1
Mục lục Trang
Đặt vấn đề……………… …………………………………………… ………2
Cơ sở lý thuyết…… ………………………………………………… ……….4
Thực trạng – Giải pháp ………………………………………………………….6
Nội dung: Tính khoảng cách trong không gian………………………….………8
I. Bài toán khoảng cách cơ bản……………………………………….… 8
II. Các bước giải…….…………………………………………………… 8
III Các bài toán minh họa…………………………………………………8
Dạng 1: Các bài toán tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng… …….8
Dạng 2: Các bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau13
IV. Bài tập tự luyện…………………………………………………… 17
Hiệu quả……………………………………………………………………… 18
Kết luận… …………………………………………………………… ……. 19
Tài liệu tham khảo …………………………………………………………… 20
Phụ lục………………………………………………………………………….21


“Sử dụng một bài toán đơn giản để giải những bài toán phức tạp”. Hướng đi
này tôi sẽ hướng dẫn các em học sinh qua một chuyên đề nhỏ là chỉ cần ta
giải quyết được bài toán cơ bản thì ta sẽ giải quyết được mọi bài toán khác.
Trong chuyên đề này tôi đưa ra bài toán cơ bản và cách giải, sau đó phân
loại theo từng loại khoảng cách (có hai loại chính: khoảng cách từ điểm đến
mặt phẳng và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau) theo từng dạng
hình, có minh họa bằng các đề thi đại học, đề tham khảo và bài tập để các em 3
học sinh vận dụng. Học sinh dựa vào đây có thể tự mình giải quyết được bài
toán hình học không gian thuần túy.
Đây là chuyên đề mà bản thân tôi thấy rất thú vị, có ích đối với học sinh
và giáo viên. Qua chuyên đề này, mong các em học sinh khối 11 trường có
thể áp dụng vào các kỳ kiểm tra, các em học sinh khối 12 áp dụng vào các kỳ
thi đại học cao đẳng để đạt kết quả cao nhất. Tuy nhiên chuyên đề cũng
không tránh khỏi những sai sót nhất định, kính mong sự đóng góp của đồng
nghiệp để chuyên đề thêm hoàn chỉnh, góp phần vào việc nâng cao chất
lượng bộ môn của nhà trường.
Về phương pháp nghiên cứu, tôi thực hiện ở ba công đoạn chủ yếu sau:
Thứ nhất, tôi đưa ra cơ sở lý luận, đó là các kiến thức cơ bản cần thiết về
các cách tính khoảng cách trong không gian.
Thứ hai, tôi xác định bài toán khoảng cách cơ bản và phương pháp giải.
Trên cơ sở phân loại theo từng loại khoảng cách, tôi cho học sinh thực hành
giải các ví dụ minh họa, từ đó đưa ra nhận xét đánh giá những ưu điểm, hạn
chế của cách giải.
Sau cùng là phần thực nghiệm phương pháp này trên cung một nhóm đối
tượng là lớp 12B1 bằng hai bài kiểm tra trước tác động và sau khi tác động
để thẩm định lại hiệu quả của phương pháp này.


Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là độ dài của đoạn
vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
Ký hiệu:
( , )d a b AB
(AB đoạn vuông góc chung của a và b).
* Phương pháp xác định khoảng cách
2.1. Trường hợp a và b vuông góc :
+ Tìm mặt phẳng (P) chứa b và vuông góc a.
Tìm giao điểm A của a và (P).
+ Kẻ AB vuông góc b, khi đó
( , )d a b AB
.
2.2. Trường hợp a và b chéo nhau tùy ý
+ Tìm mặt phẳng (P) chứa b và song song với a
+ Tìm a’ là hình chiếu của a lên (P), giao điểm
của a’ và b là B.
+ Kẻ BA vuông góc với a, khi đó
( , )d a b AB

Chú ý :
( , ) ( ,( )) ( ,( )),d a b d a P d M P M a   

3. Một số tính chất quan trọng :
3.1. Nếu
/ /( )dP
thì khoảng cách từ mọi điểm M trên d tới (P) là như nhau

a
(P)
(Q)
3.3. Nếu đường thẳng
AB
cắt (P) tại I khác A và B thì
( ,( ))
( ,( ))
d A P IA
d B P IB

Đặc biệt : Nếu I là trung điểm của AB thì
( ,( )) ( , ( ))d A P d B P

3.4. Nếu a, b là hai đường thẳng chéo nhau và (P) là mặt phẳng chứa b và song
song với a thì
   ( , ) ( ,( )) ( ,( )),d a b d a P d M P M a
Phần 2 : THỰC TRẠNG – GIẢI PHÁP
Thực tế cho thấy, trong những năm gần đây nói chung và năm học 2013 -
2014 nói riêng, học sinh khối 11 và cả học sinh khối 12 rất ngại học hình học
không gian, kết quả học tập hình học của các em rất thấp. Nhìn chung, khối 11
các em phần lớn không biết cách tính hoặc không tính được các loại khoảng
cách, từ đó các em gặp rất nhiều khó khăn trong việc học hình học ở lớp 12. Vì
vậy, trong năm học 2013 – 2014 cả hai lớp đầu tàu của trường (12A, 12B1) đa
số đều bị hỏng kiến thức về khoảng cách. Đây là các lớp tạo nguồn để thi học
sinh giỏi và thi đại học sau này. Song, kết quả học tập của các em vẫn chưa
tương xứng với lớp dẫn đầu, chưa đáp ứng được yêu cầu của giáo viên bộ môn
về thành tích học tập (phụ lục điểm kiểm tra 1 tiết HH đầu năm).
Một số nguyên nhân dẫn đến tình trạng học kém hình học không gian của
học sinh, theo bản thân tôi nhận thấy trong thời gian qua là :
- Môn học HHKG là môn học trừu tượng và khó, có thể nói đây là phần
khó nhất trong chương trình toán THPT; chương trình khá nặng nhưng thời
lượng phân bổ cho hình học thì lại ít.
- Học sinh mất căn bản từ lớp 11, vì lớp 11 các em được học các phần
HHKG về định tính nên khi các em hỏng kiến thức thì đến lớp 12 rất khó để tiếp
cận với phần định lượng.
- Học sinh nắm vững kiến thức lớp 11 nhưng khi các em chỉ vận dụng
kiến thức đó trong một thời gian ngắn (kiểm tra, thi,…) thì các em cũng khó có
thể tìm ra được lời giải (đây là nguyên nhân dẫn đến tình trạng học kém HHKG
của lớp 12A, 12B1).
- Giáo viên cung cấp phương pháp tọa độ, nhưng đến học kỳ 2 các em
mới được học, trong khi nội dung hình học của lớp 12 nằm ở học kỳ 1.
- Giáo viên dạy không tìm ra các phương pháp hữu hiệu hoặc nhiều
phương pháp để học sinh có thể chọn lự khi giải toán. Một số giáo viên có tư
tưởng bỏ luôn HHKG vì trong để thi chỉ có 10% tổng số điểm.
Đây là những khó khăn cơ bản của những năm qua. Năm học 2012 –
2013, tôi đã đưa ra một phương pháp giải toán hình học không gian, đó là 8
Phần 3: TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN
TỪ BÀI TOÁN CƠ BẢN
I. BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH CƠ BẢN
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với (ABC). Xác định khoảng
cách từ A đến mp (SBC) (A là chân đường cao của hình chóp)
Giải
Gọi AM là đường cao của tam giác ABC khi đó:
BC  AM, BC  SA suy ra (SBC)  (SAM)
Vẽ
( ) ( ,( ))AH SM AH SBC d A SBC AH    

Trong tam giác vuông
SAM
, ta có :

2 2 2
22
1 1 1 .AS AM
AH
AH AS AM
AS AM
   


II. CÁC BƯỚC GIẢI:

A
B
C
S
M
H
9

O
B
C
A
D
S
J
L
K
M
H
G
b) Từ A, kẻ AK vuông góc với SO, kết hợp với (3) ta suy ra
AK  (SBC) và d(A, (SBD)) = AK
Xét tam giác vuông SAO, ta có:



Suy ra

16
( ,( )) ( ,( ))
26
a
d O SCD d A SCD

e) Tính d(C, (SBD))
Ta có AC cắt (SBD) tại O, nên

( ,( ))
1
( ,( ))
d C SBD OA
d A SBD OA

Suy ra

25
( ,( )) ( ,( ))
5
a
d C SBD d A SBD

f) Tính d(G, (SCD)) với G là trọng tâm của tam giác SAC)
Ta có, OG cắt (SCD) tại S nên

( ,( )) 2

10
Suy ra

26
( ,( )) ( ,( ))
39
a
d G SCD d O SCD

g) Tính d(H, (SCD)) với H là trọng tâm của tam giác SAB)
Gọi M là trung điểm của AB, vì AB song song với (SCD) nên
( ,( )) ( ,( )d M SCD d A SCD

Mặt khác, MH cắt (SCD) tại S nên

( ,( )) 2
( ,( )) 3
d H SCD SH
d M SCD SM

Suy ra
  
2 2 2 6
( ,( )) ( ,( )) ( ,( ))
3 3 9
a
d H SCD d M SCD d A SCD

Vậy



Kẻ HM  AC, HK  SM, suy ra
22
.
( ,( ))
HS HM
d H SAC HK
HS HM



Xét hai tam giác đồng dạng ABC và HMC:
3 3 3 3
()
5 5 5 5
HM AB
HM HC BC HB a
HC AC
      

 
2
2
3
3.
37
5
( ,( ))
14
3

d B SAC d H SAC
d H SAC CH
    

Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại A, AB = AC = a; M
là trung điểm của AB. Hình chiếu vuông góc của S lên mp (ABC) trùng với tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác MBC. Góc giữa SB vớimặt đáy bằng 60
0
.
1) Tính thể tích khối chóp S.ABC
2) Tính khoảng cách từ C đến (SAB)
Giải
Gọi E, I lần lượt là trung điểm của BM, BC. Ta có:

    
2 3 3 2
3 2 4
AI AM a
AO AI
AO AE

     
3 2 2 2
4 2 4
a a a
IO AO AI

   
22
10

( ,( )) 3 3
d I SAB AI
d I SAB d O SAB
d O SAB AO

Mặt khác, CI cắt (SAB) tại B nên

   
( ,( ))
2 ( ,( )) 2 ( ,( ))
( ,( ))
d C SAB BC
d C SAB d I SAB
d I SAB BI  
4 130
( ,( )) ( ,( ))
3 13
a
d C SAB d O SAB

Bài 4: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, tam giác
A’AC vuông cân, A’C = a. Tính khoảng cách từ A đến (BCD’).
* Khoảng cách cơ bản: khoảng cách từ D đến (BCD’).
C
I
B
A

. ' 6
( ,( '))
2
'
DC DD a
d D BCD DH
DC DD

Mà C’D cắt (BCD’) tại trung điểm I của CD’ và C’D nên

   
( ', ( ')) '
1
( ,( '))
6
( ', ( ')) ( ', ( ')) ( ,( '))
2
d C BCD IC
d D BCD ID
a
d C BCD d C BCD d D BCD

Bài 5: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A,
BC =
2a
, AA’ = 2a, biết A’ cách đều các đỉnh A, B, C. Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của AA’ và AC. Tính khoảng cách từ C’ đến (MNB)
Giải
Gọi E là trung điềm của AH suy ra ME  (ABC). Gọi G là
trọng tâm tam giác ABC, kẻ EQ  GN khi đó BN  (MEQ)

3
3
aa
EQ BH BH EG BH EG a
EQ
EG BG BG
a
BN

Suy ra
  
   

   
   
   
22
14 5
.
14
4 20
( ,( ))
4 71
14 5
4 20
aa
a
d E MNB EK
aa

13
* AE cắt (MNB) tại G nên
    
( ,( )) 14
4 ( ,( )) 4 ( ,( ))
( ,( ))
71
d A MNB GA a
d A MNB d E MNB
d E MNB GE

* AC’ cắt (MNB) tại J nên
    
( ',( )) ' 3 14
3 ( ',( )) 3 ( ,( ))
( ,( ))
71
d C MNB JC a
d C MNB d A MNB
d A MNB JA

Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B,
AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng
(ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC,
cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60

AS AE a a a
A SNP AH
AS AE
aa

Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông
góc của trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB.
Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60
0
. Tính khoảng cách giữa
hai đường thẳng SA và BC theo a.
Giải
Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng
Dạng 2: Các bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
E
A
B
C
S
M
N
P
H
14
(ABC) là góc



* Khoảng cách cơ bản:
( ,( , ))d H SA d

Kẻ HE  d, HK  SE suy ra
 ( , )HK SA d
nên


22
.
( ,( , ))
HS HK
HS HE
d H SA d HK

Do HA = 2HB nên

23
33
a
HE AF
(AF là đường cao tam giác ABC hạ từ A)


   

   
   
   
  

a
d B SA d d H SA d

Vậy

42
8
( , )
a
d BC SA

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N
lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với DM.
Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH =
3a
. Tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng DM và SC theo a.
Giải
Vì hai tam giác AMD và NCD bằng nhau nên
góc


0
90DNC
hay DM  CN. Kẻ d qua C và
song song DM , khi đó
( , ) ( ,( , )) ( ,( , ))d DM SC d DM SC d d H SC d

d
A

( ,( , ))
2
2
HS HC
d H SC d HK
HS HCMà
  

22
22
25
5
CD CD a
CH
CN
DN DC

2 57
19
( ,( , ))
a
d H SC d

Vậy

2 57
19

( ,( ' , )) ( ,( ' , ))d AM B C d d I B C d
và


22
.'
'
( ,( ' , ))
BE B B
BE B B
d B B C d BH

Theo giả thiết,

0
'3
tan30
AB
BC a

   
22
''BC C B C C a

Mà
     






16
Vì thế








2 2 2
2
25
.2
. ' 2 7
5
7
'
25
2
5
( ,( ' , ))
a
a
BE B B a
BE B B
a
a
d B B C d

0
. Tính khoảng cách giữa B’C’ và A’C.
Giải
Ta có:
( ' ', ' ) ( ' ',( ' )) ( ',( ' ))d B C A C d B C A BC d B A BC

Vì AB’ cắt (A’BC) tại trung điểm O của A’B và
AB’ nên
( ',( ' )) ( ,( ' ))d B A BC d A A BC
.
* Xác định bài toán khoảng cách cơ bản
( ,( ' ))d G A BC

Kẻ GN vuông góc với BC, GH vuông góc với A’N
Suy ra GH vuông góc với (A’BC) nên


22
'.
'
( ,( ' ))
GA GN
GA GN
d G A BC GH

Vì tam giác ABC có AB = a, BC = 2a,


0
30ACB


13
36
a
GN AK
(2)
O
G
A
B
C
A'
C'
B'
M
N
H
K
17
Từ (1) và (2) ta được



22
'. 2 51
51
'

1) Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại A, AC = a, BC = 2a, (SAC)
tạo với (ABC) một góc 60
0
. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với
trung điểm H của BC. Tính khoảng cách giữa AH và SB.
2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành,


0
60BAC
, AB = a,
AC = 4a, hai mặt phẳng (SAB), (SAC) cùng vuông góc với mặt đáy. Cạnh SD tạo
với mặt đáy một góc
0
45
. Gọi E, F là trung điểm của BC, SD. Tính khoảng cách
giữa DE và CF.
3) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD =
22a
,
hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD) trùng với trọng tâm của tam giác BCD,
góc giữa (SBC) và (ABCD) là 45
0
. Tính khoảng cách giữa AC và SD.
4) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, có
AB = BC = a, AD = 2a. SA vuông góc với mặt đáy, góc giữa (SAB) và (ABCD)
là 60
0
. Tính khoảng cách giữa CD và SB.
5) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng

. Tính khoảng cách giữa SA và CD.
9) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BAD = 60
0
,
BB’=
2a
. Hình chiếu vuông góc của D lên BB’ là K sao cho

1
'
4
BK BB
. Hình
chiếu của B’ lên (ABCD) là H thuộc đoạn BD. Tính khoảng cách giữa B’C và
DC’.
10) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có đoạn thẳng nối hai tâm của hai
mặt bên kề nhau bằng a. Tính khoảng cách giữa AC’ và B’D’
Phần 4: HIỆU QUẢ
Phương pháp này mang lại hiệu quả rất lớn về mặt điểm số cũng như sự
hứng thú đối với môn học của tập thể học sinh lớp 12B1 và lớp 12A.
Thứ nhất, hiện tại lớp 12A và 12B1 không lo ngại như trước khi các em
giải một bài toán HHKG nữa. Thay vào đó là thái độ tích cực, tìm hiểu, phân
tích, xem xét kỹ vấn đề để chuyển sang bài toán khoảng cách cơ bản. Phần lớn
học sinh tiếp cận với phương pháp này thì các em tìm tòi những tài liệu, đề thi
có câu hình học tính khoảng cách trong không gian để giải và chia sẻ với bạn bè,
với giáo viên bộ môn.
Thứ hai, từ kết quả thực nghiệm cho thấy, hiệu quả sau khi có tác động
của phương pháp này là rất cao, kết quả học tập của đa số học sinh tăng lên rõ
rệt; điểm trung bình của cả lớp tăng lên đáng kể. Đặc biệt qua hai lần kiểm tra
trên cùng một đối tượng thì tôi thấy phương pháp này có tác động rất lớn đối với

thú và rất bổ ích đối với giáo viên và cả học sinh.
Với tư tưởng là “Giải được mọi bài toán thông qua một bài toán cơ bản”
trong tương lai tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu và xây dựng cách giải tương tự cho bài
toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến.
Qua chuyên đề này cũng mong được sự đóng góp, chia sẻ kinh nghiệm
của quí đồng nghiệp để bản thân bổ sung những hạn chế đồng thời được học hỏi
thêm những vấn đề toán học mà bản thân tôi chưa có điều kiện tiếp cận.
20
Tài liệu tham khảo
1. Sách giáo khoa Hình học 12 – Nâng cao.
2 Sách bài tập hình học 12 – Nâng cao .
3. Lê Hoành Phò - Bồi dưỡng học sinh giỏi toán hình học 12, NXB ĐHQG
Hà Nội.
4. Trần Thành Minh - Bồi dưỡng học sinh giỏi toán hình học 11, NXB ĐHQG
TP Hồ Chí Minh.
5. Phan Huy Khải - Phương pháp giải toán trọng tâm, NXB ĐHSP.
6. Các đề tuyển sinh đại học môn Toán khối A, B, D qua các năm từ năm 2002
đến năm 2013.
7. Tuyển chọn các bài toán THPT thi thử đại học các năm 2011 – 2012 – 2013,
Nhiều tác giả.


Nguyễn Thị Băng Châu
4.0
5
Huỳnh Ngọc Chúc
4.0
6
Tô Doanh Doanh
8.5
7
Châu Thị Mỹ Duyên
6.0
8
Bạch Thái Dương
9.0
9
Lâm Văn Hiếu
6.0
10
Lê Trúc Linh
8.0
11
Đỗ Thị Kiều Nga
7.0
12
Đỗ Kim Ngân
8.0
13
Mạc Thùy Nhung
5.0
14

Phạm Thị Bích Thủy
2.0
25
Nguyễn Thị Cẩm Tiên
5.0
26
Võ Thị Thanh Trà
3.0
27
Lê Thị Cẩm Trinh
2.0
28
Nguyễn Trần Quốc Trung
1.0
29
Trần Tuấn
8.0
30
Võ Ngọc Tuyền
9.0
31
Võ Ngọc Tỷ
4.0
32
Nguyễn Bùi Thu Uyên
6.0
33
Trần Ánh Vi
4.0
34

7
4
Nguyễn Thị Băng Châu
5
8
5
Huỳnh Ngọc Chúc
6
6.5
6
Tô Doanh Doanh
9
10
7
Châu Thị Mỹ Duyên
6.5
6.5
8
Bạch Thái Dương
6.8
9.3
9
Lâm Văn Hiếu
7
9
10
Lê Trúc Linh
6
9.8
11

9
19
Trần Thị Lệ Quyên
1.8
7
20
Lư Hữu Tài
7
8.5
21
Nguyễn Minh Tân
6.8
8
22
Nguyễn Thị Kim Thảo
7
6.5
23
Mai Quốc Thắng
7.5
9
24
Phạm Thị Bích Thủy
6.5
7.5
25
Nguyễn Thị Cẩm Tiên
4.5
8
26

8
34
Phạm Văn Vũ
9
10
35
Nguyễn Thị Kim Ý
3
7.3

HỆ SỐ TƯƠNG QUAN : r
hh
=
0.59

ĐỘ TIN CẬY: R
SB
=
0.74

MỐT
5
9

TRUNG VỊ:
6.3
8

GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH:
6.0