Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục

1/ Đặt vấn đề:
Toán học là môn học rất trừu tượng. Tính trừu tượng và logic tăng dần khi các em
càng học lên các lớp trên. Từ năm học lớp 8 khó khăn của học sinh đã được bộc lộ
rõ nét hơn, đặc biệt là các bài toán chứng minh bất đẳng thức, các bài toán tìm giá
trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Đây là một đề tài thú vị, nó thường không có quy tắc
giải tổng quát. Do vậy học sinh hay mắc thiếu sót và sai lầm khi giải các bài toán
loại này. Vậy tại sao học sinh thường mắc phải sai lầm khi giải các bài toán cực
trị? Theo tôi nguyên nhân này xuất phát từ những lý do sau:
1. Người giải toán chưa có đường lối rõ ràng khi giải bài toán tìm cực trị.
2. Chưa nắm chắc các tính chất của bất đẳng thức.
3. Chưa hệ thống, phân dạng được các bài tập cùng loại.
4. Không đọc kĩ đầu bài, chưa hiểu rõ bài toán đã vội đi ngay vào giải toán.
5. Không biết đề cập bài toán theo nhiều cách giải khác nhau, không chịu nghiên
cứu kĩ từng chi tiết và kết hợp các chi tiết trong từng bài toán, không sử dụng hết
giả thiết bài toán, không biết linh hoạt vận dụng kiến thức đã có.
6. Không tự tư duy lại bài toán mình làm sau khi đã giải xong xem đã đúng
chưa.
Nói chung dạng toán chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất là dạng
toán khó nhưng rất thú vị. Mỗi bài toán chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất,
nhỏ nhất với số liệu riêng của nó đòi hỏi một cách giải riêng phù hợp. Điều đó có
tác dụng rèn luyện tư duy toán học mềm dẻo, linh hoạt và sáng tạo. Chính vì thế,
chúng ta thấy trong các kì thi học sinh giỏi toán thường có bài toán về chứng minh
BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Từ khó khăn của giáo viên và học sinh thường hay mắc sai lầm trong việc giải
các bài toán chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, tôi đã chọn đề tài
“Sai lầm thường gặp khi giải các bài toán tìm cực trị đại số và cách khắc
phục” trong chương trình THCS để nghiên cứu với hy vọng đề tài này sẽ góp phần
vào việc giải quyết khó khăn, khắc phục sai lầm cho giáo viên và học sinh trong
việc dạy và học kiến thức về chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

toán tìm cực trị trong chương trình THCS chỉ có tính chất giới thiệu thông qua một vài
bài tập mà không viết riêng thành một tài liệu để giáo viên và học sinh ở cấp học này
có thể tham khảo. Chính vì những lý do nêu trên, tôi đã chọn đề tài “Sai lầm
thường gặp trong các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục” trong chương
trình THCS để nghiên cứu và thực hiện.
Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long
2


Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục

4. NỘI DUNG CHÍNH
I) Cách trình bày đề tài: Gồm hai phần
Phần 1: Lý thuyết
Phần 2: Các bài tập minh họa
Các sai lầm thường mắc được liệt kê ở cùng dạng.
1) Đưa ra các bài tập cụ thể, mỗi bài tập đều được đưa ra lời giải sai.
2) Phân tích sai lầm và cách khắc phục, đồng thời đưa ra lời giải đúng.
3) Các bài tập áp dụng.
II) Nội dung cụ thể.
PHẦN I: LÍ THUYẾT

a) Một số tính chất của bất đẳng thức
Cho a, b, c là các số thực
Tính chất 1

a≤b⇔b≥a

Tính chất 2



ac ≥ bc
a≥b⇔
c > 0

Tính chất 7

ac ≤ bc
a≥b⇔
c < 0

Tính chất 8. Nhân từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều và hai vế không âm
Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long
3


Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục

a ≥ b ≥ 0
⇒ ac ≥ bd

c
≥
d
≥
0

a1 ≥ b1 ≥ 0
a ≥ b ≥ 0
 2

a b
ab > 0

Tính chất 12 

b) Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
 a ≥ 0, ∀ a ∈ R


a = a nếu a ≥ 0



a = - a nếu a < 0

 -a ≤a≤ a


a+ b ≤ a + b . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab ≥ 0 .

c) Một số bất đẳng thức thường vận dụng để tìm cực trị.
+) Bất đẳng thức Côsi
Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long
4


Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục

Dạng cơ bản: Cho a, b ≥ 0 , khi đó ta có bất đẳng thức a+ b ≥ 2 ab .
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b.

a
=
=
= ... = n
b1 b 2 b3
bn

(Với điều kiện các biểu thức đều có nghĩa).

Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long
5


Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục
PHẦN II: CÁC BÀI TẬP MINH HOẠ

A. Dạng sai lầm thứ nhất:
Trong bài làm có sử dụng nhiều BĐT, nhưng khi tìm điều kiện để biểu thức
cần tìm đạt giá trị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) thì các dấu bằng không đồng thời
xảy ra đã kết luận kết luận biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) hoặc
biểu thức không đạt giá trị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất)
Bài 1. Cho x, y là hai số dương thoả mãn x+

1
≤1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
y

x
y
thức M = 32. + 2007. .

x
y x

Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y .
Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 7964, giá trị này đạt được khi x = y.
Nhưng với x = y thì M = 2039. Vậy sai lầm ở đâu?
Phân tích sai lầm:

Lời giải sai ở chỗ với x, y > 0 thì

Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y, còn

x y
+ ≥ 2.
y x

y
≥ 4, Dấu “=” xảy ra ⇔ y = 4x.
x

Mặt khác có thể thấy x = y thì mâu thuẫn với giả thiết x+

1
≤1.
y

Như vậy nguyên nhân của sai lầm trong lời giải trên là trong một bài toán mà sử
dụng nhiều bất đẳng thức để tìm cực trị nhưng các dấu “=” không đồng thời xảy ra .
Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long
6

x
x
y x

Dấu “=” xảy ra ⇔ x =

1
; y=2.
2

1
Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 8036, giá trị này đạt được khi x = ; y = 2 .
2

Bài 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2 x+ 3 y biết 2 x 2 + 3 y 2 ≤ 5
Lời giải sai: Gọi B = 2 x 2 + 3 y 2 , ta có B ≤ 5.

(

) (

2
2
Xét A+ B = 2 x+ 3 y+ 2 x 2 + 3 y 2 = 2 x + x + 3 y + y
2

2

1
1 5

2
2

Phân tích sai lầm:
1
Sai lầm ở chỗ với x = y = - , chỉ xảy ra dấu “=” ở (1), còn dấu “=” ở (2) không
2

xảy ra. Thật vậy với x = y = -

1
5
thì B = ≠ 5 . Do đó - B ≠ −5 .
4
2

Lời giải đúng: Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki ta có:
A2 =

(

2. 2 x+

A 2 = 25 ⇔

3. 3 x

)

2

x = y
⇔ x = y = 1.
Max A = 5 ⇔ 
2
x+
3
y
=
5


Bài 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
F ( x, y ) = ( x+ y ) + ( x+1) + ( y- x ) .
2

2

“Lời giải đẹp”: Ta thấy ( x+ y ) ; ( x+1) ; ( y- x )
2

2

2

2

không đồng thời bằng 0 nên

F ( x, y ) > 0 ⇒ F ( x, y ) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi a = ( x+1)


đúng khi các giá trị nhỏ nhất đó đạt được tại cùng một giá trị của các biến. Rõ ràng
ở đây a đạt giá trị nhỏ nhất khi x = -1, còn b đạt giá trị nhỏ nhất khi
x + y = x – y = 0, tức là khi x = y = 0.
Lời giải đúng:
2

1
2 2

Biến đổi F ( x, y ) = 3 x + 2 x+1+ 2 y = 3  x+ ÷ + 2 y 2 + ≥
∀ x, y
3
3 3

2

2

1
Đẳng thức xảy ra ⇔ x = - , y = 0. Vậy giá trị nhỏ nhất của F ( x, y )
3
Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long
8


Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục

2
1
, giá trị này đạt được khi x = - , y = 0.


7
7


145
Suy ra D ≤
. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2 x- = 0 ⇔  x =
4
2
4


 y- 5 = 0
 y = 5

Hệ trên vô nghiệm nên D không tồn tại giá trị lớn nhất.
Bạn có đồng ý với kết luận trên của bài toán không? Lời giải đã thuyết phục
chưa?
Phân tích sai lầm:
Từ biến đổi đến D = - ( x+ y )
D≤

2

2

7
145
2

Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục

x+ y- 3 = 0
x = 1

⇔
Suy ra D ≤16 . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x-1 = 0
y = 2
 y- 2 = 0

Vậy Max D = 16, giá trị này đạt được khi và chỉ khi x = 1 và y = 2.
Lời giải trên tuy đúng song có vẻ thiếu “tự nhiên”, cách 2 sau đây sẽ mang tính
thuyết phục hơn.
Cách 2: Biểu thức tổng quát dạng
P(x, y) = ax 2 + bxy+ cy 2 + dx+ ey+ h (a, b, c ≠ 0)
Cách giải: Biến đổi P( x, y ) về một trong hai dạng sau:
Dạng 1: P(x, y) = m.F2 (x, y) + n .H 2 (x) + g

(1)

Dạng 2: P(x, y) = m.F2 (x, y) + n .K 2 (y) + g

(2)

Trong đó H(x), K(y) là biểu thức bậc nhất đối với biến của chúng, còn F(x, y)
là biểu thức bậc nhất đối với cả hai biến x và y.
Nếu m > 0, n > 0 thì ta có min P(x, y) = g .
F(x, y) = 0
F(x, y) = 0
Giá trị này đạt được khi và chỉ khi 

2
 2
x- 5 )
(
= -2. y + ( x- 5 ) y+
4



 ( x- 5 ) 2
- 5 x 2 +14 x-1
+
2



x- 5  9 ( x-1)

=−2  y+
+16 ≤16
÷2 
2

2

2

 x- 5
=0
x = 1

(1)

+) ( x-1) ≥ 0; ( y-1) ≥ 0; ( z-1) ≥ 0 ⇒ x 2 +1 ≥ 2 x; y 2 +1 ≥ 2 y; z 2 +1 ≥ 2 z
2

2

2

⇒ ( x 2 + y 2 + z 2 ) + 3 ≥ 2 ( x+ y+ z ) ⇒15 ≥ x+ y+ z

(2)

Cộng theo từng vế của (1) và (2) suy ra P ≤ 42 . Vậy giá trị lớn nhất của P là 42.
Bài làm khá “đẹp”, nhưng kết quả lại sai? Theo bạn lời giải sai ở đâu? Khắc
phục như thế nào?
Phân tích sai lầm
Lời giải này đã quên một bước vô cùng quan trọng của một bài toán cực trị khi sử
dụng BĐT, đó là xác định điều kiện xảy ra đẳng thức.
Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long
11


Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục

Ta thấy P = 42 ⇔ (1) và (2) đồng thời trở thành đẳng thức
x = y = z = 3
 2
2
2

2
Từ (*) ⇒ ( x+ y+ z ) ≤ 3 x + y + z ≤ 3.27 ⇒ x+ y+ z ≤ 9
2

(*) .

(1)

(đẳng thức xảy ra ⇔ x = y = z = 3).
Từ (*) ⇒ 2(xy+ yz+ zx) ≤ 2(x 2 + y 2 + z 2 ) ⇒ xy+ yz+ zx ≤ x 2 + y 2 + z 2 ≤ 27

(2)

Từ (1) và (2) ⇒ x+ y+ z+ xy+ yz+ zx ≤ 36 . Đẳng thức xảy ra ⇔ x = y = z = 3.
Vậy P đạt giá trị lớn nhất là 36, giá trị này đạt được ⇔ x = y = z = 3.
Bài 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x+
Lời giải sai: Ta có A = x+


x =  x+


x.
2

1 1 
1
1
1
x + ÷- =  x + ÷ − ≥ −

Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long
12


Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục

Bài 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =

( x+ a ) ( x+ b )
x

, với x > 0 , a và b là

các hằng số dương cho trước.
Lời giải sai:
Ta có x+ a ≥2 ax
Do đó A =

( x+ a ) ( x+ b )
x

(1) và
≥

x+ b ≥ 2 bx

(2)

2 ax .2 bx
= 4 ab


a+ b

)

2

ab

x =
⇔ 
x ⇔x =

x > 0

(

a+ b

)

2

ab.

Bài 4. Cho a, b, c là các số dương, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a 
b 
c 


c
≥2
5a
5a

Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long
13

(3)


Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục

Nhân từng vế của ba bất đẳng thức cùng chiều và các vế đều dương ta được

a
b
c
8 5
8 5
. Do đó P nhỏ nhất bằng
.
.
=
.
5b 5c 5a
25
25

P ≥8


Do a, b, c là các số dương nên áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có

a b c
a b c
+ + ≥ 3. 3 . . = 3
b c a
b c a
Từ (1), (2), (3) ta có

(2) và

a b c
a b c
+ + ≥ 3. 3 . . = 3
c a b
c a b

(3)

1
1
1
216
P ≥ 1 + .3 + .3 +
=
. Dấu đẳng thức xảy ra khi
5
25
125 125

( ay+ bz ) ≤ ( a 2 + b2 ) ( y 2 + z 2 ) và ( az+ by ) ≤ ( a 2 + b 2 ) ( z 2 + y 2 )
Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long
14


Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục

x2

Vậy

( ay+ bz ) ( az+ by )
y2

( az+ bx ) ( ax+ bz )
Do đó

M≥

≥

(a

≥

(a

x2

2

y2
z2
3
+ 2
+ 2
≥
Mặt khác chứng minh được 2
2
2
2
y +z
z +x
x +y
2
3
. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z.
Suy ra M ≥
2
2 a + b2

(

)

3
Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 2 a 2 + b 2 , giá trị này đạt được khi và chỉ khi
(
)

x = y = z.

4

2

( a+ b ) ( y+ z )
=
2

4

2

≤

( a+ b )

Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long
15

2

( y +z )
2

2

2


Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục

÷.
2 
( a+ b )  y 2 + z 2 z 2 + x 2 x 2 + y 2 
2

x2
y2
z2
3
Mặt khác theo bất đẳng thức Net-bit thì 2 2 + 2 2 + 2 2 ≥ ,
y +z z +x
x +y
2

suy ra M ≥

3

( a+ b )

Vậy min M =

2

. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z .
3

( a+ b )

2


≥ 0 nên

P = ( x+ 2 y-1) + ( x-1) + ( y- 2 ) ≥ 0 . Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 0.
2

2

2

Lời giải “quá gọn”, bạn có ý kiến gì không?
Phân tích sai lầm: Khẳng định P ≥ 0 là đúng nhưng … chẳng được gì, bởi vì
không có giá trị nào của x, y để dấu “=” xảy ra. Sai lầm ở lời giải trên xuất phát từ
việc người giải đã không thực hiện bước 2 khi tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất)
của biểu thức ta phải trả lời câu hỏi “dấu bằng xảy ra khi nào?”
Lời giải đúng: Coi x là biến chính để biến đổi như sau:

Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long
16


Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục
2
2
P = 2 x 2 + 5 y2 + 4 xy- 4 x-8 y+ 6 = 2  x 2 + 2 x ( y-1) + ( y-1)  - 2 ( y-1) + 5 y 2 - 8 y+ 6



2 4 4
2


2

 2 8 8
+ 3  y- ÷ + ≥
∀x, y . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ
 3 3 3

1

( x + y −1) 2 = 0
x=
x + y −1 = 0




3
2
⇔
⇔
khi  

2

2
y − =0
3  y − ÷ = 0

y = 2



2
5 + 4 x- x ≥ 0
−1 ≤ x ≤ 5
( 1+ x ) ( 5 - x ) ≥ 0
Nhận xét: Với −1 ≤ x ≤ 5 ta có

5 + 4 x- x 2 = ( 1+ x ) ( 5 - x ) ≥ 0 , suy ra

5 + 4 x- x 2 ≥ 0.

28 + 3 x- x 2 = ( 4 + x ) ( 7 - x ) > 0 , suy ra

28 + 3 x- x 2 > 0.

Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long
17


Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục

Do đó, với −1 ≤ x ≤ 5 thì P = 28 + 3 x- x 2 + 5 + 4 x- x 2 > 0, nên P không có
giá trị nhỏ nhất.
Phân tích sai lầm
Lời giải sai về mặt lôgic, tương tự như trường hợp

Q = x 2 +1 > 0 với mọi x nhưng Q vẫn đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1 khi x = 0.
Lời giải đúng:
Điều kiện của x để P có nghĩa là −1 ≤ x ≤ 5 . Khi đó ta có


Ta có ( m+1) − 2 ≥ −2 nên tổng bình phương các nghiệm đạt giá trị nhỏ nhất là -2
2

khi và chỉ khi m+1 = 0 ⇔ m = −1.
Giá trị m = -1 không thoả mãn điều kiện (*) nên không tồn tại giá trị của m để tổng
bình phương các nghiệm đạt giá trị nhỏ nhất.
Phân tích sai lầm:
Mấu chốt của sai lầm trong lời giải này ở chỗ em học sinh chưa nắm vững khái
niệm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức. Chúng ta cần lưu ý rằng: Nếu bất đẳng
thức f ( x ) ≥ a không xảy ra đẳng thức ứng với một giá trị x = x0 nào đó (x0 thoả mãn
điều kiện của bài toán) thì không thể kết luận được biểu thức f ( x ) đạt giá trị nhỏ
nhất bằng a hoặc biểu thức f ( x ) không đạt giá trị nhỏ nhất.
Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long
18


Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục

Lời giải đúng: Điều kiện để phương trình có nghiệm là:
m ≥ 1
2
∆ ≥ 0 ⇔ ( m+1) - 4 ≥ 0 ⇔ ( m+ 3) ( m-1) ≥ 0 ⇔ 
(*) .
 m ≤ −3

Khi đó tổng bình phương các nghiệm là
2
2
2

2

2
Ta có: x 2 - 6 x+10 = ( x- 3) +1 ≥ 1 ⇒ min ( x - 6 x+10 ) = 1 ⇔ x = 3.

2

Vậy max A = 1 ⇔ x = 3.
Lời giải có vẻ khá “trơn”, nhưng nếu đi thi mà làm vậy thì “trượt”. Tại sao vậy?
Phân tích sai lầm
Tuy đáp số không sai nhưng lập luận lại sai khi khẳng định “A có tử số không đổi
nên A có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất” mà chưa đưa ra nhận xét tử và mẫu là
các số dương.
Ví dụ như: Xét biểu thức B =

1
1
. Với lập luận như trên “Phân thức 2
có
x -10
x -10
2

tử không đổi nên có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất”, do mẫu nhỏ nhất bằng -10

Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long
19


Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục

số
dương,
do
đó
A
lớn
nhất
khi
và
chỉ
khi
nhỏ
x 2 - 6 x+10
A
nhất ⇔ x 2 - 6 x+10 nhỏ nhất. Làm tiếp như trên ra kết quả.

1
đạt giá trị lớn nhất.
x + 2 x- 3
Trong một lần kiểm tra có một học sinh đã giải bài toán này như sau:
Bài 2. Tìm x để biểu thức P =

2

Điều kiện x ≠ 1 ; x ≠ −3 . Ta có P =

1
1
=
2



Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục

Lời giải đúng: Điều kiện x ≠1 ; x ≠ −3 .
Với x < −3 hoặc x >1 thì P > 0 , còn với −3 < x < 1 thì P < 0 .
Ta thấy khi x = 1+ a với a > 0 thì P =

1
nên a càng nhỏ thì P càng lớn và lớn
a + 4a

bao nhiêu cũng được, do đó biểu thức P =

2

1
không có giá trị lớn nhất.
x + 2 x- 3
2

E. Dạng sai lầm thứ năm
Nhầm tưởng vai trò của các biến trong bài như nhau nên sắp thứ tự các ẩn.
x y z
+ + với x, y, z > 0.
y z x
Lời giải sai: Khi hoán vị vòng quanh x → y → z → x thì biểu thức A không đổi
nên không mất tính tổng quát, giả sử x ≥ y ≥ z > 0 , suy ra

Bài 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =

z x y

trong ba số x; y; z là số lớn nhất (hoặc số nhỏ nhất), nhưng không cho phép giả sử
x ≥ y ≥ z rồi sử dụng nó làm giả thiết bài toán khi đi chứng minh mà không xét các

trường hợp còn lại. Thật vậy sau khi chọn x là số lớn nhất ( x ≥ y, x ≥ z) thì vai trò
của y và z lại không bình đẳng: giữ nguyên x, thay y bởi z và ngược lại ta được
x z y
+ + , biểu thức này không bằng biểu thức A.
z y x
Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long
21


Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục

Khắc phục sai lầm
Với lời giải đã đưa ra, thay cho việc sắp thứ tự x ≥ y ≥ z , ta chỉ cần giả sử z là
số nhỏ nhất trong ba số x, y, z kết hợp với phần còn lại của lời giải đã trình bày đó ta
được lời giải đúng.
Ngoài ra ta còn có thể giải bài toán này theo các cách sau:
Cách giải đúng:
Cách 1: Sử dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có
A=

x y z
x y z
+ + ≥ 3 3 . . = 3. (Phải chứng minh BĐT Côsi cho ba số không âm)
y z y
y z y

Do z là số nhỏ nhất trong 3 số x, y, z nên (2) luôn đúng. Từ đó tìm được giá trị
nhỏ nhất của biểu thức A = 3 khi x = y = z.
Bài 2. Cho x, y, z là các số thực lớn hơn - 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1+ x 2
1+ y 2
1+ z 2
P=
+
+
.
1+ y+ z 2 1+ z+ x 2 1+ x+ y 2
Có một lời giải như sau:

Nếu x < 0 , ta thay x bởi (-x) thì hai hạng tử đầu của P không đổi còn hạng tử thứ ba
giảm. Từ đó không mất tính tổng quát giả sử x ≥ y ≥ z ≥ 0 .
2
2
2
2
Từ ( x-1) ≥ 0 ⇒ x +1 ≥ 2 x ⇒ 3 ( x +1) ≥ 2 ( x + x+1) .
1+ x 2
1+ x 2
2
≥
≥
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 1. Do đó
1+ y+ z 2 1+ x+ x 2 3

Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long

1+ x 2
2
≥
≥
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 1.Do đó
1+ y+ z 2 1+ x+ x 2 3

1+ y 2
2
Tương tự ta cũng có
≥
;
1+ z+ x 2 3

(2)

và

1+ z 2
2
≥
2
1+ x+ y
3

(1)

(3)

là không đúng. Không thể từ (1) suy ra (2) và (3) bằng phép tương tự vì vai trò của


2 ( 1+ x 2 )

2 ( 1+ z 2 ) + ( 1+ y 2 )

+

2 ( 1+ y 2 )

2 ( 1+ x 2 ) + ( 1+ z 2 )

+

2 ( 1+ z 2 )

2 ( 1+ y 2 ) + ( 1+ x 2 )

=M

Đặt 1+ x 2 = a; 1+ y 2 = b; 1+ z 2 = c (a, b, c > 0) .
2a
2b
2c
c
a
b
+
+
+
+

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (4) và (5) ta có
9M
15
+ ( 2 N+ H ) ≥ . Mà 2 N+ H = 3 nên M ≥ 2 .
4
2
Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long
23


Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục

Từ đó suy ra P ≥ 2 . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1 .
F/ Một số dạng sai lầm khác thường mắc phải
Bài 1. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng

a 4 +b 4 +c 4 < 2 ( a 2 b 2 +b 2c 2 +c 2a 2 ) .
Lời giải sai.
Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên

b - c < a ⇒ b 2 -2bc + c 2 < a 2 ⇒ b 2 +c 2 - a 2 < 2bc
⇒ ( b 2 + c 2 - a 2 ) < ( 2bc ) ⇒ b 4 + c 4 + a 4 + 2b 2c 2 - 2b 2a 2 - 2c 2a 2 < 4b 2c 2
2

2

⇒ a 4 + b 4 + c 4 < 2 ( a 2 b 2 + b 2c 2 + c 2a 2 )

Lời giải trên đã đúng chưa? Nếu chưa, giải thế nào thì đúng?
Phân tích sai lầm: Nâng lên luỹ thừa bậc chẵn ở hai vế của BĐT mà không có

thức A=
.
x-y
Lời giải sai.
Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long
24


Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục

x 2 + y 2 x 2 - 2 xy+ y 2 + 2 xy ( x- y ) + 2 xy
Ta có A =
=
=
x- y
x- y
x- y
2

Do x > y và xy = 1 nên
Biết rằng nếu a > 0 thì a+
Do đó A =

( x- y )
A=

2

2 xy
2

=2
2
x- y

⇔ ( x- y ) + 4 = 4 ( x- y ) ⇔ ( x- y ) - 4 ( x- y ) + 4 = 0 .
2

2

Giải phương trình này được nghiệm x – y = 2.
 x- y = 2
Do đó ta có hệ phương trình sau 
, nghiệm của hệ phương trình là
 xy = 1

( x; y ) = ( 1+

)

2;-1+ 2 ;

( x; y ) = ( 1-

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là A =
Nhưng với x =

6+ 2
; y=
2


Lời giải đúng
x 2 + y 2 x 2 - 2 xy+ y 2 + 2 xy ( x- y ) + 2 xy
2
2
A=
=
=
= (x- y) +
≥ 2 (x- y).
=2 2
x- y
x- y
x- y
x- y
x- y
2

Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long
25