BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

−−−−−−−−−

−−−−−−−−−

ĐẶNG ĐÌNH HANH

ĐẶNG ĐÌNH HANH

PHÂN LỚP ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU CÁC

PHÂN LỚP ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU CÁC

ANN-HÀM TỬ VÀ CÁC ANN-PHẠM TRÙ BỆN

ANN-HÀM TỬ VÀ CÁC ANN-PHẠM TRÙ BỆN

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số
Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số: 62. 46. 05. 01
Mã số: 62. 46. 05. 01
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. NGUYỄN TIẾN QUANG

Tác giả xin chân thành cảm ơn GS. TS. Nguyễn Quốc Thắng, GS. TS. Lê
Văn Thuyết, PGS. TS. Lê Thị Thanh Nhàn và hai thầy/cô phản biện độc lập
về những góp ý bổ ích để luận án được hoàn thiện hơn.
Cuối cùng, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến ông bà, bố mẹ, anh chị
em hai bên nội ngoại, cùng vợ. Gia đình là nguồn động viên và động lực to lớn
đối với tác giả.

Tác giả

Đặng Đình Hanh

Tác giả


1

2

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.

. . . . .
chương,

. . .
. . .
. . .
mục

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Phạm trù monoidal bện . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 ⊗-phạm trù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Phạm trù monoidal . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Hàm tử monoidal . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4 Mũi tên hàm tử monoidal . . . . . . . . . . . .
1.1.5 Phạm trù monoidal bện . . . . . . . . . . . . .
1.2 Gr-phạm trù và P ic-phạm trù . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Ann-phạm trù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Định nghĩa và ví dụ về Ann-phạm trù . . . . .
1.3.2 Định nghĩa Ann-hàm tử . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Ann-phạm trù thu gọn . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.

. 3
. 10
. 12
. 14

15
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

19
20
21
21
28
29
32
32
35

2 MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ ANN-PHẠM TRÙ VÀ ANN-

HÀM TỬ
2.1

Phân lớp đối đồng điều của các Ann-hàm tử . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Tiêu chuẩn tương đương của một Ann-hàm tử . . . . . .
2.1.2 Ann–hàm tử kiểu (p, q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3
Ann-hàm tử và các nhóm đối đồng điều chiều thấp của
vành theo nghĩa Mac Lane . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37
. 37
. 37
. 40
. 42

2.1.4 Ann-hàm tử và đối đồng điều Hochschild .
2.1.5 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.

45
47
50
66

72
72
76
79
82

4 PHÂN LỚP ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU CÁC ANN-PHẠM TRÙ

BỆN
4.1

86

Ann-hàm tử bện và phép chuyển cấu trúc. Ann-phạm trù bện thu

gọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Phân lớp các Ann-hàm tử bện kiểu (p, q) . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Các định lý phân lớp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN
ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 (G, A)
Lane về sự biểu diễn hàm quadratic bởi nhóm đối đồng điều aben Hab
[13, 14]). Trước đó, trường hợp nhóm phạm trù đối xứng (hay phạm trù Picard)
đã được phân lớp bởi H. X. Sính [55].
Tình huống tổng quát hơn đối với các nhóm phạm trù Picard được đưa ra
bởi A. Fr¨ohlich và C. T. C. Wall với tên gọi nhóm phạm trù phân bậc [16] (sau
này, A. Cegarra và E. Khmaladze gọi là phạm trù Picard phân bậc [10]). Các
định lý phân lớp đồng luân cho các nhóm phạm trù phân bậc, các nhóm phạm
trù bện phân bậc, và trường hợp riêng của nó, các phạm trù Picard phân bậc đã
được trình bày theo thứ tự trong [17], [9], [10]. Từ mỗi phạm trù như vậy xuất
hiện một 3-đối chu trình theo một nghĩa nào đó mà mỗi lớp tương đẳng của các
phạm trù cùng loại là tương ứng với một lớp đối đồng điều chiều 3.
Các lớp phạm trù có hai cấu trúc monoidal đã thu hút được sự quan tâm
của nhiều tác giả. Năm 1972, M. L. Laplaza [27] đã nghiên cứu về lớp phạm trù
có tính phân phối. Kết quả chính của [27] là chứng minh định lý khớp cho lớp
phạm trù này. Sau đó, trong [16], A. Fr¨ohlich và C. T. C. Wall đã đưa ra khái
niệm phạm trù tựa vành với chủ ý là đưa ra một hệ tiên đề mới gọn hơn của M.
L. Laplaza [27]. Hai khái niệm này là những hình thức hóa của phạm trù các
môđun trên một vành giao hoán.
Năm 1994, M. Kapranov và V. Voevodsky [25] đã bỏ đi những đòi hỏi trong hệ
tiên đề của M. L. Laplaza có liên quan đến ràng buộc giao hoán của phép nhân
và đưa ra tên gọi phạm trù vành cho lớp phạm trù này. Họ đã sử dụng phạm trù
của các không gian vectơ trên một trường K , cùng với tích tenxơ và tổng trực
tiếp để định nghĩa các 2-không gian vectơ trên K . Các phạm trù vành đã được
sử dụng như một công cụ để nghiên cứu các phương trình Zamolodchikov [25].
Để có được những mô tả về cấu trúc, cũng như để có thể phân lớp đối đồng
điều, N. T. Quang đã đưa ra khái niệm Ann-phạm trù [36], như một phạm trù
hóa khái niệm vành, với những đòi hỏi về tính khả nghịch của các vật và của các
mũi tên của phạm trù nền, tương tự như trường hợp của nhóm phạm trù (xem


monoidal cung cấp một cấu trúc bện tự nhiên và tầm thường, đó là một tensor
phạm trù bện hay một phạm trù monoidal bện và nói chung không đối xứng. Sau
đó, tâm của phạm trù xuất hiện như một công cụ để nghiên cứu nhóm phạm


5

6

[6, 54, 55]). Những đòi hỏi bổ sung này cũng không phải quá đặc biệt, bởi vì nếu
P là một phạm trù Picard thì phạm trù End(P) các Pic-hàm tử trên P là một
Ann-phạm trù (xem N. T. Quang [45]), điều này đã được nhắc lại trong [19].
Mặt khác, mỗi Ann-phạm trù mạnh là một phạm trù vành [35]. Năm 2008, N.
T. Quang đã chứng minh được rằng mỗi lớp tương đẳng các Ann-phạm trù hoàn
toàn được xác định bởi ba bất biến: vành R, R−song môđun M và một phần tử
3
thuộc nhóm đối đồng điều Mac Lane HM
aL (R, M ) (xem [38]). Trường hợp chính
quy (ràng buộc đối xứng thỏa mãn điều kiện cX,X = id đối với mọi vật X ) đã
3 (R, M ) (xem [2]). Từ các kết
được phân lớp bởi nhóm đối đồng điều Shukla HSh
quả phân lớp của các Ann-phạm trù chính quy, Trần Phương Dung đã giải bài
toán về sự tồn tại và phân lớp các Ann-hàm tử giữa các Ann-phạm trù chính
quy [1]. Mỗi Ann-phạm trù được xem như một one-object của Gpd-categories
trong luận án của M. Dupont [12], hay như một one-point enrichments of SPC
của V. Schmitt [49].
Năm 2006, M. Jibladze và T. Pirashvili [22] đã đưa ra khái niệm vành phạm
trù với những sự sửa đổi từ hệ tiên đề của một Ann-phạm trù. Tuy nhiên, mối
liên hệ giữa hai hệ tiên đề của Ann-phạm trù và vành phạm trù như thế nào?
Hai lớp này có trùng nhau không, lớp này chứa lớp kia hay chúng chỉ giao nhau

phạm trù với cấu trúc, đó là bài toán phân lớp, xây dựng các ví dụ cụ thể,
nghiên cứu các tính chất, các mối liên hệ phụ thuộc của các tiên đề và mối liên
hệ giữa những lớp phạm trù có cấu trúc tương tự nhau.
IV. Phương pháp nghiên cứu

Ngoài những phương pháp nghiên cứu lý thuyết truyền thống, trong luận án
này chúng tôi sử dụng triệt để phương pháp biểu đồ của lý thuyết phạm trù
để chứng minh các biểu đồ giao hoán, thay cho các biến đổi đẳng thức trừu tượng.
V. Những đóng góp mới của luận án

Luận án đã đóng góp một số kết quả mới về Ann-phạm trù. Kết quả chính
đầu tiên là sử dụng các nhóm đối đồng điều vành của Mac Lane để tiến hành
giải bài toán tồn tại và phân lớp các Ann-hàm tử (Định lý 2.1.8, Định lý 2.1.9).
Kết quả chính thứ hai của luận án là xây dựng Ann-phạm trù đối ngẫu của
một Ann-hàm tử (Định lý 2.2.10). Đây là một phép dựng mới ngoài phép dựng
Ann-phạm trù của một đồng cấu chính quy trong bài toán mở rộng vành. Kết
quả tiếp theo của luận án là Định lý 2.3.3. Định lý đã chỉ ra rằng các Ann-phạm
trù là chứa trong các vành phạm trù. Ngược lại, mỗi vành phạm trù khi bổ sung
thêm một tiên đề về sự tương thích với các ràng buộc đơn vị sẽ trở thành một
Ann-phạm trù (Định lý 2.3.4).
Những đóng góp tiếp theo của luận án có liên quan đến tính bện trong lớp
Ann-phạm trù. Định lý 3.1.6 chỉ ra: Tâm của một Ann-phạm trù là một Annphạm trù bện và nói chung không đối xứng, đây là một kết quả tiếp nối các kết
quả về tâm của một phạm trù monoidal đã được đưa ra trong [21]. Trên cơ sở
xem xét mối liên hệ giữa Ann-phạm trù đối xứng với các phạm trù có tính phân


7

phối và phạm trù tựa vành, luận án đã chỉ ra sự tương đương của hai hệ tiên đề:
phạm trù có tính phân phối và phạm trù tựa vành (Mệnh đề 3.13), một khẳng

quả phân lớp ở chương 2 và chương 4.

8

Chương 2: Một số kết quả về Ann-phạm trù và Ann-hàm tử. Chương
này được viết dựa theo [42, 43, 45] và được trình bày trong ba mục. Toàn bộ
chương này trình bày về hai lớp phạm trù với cấu trúc vành, đó là Ann-phạm
trù [2] và vành phạm trù [22]. Mục 2.1 đưa ra một tiêu chuẩn tương đương
của Ann-hàm tử, từ đó bài toán về sự tồn tại và phân lớp các Ann-hàm tử đã
được giải quyết nhờ các nhóm đối đồng điều vành của Mac Lane, và trong một
trường hợp riêng, chúng tôi đã sử dụng đối đồng điều Hochschild để phân lớp
các Ann-hàm tử mạnh. Mục 2.2 trình bày về cách xây dựng đối ngẫu B∗ của
một cặp (B, F ) trong A, trong đó F : B → A là một Ann-hàm tử. Trong trường
hợp F = idA , thì đối ngẫu A∗ chính là tâm của một Ann-phạm trù được trình
bày trong [44]. Mục 2.3 trình bày về mối liên hệ giữa hai khái niệm Ann-phạm
trù và vành phạm trù với kết quả đạt được là: mỗi Ann-phạm trù đều là một
vành phạm trù; ngược lại, mỗi vành phạm trù khi bổ sung thêm một tiên đề thì
sẽ trở thành một Ann-phạm trù.
Chương 3: Ann-phạm trù bện. Chương này được viết dựa theo [44], bao gồm
bốn mục. Mục 3.1 trình bày về khái niệm Ann-phạm trù bện, Ann-phạm trù đối
xứng và những ví dụ về hai lớp phạm trù này. Trong những ví dụ đó, đáng lưu
ý là ví dụ về tâm của một Ann-phạm trù, một trường hợp riêng của phép xây
dựng đối ngẫu của cặp (A, idA ) đã được trình bày ở chương 2, với kết quả đạt
được là: tâm của một Ann-phạm trù là một Ann-phạm trù bện và nói chung
không đối xứng. Mục 3.2 xét tính không độc lập của một số tiên đề có liên quan
đến ràng buộc phân phối bên phải trong hệ tiên đề của một Ann-phạm trù bện.
Các mục 3.3 và 3.4 thiết lập các mối liên hệ giữa Ann-phạm trù đối xứng với
các lớp phạm trù có hai cấu trúc monoidal đối xứng đã biết, đó là phạm trù
có tính phân phối của M. L. Laplaza và phạm trù tựa vành của A. Fr¨ohlich và
C. T. C. Wall. Nhờ xét các mối liên hệ này, mục 3.3 chỉ ra sự phụ thuộc của

ZC
CA
Ob(C)
XY = X ⊗ Y
a+
a
c+
c
(0, g, d)
(1, l, r)
idX
L(R)
(F, F , Fˆ )
idC
(F, F˘ , F , F ∗ )
˘ H), (G, G,
˘ G)
(H, H,
u:F →F
Aut(F )
[X]
π0 (A)
π1 (A) = Aut(0)
MA (PA )
CA

Nghĩa
phạm trù monoidal
Ann-phạm trù, Ann-phạm trù bện
Ann-phạm trù (bện) thu gọn của A

11
n
ZM
acL
n
BM
acL
n
HM
acL
n
ZHoch
n
BHoch
n
HHoch

nhóm các n-đối chu trình
của vành theo nghĩa Mac Lane
nhóm các n-đối bờ của vành
theo nghĩa Mac Lane
nhóm đối đồng điều thứ n
của vành theo nghĩa Mac Lane
nhóm các n-đối chu trình của các Z-đại số
theo nghĩa Hochschild
nhóm các n-đối bờ của các Z-đại số
theo nghĩa Hochschild
nhóm đối đồng điều thứ n của các Z-đại số
theo nghĩa Hochschild


ràng buộc kết hợp
ràng buộc giao hoán
ràng buộc đơn vị
ràng buộc phân phối
cấu trúc monoidal
định lý phân lớp

Thuật ngữ
category
monoidal category
symmetric monoidal category
braided tensor category
categorical group
symmetric cat-group
graded categorical group
graded Picard category
categorical ring
ring category
ring-like category
distributivity category
functor
monoidal functor
symmetric monoidal functor
braided monoidal functor
monoidal equivalence
extension
congruence
2-group
symmetric 2-group
2-ring


✛
❩
⑥
❩
❩
❩
❩
❩
❩
❩

❄

II.2
€€
✐
€

II.3

❩
❩
€€
€

✻

❩
€€

✚ ✏✏✏
✚
✚✏✏
✮
✏
❂✚
✚
❂✚
❄✚
✲ III.1
✲ III.2
✲

❄

IV.1

✲

IV.2
✻ ✻

I.3

I.4

✛

III.3


❄

❄

A ⊗ ((B ⊗ C) ⊗ D)

Chương 1

((A ⊗ B) ⊗ C) ⊗ D

❍❍
❍
a

❍
❍❍
❥

✟✟

(1.1)

✯
✟✟
✟✟
a⊗id

(A ⊗ (B ⊗ C)) ⊗ D

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

của C :
A ⊗ (1 ⊗ B)

aA,1,B

✲

❍❍
❥
id ⊗lB ❍

(A ⊗ 1) ⊗ B

✟
✟✟rA ⊗id
✙

(1.2)

A⊗B

1.1
1.1.1

Phạm trù monoidal bện

Bộ ba (1, l, r) được gọi là một ràng buộc đơn vị.

⊗-phạm trù


a1,A,B

1 ⊗ (A ⊗ B)

✲

❍❍
❥
❍

(1 ⊗ A) ⊗ B

✟
✟✟lA ⊗idB
✙

lA⊗B

aA,B,1

A ⊗ (B ⊗ 1)

✲

❍❍
❥
❍

(F, F , Fˆ ) : C → C ,


(F F )A ⊗ (F F )B

✲

❍❍

❍❍
❥
❍

F (FA,B )

✟

✯
✟✟
✟✟
FF A,F B

F (F A ⊗ F B)

1.1.3

Hàm tử monoidal

F F

F F1

Định nghĩa 1.1.8. Cho hai phạm trù monoidal (C, ⊗, a, (1, l, r)) và

2. một họ đẳng cấu FA,B : F (A ⊗ B) → F A ⊗ F B tự nhiên với A, B ,
3. một đẳng cấu Fˆ : F 1 → 1 ,
sao cho F tương thích với các ràng buộc kết hợp và các ràng buộc đơn vị, nghĩa
là các biểu đồ sau giao hoán

ˆ : C → D là hai hàm tử monoidal
Định nghĩa 1.1.11. Giả sử (F, F , Fˆ ), (K, K, K)
giữa hai phạm trù monoidal. Một phép biến đổi monoidal tự nhiên hay một mũi
tên hàm tử u : F −→ K là một phép biến đổi tự nhiên sao cho các biểu đồ sau
giao hoán.
F (A ⊗ B)

FA,B

✲

F

✲

F A ⊗ F (B ⊗ C)

id ⊗F

✲

F A ⊗ (F B ⊗ F C)

uA ⊗uB


✲

❄
(F A ⊗ F B) ⊗ F C)

1 ⊗ FA

FA

✻

✻

F

(1.4)

ˆ ⊗id
F

lF A

✲

FA

✻

✻


F ((A ⊗ B) ⊗ C)

u1

F1
uA⊗B

F (A ⊗ (B ⊗ C))

FA ⊗ FB

F (lA )

✛

(1.5)

F (1 ⊗ A)

F1,A

Chú ý 1.1.9. 1. Nếu cặp (F, F ) thỏa mãn biểu đồ giao hoán (1.3) thì nó được
gọi là một A-hàm tử.
2. Nếu cặp (F, F ) thỏa mãn biểu đồ giao hoán (1.4), (1.5) thì nó được gọi là
một U-hàm tử.

Định nghĩa 1.1.12. Cho (F, F , Fˆ ) : C → D là một hàm tử monoidal. Trong
ˆ : D → C và các phép biến
trường hợp tồn tại một hàm tử monoidal (K, K, K)
∼


(B ⊗ D) được xác định như sau:

nghĩa là
ˆ ◦ u1 = Fˆ .
K
1.1.5

a

(A ⊗ B) ⊗ (C ⊗ D)

−1
A,B,C⊗D

✲

aA,C,B⊗D

(A ⊗ C) ⊗ (B ⊗ D)

✛

Chúng ta nhắc lại khái niệm phạm trù monoidal bện theo [21].

trong C sao cho nó thoả mãn hai biểu đồ giao hoán (1.8) và (1.9) sau đây.
✲

(B ⊗ A) ⊗ C



a

a

c⊗id

❄
(A ⊗ B) ⊗ C

c

✲

C ⊗ (A ⊗ B)

F (A ⊗ B)

✲

✛

A ⊗ ((C ⊗ B) ⊗ D)

✲

FA ⊗ FB
(1.12)

cF A,F B

(1.11)

❄

Định nghĩa 1.1.17 (Hàm tử monoidal bện (đối xứng)). Cho C và D là hai
phạm trù monoidal bện (đối xứng). Một ⊗-hàm tử (F, F , Fˆ ) từ C đến D được
gọi là bện (đối xứng) nếu với mỗi cặp (A, B) những vật của C , hình vuông

∼

c = cA,B : A ⊗ B −→ B ⊗ A,

c⊗id

−1
idA ⊗a
C,B,D

Đẳng cấu v được gọi là ràng buộc kết hợp-giao hoán của phạm trù monoidal
đối xứng C .

Định nghĩa 1.1.14. Một bện cho phạm trù monoidal C bao gồm họ các đẳng
cấu tự nhiên

A ⊗ (B ⊗ C)

A ⊗ ((B ⊗ C) ⊗ D)

idA ⊗(cB,C ⊗idD )


Giả sử C và D là hai phạm trù monoidal đối xứng. Nếu ⊗-hàm tử (F, F ) : C → D
là một A-hàm tử và thỏa mãn biểu đồ giao hoán (1.12) thì nó được gọi là một
AC-hàm tử.

1.2

Các khái niệm và các kết quả trình bày trong tiểu mục này là theo Hoàng Xuân
Sính [55].
Định nghĩa 1.2.1. Giả sử (C, ⊗, a, (1, l, r)) là một phạm trù monoidal. Vật X
của C được gọi là vật khả đảo nếu tồn tại các vật X , X của C sao cho X ⊗X 1,
X ⊗X

thỏa mãn điều kiện (1.10) được gọi là ràng buộc giao hoán hay ràng buộc đối
xứng.
Nhận xét 1.1.16. 1. Trong một phạm trù monoidal đối xứng, tiên đề (1.8)
được suy ra từ các tiên đề còn lại.

Gr-phạm trù và P ic-phạm trù

1.

Nhận xét 1.2.2. Nếu X ⊗ X

x

1, X ⊗ X

x

1 thì X

các ràng buộc đơn vị.

LA,X,Y : A ⊗ (X ⊕ Y ) → (A ⊗ X) ⊕ (A ⊗ Y ),
RX,Y,A : (X ⊕ Y ) ⊗ A → (X ⊗ A) ⊕ (Y ⊗ A),

sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn:
˘ A ), (RA , R
˘ A ) xác định bởi các
(Ann-1) Đối với mỗi vật A ∈ A các cặp (LA , L
hệ thức sau:

Ta gọi một ⊗-hàm tử kết hợp giữa hai Gr-phạm trù là một Gr-hàm tử . Như
vậy, một Gr-hàm tử bao giờ cũng là một hàm tử monoidal.
Định nghĩa 1.2.7. Một phạm trù Picard hay một P ic-phạm trù P là một
Gr-phạm trù cùng với một ràng buộc giao hoán tương thích với ràng buộc kết
hợp.

LA = A ⊗ −,
˘A
L
X,Y

RA = − ⊗ A,
˘A
R
X,Y

= LA,X,Y ,

là những ⊕−hàm tử tương thích với a+ , và với c+ .

✛

aX⊕Y,B,A

(X ⊕ Y )(BA)

✲

((X ⊕ Y )B)A

˘ B ⊗id
R
A

(XB ⊕ Y B)A

✲

˘ BA
R

(XB)A ⊕ (Y B)A

✲

a

(A(X ⊕ Y ))B

❄


(1.14)

˘A
R

❄

Ann-phạm trù

(1.13)

˘A
L

❄
(AB)X ⊕ (AB)Y

Định nghĩa 1.2.8. Một AC-hàm tử giữa hai P ic-phạm trù được gọi là một
P ic-hàm tử.

1.3

= RX,Y,A .

(A ⊕ B)X ⊕ (A ⊕ B)Y

˘B
R


˘B
L

(1.16)

Định nghĩa và ví dụ về Ann-phạm trù
❄

v

(AX ⊕ BX) ⊕ (AY ⊕ BY )

Định nghĩa 1.3.1. Một Ann-phạm trù gồm:
(i) Phạm trù A cùng với hai song hàm tử ⊕, ⊗ : A × A → A;
(ii) Vật cố định 0 ∈ A cùng với các đẳng cấu tự nhiên a+ , c+ , g, d, sao cho
(A, ⊕, a+ , c+ , (0, g, d)) là một nhóm phạm trù đối xứng;

✲

(AX ⊕ AY ) ⊕ (BX ⊕ BY )

trong đó v = vU,V,Z,T : (U ⊕ V ) ⊕ (Z ⊕ T ) → (U ⊕ Z) ⊕ (V ⊕ T )
là mũi tên được
xác định trong biểu đồ (1.11).
(Ann-3) Đối với vật đơn vị 1 ∈ A của phép toán ⊗, các biểu đồ sau là giao hoán:
˘1
L

1(X ⊕ Y )



✲

◗
rX⊕Y

◗
s
◗

X1 ⊕ Y 1

✑
✑
✰ rX ⊕rY
✑

(1.18)

X⊕Y

Định nghĩa 1.3.2. Một Ann-phạm trù A có ràng buộc giao hoán c thỏa mãn
điều kiện cX,X = id với mọi X ∈ A gọi là một Ann-phạm trù chính quy.


23

24

Lớp các Ann-phạm trù chính quy có mối liên quan chặt chẽ với lý thuyết đối

−ξ(xz + xt, yz, yt) + ξ(xz, xt, yz) − η(xt, yz) + ξ(xz, yz, xt + yt) − ξ(xz, yz, xt).

(1.32)
λ(1, y, z) = ρ(x, y, 1) = 0.

x ⊕ y = x + y, (x, a) ⊕ (y, b) = (x + y, a + b);
x ⊗ y = x.y, (x, a) ⊗ (y, b) = (xy, xb + ay).

Các ràng buộc đơn vị của phép cộng và phép nhân đều chặt chẽ theo nghĩa
g = id, d = id, l = id, r = id. Ràng buộc kết hợp a+ : x + y + z → x + y + z là một

họ các mũi tên (x + y + z, ξ(x, y, z)), với ξ : R3 → M là một hàm thỏa mãn tiên
đề ngũ giác, nghĩa là
ξ(y, z, t) − ξ(x + y, z, t) + ξ(x, y + z, t) − ξ(x, y, z + t) + ξ(x, y, z) = 0.

(1.19)

Tính tương thích của ràng buộc kết hợp với ràng buộc đơn vị dẫn đến
(1.20)

ξ(0, y, z) = ξ(x, 0, z) = ξ(x, y, 0) = 0.

Ràng buộc giao hoán c+ : x + y → y + x là họ các mũi tên (x + y, η(x, y)), trong
đó η : R2 → M là một hàm thỏa mãn điều kiện
(1.21)

η(x, y) + η(y, x) = 0,

và thỏa mãn tiên đề lục giác về tính tương thích của


(xem phần 1.4).
Nếu η có thêm điều kiện chính quy η(x, x) = 0 thì h = (ξ, η, α, λ, ρ) là một
3-đối chu trình của vành R lấy hệ tử trong R-song môđun M theo nghĩa Shukla
(xem chương IV [2]).

σ(ab) = (σa)b,

Các ràng buộc kết hợp a của phép nhân và các ràng buộc phân phối L, R tương
ứng là các hàm α, λ, ρ từ R3 đến M thỏa mãn các hệ thức sau:

(1.24)

với mọi a, b ∈ A. Tổng và tích của hai song tích σ và ν được xác định bởi:
(σ + ν)a = σa + νa;

a(σ + ν) = aσ + aν;

(σν)a = σ(νa);

a(σν) = (aσ)ν.


25

26

Tập hợp tất cả các song tích của vành A cùng với hai phép toán trên lập thành
một vành có đơn vị, ký kiệu bởi MA . Mỗi phần tử c ∈ A cảm sinh một song tích
µc xác định bởi các hệ thức
µc a = ca;


f : R × R → A,
g : R × R → A,

sao cho
µf (x, y) = σ(x) + σ(y) − σ(x + y),
µg(x, y) = σ(x)σ(y) − σ(xy),

x, y ∈ R.

Từ tính chất kết hợp của phép nhân trong vành MA ta suy ra:
xg(y, z) − g(xy, z) + g(x, yz) − g(x, y)z = α(x, y, z) ∈ CA .

(1.34)

Tương tự, từ tính chất kết hợp và giao hoán của phép cộng trong vành MA ta
suy ra:
f (y, z) − f (x + y, z) + f (x, y + z) − f (x, y) = ξ(x, y, z) ∈ CA .

(1.35)

c ⊕ d = c + d,
f (x, y) − f (y, x) = η(x, y) ∈ CA .

ϕ ⊗ λ = ϕ ◦ λ,
c ⊗ d = cd + cλ + ϕd,

với λ, ϕ ∈ MA , c : ϕ → ϕ , d : λ → λ . Với hai phép toán này, M A trở thành một
Ann-phạm trù với các ràng buộc được xác định một cách tự nhiên đều là chặt
chẽ.

0 −→ A −→ S −→ R −→ 0

cảm sinh đồng cấu chính quy θ : R → PA . Cụ thể,

θ : R → PA

∀a ∈ A},

(1.36)

S = {(a, r), a ∈ A, r ∈ R}

là một vành với hai phép toán
(a1 , r1 ) + (a2 , r2 ) = (a1 + a2 + f (r1 , r2 ), r1 + r2 ),
(a1 , r1 ).(a2 , r2 ) = (a1 a2 + r1 a2 + a1 r2 + g(r1 , r2 ), r1 r2 ).


27

28

Trường hợp tổng quát được phát biểu trong kết quả dưới đây.

ˆY
id ⊗L

X ⊗ (Y ⊗ 0)

✲



✛

✻
ˆA

L ⊕id
✛
A (g)

g

(1.39)

˘A
L

0 ⊕ AX
XA

AX

✛L

✻

0 ⊕ XA

ˆA


XA ⊕ 0A

✛

˘ A, L
ˆ A ), (RA , R
˘A, R
ˆ A ) là những hàm tử tương thích với các ràng
nghĩa là, (LA , L
buộc đơn vị của phép ⊕ (còn được gọi là những U −hàm tử).
ˆ A ) (tương
Mệnh đề 1.3.8 ([2, Mệnh đề 3.2]). Trong một Ann-phạm trù A, họ (L
ứng (Rˆ A )) là một mũi tên đẳng cấu giữa hàm tử (A → A ⊗ 0) (tương ứng,
A → 0 ⊗ A) và hàm tử A → 0. Nghĩa là, nếu f : A → B là một mũi tên trong
Ann-phạm trù A thì các biểu đồ sau giao hoán
A⊗0

f ⊗id

✲

❅

ˆA
L

B⊗0

 
✠ Lˆ B


✻

✻

(X ⊗ 0) ⊕ (Y ⊗ 0)

ˆ X⊕Y
L

˘0
R

✛

g0 =d0

0⊕0

0

ˆ X ⊕R
ˆY
R

(1.48)

(X ⊕ Y ) ⊗ 0

✲


✻

❄

✲

ˆY
R

❄

id ⊕L
✛

A (d)

(1.41)

(1.40)

˘A
L

A0 ⊕ AX

˘A
R
ˆ A ⊕id
R


ˆ X ⊗id
R

(X ⊗ 0) ⊗ Y

ˆY
id ⊗R

X⊗0

Mệnh đề 1.3.7 ([3, Mệnh đề 3.1]). Trong Ann-phạm trù A, tồn tại duy nhất
các đẳng cấu

✲

(1.46)

ˆY
R

(0 ⊗ X) ⊗ Y

X ⊗ (0 ⊗ Y )

0

✻
❄


ˆ 1 = l0
L
và Rˆ 1 = r0 .
(1.50)
1.3.2

Định nghĩa Ann-hàm tử

Theo Mệnh đề 1.2.6, nếu (F, F˘ ) : A → A là một ⊕-hàm tử tương thích với các
ràng buộc kết hợp của của hai nhóm phạm trù thì nó cũng tương thích với các
ràng buộc đơn vị, nghĩa là suy ra được đẳng cấu F+ : F (0) → 0 sao cho (F, F˘ , F+ )
là một hàm tử monoidal. Với những chú ý này chúng ta có định nghĩa Ann-hàm
tử sau đây.

(1.44)

0

Mệnh đề 1.3.9 ([2, Mệnh đề 3.3]). Đối với các vật X, Y của Ann-phạm trù A,
các biểu đồ sau giao hoán

Định nghĩa 1.3.12. Cho A và A là những Ann−phạm trù. Một Ann−hàm tử
từ A đến A là một bộ bốn (F, F˘ , F , F∗ ) trong đó (F, F˘ ) là một hàm tử monoidal
đối xứng đối với phép toán ⊕, (F, F , F∗ ) là hàm tử monoidal đối với phép toán
⊗ và thỏa mãn hai biểu đồ giao hoán sau:
F (X(Y ⊕ Z))

F

✲


(1.51)


29
F

F ((X ⊕ Y )Z)

✲

F (X ⊕ Y ).F Z

30
˘ ⊗id
F

✲

(F X ⊕ F Y ).F Z

F (R)

R

❄

˘
F


= idA .

Định lý 1.3.14 ([2, Định lý 1.3, chương IV]). Các tác động bên trái, bên phải
của vành π0 (A) lên nhóm aben π1 (A) xác định lần lượt bởi các hệ thức

với X ∈ s, s ∈ π0 (A), u ∈ π1 (A), biến π1 (A) thành π0 (A)-song môđun, trong đó
λ, ρ là các hàm được xác định bởi các biểu các biểu đồ giao hoán sau:
ˆX
L

X.0

✲

0

Bổ đề 1.3.13. Mỗi Ann-hàm tử F = (F, F˘ , F , F∗ ) : A → A đồng luân với một
Ann-hàm tử F = (F , F˘ , F , F∗ ) mà ở đó F 1 = 1 , F∗ = id1 .
Chứng minh. Ta xét họ các mũi tên đẳng cấu trong A :
θX


idF X nếu X = 1,
=
F nếu X = 1,
∗

với X ∈ A. Khi đó từ F ta có thể dựng được Ann-hàm tử F theo cách duy nhất
sao cho θ : F → F trở thành một đồng luân, ở đó


❄
X.0

ˆX
L

✲

0
ρX (u)

u⊗id

❄

❄

✲

ˆX
R

0

0.X

ˆX
R

✲

đương khi và chỉ khi F0 , F1 là những đẳng cấu.
Dưới đây, chúng ta nhắc lại những nét chính của phép xây dựng Ann-phạm
trù thu gọn SA của một Ann-phạm trù A, nhờ phép chuyển cấu trúc (chi tiết
xem [2]). Phạm trù SA có các vật là các phần tử của π0 (A), còn các mũi tên là
những tự đẳng cấu, (r, a) : r → r, r ∈ π0 (A), a ∈ π1 (A). Hợp thành của hai mũi
tên được xác định bởi
(r, a) ◦ (r, b) = (r, a + b).

1.3.3

Ann-phạm trù thu gọn

Giả sử A là một Ann-phạm trù với họ các ràng buộc
(a+ , c+ , (0, g, d), a, (1, l, r), L, R).

Trong A chọn hệ đại diện Xs , s ∈ π0 (A) sao cho X0 = 0, X1 = 1, và một họ các
đẳng cấu iX : X → Xs thoả mãn iXs = idXs . Khi đó ta có thể xác định hai hàm tử


31

32

G : A → SA,

H : SA → A,

G(X) = [X] = s,

H(s) = Xs ,


(1.56)

0⊕X

Hai phép toán trên SA được xác định bởi

là một Ann-tương đương.
˘ H), (G, G,
˘ G) được gọi là các Ann-tương đương chính tắc.
(H, H,
Mệnh đề 2.8, chương IV [2], đã chứng tỏ rằng, trong một Ann-phạm trù thu
gọn SA, họ h = (ξ, η, α, λ, ρ) thỏa mãn các hệ thức (1.57)–(1.60), (1.69)–(1.76),
và do đó nó là một 3-đối chu trình của vành π0 (A) lấy hệ tử trong π0 (A)-song
môđun π1 (A) theo nghĩa Mac Lane.
Từ Định lý 1.3.15 và Định lý 7.6 [38], mỗi Ann-phạm trù A được xác định
duy nhất, sai khác bởi một Ann-tương đương, bởi ba bất biến đặc trưng:
1. Vành π0 (A) các lớp vật của phạm trù A;

s ⊕ t = G(H(s) ⊕ H(t)) = s + t,

2. π0 (A)-song môđun π1 (A) = Aut(0);

s ⊗ t = G(H(s) ⊗ H(t)) = st,

3
3. Phần tử [h] ∈ HM
acL (π0 (A), π1 (A)) (đối đồng điều vành theo nghĩa Mac
Lane).


là một Ann-phạm trù tương đương với A bởi Ann-tương đương (H, H
−1
ψ , H∗ ). Đồng thời, hàm tử G : A → SA cùng với các đẳng cấu hàm tử
˘ X,Y = G(iX ⊕ iY ),
G

GX,Y = G(iX ⊗ iY ),

G∗ = id1

Trong trường hợp các Ann-phạm trù chính quy (có ràng buộc đối xứng thỏa
mãn điều kiện cX,X = id đối với mọi vật X ) thì phần tử [h] được nói đến ở
3 (π (A), π (A)) của các Z-đại số theo nghĩa Shukla (xem
trên thuộc vào nhóm HSh
0
1
Định lý 3.1, chương IV [2]).

1.4
1.4.1

Đối đồng điều
Nhóm đối đồng điều Mac Lane của các vành

Các nhóm đối đồng điều chiều thấp của vành theo nghĩa Mac Lane đã được
Nguyễn Tiến Quang sử dụng để phân lớp các Ann-phạm trù tổng quát [38].
Trong phần 2.1, chúng ta sẽ sử dụng các nhóm đối đồng điều này để tiến hành
phân lớp các Ann-hàm tử giữa các Ann-phạm trù.
Giả sử R là một vành và M là một R−song môđun. Từ định nghĩa đối đồng
điều vành của S. Mac Lane [53], chúng ta thu được mô tả về các phần tử của


ξ, α, λ, ρ : R3 → M, η : R2 → M

α(x, y, z) + α(x, y, t) − α(x, y, z + t) + xλ(y, z, t) − λ(xy, z, t) + λ(x, yz, yt) = 0, (1.60)
λ(x, z, t) + λ(y, z, t) − λ(x + y, z, t) + ρ(x, y, z) + ρ(x, y, t) − ρ(x, y, z + t)

(1.61)

+ σ(xz, xt, yz, yt) = 0,
λ(x, a, b) + λ(x, c, d) − λ(x, a + c, b + d) − λ(x, a, c) − λ(x, b, d)

3
Nhóm ZM
acL (R, M ) các 3-đối dây chuyền của vành R lấy hệ tử trong R−song
module M bao gồm các bộ năm h = (ξ, η, α, λ, ρ) các ánh xạ:

thoả mãn các hệ thức (1.57)–(1.60) và các hệ thức dưới đây, với mọi x, y, z, t ∈ R:
ξ(y, z, t) − ξ(x + y, z, t) + ξ(x, y + z, t) − ξ(x, y, z + t) + ξ(x, y, z) = 0,

(1.69)

ξ(x, y, z) − ξ(x, z, y) + ξ(z, x, y) + η(x + y, z) − η(x, z) − η(y, z) = 0,

(1.70)

(1.62)

+ λ(x, a + b, c + d) − xσ(a, b, c, d) + σ(xa, xb, xc, xd) = 0,

η(x, y) + η(y, x) = 0,

và bốn hàm này thỏa mãn các điều kiện chuẩn tắc:

ξ(xz + xt, yz, yt) + ξ(xz, xt, yz) − η(xt, yz) + ξ(xz + yz, xt, yt) − ξ(xz, yz, xt),

(1.76)

α(0, y, z) = α(x, 0, z) = α(x, y, 0) = 0,

và thỏa mãn các điều kiện chuẩn tắc:

λ(0, y, z) = λ(x, 0, z) = λ(x, y, 0) = 0,
ρ(0, y, z) = ρ(x, 0, z) = ρ(x, y, 0) = 0,

ξ(0, y, z) = ξ(x, 0, z) = ξ(x, y, 0) = 0,

σ(a, b, 0, 0) = σ(0, 0, c, d) = σ(a, 0, c, 0) = σ(0, b, 0, d) = σ(a, 0, 0, d) = 0.

α(1, y, z) = α(x, 1, z) = α(x, y, 1) = 0,

3
3
Nhóm con BM
acL (R, M ) ⊂ ZM acL (R, M ) của các 3-đối bờ là những bộ bốn h =
(σ, α, λ, ρ) sao cho tồn tại các ánh xạ g = (µ, ν) : R2 → M thoả mãn h = ∂M acL g ,
nghĩa là:
α(x, y, z) = xν(y, z) − ν(xy, z) + ν(x, yz) − ν(x, y)z,
(1.65)

α(0, y, z) = α(x, 0, z) = α(x, y, 0) = 0,


(1.78)

ở đó µ, ν thỏa mãn các điều kiện chuẩn tắc µ(0, y) = µ(x, 0) = 0 và
ν(0, y) = ν(x, 0) = ν(1, y) = ν(x, 1) = 0.


35

36

2
Nhóm ZM
acL (R, M ) bao gồm các 2-đối dây chuyền g = (µ, ν) của vành R lấy
hệ tử trong R−song module M thoả mãn

với một a cố định nào đó thuộc A.
2
(Λ, A) bao gồm các 2-đối chu trình là những hàm song tuyến tính
Nhóm ZHochs
2
g : Λ → A thỏa mãn điều kiện

∂M acL g = 0.
2
2
Nhóm con BM
acL (R, M ) ⊂ ZM acL (R, M ) của các 2-đối bờ gồm những cặp (µ, ν)
sao cho tồn tại các ánh xạ t : R → M thoả mãn (µ, ν) = ∂M acL t, nghĩa là:

µ(x, y) = t(y) − t(x + y) + t(x),

sau, với λ1 , λ2 , λ3 , λ4 ∈ Λ.
1
Nhóm ZHochs
(Λ, A) các 1-đối chu trình bao gồm các đồng cấu K -môđun f :
Λ → A thỏa mãn đẳng thức
f (λ1 , λ2 ) = λ1 f (λ2 ) + f (λ1 )λ2 .

(1.81)

1
Nhóm BHochs
(Λ, A) bao gồm các 1-đối bờ là những hàm có dạng

fa (λ) = aλ − λa,

(1.83)

2
(Λ, A) bao gồm các 2-đối bờ là những hàm g : Λ2 → A sao cho
Nhóm BHochs
tồn tại đồng cấu K -môđun f : Λ → A thỏa mãn đẳng thức

g(λ1 , λ2 ) = λ1 f (λ2 ) + f (λ1 )λ2 .

(1.84)

3
(Λ, A) bao gồm các 3-đối chu trình là những hàm đa tuyến tính
Nhóm ZHochs
3

HHochs
(Λ, A) = ZHochs
(Λ, A)/BHochs
(Λ, A), n = 1, 2, 3,

được gọi là nhóm đối đồng điều thứ n của K -đại số Λ lấy hệ tử trong Λ-song
môđun A.


37

38

- giao hoán" v, v nếu biểu đồ sau là giao hoán với mọi X, Y, Z, T ∈ Ob(A)
˘
F

F ((X ⊕ Y ) ⊕ (Z ⊕ T ))

✲

F (X ⊕ Y ) ⊕ F (Z ⊕ T )

˘ +F
˘
F

(F X ⊕ F Y ) ⊕ (F Z ⊕ F T )

✲


✲

F (X ⊕ Z) ⊕ F (Y ⊕ T )

Định nghĩa 2.1.1. Cho A, A là những ⊕−phạm trù monoidal đối xứng. Khi
đó ⊕−hàm tử (F, F˘ ) : A → A được gọi là tương thích với các ràng buộc "kết hợp

(F X ⊕ F Z) ⊕ (F Y ⊕ F T )

✲

Bổ đề 2.1.2. Giả sử ⊕−hàm tử (F, F˘ ) : A → A tương thích với các ràng buộc
đơn vị. Thế thì (F, F˘ ) là một AC−hàm tử khi và chỉ khi nó tương thích với các
ràng buộc v, v .
Chứng minh. Điều kiện cần đã được chứng minh bởi D. B. A. Epstein (Bổ đề
1.5 [15]).
Bây giờ ta giả sử biểu đồ (2.1) giao hoán. Để chứng minh cặp (F, F˘ ) tương
thích với các ràng buộc giao hoán ta xét biểu đồ dưới đây:
F (v)

F ((0 ⊕ X) ⊕ (Y ⊕ 0))

❅
F (g ⊕ d) ❅
❘
❅

F˘


❅
❘
❅

❄
✻

 
✒
  (F ⊕ id) ⊕ (id ⊕F )
 

(F 0 ⊕ F X) ⊕ (F Y ⊕ F 0)

c

+

FX ⊕ FY

g ⊕d

(II)

❄

F˘

❄


(2.1)

v

✲ FY
(III)
v

(I)
v

 
✠
❄ 

F (g) ⊕ F (d)

⊕ FX

✻

g ⊕d

(IV)

F˘ ⊕ F˘

✲ (0 ⊕ F Y ) ⊕ (F X ⊕ 0)
❅
■


F (g ⊕ id)

(X)

❅

F˘

F (a )

F (X ⊕ (Y ⊕ Z))
F˘

F˘

F X ⊕ F (Y ⊕ Z)
F (g) ⊕ id
F (X ⊕ 0) ⊕ F (Y ⊕ Z)

✻

(V)

❅
■
❅

F (g −1 ) ⊕ F˘



F˘ ⊕ F˘

π1 (A )

→ γF−10 (F u)

F1 (us) = F1 (u)F0 (s).

(2.2)

Cặp (F0 , F1 ) được gọi là cặp đồng cấu cảm sinh của Ann−hàm tử (F, F˘ , F ).
Nếu S, S tương ứng là những Ann−phạm trù thu gọn của A, A thì hàm tử
SF : S → S xác định bởi

❅
■
❅

id ⊕(F ⊕ id)

SF (s) = F0 (s), SF (s, u) = (F0 s, F1 u)

❅
❅

✲

(F X ⊕ F Y ) ⊕ (F 0 ⊕ F Z)



thoả mãn các hệ thức

✲ (F X ⊕ F Y ) ⊕ F Z
(III)

→

F (X ⊕ Y ) ⊕ F (0 ⊕ Z)

F ⊕ F (d−1 )

 
(F X ⊕ F 0) ⊕ (F Y ⊕ F Z)

[X]

✒
 
 
˘
a

✻

Dưới đây, chúng ta sẽ chỉ ra rằng mỗi Ann-hàm tử (F, F˘ , F ) : A → A cảm sinh
một Ann-hàm tử SF trên các Ann-phạm trù thu gọn của chúng.
Theo Định lý 1.3.15, mỗi Ann-hàm tử (F, F˘ , F ) : A → A đều cảm sinh cặp
đồng cấu vành:
F0 : π0 (A) → π0 (A ) ;


F˘

✲ F ((X ⊕ Y ) ⊕ Z)

✻

(VIII)

✻

F (id ⊕d)

 
 
✠
 

+

❅
❘
❅

F ((X ⊕ Y ) ⊕ (0 ⊕ Z))

✲
 

2.1.2

F (x, a) = (p(x), q(a)),

trong đó p : R → R là một đồng cấu vành và q : M → M là một đồng cấu nhóm
thỏa mãn
q(xa) = p(x)q(a),
q(ax) = q(a)p(x),
(2.3)
với x ∈ R, a ∈ M.


41

42

Mệnh đề 2.1.6 ([43, Mệnh đề 4.3]). Giả sử A = (R, M, h), A = (R , M , h ) là
hai Ann-phạm trù và (F, F˘ , F ) là một Ann-hàm tử từ A đến A . Khi đó (F, F˘ , F )
là một hàm tử kiểu (p, q).
Chứng minh. Với x, y ∈ R, ta có
F˘x,y : F (x ⊕ y) → F (x) ⊕ F (y),

Fx,y : F (x ⊗ y) → F (x) ⊗ F (y),

là những mũi tên trong A . Từ đó F (x) + F (y) = F (x + y), F (x). F (y) = F (xy),
bởi vậy ánh xạ p : R → R cho bởi p(x) = F (x) là một đồng cấu vành.
Giả sử F (x, a) = (p(x), qx (a)). Do (F, F˘ ) là một Gr-hàm tử nên theo Định lý 5
[40], ta suy ra qx = q với mọi x ∈ R, hơn nữa q là một đồng cấu nhóm:
q(a + b) = q(a) + q(b),

(2.4)



(2.7)

(2.9)

− µ(y, t) + µ(x + y, z + t)

Bởi vì F tương thích với các ràng buộc kết hợp của phép nhân, ràng buộc
phân phối của hai Ann-phạm trù S và S nên ta có:

Thay y = 1 vào (2.6) ta được:
q(xb) = F (x)q(b) = p(x)q(b).

Bài toán về sự tồn tại và phân lớp các Ann-hàm tử giữa hai Ann-phạm trù đã
được Trần Phương Dung giải quyết cho trường hợp các Ann-phạm trù chính
quy (Định lý 4.2, Định lý 4.4 [1]) nhờ các tính toán của Nguyễn Tiến Quang về
các nhóm đối đồng điều đại số chiều thấp của Shukla [2]. Trong mục này, chúng
tôi sẽ mở rộng các kết quả phân lớp của Trần Phương Dung cho các Ann-hàm
tử trong trường hợp tổng quát. Trong cả mục này, ta ký hiệu S, S là những
Ann-phạm trù dạng (R, M, h), (R , M , h ).

σ∗ (x, y, z, t) = q(σ(x, y, z, t)).

F (x ⊗ y) −−−→ F x ⊗ F y



F ((x,a))⊗F ((y,b))
F ((x,a)⊗(y,b))



Từ các đẳng thức (2.9) − (2.12) ta suy ra:
q∗ h − p∗ h = δM acL gF .

(2.13)

Từ đó chúng ta có định lý sau nói về sự tồn tại của các Ann-hàm tử.
Định lý 2.1.8 ([43, Định lý 4.4]). Hàm tử F : S → S kiểu (p, q) là một Ann−hàm
3
tử nếu và chỉ nếu cái cản trở [k] = 0 trong HM
acL (R, M ).
Chứng minh. Giả sử (F, F˘ , F ) : S → S là một Ann−hàm tử kiểu (p, q). Từ đẳng
3
thức (2.13) ta suy ra cái cản trở [k] của F triệt tiêu trong nhóm HM
acL (R, M ).
3
Ngược lại, giả sử cái cản trở của hàm tử F triệt tiêu trong nhóm HM
acL (R, M ).
∗
Từ đó suy ra tồn tại một 2-đối dây chuyền g = (µ, ν) sao cho q∗ h − p h = δM acL g .
Lấy F˘ , F là các mũi tên hàm tử liên kết với các hàm µ, ν . Khi đó, do các hàm
µ, ν thỏa mãn các đẳng thức (2.9), (2.10), (2.11), (2.12), ta suy ra F tương ứng
tương thích với các ràng buộc kết hợp-giao hoán của phép ⊕, các ràng buộc kết
hợp của phép ⊗, các ràng buộc phân phối bên trái và các ràng buộc phân phối
bên phải. Từ đó suy ra (F, F˘ , F ) là một Ann-hàm tử.

Từ các đẳng thức (2.13) và (2.14) ta suy ra gF − gK là một 2-đối chu trình.
Xét tương ứng:
Φ : [K] → [gF − gK ],


✲

ux⊗y

K (x ⊗ y)

K x⊕K y

Kx ⊗ Ky

ux ⊗uy

❄

❄

˘
K

K

K(x ⊗ y)

ux ⊕uy

❄

❄

K

Aut(F ) → ZM
acL (R, M )

2
[gF − gK ] = [gF − gK ] ∈ HM
acL (R, M ).

1
giữa nhóm của các tự mũi tên của Ann-hàm tử F và nhóm ZM
acL (R, M ).

Khi đó tồn tại 1-đối dây chuyền u sao cho

Chứng minh. (i) Giả sử tồn tại Ann-hàm tử (F, F˘ , F ) : S → S , kiểu (p, q). Từ đó
gF thỏa mãn đẳng thức (2.13). Cố định 2-đối dây chuyền gF . Bây giờ giả sử
˘ K) : S → S
(K, K,

nghĩa là
gK = gK + δM acL (u).

là một Ann-hàm tử kiểu (p, q) đã cho. Khi đó suy ra gK thỏa mãn đẳng thức
q∗ h − p∗ h = δM acL gK .

gF − gK = gF − gK + δM acL (u)

(2.14)

Từ đẳng thức trên ta suy ra u : K → K là một Ann-mũi tên, do vậy ta được
[K] = [K ].


(ii) Giả sử F = (F, F˘ , F ) : S → S là một Ann-hàm tử kiểu (p, q) và u ∈ Aut(F ).
Với mỗi x ∈ R ta có ux = (p(x), t(x)) : F (x) → F (x), trong đó t : R → M là một
hàm. Do u là những ⊕, ⊗-mũi tên nên ta có:

σ ∗ (x, y, z, t) = 0.

(2.18)

−α ∗ (x, y, z) = xν(y, z) − ν(xy, z) + ν(x, yz) − ν(x, y)z.

(2.19)

−λ (x, y, z) = ν(x, y + z) − ν(x, y) − ν(x, z).

(2.20)

t(x) − t(x + y) + t(y) = 0,

(2.16)

−ρ ∗ (x, y, z) = ν(x + y, z) − ν(x, z) − ν(y, z).

(2.21)

t(x)y − t(xy) + xt(y) = 0.

(2.17)

1

Tóm lại ta có song ánh

kiểu (p, 0) được gọi là một Ann-hàm tử mạnh nếu hàm ν : R2 → M tương ứng
với F là song cộng tính.

1
Aut(F ) ↔ ZM
acL (R, M ).

Nếu ν là một hàm song cộng tính chuẩn tắc thì ν là một 2-đối chu trình của
Z-đại số của R với hệ tử trong R−song môđun M theo nghĩa Hochschild. Từ

đó, trong các đẳng thức (2.18)-(2.21), α ∗ là một hàm đa tuyến tính chuẩn tắc,
các hàm còn lại bằng 0. Bởi vậy chúng ta có thể đồng nhất
2.1.4

Ann-hàm tử và đối đồng điều Hochschild

Mối liên hệ giữa các Ann-hàm tử mạnh, chính quy giữa các Ann-phạm trù chính
quy với các nhóm đối đồng điều Hochschild đã được được thiết lập trong [41]
(chi tiết, xem các Mệnh đề 3, Định lý 4 [41]). Sau đó các kết quả này đã được

h ∗ ≡ α ∗ = δ(−ν),

trong đó δ(ν) một 3-đối bờ của vành R lấy hệ tử trong R−song môđun M theo
nghĩa Hochschild. Từ đó chúng ta có mệnh đề sau, như là một hệ quả trực tiếp
của Định lý 2.1.8.