Phng trỡnh - Bt phng trỡnh - H phng trỡnh cha tham s Luyn thi THPT Quc gia 2016

CHUYấN :

BI TON THAM S TRONG PHNG TRèNH,
BT PHNG TRèNH V H PHNG TRèNH
I- Lí THUYT: Mt s dng toỏn v phng phỏp tng ng:

Cho hm số y f (x ) liên tục trên tập D. Gi s trờn D tn ti min f x ; max f x , nu khụng
xD

xD

ta cn lp bng bin thiờn v a ra kt lun.
Dng 1:

Phương trình f x m có nghiệm x D

Phng phỏp: ycbt min f x m max f x
xD

Dng 2:

xD

Bât phương trình f x m có nghiệm x D

Phng phỏp: ycbt min f x m
xD

Dng 3:

Thuật ton 1:
i vi bi toỏn khụng cn t n ph





Bc 1: Bin i a PT v dng f x g m hoặc f x g m ; hoặc f x g m
Bc 2: Lp bng bin thiờn ca hm s y f x , có tập xc định Df .
Suy ra: min f x , max f x . (nu cú)
xD

xD

Bc 3: S dng cỏc nhn xột v phng phỏp ó nờu phn trờn, a ra kt lun.
Thuật ton 2:
i vi bi toỏn t n ph
Bc 1: t n ph t x . T iu kin rng buc ca x suy ra min giỏ tr t x .

Giỏo viờn: Lấ B BO...0935.785.115...

-1-

CLB Giỏo viờn tr TP Hu


Phng trỡnh - Bt phng trỡnh - H phng trỡnh cha tham s Luyn thi THPT Quc gia 2016
Gi s: x Df t X .
Bc 1: Lỳc ny, bin i a PT v dng f t h m ,


2
2
2

0x 9

2

BBT:

Do đó: 0 t 9

2

* Lúc đó phương trình (*) trở thnh: 9 2t t 2 m t 2 2t 9 m (**)

Xét hm số f (t ) t 2 2t 9

0 t 9 2 . Ta có: f (t) 2t 2 0 t 1
/

Lp bng bin thiờn:

Giỏo viờn: Lấ B BO...0935.785.115...

-2-

CLB Giỏo viờn tr TP Hu



x 1



3



1
2 x

0x x 



4

x2 1



3



3

 x 6  x 2  1  x 2  x 2  1 (vô nghiệm)
Suy ra, f / x  không đổi dấu trên 0;  , mà


2x  1
2

2 x x 1



2x  1
2

2 x x 1

 0  2x  1 x 2  x  1  2x  1 x 2  x  1



2x  12x  1  0



2x  12x  1  0

2
2














2 
4
2 
4










Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

-3-

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình chứa tham số Luyện thi THPT Quốc gia 2016
Suy ra, f / x  không đổi dấu trên 0;  , mà f / 0  1  0  f / x   0, x   . Do đó


 m  x x  x  12



5x  4 x





5  x  4  x , x  0; 4

Ta có:

3
1

f / x    x 

 2
2 x  12 
Dễ thấy




1
1 
, x  0; 4

nhận giá trị dương trên 0; 4 , hàm số h x   5  x  4  x nghịch biến và nhận giá trị
x x  x  12
dương trên 0; 4 . Suy ra f x  
đồng biến trên 0; 4 . Suy ra phương trình
5x  4 x
f x   m có nghiệm trên 0; 4  f 0  m  f 4  2 3 5  2  m  12.
Phương trình  m 



Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

-4-



CLB Giáo viên trẻ TP Huế


Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình chứa tham số Luyện thi THPT Quốc gia 2016
Bài tập 4: Tìm m để phương trình sau có đúng 3 nghiệm phân biệt: m x 2  2  x  m .
Bài giải: Vì

m



x 2  2  0, x   nên phương trình






2

x  2 1

2

x  2

0
.
x   2


BBT: lim f x   1; lim f x   1 .
x 

x 

Yêu cầu bài toán   2  m  2 .
Bài tập 5: Tìm m để phương trình sau có nghiệm x 3  3x  4  m





x  x 1  1 .




 







x  x 1  1

2

.

Với x  1 thì x  x  1  1  0 , 3x 2  3  0 , x 3  3x  4  0 (xét biến thiên) và
1
1

 0 . Suy ra f / x   0, x  1 . Do đó f x  đồng biến trên 1;  .
2 x 2 x 1
BBT: lim f x    .
x 

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

-5-

CLB Giáo viên trẻ TP Huế

2 4 x. x  5

 0.


x  5; 4
1
 4 x  x  5  
x  .


4 x  x  5
2



BBT:
x

-1
2

-5
+

f'(x)

0

4

5  x  0
 0  x 3  5x  

2  x  4.

x

3

5

x



x 3



5x  x 3
2 x  1

2

BBT: lim f x   0 .
x 

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

-6-

Xét hàm số f t   t 2  4  m 2   t  2  m 3 , ta có f t  liên tục trên 2;  và


3 
4
lim f t    . Ta sẽ chứng minh f 2  0, m  0 . Thật vậy: f 2  m 3  2m 2  .
3
m  0

4
3
2
/
2
Xét hàm số g m   m  2m  , m  0 . Ta có: g m   3m  4m  0  
.
m  4
3

3
t 

BBT:

Dựa vào BBT, ta suy ra f 2  g m   0, m  0 . Suy ra điều phải chứng minh.
Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm

x  3  6x 

x  36  x   m .

3
 6x  x  3  
x  .


6 x  x  3
2



 3 
   3 2, min t  t 3  t 6  3 hay x  3; 6  t  3; 3 2  .
Suy ra: max
t

t




3;6
3;6
 2 




t2  9
Lúc đó phương trình trở thành: t 
 m  t 2  2t  9  2m .




6 2 9
 m  3.
2



x  3  1x m 1  0 .

Bài giải: Điều kiện: x  3;1 .
Đặt t  x  3  1  x  t 2  4  2 x  31  x .
Ta có: t / 

1
2 x 3



1



1x  x  3

2 1x
2 1x x  3

x  3;1

Hoặc: Do t 2  4  2 x  31  x   4  t  2
và t  x  3  1  x  2

x  3  1  x   2

2  t  2;2 2  .



Lúc đó phương trình trở thành: t 2  m  1t  m  3  0  m 

t2  t  3
t 1

do t  1  0, t  2;2 2  .







t2  t  3
t 2  2t  2


/
Xét hàm số f t  
, t  2;2 2  . Ta có: f t  
 0, t  2;2 2 .

6  x  2 4  x 2x  2  m  4





4  x  2x  2 .

Bài giải: Điều kiện: x  1; 4 .
Đặt t  4  x  2x  2  t 2  2  x  2 4  x 2x  2.
Ta có: t / 

1
2 4 x



1
2x  2



2 4  x  2x  2
4  x . 2x  2

 0  2 4  x  2x  2



x  1; 4

BBT:



Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

-9-



CLB Giáo viên trẻ TP Huế


Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình chứa tham số Luyện thi THPT Quốc gia 2016
t

3

2

3
_

f'(t)

0

+
1


x2 x 1 2 .



x2  x 1  x2 x 1  2  7  0

2x  1
2

2 x x 1



2x  1
2

2 x x 1

.

Ta có: t /  0  2x  1 x 2  x  1  2x  1 x 2  x  1



2x  12x  1  0


2
2



1  
1
3 
1  
1
3


x 0
x   x      x   x    




 

 


2
2
4
2
2
4





Lúc đó: t 2  2x 2  2  2 x 2  x  1 x 2  x  1 nên phương trình trở thành:

t2  2
t 2  12
do t  2  0, t  1;1 .
 m t  2  7  0  2m 
2
t 2
t 2  12
t 2  4t  12
/
Xét hàm số f t  
0
, t  1;1. Ta có: f t  
2
t 2
t

2
 

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

-10-

t  2

t  6 .




Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm
Bài giải: Điều kiện: x  2 .
Phương trình 

x 2
x 2
 24
 m  0 (do x  2 )
x
x

x 2
x 2
x 2
2
, khi đó 0  t  4
)
 4 1   1, x  1 (hoặc khảo sát u x  
x
x
x
x
Phương trình trở thành: t 2  2t  m  0  m  t 2  2t, t  0;1 .

2
/
Xét hàm số f t   t  2t, t  0;1  f t   2t  2  0  t  1  0;1 .



+ Ta thấy x  2 không phải là nghiệm của phương trình.
 x 2

x 2
 4
+ Xét x  2 , phương trình  m 
 2  4
 2 (do x  2 )
 x  2
x 2

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

-11-

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình chứa tham số Luyện thi THPT Quốc gia 2016

x 2
4
x 2
x 2
, khi đó
)
 1
 1, x  2  t  1 (hoặc khảo sát u x  
x 2
x 2

t 

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán  1  m  0  0  m  1 .
Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm 5x 2  6x  7  m x  1 x 2  2 .
Bài giải: Điều kiện: x   .





Để ý rằng 5x 2  6x  7  3 x  1  2 x 2  2 .
2

Phương trình  2





2

x 2  2  3 x  1  m x  1 x 2  2 (*)
2

Do x  1 không là nghiệm của phương trình (*), nên (*) tương đương:

2

x2  2
x 1


Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

-12-

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình chứa tham số Luyện thi THPT Quốc gia 2016

6 

Vậy x    t  1;
.

2 



2
6 

.
 3t  m, t  1;

t
2 


Phương trình trở thành:

t 0





Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán  m  ; 2 6   2 6;  .
 
Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:


1
x  x  1 m x 
 4 x x  1  1 .


x 1





Bài giải: Điều kiện: x  1 .

Phương trình 

m x 

 x 1 
Đặt t 


 4 x x  1  x  x  1

1
x 1

 4 x x  1  1  m  x 

x
x 1

4

x 1
 1m .
x

x 1
, khi đó t  0;1 .
x

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

-13-

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình chứa tham số Luyện thi THPT Quốc gia 2016
1

2

x 2  x 1

m.

Bài giải: Điều kiện: x   .
2

 x 2
18



Phương trình  
 1 
 m (*)

 x 2  1
x 2

1
2
x 1
Đặt t 

x 2
x2 1

, khi đó t / 


18
 m, t  1; 5  .

t 1

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

-14-

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình chứa tham số Luyện thi THPT Quốc gia 2016
2
18
18
Xét hàm số f t   t  1 
, t  1; 5   f / t   2 t  1 
 0  t  2.
2

t 1
t 1








t2  1
t2 1
, t  2  f / t   2  0,  t  2 .
t
t

BBT: lim f t   ; lim f t    .
t 

t 

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán  m  

5
5
hoặc m  .
2
2

Bài tập 3: T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh 3 tan x  1 sin x  2 cos x   m sin x  3 cos x  (1) cã

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

-15-

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


Phng trỡnh - Bt phng trỡnh - H phng trỡnh cha tham s Luyn thi THPT Quc gia 2016

2 t 1 t 3 (t 3)
PT (1) 3 tan x 1







Lp bng bin thiờn: lim f t .
t



Ta có, ứng với mỗi t 0 tho mn PT (3), ta được đúng một nghiệm x 0;



có nghiệm duy nhất x 0;
suy ra ycbt l m 2.

2





. Do đó, PT (1)
2
khi v chỉ khi PT (3) có nghiệm duy nhất t 0. Dựa vo BBT,








Phng trỡnh (2) tr thnh: t t 2 3 2 t 2 2 3t m 0 t 3 2t 2 6t 4 m 0 (3)

Giỏo viờn: Lấ B BO...0935.785.115...

-16-

CLB Giỏo viờn tr TP Hu


Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình chứa tham số Luyện thi THPT Quốc gia 2016

1
, ta có với mỗi t  2 cho ta 1 giá trị của x ; với mỗi t thoả mãn t  2
x
cho ta 2 giá trị x . Do đó, (1) có đúng hai nghiệm phân biệt  (3) chỉ có các nghiệm t1  2 và
Từ phép đặt t  x 

t2  2 , hoặc (3) có đúng 1 nghiệm t thoả mãn t  2 . Ta xét hai trường hợp:

8  m  0
TH 1: (3) có đúng hai nghiệm t1  2 và t2  2  
không tồn tại m .




m  f  2  22 
m  16  44 22





3
Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán  
.
27

  

m  0
m  f 2


Bài tập 3: (ĐH A - 2002) Tìm m để phương trình sau có nghiệm thuộc 1; 3 3  :



log23 x  log23 x  1  2m  1  0 .
Bài giải: Điều kiện: x  0 .
Đặt t  log23 x  1  x  1; 3 3   0  log3 x  3  0  log23 x  3


2



Phương trình đã cho  4 4x  4x  4 m  1 2x  2x  2m



Đặt t  2x  2x , x  0;1  t / x   2x  2x





min
t x   t 0  0

0;1

 

ln 2  0, x  0;1  
3

max
t
x

t
1





 3
t2 t  2
, t  0;  .
 2
2t  1



t  1  11
2

2t  2t  5
2

 f / t  

0

2
 

t  1  11  0; 3 
2t  1
 2 

2

BBT:

t 5. PT (2) trở thnh:

Xét hm số f t

t 1
t 3

(2)

t 2 2t 3 m 2 t 3 m 2
2

t 5. Ta có: f t
/

4

t 3

2

t 1
(3)
t 3

0 t 5

Lp bng bin thiờn:

Lúc đó, phương trình (1) có nghiệm x 32; khi chỉ khi PT (3) có nghiệm t 5;

2

3 x 3 4 1x 1
4 x 3 3 1x 1




x 3 2 sin
4 nờn ta cú th t
, 0; .

2

1 x 2 cos






Khi ú ta cú phng trỡnh: m


6 sin 8 cos 1
(2). t t tan , khi ú t 0;1
2
8 sin 6 cos 1

2t




0;1 .
 

BBT:

t

0

1
_

f'(t)
9
7

f(t)

7
9
Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán 

7
9
m  .
9
7

 3 5



3

x2

 0 (1)

Bài giải: Điều kiện: x   .

 3  5 


(1)  2m  2m  1
 2 
 3  5 


Đặt t  
 2 

3

3

x2

 3  5 

x2

 x   log33 5 t . Do đó với t  1 ta có duy nhất x  0 , với

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

2

-20-

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình chứa tham số Luyện thi THPT Quốc gia 2016
t2 1
t 2  4t  1
Xét hàm số f t  
, t  1  f / t  
 0, t  1 .
2
t 2
t  2
BBT:

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán  2m  0  m  0 .

1
Bài tập 3: Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x thoả mãn x  :
2


3
Đặt t   
 2 

. Ta có: x 

2x 2 x

 3
 2 m  1 
 2 

m 1  0

1
 2x 2  x  0  t  1 .
2

t 2  2t  1
, t  1;  .
Bất phương trình trở thành: t  2 m  1t  m  1  0  m 
2t  1
2

Xét hàm số f t  

t 2  2t  1
2t 2  2t  4
, t  1;   f / t  
 0  t  2  1;  .

2







t  1 2t 2  5t  5
t3 t  4
/
Xét hàm số f t  
, t  0  f t  
 0  t  1  0;  .
2
t 1
t  1
BBT:

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán  m  2 .
Bài tập 3: Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x  1;1

m 1  x  12 1  x 2  16x  3m 1  x  2m  15 .
Bài giải: Điều kiện: x  1;1 .


Bất phương trình  m






x 1;1
x 1;1



2t 2  5
Bất phương trình trở thành: 2t  m t  2  5  0  m 
, t   2; 3 2  .


t 2
2

Xét hàm số f t  

2t 2  5
2t 2  8t  5
, t   2; 3 2   f / t  
 0, t   2; 3 2  .
2




t 2
t  2

BBT:

nghiÖm x  0;1  3  .







Bài giải: §Æt t  x 2  2x  2 x  0;1  3  . Ta cã t / 



x 1
2

x  2x  2

 0  x  1.

Ta cã b°ng biÕn thiªn:

Tõ ®ã: 1  t  2.
Víi 1  t  2, ta biÕn ®æi: t  x 2  2x  2  t 2  x 2  2x  2  x (2  x )  t 2  2.
t2  2
BPT (1) trë th¯nh: m(t  1)  t  2  m 
(2)
t 1
t2  2
t 2  2t  2
/

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình chứa tham số Luyện thi THPT Quốc gia 2016
Lóc ®ã, BPT (1) cã nghiÖm x  0;1  3  khi chØ khi BPT (2) cã nghiÖm t  1;2 .


§iÒu n¯y x±y ra khi m  max
 f (2)  2 .
t 1;2
3
Nhận xét: Nếu đề bài yêu cầu tìm m để bất phương trình đã cho nghiệm đúng x  0;1  3 


1
thì yêu cầu bài toán  m  f 1   .
2


x  2y  xy  0
Bài tập 1: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: 
.


x

1

2
y


4y  1  2y  1  m (2)
x  1  2y  1  m







 x  1  2y  1  m




(do





1
x  y  0, x  1; y  )
2

Từ (1) ta thấy với mỗi y 
(2) có nghiệm y 

1
sẽ cho ta một x  1 . Vì vậy hệ đã cho có nghiệm  phương trình

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình chứa tham số Luyện thi THPT Quốc gia 2016
1
Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán  m 
.
2


2x  y  m  0 (1)
Bài tập 1: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: 
.

y

xy

2
(2)



Bài giải: Điều kiện xy  0 .



y 2



y 

y 0

y 0

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán  m  4 hoặc m  2 .
2



3
x

1
 y  m  0 (1)


Bài tập 1: Tìm m để hệ phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: 
.


x  xy  1
(2)



Bài giải: Điều kiện xy  0 .

