BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Tạ Thị Hoàng Hiệp

MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ VIỆC
DẠY HỌC KHÁI NIỆM TỔ HỢP Ở
TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
VIỆT NAM VÀ PHÁP
Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán
Mã số: 60.14.1

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS NGUYỄN ÁI QUỐC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2011


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Ái Quốc, người đã tận tình
hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS Lê Văn Tiến, TS. Lê Thái
Bảo Thiên Trung, TS. Trần Lương Công Khanh đã nhiệt tình giảng dạy, truyền cho chúng tôi tình
yêu đối với Didactic Toán, trang bị đầy đủ cho chúng tôi những công cụ cần thiết và hiệu quả để
thực hiện việc nghiên cứu. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn PGS.TS Annie Bessot, PGS.TS Claude
Comiti, TS. Alain Birebent đã nhiệt tình giải đáp những thắc mắc và truyền đạt cho chúng tôi những
kiến thức Didactic quý báu.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến
-



T
2

MỞ ĐẦU .............................................................................................................................. 5
2T

T
2

1. Lí do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát ................................................................................................... 5
2T

2T

2. Mục đích nghiên cứu ............................................................................................................................ 6
2T

2T

3. Phạm vi lý thuyết tham chiếu và phương pháp nghiên cứu.................................................................... 7
2T

T
2

4. Cấu trúc luận văn ................................................................................................................................. 8
2T

2T

2

2T

1.1.1.3 Nền văn minh phương Tây ................................................................................................ 14
T
2

2T

1.1.2 Nửa sau thế kỉ XVII đến đầu thế kỉ XVIII: lý thuyết tổ hợp được hình thành như một ngành toán
học mới, phát triển mạnh mẽ cùng với lý thuyết xác suất. .................................................................. 17
T
2

T
2

1.1.3 Đầu thế kỉ XVIII đến cuối thế kỉ XIX : bài toán tồn tại cấu hình và mối liên hệ với lý thuyết đồ
thị. ..................................................................................................................................................... 19
T
2

T
2

1.1.4 Thế kỉ XX : đối tượng của toán học rời rạc................................................................................ 21
T
2


2

T
2

Chương 2 : KHÁI NIỆM TỔ HỢP TRONG PHẠM VI TOÁN Ở BẬC ĐẠI HỌC ...... 24
2T

T
2

2.1. Khái niệm tổ hợp trong giáo trình [a] ............................................................................................... 24
2T

2T

2.2.Khái niệm tổ hợp trong giáo trình [b] .............................................................................................. 26
2T

2T

2.3. Kết luận chương 2 ........................................................................................................................... 33
2T

2T

Chương 3 : MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI KHÁI NIỆM TỔ HỢP ............................ 38
2T

T


2T

3.2.1 Chương trình và SGK ban cơ bản.............................................................................................. 51
T
2

2T

2.1.1 Phân tích chương trình.......................................................................................................... 51
T
2

2T

3.2.1.2 Phân tích sách giáo khoa.................................................................................................... 53
T
2

2T

3.2.1.3 Kết luận ............................................................................................................................. 56
T
2

2T

Chương 4 : NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM ................................................................. 58
2T



4.2.2.2 Câu hỏi 2 ........................................................................................................................... 63
T
2

2T

4.2.2.3 Câu hỏi 3 ........................................................................................................................... 65
T
2

2T

4.2.3 Phân tích A posteriori ............................................................................................................... 66
T
2

2T

KẾT LUẬN ........................................................................................................................ 68
2T

T
2

TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................. 69
2T

2T


hữu hạn của không gian mẫu và tính đồng khả năng của các kết quả là những yêu cầu cần thiết. Tuy
định nghĩa rất đơn giản nhưng thực hành lại rất khó. Nó đòi hỏi học sinh phải có kiến thức về đại
số tổ hợp khá vững vàng để đếm n(A) và n( Ω )”
Chúng tôi nhận thấy trong chương trình và sách giáo khoa Việt Nam, hai đối tượng tổ hợp và
xác suất luôn được chọn trình bày trong mối quan hệ với nhau. Từ đó dẫn chúng tôi đến việc tìm
câu trả lời cho các câu hỏi: Có mối liên hệ nào giữa khái niệm tổ hợp và khái niệm xác suất trong
quá trình tiến triển lịch sử của các khái niệm này? Tại sao khái niệm tổ hợp luôn được trình bày
trước khái niệm xác suất trong sách giáo khoa Việt Nam? Có thể dạy học xác suất mà không cần
đến những kiến thức của tổ hợp?


Trong khi đó, chương trình và sách giáo khoa Pháp đã giới thiệu khái niệm xác suất từ lớp
troisième (tương đương lớp 9 ở Việt Nam), khái niệm xác suất được chọn cách tiếp cận từ những thí
nghiệm đơn giản mà học sinh có thể quan sát được số lần xuất hiện các kết quả. Tiếp nối ở lớp
secondaire (tương đương lớp 10 ở Việt Nam), chương trình giới thiệu xác suất trên một tập hữu hạn,
xác suất của một biến cố, xác suất đồng khả năng. Trong phần hướng dẫn kèm theo chương trình
môn toán lớp secondaire của Bộ giáo dục Pháp có đề cập đến việc tính xác suất bằng cách sử dụng
sơ đồ cây, biểu đồ hoặc bảng. Ở lớp Première (tương đương lớp 11 Việt Nam), Đại số tổ hợp hiện
diện ở chương Xác suất với việc sử dụng sơ đồ cây và qui tắc nhân trong việc đếm số phần tử của
một biến cố hay không gian mẫu. Các qui tắc tính xác suất được tiếp tục trình bày ở lớp terminale
(tương đương lớp 12 Việt Nam), đại số tổ hợp được đưa vào giới thiệu trong phần này với mục đích
phục vụ cho việc đếm số các kết quả cùng với các công cụ là sơ đồ cây và bảng biểu.
Vì sao có sự khác biệt lớn trong việc giới thiệu hai khái niệm tổ hợp và xác suất của sách giáo
khoa trong hai chương trình toán Việt Nam và Pháp ?
Chúng tôi cũng nhận thấy, trong chương trình Pháp, sơ đồ cây được xem là một trong những
công cụ hữu ích cho việc tính số phần tử của không gian mẫu hay biến cố. Trong khi đó sơ đồ cây
hầu như vắng mặt trong chương trình Việt Nam.
Những ghi nhận trên dẫn chúng tôi tới việc đặt ra các câu hỏi xuất phát sau:
-


-

Phân tích những lựa chọn sư phạm của các khái niệm tổ hợp và xác suất trong cả hai thể chế
Việt Nam và Pháp. Đánh giá những thuận lợi và khó khăn của sự lựa chọn này.


-

Thu thập và phân tích các kết quả thực nghiệm để làm rõ những tác động, những ràng buộc
của hệ thống dạy học ảnh hưởng như thế nào đến ứng xử của GV và HS khi dạy và học khái
niệm tổ hợp, xác suất.

3. Phạm vi lý thuyết tham chiếu và phương pháp nghiên cứu
Didactic toán quan tâm đến việc xây dựng tri thức toán học, đến hoạt động và những điều kiện
của việc học tập các kiến thức trong môn học này. Trong việc nghiên cứu hoạt động dạy học một tri
thức nào đó, một nghiên cứu didactic luôn đặc biệt tính đến : những nét đặc thù của tri thức toán học
đang bàn đến, những đặc trưng và ràng buộc của thể chế dạy học, quá trình tác động qua lại giữa
thầy giáo, học sinh và đối tượng kiến thức đưa ra giảng dạy. Vì thế, trong trường hợp của chúng tôi,
sẽ phải có 3 nghiên cứu cần thực hiện:
♦ Nghiên cứu tri thức luận về khái niệm tổ hợp
♦ Nghiên cứu tri thức này với tư cách là một tri thức cần dạy
♦ Trên cơ sở đó, tiến hành thực nghiệm và phân tích các kết quả đạt được để làm rõ những ràng
buộc của thể chế dạy học đã ảnh hưởng như thế nào đến việc dạy và học khái niệm tổ hợp, xác suất
?
Thực hiện một nghiên cứu đầy đủ về khoa học luận lịch sử hình thành và phát triển của khái
niệm tổ hợp là một khó khăn đối với chúng tôi, vì những hạn chế về nguồn tài liệu lịch sử. Vì vậy,
chúng tôi sẽ sơ lược lại phần lịch sử hình thành khái niệm tổ hợp, phân tích và tổng hợp các kết quả
có được từ một số công trình, nhằm làm rõ những đặc trưng khoa học luận cơ bản của khái niệm
này cũng như sự tiến triển của chúng qua các giai đoạn khác nhau của lịch sử, đặt trong sự ưu tiên
về mối quan hệ với khái niệm xác suất.


Thể chế dạy học Toán ở Việt Nam

Thể chế dạy học Toán ở Pháp

THỰC NGHIỆM

4. Cấu trúc luận văn
Luận văn gồm 6 phần:
Phần mở đầu: Trong phần này chúng tôi trình bày những ghi nhận ban đầu, lợi ích của đề tài
nghiên cứu, mục đích của đề tài, phạm vi lý thuyết tham chiếu, phương pháp và tổ chức nghiên cứu,
cấu trúc luận văn.
Chương 1: Trình bày việc phân tích khái niệm tổ hợp trong tiến trình phát triển lịch sử của
các khái niệm, từ đó làm rõ những đặc trưng cơ bản của khái niệm.
Chương 2: Trình bày việc phân tích các khái niệm cơ bản của Đại số tổ hợp ở cấp độ tri thức
khoa học trong một số giáo trình đại học để làm rõ những đặc trưng cơ bản, những cách trình bày
các khái niệm này.


Chương 3: Mở đầu là sự phân tích một bộ SGK Toán của Pháp. Tiếp đó, chúng tôi phân tích
mối quan hệ thể chế dạy học toán ở trường phổ thông Việt Nam với các khái niệm Tổ hợp.
Chương 4: Trình bày thực nghiệm nhằm kiểm chứng tính thỏa đáng của các giả thuyết mà
chúng tôi đã đặt ra ở cuối chương 3.
Phần kết luận: Tóm lược lại những kết quả đạt được trong chương 1, 2, 3, 4 và đề xuất một
số hướng nghiên cứu có thể mở ra từ luận văn này.


CHƯƠNG 1: ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN KHÁI NIỆM TỔ HỢP
MỞ ĐẦU
Trong chương này, chúng tôi không có mục đích thực hiện một nghiên cứu gốc về khoa học

dạy – học toán ở trung học phổ thông. Trong luận văn này, tác giả đã tổng hợp và phân tích một
cách đầy đủ tiến trình phát triển của khái niệm xác suất trong lịch sử, ở đó mối liên quan với Đại số
tổ hợp đã được làm rõ.


1.1. PHÂN TÍCH KHOA HỌC LUẬN LỊCH SỬ HÌNH THÀNH KHÁI NIỆM TỔ HỢP
Chúng tôi sẽ chỉ ra cái gì làm nên Đại số tổ hợp cũng như các ví dụ về ngành khoa học bắt
đầu từ việc giải quyết các vấn đề về đếm xuất hiện trong nhiều nền văn minh và trong những giai
đoạn khác nhau.
1.1.1 Từ thời Cổ đại (Antiquité) đến nửa đầu thế kỉ XVII: Bài toán đếm các cấu hình khác
nhau của một tập hợp
1.1.1.1 Động cơ tôn giáo, bói toán, trò chơi cờ tướng ở Trung Quốc
Nhóm các vật cùng loại theo nhóm 2, nhóm 3,…, 18, 24 cũng như 72, hay 100 để đếm chúng
đã là một hoạt động có từ lâu đời ở Trung Quốc. Trong tác phẩm I-king (Le livre permutation),
được viết khoảng năm 1150 trước công nguyên, khoảng cuối thời nhà Chu (thế kỉ 3 trước Công
nguyên), người ta tìm thấy 4 biểu đồ nhị phân

Cũng như 8 trigrammes (các từ được tạo thành từ 3 chữ), và nhiều tổ hợp kết hợp hai nhóm,
một là Yang (âm) hoặc Yin (dương), với 6 bởi 6, những nhà toán học thần bí Trung Quốc đã tìm
được 64 quẻ khác nhau hoàn toàn, mỗi quẻ có một ý nghĩa đặc biệt về mối quan hệ âm dương, con
người và trời đất.
Có thể nói, những kinh nghiệm về tổ hợp đã có nguồn gốc ở Trung Quốc cổ đại, trong việc
xây dựng các kĩ thuật bói toán dựa trên các cấu hình (configurations) tạo thành 3 hoặc 6 đường “nét
đầy’ (lignes pleines) hoặc “nét gãy” (lignes brisées). Hình bên dưới được trích trong tác phẩm Livre
des Mutations, , người ta tìm thấy các “trigrammes”, một tổ hợp của 3 đường “nét đầy” hoặc “nét
gãy”.


Nhận thấy, tác phẩm này đã đề cập đến chỉnh hợp của tập n phần tử với n ≤ 6.
Tuy nhiên, việc sử dụng các kiến thức về tổ hợp ở Trung Quốc không chỉ giới hạn trong việc

Những chuyên gia trong lĩnh vực này đã thao tác với những số nguyên với những cách thức
khác nhau : xây dựng hay đơn giản sử dụng những hình vuông hay hình tròn ma thuật càng lúc càng
hoàn hảo, thao tác với chuỗi những chữ tượng trưng cho các yếu tố (principes) hay tên của thánh
thần, thực hiện ‘máy tiên đoán’ (machine à prédire), đếm dãy số nguyên chẵn và lẻ trong việc thực
hiện các hoạt động bói toán.
• Trong lĩnh vực từ điển học
Nửa sau của thế kỉ XVIII, đặc biệt là với mục đích làm (chế tạo) các từ điển, liệt kê và đếm
các gốc của ngôn ngữ Ả Rập, quan tâm đến những cấu trúc khác nhau. Al-Khalil Ibn Ahmad (791)
là người đầu tiên đếm chính xác những thân từ có hai chữ cái, 3 chữ cái, 4 chữ cái và 5 chữ cái. Sau
ông, nhà ngữ pháp Sibawayh (795) đã xác định số từ thực sự được sử dụng, nghĩa là để ý đến những
sự khác nhau về cách phát âm.
Với một cái nhìn bao quát những nguồn gốc đã đưa đến các vấn đề của ngôn ngữ Ả Rập,
người ta có cảm tưởng rằng, cho đến thế kỉ XII, những chuyên gia trong lĩnh vực này vẫn chưa đưa
đến các nghiệm số học của các bài toán đếm số từ đã tính được theo qui nạp trong tác phẩm của họ.
Điều này được khẳng định trong tác phẩm của Ibn Durayd (934), với tựa đề ‘Anthologie de la
langue ’, một phương pháp cơ học để trả lời một trong các câu hỏi đưa ra : đó là việc đếm tất cả các
từ có được của một nhóm chữ cái đã cho, bằng cách để ý đến các hoán vị và sự lặp lại của các chữ
cái. Với mỗi tập hợp 3 phần tử, người ta sắp xếp với một thứ tự bất kì những từ được đưa ra. Sau đó
họ xoay vòng cái này hoặc cái kia của hai anneaux, mỗi lần một góc tương ứng, để nhận được một
trật tự mới của tất cả các từ. Để đếm số các từ có hơn 3 chữ cái, việc cần thiết là thêm vào số
anneaux cần thiết để tính toán.
• Mô hình đếm của Ibn Muncim
P

P


Những kết quả trong phần này được dẫn ra từ bài báo ‘Quelques éléments d’histoire de
l’analyse combinatoire’ của Mahdi Abdeljaouad,
Ibn Muncim, nhà toán học Ả rập ở thế kỉ XII, đã đưa ra mô hình để thực hiện phép đếm tất cả

.
r1.r2 ...rk

1.1.1.3 Nền văn minh phương Tây
Trước đó, đại số tổ hợp cũng là một mối quan tâm của người Hy Lạp cổ đại, ví dụ như le
Stomachion là một chuyên luận đầu tiên về Đại số tổ hợp, mà trong đó Archimede nghiên cứu số
cách tổ hợp 14 miếng đa giác để thu được một hình vuông. Nên có thể nói đại số tổ hợp còn là một
khoa học được khai phá bởi các nhà toán học Hy lạp cổ đại.


• Về vấn đề ngôn ngữ học ở Hy Lạp (khoảng 330 trước công nguyên)
Nhà triết học Xénocrate (-406/-315), học trò của Platon, đã quan tâm đặc biệt đến ngôn ngữ, ông
tính số các âm tiết có thể được tạo thành từ bảng chữ cái alphabet, và số kết quả nhận được là
1002.109.
P

P

• Châu Âu thời Trung cổ
Những tiếp cận ban đầu về Giải tích tổ hợp là việc nghiên cứu chiêm tinh học, bói toán, và
thần học. Một số nhà chiêm tinh học thời trung cổ đoán trước tương lai bằng cách gieo 3 con súc
xắc. Thực nghiệm này tương ứng với 216 = 63 kết quả có thể, và họ đã tính được số tổ hợp thuận lợi
P

P

trong số kết quả trên.
Raymond Lulle (khoảng 1232-1316) thỉnh thoảng được xem như là người sáng lập ra Giải
tích tổ hợp. Ông vừa là nhà triết học, vừa là nhà thần học Catalan, Tây Ban Nha, sử dụng ngôn ngữ
Ả rập thông thạo, có chủ tâm kiên quyết biến đổi những tín đồ đạo Hồi. Để làm việc này, ông sử

  
 p

tính toán các hệ số của nhị thức bậc n bằng việc sử dụng hệ số của nhị thức bậc n-1, và nhờ đó xây
dựng tam giác Pascal.
Bài toán chia tiền cược đến từ Ả rập, sau đó được trình bày bởi các nhà toán học Ý (như
Pacioli, Cardan và Tartaglia), và được quan tâm bởi Chevarlier de Méré. Ông giới thiệu nó với
Blaise Pascal. Ý kiến cho rằng mỗi người trong hai người chơi lấy một phần tỉ lệ với cơ hội thắng
cuộc. Pascal đưa vấn đề này ra với Fermat. Hai nhà bác học Pháp trao đổi nhau qua thư từ, được


xem như là những người đặt nền móng cho phép tính xác suất. Ông đã dùng tam giác số học các hệ
số khai triển của nhị thức (a+b)n để giải bài toán.
P

P

Năm 1654, Pascal công bố Traité du triangle arithmétique. Từ đó về sau, tam giác này được
mang tên ông, mặc dù đã được biết đến trước đó. (chúng ta có thể tìm thấy nó trong các văn bản của
Chinois yang Hui, khoảng 1238-1298 và của Ả rập Omar Khayyam, 1048-1131). Ứng dụng của nó
được mở rộng trong lý thuyết xác suất, khai triển nhị thức, đến việc tính các số tổ hợp.
Như vậy, ở cuối giai đoạn này khái niệm xác suất bắt đầu phát triển, xuất hiện trong các vấn
đề tính toán cơ hội trong vài trò chơi may rủi, và Đại số tổ hợp bắt đầu được khai thác để giải quyết
các bài toán đó.


Nhận xét :

Từ các kết quả trên, chúng tôi rút ra một số nhận xét như sau :
-

liệt kê thường sử dụng là thuật toán sinh.
-

Từ nhu cầu giải quyết bài toán đếm cũng như sắp xếp, phân phối các đồ vật, các nhà toán
học luôn tìm kiếm những phương tiện, thuật toán để việc thực hiện phép đếm hiệu quả. Từ


đấy, những công cụ đếm của Đại số tổ hợp được quan tâm nghiên cứu như hoán vị, chỉnh
hợp, tổ hợp bằng con đường quan sát thực nghiệm, hay là sử dụng những phép thử, các mô
hình, như mô hình của Ibn Muncim, rồi tổng quát lên bằng suy luận qui nạp, tìm ra được các
P

P

công thức mà ngày nay chúng ta được biết dưới kí hiệu toán học hiện đại.
-

Tam giác Pascal đã được ứng dụng rộng rãi trong lý thuyết xác suất, khai triển nhị thức, và
việc tính các số tổ hợp.

1.1.2 Nửa sau thế kỉ XVII đến đầu thế kỉ XVIII: lý thuyết tổ hợp được hình thành như một
ngành toán học mới, phát triển mạnh mẽ cùng với lý thuyết xác suất.
Ở giai đoạn 1, khái niệm xác suất đã xuất hiện một cách ngầm ẩn trong các bài toán về tính
toán cơ hội. Một số nhà toán học như Pascal và Fermat đã bước đầu khai thác các công cụ của Đại
số tổ hợp trong phép tính xác suất. Đến giai đoạn này, lý thuyết xác suất dành được sự quan tâm
nghiên cứu của nhiều nhà toán học, đạt được nhiều kết quả quan trọng, song song với sự phát triển
của Đại số tổ hợp.
• Newton, Leibniz, và Bernouilli
Việc phát hiện phép tính vi phân vào cuối thế kỉ 17 kéo theo những ứng dụng khác của các
hệ số nhị thức. Isaac Newton mở rộng khai triển (a+b)n đến số mũ không nguyên, có nhiều ứng

Les combinaisons de choses sont assemblages selon lesquels on ôte quelques-unes de ces
choses qui constituent une multitude déterminée, ces assemblages ne tenant aucun comte de l’ordre
ou de la situation des choses’
(Une histoire des probabilités de Samueili et Boudenot, Ellipses)
Bernoulli cũng chứng minh được công thức tính số cấu hình tổ hợp
n

Cr =

n(n − 1)(n − 2)...(n − r + 1)
n!
=
1.2.3...r
r!(n − r )!


Ông củng cố hai qui tắc tính số hoán vị n vật khi chúng khác nhau hoàn toàn hoặc một trong
số chúng giống nhau là n! và

n!
với n a vật của loại a, n b vật của loại b, …
na !nb !...
R

R

R

R


Các công thức tính số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp được chứng minh bằng phương pháp qui
nạp.


1.1.3 Đầu thế kỉ XVIII đến cuối thế kỉ XIX : bài toán tồn tại cấu hình và mối liên hệ với lý
thuyết đồ thị.
Ở thế kỉ 18, nền tảng của giải tích tổ hợp được xây dựng, có thể thấy ứng dụng của nó trong
nhiều lĩnh vực khác nhau.
Ý định giải phương trình bậc 5 dẫn đến các nhận xét mới. Joseph Larange nghiên cứu số các
hoán vị của nghiệm của các phương trình. Niels Abel và Évariste Galois chứng minh được rằng
không thể giải phương trình bậc 5. Galois bằng cách đưa vào nhóm các hoán vị, làm một cuộc cách
mạng hóa đại số, và cho phép hình thức hóa lý thuyết các nhóm cuối thế kỉ 19. Từ đó, giải tích tổ
hợp tiếp tục phát triển….
Trong nửa cuối thế kỉ 19, Arthur Cayley (1829-1895) giải một số bài toán của Đại số tổ hợp
bằng việc sử dụng graph, và ông gọi dưới tên là ‘cây’ (arbres)
 Các bài toán quan trọng
Ở giai đoạn này, xuất hiện một số bài toán có vai trò quan trọng trong sự phát triển của Đại
số tổ hợp.
• Euler và bài toán về 36 sĩ quan
Bài toán này được Euler đề nghị, nội dung của nó như sau : có một lần người ta triệu tập từ 6
trung đoàn mỗi trung đoàn 6 sĩ quan thuộc 6 cấp bậc khác nhau : thiếu úy, trung úy, thượng úy, đại
úy, thiếu tá, trung tá về tham dự duyệt binh ở sư đoàn bộ. Hỏi rằng có thể xếp 36 sĩ quan này thành
một đội ngũ hình vuông sao cho trong mỗi một hàng ngang cũng như mỗi một hàng dọc đều có đại
diện của cả 6 trung đoàn và của cả 6 cấp bậc.
Euler đã mất rất nhiều công sức để tìm lời giải cho bài toán 36 sĩ quan thế nhưng ông đã
không thành công. Vì vậy, ông đã đề ra giả thuyết là cách xếp như vậy không tồn tại. Giả thuyết này
được nhà toán học Pháp chứng minh năm 1901 bằng cách duyệt tất cả mọi khả năng xếp. Euler căn
cứ vào sự không tồn tại lời giải khi n=2 và n=6 còn đề ra một giả thuyết tổng quát hơn là : không
tồn tại hình vuông la tinh trực giao cấp n=4k+2. Giả thuyết này đã tồn tại suốt hai thế kỷ, mãi đến
năm 1960 ba nhà toán học Mỹ là Boce, Parker, Srikanda mới chỉ ra được một lời giải với n=10 và

2

đó là không thể được.
Để chứng minh kết quả, Euler đã phát biểu bài toán bằng các thuật ngữ của lý thuyết đồ thị.
T
2

T
2

Ông loại bỏ tất cả các chi tiết ngoại trừ các vùng đất và các cây cầu, sau đó thay thế mỗi vùng đất
bằng một điểm, gọi là đỉnh hoặc nút, và thay mỗi cây cầu bằng một đoạn nối, gọi là cạnh hoặc liên
2T

2T

2T

2T

T
2

T
2

T
2

kết. Cấu trúc toán học thu được được gọi là một đồ thị.

2T

định lý đầu tiên của lý thuyết đồ thị, ngành nghiên cứu mà ngày nay được coi là một nhánh của toán
2T

2T

T
2

học tổ hợp (combinatorics), tuy các bài toán tổ hợp đã được quan tâm đến từ sớm hơn rất nhiều.
T
2

Có thể nói, ở thế kỉ 18, nền tảng của giải tích tổ hợp được xây dựng, ứng dụng của nó được
tìm thấy trong nhiều lĩnh vực : lý thuyết số, lý thuyết nhóm, lý thuyết đồ thị.