BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

ĐỖ THỊ NGỌC

PHƯƠNG PHÁP RITZ VÀ ỨNG DỤNG
TRONG GIẢI BÀI TOÁN BIÊN
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2015


LỜI CẢM ƠN
Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy giáo PGS.TS.
Khuất Văn Ninh, người thầy đã tận tâm truyền thụ kiến thức và hướng
dẫn tác giả hoàn thành luận văn này. Trong suốt quá trình thực hiện
luận văn, chính nhờ tấm gương nghiên cứu khoa học nghiêm túc và sự
chỉ bảo tận tình của thầy Khuất Văn Ninh đã giúp tác giả có ý thức
trách nhiệm và quyết tâm cao để hoàn thành luận văn của mình.
Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo dạy
cao học chuyên ngành Toán Giải tích, Ban giám hiệu, Phòng sau đại học
Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá
trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 8 tháng 06 năm 2015
Tác giả

Đỗ Thị Ngọc

Không gian định chuẩn và toán tử tuyến tính trong không
gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.1

Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.2

Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.3

Toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.4

Ví dụ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9


1.3.4

Ví dụ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

Bài toán biên của phương trình vi phân . . . . . . . . . .

15

1.4

3


1.4.1

Một số khái niệm về phương trình vi phân . . . .

15

1.4.2

Bài toán biên phương trình vi phân . . . . . . . .

16



2.5

Những hệ cực tiểu mạnh và những hệ hầu như trực giao

35

2.6

Nhận xét về quá trình Ritz . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

2.6.1

Một số phương pháp biến phân khác . . . . . . .

45

2.6.2

Phương pháp chiếu trực giao . . . . . . . . . . . .

47

2.6.3

Phương pháp Trephsa . . . . . . . . . . . . . . .

48

gần đúng do đó nghiên cứu giải xấp xỉ phương trình toán tử luôn là vấn
đề mà nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu.
Một trong các phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình là
phương pháp biến phân. Phương pháp biến phân có thể được hiểu là
phương pháp tìm nghiệm của phương trình thông qua việc tìm cực tiểu
của một phiếm hàm được xây dựng từ các yếu tố của bài toán giải phương
trình toán tử. Một trong những phương pháp biến phân là phương pháp
Ritz về giải phương trình toán tử trong không gian Hilbert. Với mong
muốn tìm hiểu và nghiên cứu sâu hơn về vấn đề này em đã chọn đề
tài: “Phương pháp Ritz và ứng dụng trong giải bài toán biên
phương trình vi phân”.
2. Cấu trúc của luận văn
Luận văn gồm 3 chương
5


Chương 1: Các kiến thức cơ sở
Chương 2: Phương pháp Ritz và ứng dụng trong giải bài toán biên
phương trình vi phân
Chương 3: Ứng dụng của phương pháp Ritz
3. Mục đích nghiên cứu
Luận văn sẽ nghiên cứu giải xấp xỉ phương trình toán tử bằng phương
pháp Ritz và ứng dụng phương pháp đó vào giải bài toán biên phương
trình vi phân thường và phương trình đạo hàm riêng.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu phương pháp biến phân trong giải xấp xỉ phương trình
toán tử. Trình bày một số ứng dụng của phương pháp biến phân vào
giải bài toán biên đối với phương trình vi phân.
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Phương pháp biến phân trong giải xấp xỉ phương trình toán tử.

Số x gọi là chuẩn của vectơ x. Ta cũng kí hiệu không gian định chuẩn
là X. Các tiên đề i), ii), iii) gọi là tiên đề chuẩn.

7


1.1.2

Không gian Banach

Định nghĩa 1.1.2. (Sự hội tụ trong không gian định chuẩn) Dãy điểm
{xn} của không gian định chuẩn X được gọi là hội tụ tới điểm x ∈ X
nếu lim ||xn − x|| = 0. Ký hiệu lim xn = x hay xn → x (n → ∞).
n→∞

n→∞

Định nghĩa 1.2.3. (Dãy cơ bản) Dãy điểm {xn} của không gian định
chuẩn X được gọi là dãy cơ bản nếu lim ||xn − xm || = 0.
m,n→∞

Định nghĩa 1.1.2. Không gian định chuẩn X gọi là không gian
Banach nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ.

1.1.3

Toán tử tuyến tính

Định nghĩa 1.1.3. Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên
trường P (P = R hoặc P = C). Ánh xạ A từ không gian X vào Y gọi

Ví dụ

Ví dụ 1. Cho không gian vectơ l2
∞

l2 = {x = (x1 , x2 , ..., xi , ...)|xi ∈ R, ∀i ∈ N∗ ,

|xi |2 < +∞ .

i=1

Với vectơ bất kỳ x = (xn ) ∈ l2 ta đặt
∞

|xn |2 .

x =
i=1

Dễ dàng chứng minh được công thức nêu trên xác định một chuẩn
trên l2 . Không gian định chuẩn tương ứng ký hiệu là l2 . Dễ dàng thấy l2
là không gian Banach.
Ví dụ 2. Cho không gian vectơ C[a,b] . Đối với hàm số bất kỳ
x(t) ∈ C[a,b] ta đặt
x = max |x(t)| .
a≤t≤b

9




=

|xi |.
i=1
n

=

∞

|xi |2

1
2

.

i=1

= max |xi | .
1≤i≤n

Phép tính vi phân trong không gian định chuẩn

Đạo hàm và vi phân Fréchet
Cho X,Y là hai không gian Banach và toán tử f : X → Y .
10



11


Định lý 1.2.4. Cho X, Y, Z là những không gian Banach thực. Nếu
g : X → Y là khả vi Fréchet tại một điểm x ∈ X và f : Y → Z khả vi
Fréchet tại y = g(x) ∈ Y thì φ = f.g cũng khả vi Fréchet tại x và
φ (x) = f (g(x)) .g (x)(h).
Ví dụ. Nếu hàm f : X → Y tuyến tính ta có
f (x0 + h) − f (x0 ) = f (x0 ) + f (h) − f (x0 ) = f (h).
Vậy f (x0 + h) − f (x0 ) = f (h).
Đặt A(h) = f (h) ta thấy α(x0 , h) = 0.
Do đó f (x)(h) = f (h).

1.3
1.3.1

Không gian Hilbert
Tích vô hướng

Định nghĩa 1.3.1. Cho không gian tuyến tính X trên trường P (P
là trường số thực R hoặc trường số phức C). Ta gọi là tích vô hướng
trên không gian X mọi ánh xạ từ tích Descartes X × X vào trường P ,
ký hiệu (., .), thỏa mãn tiên đề:
i) (∀x, y ∈ X) (y, x) = (x, y);
ii) (∀x, y, z ∈ X) (x + y, z) = (x, z) + (y, z);
iii) (∀x, y ∈ X) (∀α ∈ P ) (αx, y) = α(x, y);
iv) (∀x ∈ X) (x, x) > 0, nếu x = θ (θ là ký hiệu phần tử không),
(x, x) = 0 nếu x = θ.
12



∀x ∈ H.

Định nghĩa 1.3.5. Toán tử tuyến tính A : H → H gọi là toán tử

13


xác định dương nếu ∃γ > 0 sao cho
(Ax, x) ≥ γ||x||2 ,

∀x ∈ H.

Định nghĩa 1.3.6. Toán tử tuyến tính A : H → H gọi là toán tử
đối xứng nếu
(Ax, y) = (x, Ay), ∀x, y ∈ H.
Định lý 1.3.1. (Định lý Ritz) Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục
trong không gian Hilbert H đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng
f (x) = (x, a),

∀x ∈ H

trong đó phần tử a ∈ H được xác định duy nhất bởi phiếm hàm f và
||f || = ||a||.

1.3.4

Ví dụ

Ví dụ 1. Rn là không gian tiền Hilbert với tích vô hướng

i=1

là một chuẩn đủ trên không gian Rn .
Ví dụ 3. Kí hiệu L2 (E, µ) là không gian vectơ các hàm số bình phương
khả tích trên tập E theo độ đo µ. Với ∀x(t) ∈ L2 (E, µ), y(t) ∈ L2 (E, µ)
14


ta đặt
(x, y) =

x(t)y(t)dµ.

(1.3.1)

E

Dễ dàng thấy hệ thức (1.3.1) thỏa mãn hệ tiên đề tích vô hướng. Chuẩn
sinh ra bởi tích vô hướng (1.3.1)
x =

x2 (t)dt, x(t) ∈ L2 (E, µ).

(x, x) =
E

Do đó không gian vectơ L2 (E, µ) cùng với tích vô hướng (1.3.1) là một
không gian Hilbert.

1.4

được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình (1.4.1) nếu:
i) ∀(x, y) ∈ D (D là miền xác định của phương trình) ta có thể giải ra
c = ϕ(x, y).
ii) Hàm y = ϕ(x, c), c ∈ R thỏa mãn (1.4.1) khi (x, y) chạy khắp D với
mọi c ∈ R.

1.4.2

Bài toán biên phương trình vi phân

Giả sử hàm f (x), fi (x) liên tục trên [a, b] và fn = 0.
Lập phương trình vi phân tuyến tính
n

fi (x)y (i) (x) = f (x).

L(y) =
i=0

16

(1.4.2)


Chọn các hằng số αjk , βjk sao cho ma trận

(0)
(n−1)
(0)
(n−1)

(k)

(k)

αj y (k) (a) + βj y (k) (b) ; j = 1, m.

Vj (y) =

(1.4.4)

k=0

Do ma trận (1.4.3) có hạng m nên các tổ hợp (1.4.4) độc lập tuyến tính.
Các đẳng thức
Vj (y) = gj ; j = 1, m,

(1.4.5)

trong đó gj là những số được gọi là điều kiện biên của phương trình
(1.4.4).
Nếu gj = 0 thì điều kiện (1.4.5) được gọi là điều kiện biên thuần nhất.
Phương trình (1.4.1) cùng các điều kiện (1.4.5) lập thành bài toán
biên.
Bài toán biên được gọi là thuần nhất nếu gj = 0; j = 1, m và f (x) = 0.
Trong các trường hợp khác ta gọi bài toán biên không thuần nhất. Đôi
khi cũng có thể gọi là bán thuần nhất nếu gj = 0 nhưng f (x) = 0.
Ví dụ. Cho hàm f (x, y) xác định và liên tục trên G ∪ Γ, G bị chặn

17



trong đó f ∈ H là phần tử cho trước, x ∈ HA là phần tử cần tìm.
Phương pháp Ritz được dựa trên định lý sau đây:
Định lý 2.1.1. Giả sử toán tử A dương và đối xứng. Nếu phương
trình (2.1.1) có nghiệm x∗ , thì tại giá trị đó phiếm hàm
J(x) = (Ax, x) − 2(f, x)
19


đạt giá trị cực tiểu. Ngược lại nếu tại một phần tử nào đó x∗ mà phiếm
hàm trên đạt giá trị cực tiểu thì phần tử đó là nghiệm của phương trình
(2.1.1).
Chứng minh
Giả sử x∗ là nghiệm của phương trình (2.1.1). Lấy một phần tử tùy
ý y ∈ HA . Đặt y = x∗ + h. Khi đó
J(y) = (Ay, y) − 2(f, y)
= (Ax∗ + Ah, x∗ + h) − 2(f, x∗ + h)
= (Ax∗ , x∗ ) + (Ax∗ , h) + (Ah, x∗ ) + (Ah, h) − 2(f, x∗ ) − 2(f, h)
= J(x∗ ) + 2(Ax∗ , h) + (Ah, h) − 2(f, h)
= J(x∗ ) + 2(Ax∗ − f, h) + (Ah, h)
= J(x∗ ) + (Ah, h).
Do (Ah, h) ≥ 0 cho nên J(y) ≥ J(x∗ ), có nghĩa là tại x∗ phiếm hàm
J(x) đạt giá trị cực tiểu.
Bây giờ giả sử tại x∗ ∈ HA nào đó phiếm hàm J(x) đạt giá trị cực
tiểu. Lấy một phần tử tùy ý y ∈ HA và một số tùy ý λ. Khi đó
x∗ + λy ∈ HA ,

J(x∗ + λy) ≥ J(x∗ ).

Ta có:

Định lý 2.1.2. Giả sử toán tử A là toán tử đối xứng xác định dương,
phương trình (2.1.1) có nghiệm x∗ . Khi đó mọi dãy cực tiểu hóa {xn }
của phiếm hàm J(x) đều hội tụ đến nghiệm của phương trình (2.1.1).
Hơn nữa tốc độ hội tụ được xác định bởi bất đẳng thức
xn − x∗ ≤

1
[J(xn ) − J(x∗ )] ,
γ
21


trong đó γ là một hằng số dương nào đó.
Chứng minh
Theo giả thiết ta có Ax∗ = f . Khi đó
J(x∗ ) = (Ax∗ , x∗ ) − 2(f, x∗ )
= (Ax∗ , x∗ ) − 2(Ax∗ , x∗ )
= −(Ax∗ , x∗ )
và
J(xn ) − J(x∗ ) = (Axn , xn ) − 2(f, xn ) + (Ax∗ , x∗ )
= (Axn , xn ) − 2(Ax∗ , xn ) + (Ax∗ , x∗ )
= (A(xn − x∗ ), xn ) − (A(xn − x∗ ), x∗ )
= (A(xn − x∗ ), xn − x∗ ).
Theo giả thiết A là toán tử xác định dương cho nên
(Ax, x) ≥ γ x 2 , ∀x ∈ HA ;
γ là một hằng số dương nào đó.
Từ những đẳng thức trên ta có
J(xn ) − J(x∗ ) ≥ γ xn − x∗ 2 ,
hay là xn − x∗



ck ϕk

< ε.

k=1

k=1

Với mỗi n ta xây dựng những phần tử:
n

xn =

αk ϕ k
k=1

trong đó αk là những hệ số thực.
Phiếm hàm J(xn ) sẽ là hàm số các biến số thực α1 , α2 , ..., αn
n

n

αi αj (Aϕi , ϕj ) − 2

J(xn ) = J(α1 , α2 , ..., αn ) =
i,j=1

αj (f, ϕj ).
j=1


2.2

Ứng dụng phương pháp Ritz vào giải bài toán
biên phương trình vi phân thường

Phương pháp Ritz được ứng dụng để giải bài toán biên tuyến tính
đối với phương trình vi phân thường. Xét bài toán biên
x = q(t)x + f (t),

(2.2.1)

x(0) = x(T ) = 0,
trong đó q(t) ≥ q0 > 0, f (t), (0 ≤ t ≤ T ) là những hàm số thực liên tục.
Đặt H = L2[0, T ], và
Ax ≡ −x + qx.
Kí hiệu HA là tập hợp những hàm số có đạo hàm cấp hai liên tục và
thỏa mãn điều kiện biên x(0) = x(T ) = 0.
Khi đó bài toán (2.2.1) có thể viết dưới dạng toán tử Ax = −f.
Ta chứng minh rằng A là toán tử đối xứng xác định dương trong HA .
Giả sử x, y ∈ HA . Khi đó

24