Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
--------------

Tên đề tài:
"Vận dụng bất đẳng thức cauchy và bất đẳng thức
BUNHIACôPxKI để giải phơng trình
và hệ phơng trình không mẫu mực"


Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2008 - 2009

"Vận dụng bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bunhiacôpxki
để giải phơng trình và hệ phơng trình không mẫu mực"

12


Sáng kiến kinh nghiệm
Tên đề tài

"Vận dụng bất đẳng thức cauchy và bất đẳng thức
BUNHIACôPxKI để giải phơng trình
và hệ phơng trình không mẫu mực"

I- Đặt vấn đề

Chơng trình toán THCS, nhất là chơng trình Đại số lớp 8 và 9 khi giải

Ta luôn có:

a 1 + a 2 + a 3 + . . . + a n 1 + a n n
a 1 ì a 2 ì a 3 ì . . . ì a n 1 ì a n
n

Dấu bằng xẩy ra khi a1 = a2 = ... = an.
Bất đẳng thức Cauchy còn đợc gọi là bất đẳng thức về trung bình cộng và
trung bình nhân.
* Bất đẳng thứcBunhiacôpxki

Cho n số: a1, a2, a3, ... , an-1, an
và: b1, b2, b3, ... , bn-1, bn

Ta luôn có:

( a 1 b1 + a 2 b 2 + ... + a n b n ) 2 ( a 12 + a 22 + ... + a 2n )( b12 + b 22 + ... + b 2n )
Dấu bảng xẩy ra khi:

a1 a 2
a
=
= ... = n
b1 b 2
bn

Bất đẳng thức trên còn đợc gọi là bất đẳng thức Schwarz, hay bất đẳng
thức Cauchy- Schwarz.
2. Nội dung:
* Vận dụng bất đẳng thức trên vào giải các phơng trình và hệ phơng trình.


x2 - 6x+ 11 = x2 - 6x + 9 + 2 = (x - 3)2 + 2 2

(2)

Từ (1) và (2) dấu "=" xẩy ra khi
x 2 + 4x =2
x =3
2
x 6 x + 11 = 2
Vậy phơng trình có nghiệm x = 3
Bài toán 2: Giải phơng trình
x 2 + 2x + 2x 1 = 3x 2 + 4x + 1

x2 + 2x 0

x -2 hoặc x 0

ĐK: 2x - 1 0



3x2 + 4x + 1 0

x

1
2

x -1 hoặc x -


"Vận dụng bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bunhiacôpxki
để giải phơng trình và hệ phơng trình không mẫu mực"

12


Sáng kiến kinh nghiệm
x
1
1
=
và x
x+2
2x 1
2

2x 2 x = x + 2 và x

1
2

x2 - x - 1 = 0
x=

1
1 5
1+ 5
với x x =
là nghiệm của pt.

(1)

2

1 3

Ta có: x + x + 1 = x + + > 0 với x nên ĐK (1) có nghĩa khi
2 4

2

5x - 2 0 x

2
5

(2)

Theo (2) và bất đẳng thức Cauchy
Dấu "=" xẩy ra khi x2 + x + 1 = 5x - 2
x 1

x2 - 4x + 3 = 0
x = 3
Vậy phơng trình có nghiệm là x = 1 hoặc x = 3
Bài toán 4: Giải phơng trình
8x2 +

1 5
=

x
4

Vậy nghiệm của phơng trình là: x =

1
4

Bài toán 5: Giải hệ phơng trình
2x 2
=y

2
1
+
x

2 y 2
=z

2
1
+
y

2z 2
=x

1 + z 2


x 2 y 2 2 x + y 2 = 0
2
3
2 x 4 x + 3 + y = 0

Từ hệ đã cho ra suy ra:
y2 =

2x
1+ x 2

2(x - 1)2 + 1 + y3 = 0

(1)
(2)

Từ (1) hệ có nghiệm khi x 0
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: 1 + x2 2x

2x
1
1+ x 2

Từ (1) y2 1
-1 y 1
Vì y -1 1 + y3 0 và (x - 1)2 0
Vậy 2(x - 1)2 + 1 + y3 0
1 + y 3 = 0
Dấu "=" xẩy ra trong (2) khi
2


Sáng kiến kinh nghiệm

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: 2y 1 + y2
Vậy x2 1 -1 x 1

2y
1
1+ y 2

(4)

x = 1
y = 1

Từ (3) và (4)

Vậy hệ có nghiệm x = -1; y = 1
Bài toán 8: Giải hệ phơng trình:
x 3 y = 9

3x + y = 6

Giả sử x0, y0 là nghiệm tuỳ ý của hệ khi đó ta có:
x 30 y 0 = 9

3x 0 + y 0 = 6

Từ (1) x0 , y0 cùng dấu, từ (2) x0 , y0 cùng là các số dơng, theo
bất đẳng thức Cauchy:

32 x = y2 - 6y + 21

(3)

"Vận dụng bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bunhiacôpxki
để giải phơng trình và hệ phơng trình không mẫu mực"

12


Sáng kiến kinh nghiệm

Do y2 - 6y + 21 = y2 - 6y + 9 + 12 = (y - 3)2 + 12 12
Dấu "=" xẩy ra khi y - 3 = 0 y = 3
Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có:

(
(

) (1 + 1) (x + 32 - x)
32 x ) 8

x +

32 x

x +

2


x +

4

)

2

(1 + 1)

(

x +

32 x

)

)
32 x ) 4
2

32 x 2.8 = 16

Dấu "=" xẩy ra khi x = 16
Vậy

(

x +




Vậy x = 16 và y = 3 là nghiệm của hệ.
Bài toán 10: Tìm x, y > 0 biết:
1 4
+ 3
x y
x + y = 3


(1)
(2)
1
x

4
y

Nhân vế với vế (1) và (2) ta có (x + y) ( + ) 9

"Vận dụng bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bunhiacôpxki
để giải phơng trình và hệ phơng trình không mẫu mực"

12


Sáng kiến kinh nghiệm

Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có:


y = 2

Vậy hệ có nghiệm x = 1; y = 2
Bài toán 11: Tìm x, y, z > 0 biết:
1 4 9
+ + =3
x y z
x + y + z 12


(1)
(2)

Nhân vế với vế của (1) với (2) ta đợc:
1 4 9
(x + y + z) + + 36
x y z
Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có:
1
36 =
x

2
x+
y

2

1 4 9


3
6 15
2
y (1 y ) =
125


x 2 = 1 y 2

3 2 6 15
y x =
125


áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho y2 , y2 , y2 ,

x 2 = 1 y 2

6 4 2 2 . 33
y x = 5
5


(1)
(2)

3 2 3 2
x , x ta có:
2

Một số bài tập vận dụng:
Giải các phơng trình:
Bài 1:

Bài 2:
Bài 3:
Bài 4:

6 x + x + 2 = x 2 6 x +13
x 2 + 2 x + 4 = 3 x3 + 4 x
36
+
x2

1
= 28 4 x 2 y 1
y 1

2 x 2 11x + 21 = 33 4 x 4

"Vận dụng bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bunhiacôpxki
để giải phơng trình và hệ phơng trình không mẫu mực"

12


Sáng kiến kinh nghiệm

Giải các hệ phơng trình:
Bài




Bài 8:





x
+
y

y
+
z

z
=3
x

y
+
x

z
+
y

x


Đề tài:

Sáng kiến kinh nghiệm

"Vận dụng bất đẳng thức cauchy và bất đẳng thức BUNHIACÔPxKI
để giải phơng trình và hệ phơng trình không mẫu mực"

Họ và tên:
Đơn vị công tác:

nguyễn xuân thái

Trờng THCS Bình An
Năm học 2008 - 2009

"Vận dụng bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bunhiacôpxki
để giải phơng trình và hệ phơng trình không mẫu mực"

12