BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO
TRƯỜNG ðẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
---------- oOo ----------

ðặng Tuấn Hiệp

ðA THỨC DUY NHẤT VÀ BI-URS
KIỂU (1,N) CHO HÀM PHÂN HÌNH
TRÊN TRƯỜNG KHÔNG ACSIMET
Chuyên ngành: ðại số và lý thuyết số
Mã số: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. NGUYỄN TRỌNG HÒA

Thành phố Hồ Chí Minh – 2009


2

Mở đầu
Một trong các vấn đề quan trọng của lý thuyết hàm giải tích là nghiên
cứu các không điểm và điểm kỳ dò. Theo hướng này, vào những năm 20 của
thế kỷ XX, R. Nevanlinna đã công bố các công trình nghiên cứu mà ngày
nay được xem là một trong những thành tựu đẹp đẽ và sâu sắc nhất của
toán học: Lý thuyết Nevanlinna. Nội dung chính của lý thuyết Nevanlinna
là hai đònh lý cơ bản: đònh lý cơ bản thứ nhất là một tương tự siêu việt
của đònh lý cơ bản của đại số, đònh lý cơ bản thứ hai là mở rộng của đònh

với các hằng số a, b, c, d
thì g là biến đổi Mobius của f , nghóa là g =
cf + d
thỏa mãn (c, d) = (0, 0).
Lý thuyết về tập xác đònh duy nhất của các hàm phân hình được F.
Gross nêu ra một cách tự nhiên: Liệu chỉ xét nghòch ảnh của một tập con
S mà không phải là nghòch ảnh của từng phần tử, chúng ta có thể nhận
được các kết quả tương tự đònh lý năm điểm Nevanlinna hay không? Tức
là có tồn tại hay không tập S để với bất kỳ các hàm phân hình f, g thỏa
mãn f −1 (S) = g −1 (S) kéo theo f = g?
Ký hiệu W là trường số phức C hoặc trường K đóng đại số, đặc số
không, đầy đủ với chuẩn không Acsimet, A(W) là vành các hàm chỉnh
hình trên W, M(W) là trường các hàm phân hình trên W. Giả sử S là tập
con không rỗng của W = W ∪ {∞}, F là một họ nào đó các hàm xác đònh
trên W lấy giá trò trên W, f ∈ F . Đặt
{(z, m) ∈ W × N|z là không điểm bội m của f − a},

Ef (S) =
a∈S

{z ∈ W|z là không điểm của f − a}.

Ef (S) =
a∈S

Hai hàm phân hình f, g được gọi là chung nhau S, tính cả bội (tương ứng,
không tính bội) nếu Ef (S) = Eg (S) (tương ứng, Ef (S) = Eg (S)). Tập S được
gọi là tập xác đònh duy nhất (tương ứng, tập xác đònh duy nhất không tính bội)
cho họ các hàm F , kí hiệu là URS (tương ứng, URSIM), nếu với mọi hàm
f, g ∈ F thỏa mãn Ef (S) = Eg (S) (tương ứng, Ef (S) = Eg (S)) thì f = g.

tại bi-URS kiểu (1, n) cho hàm phân hình có dạng ({∞}, S) với #S ≥ 15.
Trên trường K không Acsimet, năm 1971, W. W. Adams và E. G. Straus đã
chỉ ra: với mọi a = b ∈ K, cặp ({a}, {b}) là bi-URS cho hàm nguyên. Năm
1998, A. Boutabaa và A. Escassut ([4]), bằng các ước lượng phù hợp cho đa
thức P (z) = z n − az m + 1, đã chỉ ra: với mọi n ≥ 5 và ω ∈ K ∪ {∞},
tồn tại bi-URS cho M(K) có dạng ({ω}, {z1 , z2 , . . . , zn }). Tiếp theo, trong
[6], các tác giả đã chứng minh không tồn tại bi-URS cho M(K) có dạng
({ω}, {z1 , z2 , z3 }). Sau đó, đến năm 2001, bằng cách sử dụng các ước lượng
hàm Nevanlinna, Hà Huy Khoái và Tạ Thò Hoài An ([9]) đã chỉ ra sự tồn
tại của bi-URS cho M(K) có dạng ({ω}, {z1 , z2 , z3 , z4 }). Như vậy, vấn đề
tồn tại bi-URS cho M(K) kiểu (1, n) đã được giải quyết trọn vẹn và n = 4
là số tốt nhất có thể.
Gần đây, bằng cách sử dụng công cụ của Hình học đại số, xây dựng
các đa thức liên kết và xét tính hyperbolic của các đường cong tương ứng,


5

Nguyễn Trọng Hòa ([3], [10]) đã chỉ ra sự tồn tại bi-URS cho M(K) kiểu
(2, n), với mọi n ≥ 3 và khẳng đònh n = 3 là số bé nhất có thể. Các kết
quả của Tạ Thò Hoài An và Nguyễn Trọng Hòa đạt được là những đóng
góp mới không chỉ ở nội dung mà ở cả phương pháp tiếp cận khi nghiên
cứu các vấn đề tương tự. Bởi vậy chúng tôi mạnh dạn chọn đề tài nghiên
cứu về đa thức duy nhất và song tập xác đònh duy nhất kiểu (1, n) cho hàm
phân hình trên trường không Acsimet. Cụ thể, chúng tôi muốn hệ thống lại
một cách chi tiết các chứng minh của những kết quả mà các tác giả đã chỉ
ra. Qua đó, chúng tôi sẽ cố gắng xây dựng các ví dụ cụ thể để minh họa các
kết quả trong một số trường hợp đặc biệt. Đề tài của chúng tôi mang tên:
"Đa thức duy nhất và bi-URS kiểu (1, n)
cho hàm phân hình trên trường không Acsimet".

khó khăn và dành hết tình thương yêu, động viện tác giả hoàn thành công
việc học tập của mình.


7

Chương 1
Các kiến thức cơ sở
Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày các kiến thức cơ sở về hàm
phân hình và lý thuyết Nevanlinna trên trường không Acsimet. Trước hết,
chúng tôi đưa ra các ký hiệu dùng trong luận văn.
• K là trường đóng đại số, đặc số 0 và đầy đủ với chuẩn không Acsimet.
• C là trường các số phức.
• Cp là trường các số phức p-adic.
• L là C hoặc K.
• A(L) là vành các hàm nguyên trên L.
• M(L) là trường các hàm phân hình trên L.
• W là trường đóng đại số, đặc số 0.
• W là không gian xạ ảnh một chiều trên W.
• F là một họ các hàm xác đònh trên W và lấy giá trò trên W.


1.1 Trường không Acsimet

8

Các khái niệm và kết quả được nhắc đến trong phần này được trình
bày một cách chi tiết trong [8].
Chuẩn không Acsimet
Đònh nghóa 1.1. Một chuẩn trên trường W là ánh xạ

cộng v tương ứng của nó thỏa mãn các điều kiện sau:
(1) v(x) = +∞ ⇔ x = 0,
(2) v(xy) = v(x)v(y); ∀x, y ∈ W,
(3) v(x + y) ≥ min{v(x), v(y)}; ∀x, y ∈ W.
Không gian p-adic (Xem [8], [2])
Một ví dụ của chuẩn không Acsimet là chuẩn p-adic, được xác đònh
như sau:
Cho p là số nguyên tố. Với mỗi số nguyên a = 0, ta có thể viết a = pv a ,
p không chia hết a . Số tự nhiên v được xác đònh duy nhất bởi a và p, cho
nên ta nhận được hàm
vp : Z∗ → Z+ , vp (a) = v.
Có thể mở rộng hàm vp lên trường các số hữu tỷ: với mọi x = a/b ∈ Q, đặt
vp (x) =

vp (a) − vp (b) nếu x = 0,
+∞

nếu x = 0.

Khi đó, chúng ta có chuẩn p-adic tương ứng, ký hiệu |.|p trên Q, xác đònh
bởi:
p−vp (x) nếu x = 0,
|x|p =
0
nếu x = 0.
Đònh lý 1.1 (Ostrowski [8]). Mọi chuẩn không tầm thường trên Q đều tương
đương với chuẩn p-adic hoặc chuẩn giá trò tuyệt đối thông thường.
Như vậy chỉ có hai hướng mở rộng trường các số hữu tỷ Q. Mở rộng
theo chuẩn giá trò tuyệt đối thông thường ta được trường các số thực R. Mở
rộng theo chuẩn p-adic ta được trường các số p-adic, ký hiệu là Qp .

p-adic thì ϕ là hàm phân hình p-adic trên K, còn gọi là hàm phân hình p-adic.
Sau này, nếu không cần phân biệt, chúng ta gọi chung hàm phân hình
trên K và hàm phân hình trên C là hàm phân hình.
Cho f là hàm chỉnh hình p-adic khác hằng số trên đóa D(0, ρ). Với
mỗi 0 < r < ρ, ta đònh nghóa hạng tử tối đại:
µ(r, f ) = max{|an |r n},
n≥0

tương ứng là chỉ số tâm:
ν(r, f ) = max{n : |an |r n = µ(r, f )}.
n≥0

Chúng ta quy ước
µ(0, f ) = lim+ µ(r, f ); ν(0, f ) = lim+ ν(r, f ).
r→0

r→0

Bổ đề 1.1. Chỉ số tâm ν(r, f ) tăng lên khi r → ρ và thỏa mãn công thức
r

log µ(r, f ) = log |aν(0,f)| +
0

ν(t, f ) − ν(0, f )
dt + ν(0, f ) log r.
t

Bổ đề 1.2 (Đònh lý chuẩn bò Weierstrass). Cho f là hàm chỉnh hình trên đóa
D(0, ρ). Khi đó, có tồn tại một đa thức monic P có bậc là ν(r, f ) và một hàm