các học sinh trong lớp chưa đồng
đều nên vấn đề giảng dạy còn khó khăn, là vấn đề làm cho người giáo viên nói
chung và bản thân tôi nói riêng luôn phải trăn trở.
Trong quá trình giảng dạy môn toán tại trường THPT tôi nhận ra rằng đa số học
sinh vẫn chưa ý thức được việc học. Phần lớn học sinh lười học, không làm bài tập
về nhà, có chăng là làm để đối phó với giáo viên mà thôi. Đa số học sinh không có
thời gian đọc sách, cũng như tìm kiếm tài liệu tham khảo.Vấn đề này cũng khó
GV: Nguyễn Thị Thu Liền

2


Đề tài: Một số giải pháp giúp học sinh có kỹ năng giải phương trình chứa tham số

khắc phục bởi học sinh của tôi đa phần là con của các gia đình công nhân, nông
dân có hoàn cảnh khó khăn, sau những buổi đi học về các em còn phải phụ giúp
gia đình. Sự quan tâm của ba mẹ đối với việc học của con cái còn hạn chế nhiều
mặt.
Trước khi làm sang kiến kinh nghiệm tôi thấy học sinh lớp 10 giải các bài tập về
giải và biện luận các phương trình, tìm tham số để phương trình thoã điều kiện,…
là học sinh khó mà giải được hoặc giải chưa chặt chẽ và còn thiếu logic.

III) NỘI DUNG ĐỀ TÀI:
1. Cơ sở lý luận
Có lần tôi đọc quyển “tạp chí tuổi trẻ của Bộ Giáo Dục và Đào tạo”, một lời
khẳng định của thầy “Nguyễn Thái Hoè” ( Nguyên giáo viên khối chuyên toán
ĐHSP Vinh) như sau: “Phương pháp dạy giải toán theo yêu cầu của phương pháp
tìm lời giải có nhiều ưu điểm và phát huy tác dụng tốt cho nhiều loại đối tượng”.

phương trình chứa tham số.
Một số giải pháp giúp học sinh có kỹ năng giải phương trình chứa tham
số. Cũng đã được đề cập đến nhưng còn lẻ tẻ chưa phổ biến rộng rải, chưa kết hợp
chặt chẽ hơn nữa là chưa phổ biến rộng rải trong quá trình giảng dạy. Do đó để sử
dụng vấn đề này còn nhiều bất cập, không đồng bộ. Tôi đã quyết định sáng kiến ra
đề tài này mong rằng giúp các em nhạy bén trong việc học toán. Từ đó nhằm rèn
luyện kỹ năng và phẩm chất tư duy về môn học, tiếp thu tri thức của loài người.
2. Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài:
2.1. Phương trình dạng: ax + b = 0 (*)
a Lý Thuyết:
Giải và biện luận phương trình ax + b = 0
 a  0 : phương trình có nghiệm duy nhất x 

b
a

 a=0:

b  0 : phương trình vô nghiệm.
b = 0 : phương trình có nghiệm với mọi x
Tìm giá trị của tham số để phương trình có số nghiệm cho trước
a  0
 phương trình (*) vô nghiệm  
b  0

GV: Nguyễn Thị Thu Liền

4



 m – 3  0  m  3 : (1)  x =

1  2m
m3

Kết luận : m = 3 : phương trình (1) vô nghiệm.
m  3 : phương trình (1) có một nhiệm x =
Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau vô nghiệm
(m2 – 4m + 3) x + m – m2 = 0 (2)
GV: Nguyễn Thị Thu Liền

5

1  2m
m3


Đề tài: Một số giải pháp giúp học sinh có kỹ năng giải phương trình chứa tham số

Gặp bài toán này có học sinh đi giải và biện luận sau đó chọn m thoã đề bài.
Cách giải này chiếm quá nhiều thời gian so với yêu cầu của đề bài. Việc tìm điều
kiện để phương trình vô nghiệm cũng không khó nhưng giải bài toán ngược thì
cũng gây khó khăn cho đa số học sinh học theo kiểu máy móc, thiếu tư duy logic.
a  0
Do đó các em phải biết: phương trình ax + b = 0 vô nghiệm  
b  0
m  1

 m 2  4m  3  0
m3

b  0
m  4m  5  0
m  5



Vậy không tồn tại m để phương trình có nghiệm với mọi x.
b) PT (3) có nghiệm duy nhất  a  0  m  5  0  m  5
Vậy m  – 5 thì PT (3) có nghiệm duy nhất là x =

 m 2  4m  5
m5

Ví dụ 4: Xác định m để phương trình : m2x + m – x + 1 = 0 (4) có nghiệm.
Đối với bài toán này nhiều học sinh không đưa về dạng ax + b = 0 mà xem a =
m2 và b = m – x + 1 là sai. Phải biết đưa về phương trình (m2 – 1)x + m + 1 = 0 (4’)
với a = m2 – 1 và b = m + 1. Thực ra để phương trình có nghiệm thì phương trình

GV: Nguyễn Thị Thu Liền

6


Đề tài: Một số giải pháp giúp học sinh có kỹ năng giải phương trình chứa tham số

đó có nghiệm với mọi x hoặc có nghiệm duy nhất Ta cũng dựa vào phần lý thuyết

trên để tìm điều kiện phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi

Chú ý học sinh thường hay quên trường hợp

  m  1
 m  1
 m2  1  0



  m  1

Bài toán này có thể xét theo hai trường hợp a) và b) của ví dụ 3 rồi lấy giao các
giá trị của m lại chính là kết quả của bài toán đã cho.
Ví dụ 5: Tìm các giá trị của m sao cho phương trình sau có nghiệm duy nhất
2m 1
 m 1
x 1

(5)

Nhiều học sinh còn gặp khó khăn trong cách giải bài toán này và dẫn đến sai xót
như không điều kiện cho mẫu khác không hoặc khi tìm ra một nghiệm thì lại không
đối chiếu điều kiện x  1 .
Khi gặp bài toán trên có chứa biến ở mẫu nên ta phải điều kiện cho mẫu khác
không và biết rằng nghiệm của phương trình phải thoả điều kiện đó. Với điều kiện
đó ta quy đồng và bỏ mẫu đưa về dạng ax + b = 0. Sau đó tìm nghiệm duy nhất của
phương trình và đối chiếu với điều kiện x  1.
Giải
Điều kiện của phương trình (5) là x 1  0 hay x  1 .
Với điều kiện đó ta có
GV: Nguyễn Thị Thu Liền

7

 Khi a = 0 : (**)  bx + c = 0 là phương trình đã biết
 Khi a  0 : (**) là phương trình bậc hai một ẩn với   b2  4ac
 Nếu  < 0 thì phương trình (**) vô nghiệm
 Nếu  = 0 thì phương trình (**) có nghiệm kép: x =

b
2a

 Nếu  > 0 thì phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt:
x1 

b  
2a

;

x2 

b  
2a

Tìm tham số để phương trình bậc hai có số nghiệm cho trước
Cho phương trình : ax2 + bx + c = 0 (**) trong đó a,b,c có chứa
tham số.
i.

Để phương trình (**) vô nghiệm thì:
a  0

b  0

Đề tài: Một số giải pháp giúp học sinh có kỹ năng giải phương trình chứa tham số

a  0

  0

iv.

Để phương trình (**) có hai nghiệm thì:
a  0

  0

v.

Để phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt thì:
a  0

  0

vi.

Để phương trình (**) có nghiệm thì:
a  0

b  0
c  0


vii.

có thể linh hoạt để vận dụng vào giải các bài toán khác cần đến sự lập luận chặt
chẽ nữa.
Ví dụ 6: Giải và biện luận phương trình sau:
(m + 2) x2 – 2m x + m – 3 = 0

GV: Nguyễn Thị Thu Liền

9

(6)


Đề tài: Một số giải pháp giúp học sinh có kỹ năng giải phương trình chứa tham số

Khi gặp bài toán này đa số học sinh nghĩ ngay nó là phương trình bậc hai mà
quên mất hệ số a còn chứa tham số nên a có hai khả năng xảy ra là bằng 0 hoặc
khác 0.
Khi a bằng 0 ta tìm m rồi thay vào phương trình (6) sau đó giải tìm x.
Khi a khác 0 thì ta xét các trường hợp xảy ra của  . Dựa vào  tìm các giá trị
của m và kết luận số nghiệm của phương trình.
Giải:
 Khi m + 2 = 0  m = – 2 : (6)  4x – 5 = 0  x 

5
4

 Khi m + 2  0  m  2 với  '  m2  (m  2)(m  3)  m  6
  '  0  m  6 : (6) vô ngiệm

3

1
m2
Khi 
: (6) có hai nghiệm phân biệt 
m m6
m  2
x 
2
m2


Ví dụ 7: Xác định m để phương trình sau:
( m2 – 3m + 2 ) x2 – 2 ( m – 1 ) x – 1 = 0 (7)
a) Có một nghiệm đơn.

b) Có một nghiệm duy nhất.

Giải:
GV: Nguyễn Thị Thu Liền

10


Đề tài: Một số giải pháp giúp học sinh có kỹ năng giải phương trình chứa tham số

Vì (7) là phương trình có các hệ số chứa tham số nên ta chưa khẳng định được
phương trình bậc mấy. Do đó để phương trình có một nghiệm đơn thì các em phải
nghĩ đến phương trình (7) là phương trình bậc nhất thì a = 0 và b  0.
a) Để phương trình (7) có một nghiệm đơn thì:



 2m2  7m  6  0

m  1

   m  2
m  1


hoặc

m  1

  m  2
m  2

m  3
 
2

 m2

hoặc

m

 2
 m  3m  2  0
 m 1  0


0
 m  3

m  2

   m  3

m  3

hoặc

a  0

 '  0

hoặc

 m2  5m  6  0

 m  3  0

hoặc

m  2

m  3

m  3

 m3

Giải:
Để phương trình có nghiệm kép thì phương trình (9) phải là phương trình bậc
hai thì a khác 0 và thoả thêm điều kiện ' = 0.
a) Để phương trình (9) có nghiệm kép thì:
a  0

 '  0

m  1  0

6m  10  0

GV: Nguyễn Thị Thu Liền

m  1
 
5
m  3


12

m

5
3


Đề tài: Một số giải pháp giúp học sinh có kỹ năng giải phương trình chứa tham số


b  0
c  0


m  2  m  4
 m 2  6m  8  0


3
  2m  3  0
  m 
2
m  2  0


 m  2

Vậy không tồn tại giá trị m thoả đề bài có nghiệm đúng với mọi x.
Đôi lúc gặp các phương trình chưa có sẵn dạng ax 2 + bx + c = 0. Mà khi đó ta
có thể đưa về dạng phương trình ax2 + bx + c = 0 để giải.
Ví dụ 11: Tìm giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm:
(m-2)x 2  7 m 14
 2m (11)
x3

Giải
Phương trình (11) là phương có chứa biến ở mẫu thức nhiều học sinh quên
điều kiện mà quy đồng bỏ mẫu. Vậy khi giải phương trình thì nhận nghiệm có thể
không phải là nghiệm của phương trình. Do đó việc đầu tiên là phải điều kiện cho
phương trình có nghĩa. Sau đó xét trường hợp a bằng 0 xem phương trình có

(11) vô nghiệm.
 Nếu  '  0  m 

7
thì (11’) có nghiệm kép x = – 7 (thoả
4

điều kiện x  3 ). Do đó phương trình (11) có nghiệm.
 Nếu  '  0  m 

7
thì (11’) luôn có hai nghiệm phân biệt. Do
4

đó phương trình (11’) luôn có ít nhất một nghiệm thoả điều
kiện x  3 . Suy ra phương trình (11) có nghiệm.
7
4

Kết luận: Phương trình (11) có nghiệm  m  .
Một số phương pháp và có dạng bài tập tương ứng trên mong sao giúp các em
học sinh rèn luyện cho mình kỹ năng giải và biện luận phương trình chứa tham số
hay tìm các giá trị của tham số để phương trình có số nghiệm cho trước.

GV: Nguyễn Thị Thu Liền

14


Đề tài: Một số giải pháp giúp học sinh có kỹ năng giải phương trình chứa tham số

khả quan .
Trên đây tôi đã trao đổi với các bạn vài kinh nghiệm trong học toán để đạt kết
quả cao. Kinh nghiệm suy nghĩ khi học toán và làm toán cũng như việc rèn luyện
kỹ năng giải toán một cách linh hoạt hơn. Vấn đề này hết sức phong phú, bao gồm
nhiều mặt và có lẻ nói không bao giờ hết. Mong các bạn suy nghĩ về cách học của
mình, đúc rút kinh nghiệm , tìm ra phương pháp học tập tốt nhất để đạt nhiều kết
quả. Tuy nhiên sáng kiến của tôi còn hạn chế và không thể không có sai xót kính
GV: Nguyễn Thị Thu Liền

15


Đề tài: Một số giải pháp giúp học sinh có kỹ năng giải phương trình chứa tham số

mong quý vị, các đồng nghiệp tham khảo và góp ý kiến xây dựng để sáng kiến của
tôi ngày một có hiệu quả cao.Tôi xin chân thành cám ơn.

VI.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Phan Đức Chính – Năm (1957 – 1997 ) - Tuyển tập 30 năm, Tạp chí toán
học và tuổi trẻ - Nhà xuất bản Giáo Dục.
2. GS Trần Tuấn Điệp –Tháng 11 – 1998 - Tạp chí THPT khoa học tự nhiên
– Bộ văn hoá thông tin.
3. Trần Văn Hạo - năm 2009 - Sách giáo khoa Đại Số 10 – Nhà xuất bản
Giáo Dục .
4. Nguyễn Thái Hoè - Xuất bản năm 1999 - Toán học tuổi trẻ - Bộ Giáo Dục
Và Đào Tạo .
5. Trần Văn Hạo( chủ biên), Nguyễn Mộng Hy, Trần Đức Huyên, Lê Văn