SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT VĨNH LỘC

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

SỬ DỤNG KẾT QUẢ MỘT BÀI TOÁN HÌNH HỌC 11 ĐỂ
HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍNH
KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN

Người thực hiện: Trịnh Thanh Tùng
Chức vụ: Giáo viên.
SKKN thuộc môn Toán

THANH HOÁ, NĂM 2015

1


A. ĐẶT VẤN ĐỀ.
Trong chương trình Toán THPT hiện hành, hình học không gian là
mảng kiến thức khá dài, xuyên suốt chương trình hình học lớp 11 và kéo dài
ba trong số bốn chương của lớp 12. Tính chất đặc trưng của hình học không
gian là mô tả một khối hình trong không gian trên một mặt phẳng mà vẫn đảm
bảo được các mối quan hệ giữa điểm, đường thẳng và mặt phẳng. Chính vì
tính chất đó mà nó đòi hỏi học sinh phải có sự tư duy trừu tượng rất tốt mới
có thể giải được toán hình không gian, đặc biệt là các bài toán khoảng cách.
Khoảng cách là bài học cuối cùng của chương trình hình học lớp 11
nhưng nó có sự liên quan chặt chẽ trong các bài toán hình học không gian lớp
12 và xa hơn là sự xuất hiện các bài toán tính khoảng cách trong các đề thi
tuyển sinh Đại học – Cao đẳng. Do đó, nếu học tốt các bài toán khoảng cách
sẽ là tiền đề vững chắc để các em giải thành thạo các bài toán hình học 12.

sau, đây là hai dạng toán học sinh hay gặp trong chương trình. Sau khi có kết
quả, tôi đưa ra những nhận xét về tình trạng chung khi giải toán của học sinh:
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a,
tâm O, có SA vuông góc với đáy và SA = a 2 . Tính khoảng cách từ O đến
mặt phẳng (SCD).
Nhận xét:
- Với bài toán 1: Cách giải thông

S

thường nhất là xác định mặt phẳng
chứa điểm O, vuông góc và cắt mặt
phẳng (SCD) theo giao tuyến ∆ ,

H

xác định hình chiếu của O trên ∆ và

A

tìm hiểu H có mối liên hệ như thế
nào với tam giác SCD. Từ đó, tính

D

O
B

K
C


D

- Chỉ ra rằng:
F

d(AD,SB) = d(AD,(SBC))
B

= d(A,(SBC)).
- Kẻ AH ⊥ SB . Chứng minh: BC ⊥ ( SAB) ⇒ BC ⊥ AH

C

- Chứng minh: AH ⊥ (SBC ) ⇒ d ( A, ( SBC )) = AH . Tính AH.
Đối với câu b: Dùng cách xác định đường vuông góc chung EF như sau:
- Hình chiếu của SC trên (ABCD) là AC, từ A kẻ AK vuông góc với SD
tại K, qua K dường thẳng song song với CD cắt SC tại E, từ E kẻ đường thẳng
song song với AK và cắt AB tại F. Chứng minh: EF là đường vuông góc
chung của SC và AB và EF = AK. Tính AK.
Đối với bài toán 1
- Việc xác định được mặt phẳng chứa điểm O, vuông góc và cắt mặt
phẳng (SCD) theo giao tuyến ∆ rất khó đối với học sinh.
- Việc tìm mối liên hệ giữa điểm H và tam giác SCD không dễ dàng,
do đó việc tính toán gặp nhiều khó khăn.
Đối với bài toán 2, trong cả hai trường hợp, tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng chéo nhau khá dài và việc dựng thêm điểm, đường là cách làm
khó đối với học sinh.
Chính vì phải tư duy trừu tượng trong việc xác định điểm, đường và việc
tính toán phức tạp đã khiến học sinh thấy “ngán ” hình học không gian.

OH
OA OB OC 2

Bài giải:
a) Vì H là chân đường vuông góc hạ từ

A

O đến mặt phẳng(ABC)nên OH ⊥ (ABC)

E

tại H. Nối A với H cắt BC tại K và C với

H

H cắt AB tại E.
Do OH ⊥ (ABC) nên OH ⊥ AB;OH ⊥ BC.
OA ⊥ OB
⇒ OA ⊥ (OBC ) ⇒ OA ⊥ BC.
Vì 
OA ⊥ OC

C

O
K
B

 BC ⊥ OH

OB OC 2

Ta có:

1
1
1
1
1
1
1
1
1
⇒
=
+
=
+
=
+
+
2
2
2
2
2
2
2
2
OH

góc. Gọi K và H lần lượt là hình
chiếu vuông góc của O trên BC và

H

AK. Chứng minh rằng: OH là
khoảng cách từ O đến mặt phẳng
(ABC) và

C

O

1
1
1
1
=
+
+
2
2
2
OH
OA OB OC 2

K
B

Nhận xét 2: Ta có thể khái quát bài toán 1 bằng cách thay giả thiết ba cạnh

B

Vì H là chân đường vuông góc hạ từ O đến
mặt phẳng(ABC) nên OH ⊥ (ABC) tại H. Nối A với H cắt BC tại K.
Do OH ⊥ (ABC) nên OH ⊥ BC.
6


Vì OA ⊥ (OBC ) ⇒ OA ⊥ BC.
 BC ⊥ OH
⇒ BC ⊥ (OHA) ⇒ BC ⊥ AK .
 BC ⊥ OA

Ta có: 

Ta thấy: OK là hình chiếu của AK trên (OBC) mà AK ⊥ BC nên OK ⊥ BC.
Vậy: d(O;(ABC)) = d(O;AK) = OH và K là hình chiếu của O trên BC.
Nhận xét 3: Bằng cách thay giả thiết tam giác OBC vuông ở O bằng giả thiết
tam giác OBC vuông ở B hoặc C, ta có bài toán 3 và 4 như sau:
Bài toán 3: Cho tứ diện OABC có Bài toán 4: Cho tứ diện OABC có đáy là
đáy là tam giác OBC vuông tại C và tam giác OBC vuông tại B và OA ⊥
OA ⊥ (OBC). Gọi H là hình chiếu (OBC). Gọi H là hình chiếu vuông góc
vuông góc của O trên AB. Chứng của O trên AC. Chứng minh rằng: OH là
minh rằng: OH là khoảng cách từ O khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC)
đến

mặt

phẳng


H

H

B

C
K

O

C

O

B

K

Tam giác OBC vuông tại C.

Tam giác OBC vuông tại B.
Chứng minh:
Từ bài toán 2, ta suy ra:
Nếu tam giác OBC vuông ở B
(hoặc C) thì K trùng với B (hoặc C).

Do đó: H nằm trên AB (hoặc AC)
Chú ý: Nếu hai điểm A và B nằm ngoài ( α ) và đường thẳng AB cắt ( α ) tại
d ( A, (α ))

H

j

H

K

O

B

2. Các ví dụ áp dụng:
Các bài toán trên vận dụng trong dạng toán:
- Dạng 1: Tính khoảng cách từ một đỉnh đến một mặt phẳng của tứ diện
có giả thiết giống các bài toán trên.
- Dạng 2: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng cách
tính khoảng cách từ đường thẳng này đến mặt phẳng song song với đường
thẳng kia, và việc tính toán này quy về tính khoảng cách từ một điểm đến mặt
phẳng ở dạng 1.
Sau đây, ta lần lượt vận dụng để giải một số bài toán tính khoảng cách:
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, tâm O,
SA ⊥ (ABCD) và SA = a 2 . Tính khoảng cách từ O đến (SCD).
Phân tích:
Việc xác định trực tiếp hình chiếu H của O trên (SCD) tương đối khó. Ta
thay đổi tên gọi mặt phẳng để tạo ra tứ diện đỉnh vuông tại O. Lấy I là trung
điểm của SC thì OI là đường trung bình của tam giác SAC nên OI//SA. Do
đó: OI ⊥ (OCD).

8


1
a 2
OI//SA và OI = SA =
.
2
2
Do đó: OI ⊥ (OCD).

Vì tứ diện OIDC có OI, OC, OD đôi một vuông góc nên theo bài toán 1:
d(O,(SCD))=D(O,(ICD))=d(O,IK)=OH với K là hình chiếu của O trên
CD và H là hình chiếu của O trên IK và:
1
1
1
1
1
2
1
2
6
a 6
= 2+
+
= 2+
=
+
= 2 ⇒ OH =
2
2

Ta có: d(AD,SB) = d(AD,(SBC)) = d(A,(SBC)).
Tứ diện S.ABC có SA ⊥ (ABC) và tam giác ABC vuông tại B, theo bài toán 3:
d(A,(SBC)) = AH, H là hình chiếu của A trên SB và
1 1
ah
1
1
1
= 2 + 2 ⇒ AH =
= 2+
2
2
2
h a
AH
SA
AB
a + h2

b) Do AB // CD nên AB // (SCD).
9


Ta có: d(AB,SC) = d(AB,(SCD))

S

= d(A,(SCD)).
Tứ diện S.ACD có SA ⊥ (ACD) và đáy


AD
h a
ah
⇒ AK =
2
a + h2

C

Vậy: Khoảng cách giữa SB và AD; AB và SC bằng

ah
a 2 + h2

Bài 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Tính khoảng
cách từ A đến mặt phẳng (A’BD).
Phân tích:

A'
D'

Gọi O là giao điểm của AC
và BD. Ta có: AO ⊥ BD.

B'

C'

Ta thấy: Tứ diện AA’BD có
AA’, AB, AD đôi một vuông góc

+
=
= 2 ⇒ AH =
2
2
2
2
2
3
AH
AA'
AB
AD
AA'
a

10


Vậy: d(A,(A’BD)) =

a 3
.
3

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi ABCD cạnh a và
có góc ∠BAD =600. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Đường thẳng SO ⊥
(ABCD) và SO=

3a

H
D

Ta thấy: Tứ diện S.OBC có OB, OS, OC đôi

C

một vuông góc với nhau nên theo bài toán 1,

O

E

d(O,(SCD)) = OH với H là hình chiếu của O

F
B

A

trên SE và

1
1
1
1
1
1
1
16


AC

Đường thẳng AO cắt mặt phẳng (SBC) tại C nên d (O, ( SBC )) = OC = 2
⇒ d(A,(SBC))= 2d(O,(SBC))=

Vậy: d(A,(SBC))=

3a
.
4

3a
3a
và d(O,(SBC))= .
4
8

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, có cạnh
SA =h và SA ⊥ (ABCD). Ttính khoảng cách giữa hai đường thẳng :
a) SB và AD

b) AB và SC.
Bài giải:
11


a) Do AD // BC nên AD // (SBC) chứa SB nên d(AD, SB) = d(AD,(SBC))
= d(A,(SBC)).
Ta thấy: Tứ diện S.ABC có SA ⊥ (ABC)

D

B
C

SC nên d(AB, SC) = d(AB, (SCD))
= d(A,(SCD)).

Ta thấy: Tứ diện S.ACD có SA ⊥ (ACD) và có đáy là tam giác ACD vuông tại
D nên theo bài toán 3: d(A,(SCD)) = AK, với K là hình chiếu của A trên SD
và

1
1
1
1
1
a2 + h2
=
+
=
+
=
⇒ AK =
AK 2 SA 2 AD 2 h 2 a 2
a2h2

ah
a2 + h2


d(O,(AIK)) = OH, với H là hình chiếu của O trên AK và

B

12


1
1
1
1
1
5
a 5
=
+
= 2 + 2 = 2 ⇒ OH =
2
2
2
5
OH
OA
OK
a
a
a
4

Vậy: d(O,(AIK)) =


C

O trên CD.
Ta có: OC = OD =

1
AC =
2

AB 2 + BC 2 a 2
=
2
2

1
1
1
1
1
2
1
2
5
a 5
=
+
+
=
+


S

EB BC 1
=
= và
EA AD 2

Do BC // AD nên

EB= BA = a=BC. Do đó tam giác ACE
vuông tại C và AC =
d ( B, ( SCD ))

BE

K

AB 2 + BC 2 = a 2 .

H

1

Vì d ( A, ( SCD )) = AE = 2 và

D
A

d ( H , ( SCD )) SH 2

2
AK
SA
AC
2a
2a
a
⇒ d ( H , ( SCD)) =

a
3

Vậy: d(H,(SCD)) =

a
.
3

Bài 9: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2008).
Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB=BC
=a, cạnh bên AA’ =a 2 . Gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách giữa
hai đường thẳng AM và B’C.
Bài giải:

14


Gọi N là trung điểm của BB’ thì MN là

C'

1
1
1
1
1
2
4
7
=
+
+
= 2 +
+
= 2 + 2 + 2 = 2
2
2
2
2
(d ( B, ( AMN )))
BA
BN
BM
a
a
a
a
a 2 2 (a )2 a
(
)
2

SAB là tam giac cân tại đỉnh S và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng
(ABCD), cạnh bên SC tạo với mặt đáy một góc α . Tính:
a) Chiều cao của hình chóp S.ABCD.
b) Khoảng cách từ chân đường cao của hình chóp đến mặt phẳng (SCD).
Bài 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD, góc A=120 0, BD
= a, cạnh SA vuông góc với mặt đáy, góc giữa mặt bên (SBC) và mặt đáy là
600. Tính:
a) Đường cao của hình chóp.
b) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
Bài 14: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông tại C,
CA=b, CB=a, cạnh SA = h và SA ⊥ (ABC). Gọi D là trung điểm của AB.
Tính:
a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD.
b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SD.

16


Bài 15: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, SA =
AB = BC = a và SA ⊥ (ABC).Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và
SB.
Bài 16: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD, AB//CD. Tam
giác ABC vuông tại A, AB = a, BC = CD = 2a, SA = SB = SC = a 2 .Tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC.
Bài 17: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều ABC cạnh a,
SA=

a 6
và SA ⊥ (ABC). Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng
2

b)

Bài 14: a)

ah
a 2 + 4h 2

Bài 15:

a 3
3

Bài 16:

2a 5
5

b)

a 5 tan α
5 tan 2 α + 4
a 3
4
bh
b 2 + 4h 2

Bài 17:

a 2
2


Lớp
K

11B7 (%)
TB
Y

16,2

32,4

29,7 21,7 0

12,9

22,6

35,5 26,0

28,6

40

11,4 8,6

22,6

35,5



Thanh hóa, ngày 26 tháng 04 năm 2015
Tôi xin cam đoan đây là SSKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.
Người thực hiện
(Ký, ghi rõ họ tên)

Trịnh Thanh Tùng

19


PHỤ LỤC SÁCH THAM KHẢO
1) Hình học 11 và Bài tập Hình học 11 – Cơ bản.
2) Hình học 11 và Bài tập Hình học 11 – Nâng cao.
3) Đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng từ năm 2007 đến 2013.
4) Hình học không gian – Chủ biên: Trần Văn Hạo- NXB GD VN.
5) Báo Toán học và Tuổi trẻ.

20


MỤC LỤC
A. ĐẶT VẤN ĐỀ…………………………………………………………..1.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ…………………………………………………2.
I. Cơ sở lí luận………………………………………………………………2.
II. Thực trạng của vấn đề…………………………………………………...2.
III. Giải pháp và tổ chức thực hiện…………………………………………4.
1. Các bài toán……………………………………………………………4.