T

DUỤ TI ớ C ộ B T Đ ộG TH C

Gv ộguy n Đ i D

ng Fb:ThayNguyenDaiDuong

TI P C N B T Đ NG TH C
THÔNG QUA CÁC BÀI TOÁN TRONG Đ THI
Đ I H C CAO Đ NG
2016
Trong c{c năm v a qua b|i to{n B t Đ ng Th c v| Gi{ Tr L n Nh t
Gi{ Tr Nh Nh t l| c}u h i khó đ chinh ph c đi m
trong đ thi Đ i
H c Cao Đ ng v| Kì Thi THPT Qu c Gia cũng nh trong c{c kì thi HSG
Theo xu h ng c a c{c năm g n đ}y thì vi c ki m đi m c a c}u h i n|y
th c s không ph i l| m t vi c qu{ khó kh n n u nh c{c em có ki n th c
v b|i to{n n|y
Đ i v i c{c em thi Y D c An Ninh Công An thì vi c chinh ph c c}u
h i n|y l| đi u c n thi t Chính vì v y c{c em ph i b t đ u ngay t b}y gi
m t c{c nghiêm túc l| có l trình đ có đ y đ ki n th c nh m l|m t t b|i
to{n n|y trong đ thi Vi c h n kém nhau
đi m đã có th quy t
đ nh v n đ đ u v| r t c{c tr ng TOP
M c tiêu c a c{c em c n đ t ra l| h c đ v| v n d ng t t không nên
h c qu{ cao siêu nh ng nh qu{ th a thãi B não c a c{c em ph i ho t
đ ng đ c}n b ng t t c c{c môn đ đ t t ng th|nh tích cao nh t ch ko
ph i đ t th|nh tích cao ch môn.
D i đ}y l| m t v|i l u c a th y khi b t đ u h c v B t Đ ng Th c
S


ng Fb:ThayNguyenDaiDuong

ng Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c

x 1 
y 1  z 1 
P  x    y    z 

 2 zx   2 xy 
 2 yz 
Đ tuy n sinh Đ i H c kh i B-2007
PH N T CH
D th y b|i to{n đ i x ng nên đi m r i l| x  y  z .

Ta có P 
l| l

x2  y 2  z 2 x2  y 2  z2

. T s l| l
xyz
2

ng xyz nên ta có th đ a v l

xy  yz  zx Đ t nhiên ta ch n l




2

 x  y  z


   x  y  z
9x  y  z

x  y  z


 x  y  z

3

2

3

BÀI GI I
2

2

ng x2  y 2  z2 v| m u s

v|  x  y  z   27 xyz
3

v| 27xyz   x  y  z 








f(t)

9
2
9
9
D a v|o b ng bi n thiên  f  t   f  3    P 
2
2
x  y  z

Đ ng th c x y ra khi 
 x  y  z 1

x  y  z  3

K t lu n V y gi{ tr nh nh t c a P l|

9
khi x  y  z  1 .
2

4

z2  x  y 
x x  2y y

Đ tuy n sinh Đ i H c kh i A-2007
PH N T CH
D đo{n đi m r i l| x  y  z  1
M u s ch a t ng c a c{c đ i l

ng x x , y y , z z g n nh l| không bi n

c n u có thì 2x x  x  x  1  x2  x s đ a m u v d ng ph c t p

đ iđ

h n
Ta th y t s c{c ph}n th c có s đ c bi t l| ch a c ba bi n x, y, z d a v|o

đi u ki n b|i to{n ta đ{nh gi{ nh sau x2  y  z   2x2 yz  2x x đ n đ}y
ta th y t s tr th|nh đ i l

ng gi ng m u
BÀI GI I

C

Áp d ng AM-GM: x2  y  z   2x2 yz  2x x
T

ng t


2c 2


2
a  b  2 c  b  c  2 a  c  a  2b 
3  ab  bc  ca 
2

a  b  c  1
3  ab  bc  ca    a  b  c  
3  ab  bc  ca 
2

M|

2

2a
2b
2c



b  2 c c  2 a a  2b
Đ ng th c x y ra khi a  b  c  x  y  z  1
P

C
Đ t a  x x  2 y y ; b  y y  2z z ; c  z z  2x x
x x 


b a c 
2 a b c
 P      4      6
9 b c a
a c b 
2
 P   3  4.3  6   2
9
Đ ng th c x y ra khi a  b  c  x  y  z  1 .

K t lu n V y gi{ tr nh nh t c a P l| khi x  y  z  1
ng th a mãn x  x  y  z   3yz Ch ng minh

Bài 3: Cho x, y , z là các s th c d
r ng

 x  y   x  z
3

3

 3  x  y  y  z  z  x   5  y  z 

3

Đ tuy n sinh Đ i H c kh i A-2009
PH N T CH
B t đ ng th c ch ch a x  y , y  z v| z  x nên ta h ng đ n vi c đ i bi n
cho g n b|i to{n Đ t a  x  y; b  y  z , c  z  x , khi đó đi u ki n tr th|nh:

BÀI GI I
a  x  y
abc
abc
bca

;y 
;z 
Đ t b  y  z  x 
2
2
2
c  z  x

gi m bi n: b2  ac  a2  c 2  

2

2

a c
ac
 1 (1)
 x  x  y  z   3yz  a  c  b  ac       
bb
b b
2

2


a
c
Đ t u  , v   1  u2  v2  uv  1 v|  2   u3  v3  3uv  5
b
b
2
2
3
Áp d ng AM-GM: 1   u  v   3uv  1   u  v   1  u  v  2
4





ét P  u3  v3  3uv   u  v  u2  uv  v 2  u  v   1  u  v   u  v   1
2

2

 P  22  2  1  5   2  đúng Đ ng th c x y ra khi u  v  1 .

goài ra ta c)ng c th

ánh giá b ng A -G nh sau
2
2
3
Ta có b2  a2  c 2  ac   a  c    a  c   2b  a  c
4

P  3 a2 b2  b2 c 2  c 2 a2  3  ab  bc  ca   2 a2  b2  c 2

Đ tuy n sinh Đ i H c kh i B-2010
PH N T CH
B|i to{n đ i x ng ba bi n không }m nên đ ng th c x y ra khi có ít nh t
bi n b ng Ta c đ nh m t bi n c  0  a  b  1  b  1  a thay v|o P :









P  3 a2  1  a   0  0  3 a 1  a   0  0  2 a2  1  a   0 2

S

i:

2

TAB E

CASIO

F  X   3X 2 1  X   3X 1  X   2 X 2  1  X 
2


2.335
2.3517
2.335
2.2854
2.206
2.053
7

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com


T

DUỤ TI ớ C ộ B T Đ ộG TH C

Gv ộguy n Đ i D

ng Fb:ThayNguyenDaiDuong

V y đi m r i c a b|i to{n l| a  1, b  c  0 v| c{c
ho{n v .
Ta th y v i đi m r i trên thì :



1



a2 b2  b2 c 2  c 2 a2  0  3 a2 b2  b2 c 2  c 2 a2   ab  bc  ca 




BÀI GI I



S d ng b t đ ng th c : 3 x2  y 2  z 2   x  y  z 



 1
1
 t  0, 
3
 3



 3 a2 b2  b2 c 2  c 2 a2   ab  bc  ca 

2

2

M| :  a  b  c   a2  b2  c 2  2  ab  bc  ca   a2  b2  c 2  1  2  ab  bc  ca 
2

 P   ab  bc  ca   3  ab  bc  ca   2 1  2  ab  bc  ca 
2

 3
tr nh nh t b ng khi X  0

F X

X

0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35

2
2.0498
2.0988
2.1458
2.1891
2.2267
2.2549
2.2679

ab  bc  ca  0

t i t  0 Khi đó gi{ tr c n tìm c a a, b, c l| 
 a  1, b  c  0



Đ ng th c x y ra khi a  1, b  c  0 v| c{c ho{n v
K t lu n : V y gi{ tr nh nh t c a P l| khi a  1, b  c  0 .
Bài 5: Cho x, y , z là các s th c thu c 1,4  và x  y , x  z Tìm giá tr nh nh t
y
x
z


P
c a bi u th c :
2x  3y y  z z  x
Đ tuy n sinh Đ i H c kh i A-2011
PH N T CH
Bi u th c thu n nh t b c v| hai ph}n th c cu i t ng đ ng nhau nên ta
1
1
1
s chia đ gi m bi n P 
nh ng hai ph}n th c cu i


y
z
x
1
1
23
y
z

1  a 1  b 1  ab


1
z
1
y



1
x
1
z



2
x
1
y

P

1
y
23
x



y
2t  3 1  t

PH N T CH HÀM S
TABLE b

S d
CASIO v i:

F X 

X

2



2
X 1

2X  3
 START = 1
 END = 4
 STEP = 0.25
D a v|o b ng gi{ tr trên ta nh n th y h|m
s đ n đi u gi m trên 1,2  v| gi{ tr nh
nh t đ t t i X  2 .
Nh v y gi{ tr nh nh t c a f  t  l| f  2 
2


 x  4, y  1, z  2
Khi t  2 gi{ tr c n tìm c a x, y , z l| 
z  x  z x 1
 y z y z

Gi{ tr n|y th a mãn đi u ki n c a b|i to{n nh v y ta đ nh h
minh h|m s

f t  

ét h|m f  t  

t

t

2t  3

2

2t  3
2

2

2





H|m ngh ch bi n trên 1,2   f  t   f  2  
33
33
 x
2

 y
 x  4, y  1, z  2
Đ ng th c x y ra khi 
z  x  z x 1
y z y z


K t lu n V y gi{ tr nh nh t c a P l|

34
khi x  4, y  1, z  2 .
33

10
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

ng ch ng


T

DUỤ TI ớ C ộ B T Đ ộG TH C

Gv ộguy n Đ i D

CASIO

T
đi
tr
V

i

3x

3

3x

 6 x2  6 x2  6  2 x   2.3
2

TAB E

F  X   2.3

3X

3x

6 x 1

X


1.106
B|i to{n có ch a h|m mũ đ i x ng nên ta tìm m t đ{nh gi{ đ đ a v đa
th c đ m b o đi m r i t i x  y  z  0 .
Ta có đ{nh gi{ 3t  t  1 t  0  3

x y

3

yz

3

zx

 xy  yz  zx

Khi đó ta c n tìm ki m m t đ{nh gi{ ho c bi n đ i sao cho:



6 x2  6 y 2  6 z 2  f x  y , y  z , z  x
Ta bi n đ i t

ng đ



ng k t h p đi u ki n



2

3


N u ta đ t a  x  y , b  y  z c  z  x  P  a  b  c  2 a 2  b2  c 2  3
thì c{c đ{nh gi{ đ a v h|m s s b ng c d u
Do d đo{n gi{ tr nh nh t c a P l| nên ta s đ{nh gi{

11
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com


T

DUỤ TI ớ C ộ B T Đ ộG TH C

Gv ộguy n Đ i D



ng Fb:ThayNguyenDaiDuong
2

2

xy  yz  zx  2 xy  yz  zx

Ta bình ph


 xy  yz  zx 3

6 x2  6 y 2  6z 2  2  x  y   2  y  z   2  z  x   2  x  y  z 
2

M|



2

2

2

2

 6x2  6 y 2  6z 2  2 x  y  y  z  z  x



2

2



2



2

2 xy yz  yz zx  zx xy  xy  yz  zx

2

Áp d ng b t đ ng th c : a  b  a  b



yz  x y  zx  yz

 xy  yz  xyyz  xz  zx xy  yz  zx

T

ng t





2

xy yz  zx  xy ,



2

DUỤ TI ớ C ộ B T Đ ộG TH C

Gv ộguy n Đ i D
vai tr c a bi n l| nh nhau ta gi s

Thay v|o  P  

ng Fb:ThayNguyenDaiDuong

 x  2 y
 x  2 y  0


yz 2
1
2
 x  2 y  1  y  
6


2
1
5 6
,y  z  
kh năng đi m r i c a s l| x 
.
36
6
6


4

S
TAB E
CASIO i

5

1 3y 2

2
4
5


 y
3y 2 
  y5     1 


 2
2
4 



X
F(X)
 0.28
0.8

0.5
0.34
0.4
 START = 1
0.3075
0.3
 END = 1
0.23
0.2
 STEP = 0.1
0.1225
0.1
D a v|o b ng ta th y h|m s đ t gi{ tr l n
0
0
nh t t i gi{ tr g n X  0.4 v| t i gi{ tr
 0.122
0.1
X  0.8 h|m s đ t nhiên tăng nhanh nên ta
 0.23
0.2
ti p t c s d ng TABLE v i
 0.307
0.3
 START = 0.8
 0.34
0.4
 END = 0.82
 0.312
0.5


DUỤ TI ớ C ộ B T Đ ộG TH C

Gv ộguy n Đ i D

ng Fb:ThayNguyenDaiDuong

Ta s nh p v|o CASIO m t l n n a đ x{c nh n chính x{c gi{ tr

x

2
6

l|

5
5

 X
d  X
1 3X 2 
1 3X 2  
5
 
  X   

c c tr Nh p





2

2

2

x

2

 x 


2

3x 2
2
2

x
2
6
6



2




Ta có a2  b2  2ab  2 a2  b2   a  b  a, b  R
x y z x
2

2

2

2

 y  z


2

x

2



2

2

 x 




4

4

4

16 y  z
5

3

2 2

2 2

3

2

3

2

2

5

4


5



16
16
1
,y  z  
Đ ng th c x y ra khi x 
v| c{c ho{n v .
6
6

15x5 5 6

16
36

2

14
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com


T

DUỤ TI ớ C ộ B T Đ ộG TH C

Gv ộguy n Đ i D
K t lu n V y gi{ tr l n nh t c a P l|


3

a 2  b2
c



Đ tuy n sinh Đ i H c kh i A-2013
PH N T CH
B|i to{n v| đi u ki n đ i x ng theo hai bi n a, b nên đi m r i khi a  b
thay v|o đi u ki n ta đ c đi m r i a  b  c .
Đi u ki n v| b|i to{n l| c{c bi u th c đ ng c p nên ta h ng đ n đ t n
ph gi m bi n.
a
b
Đ t x  ,y 
Đi u ki n   x  1 y  1  4  x  y  xy  3
c
c
32 y 3
32 x 3
P

 x 2  y 2 . Đi m r i l| x  y  1 v| min P  1  2
3
3
 y  3  x  3
Ta th y  x2  y 2  


x







6
ho
c
3
3
3
2
 y  3 2 2 y  3
 y  3  y  3 2  y  3

T

đi u ki n  x  y  2 nên ta s đ nh h

đ{nh gi{ đ m b o h|m s thu đ

ng ép bi n v

x  y v| ph i

c đ ng bi n
BÀI GI I


4

C
Áp d ng b t đ ng th c a  b
3



32 x3

 y  3

3



32 y 3

 x  3

3

3

 a  b


3



3

 2x  y  6

Đ NH H
NG T DU
Ta s đ{nh gi{ ti p t c đ đ a b|i to{n v x  y Do bi u th c có d ng ph}n
th c nên ta ngh ngay đ n b t đ ng th c Cauchy-Schwarz:

x  y
y
y2
x
x2




y  3 x  3 xy  3x xy  3 y 2 xy  3x  3 y
2

M u s có xy ta v n có th đ{nh gi{ ti p nh ng khoan đ{nh gi{ qu{ nhi u
s d n đ n b|i to{n b ng
P

8x  y

6


 X  6
2.3
0.0988
 START = 2
2.4
0.4439
 END = 3
2.5
0.889
 STEP 0.01
2.6
1.444
D a v|o b ng gi{ tr trên ta th y h|m s
2.7
2.1201
đ n đi u tăng h|m s đ t gi{ tr nh
2.8
2.9294
nh t t i X  2 .
2.9
3.8847
Chú Đ ch c ch n ta có th ti p t c s
3
5
d ng TABLE cho kho ng r ng h n
Áp d ng b t đ ng th c Cauchy-Schwarz:
16
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com





8t 6

f t  

ét h|m s

x  y

2

2

 2x  y  6

 t 2  2t  6 v i t  x  y  t  2

t  6
24t 5  t  12 
t 1
 f ' t  

4
2
t  2t  6
t  6
3

PH N T CH HÀM S

V|

24t 5  t  12 

t  6
t 1

t 2  2t  6

4





2
2.2
2.4
2.6
2.8
3

F(X)
2.1213
1.7777
1.5921
1.4746
1.3931
1.3333





5
t 1

nên ta s đ{nh
2
2
t  2t  6

5
.
2
4
5
 t 6  t 5  5  t  6   0 đúng t  2
2

5
 2t  2  5 t 2  2t  6  t 2  42t  154  0 đúng t  2
2

17
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com


T

DUỤ TI ớ C ộ B T Đ ộG TH C

 x  3

3



y
1 1
 6
x3
2 2

 x
2
y 
 P  

  x  y  2x  y  6  2
 y3 x3
Áp d ng b t đ ng th c Cauchy-Schwarz:

x  y  x  y
y
y2
x
x2





6X
 X 2  2X  6
X6
 START = 2
 END = 3
 STEP 0.01
D a v|o b ng gi{ tr trên ta th y h|m s
đ n đi u tăng h|m s đ t gi{ tr nh
nh t t i X  2 .
Đ ch c ch n ta ti p t c s d ng TABLE
cho kho ng r ng h n

ét h|m s
 f ' t  

f t  

t  6

X
2
.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9

1


T

DUỤ TI ớ C ộ B T Đ ộG TH C

Gv ộguy n Đ i D
6t  t  12 

Ta có:
V|

t  6

2

t 1
t  2t  6
2

 f ' t  





5
 7t 2  84t  180  0 đúng t  2
2

4
9
P

a2  b2  c 2  4  a  b   a  2c  b  2c 
Đ tuy n sinh Đ i H c kh i B-2013
PH N T CH
P đ i x ng theo a, b nên d đo{n đi m r i khi a  b .
Ta không đ{nh gi{ : a  b  c
2

2

Nên ta s đ{nh gi{  a  b 

2

a  b  c


2

vì ch a ch c a  b  c .

3

 a  2c  b  2c 

v a 2  b2  c 2 :











19
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com


T

DUỤ TI ớ C ộ B T Đ ộG TH C

Gv ộguy n Đ i D



a2  b2  2ab  4ac  4bc
 2 a 2  b2  c 2
2
4
9
P

2
2

X
F(X)
CASIO i
2.5
 0.4
4
9
3
0.4333
F X  
X 2 X2  4
3.5
0.5974
4
0.625
 START = 2
4.5
0.6119
 END = 7
5
0.5857
 STEP = 0.5
5.5
0.5558
D a b ng gi{ tr trên ta th y h|m s đ t
6
0.526
c c đ i trong kho ng  3.5,4.5  v| đ t
6.5
0.4977

 f ' t   

4
t

2





9t
t2  4







2

 f ' t   0  t  4

BBT:
t
f t

2


P
8
8


a  b  c
Đ ng th c x y ra khi 
abc2
2
2
2

 a b c 4 4
C
Sau khi nh h ng
c bài toán và i m r i nh trên thì ta c th gi i
b ng cách ép v bi n a  b  c .

Ta c

a b c
2

2

2

 a  b  c  2
4


K t lu n V y gi{ tr l n nh t c a P l|

Bài 10: Cho x, y , z là các s th c không âm th a mãn x2  y 2  z2  2

Tìm giá

tr l n nh t c a bi u th c
P

x2
x  yz  x  1
2



1  yz
yz

9
x y  z 1

Đ tuy n sinh Đ i H c kh i A-2014
PH N T CH
B|i to{n có đi u ki n l| m t bi u th c đ i x ng P không đ i x ng nh ng
đ i x ng theo bi n y , z do đi u ki n c{c bi n không }m nên ta không th
đo{n đi m r i l| y  z Ta s xét c{c tr

ng h p sau

TH 1: C đ nh x  0  y 2  z2  2  y  2  z2 thay v|o P đ

0.6
0.8
1
1.2
1.4

c
F(X)
0.4746
0.4744
0.4698
0.4628
0.4543
0.4444
0.4304
0.3837
21

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com


T

DUỤ TI ớ C ộ B T Đ ộG TH C

Gv ộguy n Đ i D

ng Fb:ThayNguyenDaiDuong

D a v|o b ng gi{ tr trên ta th y h|m s


2  x2



X2
X  X 1
2

2  X2





X

1
9



1
9

F(X)
0. 746
0.4596
0.4835
0.5171



 0 nên X  1 l| c c đ i
dx  X 2  X  1 X  2  X 2  1 9  x  1


5
Gi{ tr l n nh t trong tr ng h p n|y l| khi x  1, y  1, z  0 .
9
K t h p hai tr ng h p ta th y đi m r i c a b|i to{n l| x  1, y  1, z  0
ho c x  1, y  0, z  1 .
Đ NH H

NG T DU
yz
x
Ta có nh n đ nh : 2
v|
d ng ph}n s có m u đ ng
x y z1
x  yz  x  1
2

nh t v s l ng cũng nh h s nên ta ngh đ n vi c đ{nh gi{ sao cho hai
m u đ ng nh t T đi u ki n ta đ{nh gi{ đ c:
x2   y  z   2  2 yz  2 1  yz   2x  y  z   1  yz  xy  xz
2




T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

2

2


T

DUỤ TI ớ C ộ B T Đ ộG TH C

Gv ộguy n Đ i D

ng Fb:ThayNguyenDaiDuong

Đ n đ}y ta đã đ a b|i to{n v bi n x  y  z T đi u ki n b|i to{n ta đ{nh
gi{ đ

c 0  x  y  z  6 nên ta s đ nh h



ng ch ng minh h|m s đ t

c c đ i t i t  x  y  z  2 trên 0, 6  .

BÀI GI I
Áp d ng AM-GM:
x2  y 2  z2  2  2 1  yz   x2   y  z   x  y  z   1  yz  x  y  z 
2

x  x  x y  z x  y  z  1
2

x2





2

L i có 3 x2  y 2  z2   x  y  z    x  y  z   6  0  x  y  z  6
ét h|m s
 f ' t  

2

2



t
t2
v i t  x  y  z  t  0, 6 


t  1 36
2
3
t 18  t  2t  t

f(t)

6


D a v|o b ng bi n thiên  f  t   f  2  

5
5
P
9
9
Đ ng th c x y ra khi x  y  1, z  0 ho c x  z  1, y  0

K t lu n V y gi{ tr l n nh t c a P l|

5
khi x  y  1, z  0 .
9

Bài 11: Cho a, b, c là các s th c không âm th a mãn i u ki n

 a  b c  0

Tìm

giá tr nh nh t c a bi u th c
P

a




c 2a 2 c 2
to{n l| a  c , b  0 ho c a  0, b  c . T
quen thu c ta ngh đ n c{c b t đ ng th
b ng

Khi đó P 

a c 3

 suy ra đi m r i c a b|i
c 2a 2
đi u ki n v| P ch a hai căn th c
c

a
b
ab

2
bc
ac
a  b  2c

 Đ{nh gi{

a
b

P

2  a  b
abc



b
2b

ac abc

c
c
đ a b|i to{n v h|m s theo bi n t 
0
a

b
2  a  b

BÀI GI I
Áp d ng AM-GM:

a  b  c  2 a  b  c   a  a  b  c   2a b  c 
Đ{nh gi{ t
P

ng t :


2  a  b

24
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

ng


T

DUỤ TI ớ C ộ B T Đ ộG TH C

Gv ộguy n Đ i D

ng Fb:ThayNguyenDaiDuong

c
t
2
 t  0  P  f t  

ab
1 t 2
PH N T CH HÀM S
S
TAB E
CASIO i
2X
X
F X 

F(X)
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5

2
1.5833
1.5
1.55
1.6666
1.8214
2
2.1944
2.4
2.6136
2.8333

BBT :
t
f t

0



2
bc
ac
ab
2


c
1
3 3
 1  


2  a  b
 2 2
3
K t lu n V y gi{ tr nh nh t c a P l| khi a  c , b  0 ho c a  0, b  c .
2
c
c
P2


a  b 2  a  b

Bài 12: Cho a, b, c th c thu c o n 1,3  và th a mãn i u ki n a  b  c  6 .
25
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com


1
 a  5  a
2

Do a, b, c  1,3 m| c  1  a, b  2,3
S
CASIO

TAB E

X

F(X)
i
2
14.545
2
2
2
2.1
14.537
X  5  X   10X  50X  97 5X  X 2
F X 

2.2
14.531
2
5  5X  X 2
2.3


Đ n đ}y ta đã th y đ nh h ng ép v t  ab  bc  ca ta c n đ{nh gi{ bi u
th c đ u đ a v ab  bc  ca n a l| xong Do đi m r i l| a  1, b  2, c  3
2
1
nên không th đ{nh gi{ a2 b2  b2 c 2  c 2 a2   ab  bc  ca  , nh ng ta có
3

 ab  bc  ca

2

 a2 b2  b2 c 2  c 2 a2  2abc  a  b  c   a2 b2  b2c 2  c 2 a2  12abc

26
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com


T

DUỤ TI ớ C ộ B T Đ ộG TH C

Gv ộguy n Đ i D
Ta đ{nh gi{ đi u ki n c a bi n :

ng Fb:ThayNguyenDaiDuong

a  b  c
ab  bc  ca 


ab  bc  ca   72 1

1
72
5
P
  ab  bc  ca  5   ab  bc  ca  

ab  bc  ca
ab  bc  ca 2
2
2
2

Ta có

Đ t t  ab  bc  ca  t  11,12   P  f  t  
S
CASIO

i

t 72 5


2 t 2
PH N T CH HÀM S
TAB E
X


14.521
14.515
14.51
14.506
14.503
14.501
14.5
14.5

1
72 5
 v i t  ab  bc  ca  t  11,12 
f t   t 
2
t 2
1 72
 f '  t    2  0 t  11,12  H|m s ngh ch bi n trên 11,12 
2 t
160
160
 f  t   f 11 
P
11
11

ét h|m

27
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com