BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO
TRƯỜNG ðẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
oOo ðặng Tuấn Hiệp
ðA THỨC DUY NHẤT VÀ BI-URS
KIỂU (1,N) CHO HÀM PHÂN HÌNH
TRÊN TRƯỜNG KHÔNG ACSIMET
Chuyên ngành: ðại số và lý thuyết số
Mã số: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Huy Khoái, Mỵ Vinh Quang, Mai Văn Tư, W. Cherry, P. C. Hu, C. C.
Yang, A. Escassut, A. Boutabaa, Giả thuyết nổi tiếng của W. Cherry chỉ ra
có sự tương tự giữa trường số phức và trường p-adic: "Mọi kết quả đúng cho
đa thức (hoặc hàm hữu tỷ) trên C thì cũng đúng cho hàm nguyên (hàm phân
hình, tương ứng) trên C
p
, trừ những kết quả hiển nhiên sai", nghóa là tồn tại
một bản dòch từ trường số phức C sang trường không Acsimet K. Đây là
vấn đề đã và đang nhận được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế
giới.
Năm 1926, R. Nevanlinna đã chứng minh: hàm phân hình trên C xác
đònh một cách duy nhất bởi ảnh ngược, không tính bội của năm giá trò phân
biệt. Đònh lý năm điểm của Nevanlinna suy ra rằng hai hàm nguyên khác
hằng chung nhau bốn giá trò hữu hạn phải trùng nhau (ta nói rằng hai hàm
3
f và g chung nhau giá trò a nếu f
−1
(a)=g
−1
(a)). Kết quả này không thể
tốt hơn, vì hai hàm e
z
và e
−z
chung nhau tại 0, 1, −1. Sau đó, Polya chỉ ra,
nếu hai hàm phân hình f và g chung nhau bốn giá trò phân biệt, kể cả bội,
thì g là biến đổi Mobius của f, nghóa là g =
af + b
cf + d
với các hằng số a, b, c, d

a∈S
{z ∈ W|z là không điểm của f − a}.
Hai hàm phân hình f,g được gọi là chung nhau S, tính cả bội (tương ứng,
không tính bội) nếu E
f
(S)=E
g
(S) (tương ứng, E
f
(S)=E
g
(S)). Tập S được
gọi là tập xác đònh duy nhất (tương ứng, tập xác đònh duy nhất không tính bội)
cho họ các hàm F, kí hiệu là URS (tương ứng, URSIM), nếu với mọi hàm
f,g ∈F thỏa mãn E
f
(S)=E
g
(S) (tương ứng, E
f
(S)=E
g
(S)) thì f = g.
Giả sử B = {a
1
,a
2
, ,a
n
} là tập hữu hạn, chúng ta gọi P

đó. Cho đến nay, chưa có phương pháp nào để tìm URS cho các hàm phân
hình phức (tương ứng, p-adic) có số phần tử bé hơn 11 (tương ứng, 10). Vì
vậy có một vấn đề được đặt ra là xem xét sự xác đònh của các hàm phân
hình thông qua ảnh ngược của nhiều hơn một tập hợp.
Đònh nghóa. ([3]) Giả sử S, T là các tập con trong

W = W ∪ {∞} sao
cho S ∩T = ∅. Khi đó cặp (S, T) được gọi là bi-URS cho F nếu với hai hàm
khác hằng số f,g ∈Fthỏa mãn E
f
(S)=E
g
(S) và E
f
(T )=E
g
(T ) thì f = g.
Năm 1996, P. Li và C. C. Yang ([12]) đã chứng minh rằng trên C tồn
tại bi-URS kiểu (1,n) cho hàm phân hình có dạng ({∞},S) với #S ≥ 15.
Trên trường K không Acsimet, năm 1971, W. W. Adams và E. G. Straus đã
chỉ ra: với mọi a = b ∈ K, cặp ({a}, {b}) là bi-URS cho hàm nguyên. Năm
1998, A. Boutabaa và A. Escassut ([4]), bằng các ước lượng phù hợp cho đa
thức P (z)=z
n
− az
m
+1, đã chỉ ra: với mọi n ≥ 5 và ω ∈ K ∪ {∞},
tồn tại bi-URS cho M(K) có dạng ({ω}, {z
1
,z

góp mới không chỉ ở nội dung mà ở cả phương pháp tiếp cận khi nghiên
cứu các vấn đề tương tự. Bởi vậy chúng tôi mạnh dạn chọn đề tài nghiên
cứu về đa thức duy nhất và song tập xác đònh duy nhất kiểu (1,n) cho hàm
phân hình trên trường không Acsimet. Cụ thể, chúng tôi muốn hệ thống lại
một cách chi tiết các chứng minh của những kết quả mà các tác giả đã chỉ
ra. Qua đó, chúng tôi sẽ cố gắng xây dựng các ví dụ cụ thể để minh họa các
kết quả trong một số trường hợp đặc biệt. Đề tài của chúng tôi mang tên:
"Đa thức duy nhất và bi-URS kiểu (1,n)
cho hàm phân hình trên trường không Acsimet".
Phương pháp của chúng tôi là sử dụng ước lượng các hàm Nevanlinna
để đánh giá tập không điểm của một lớp các đa thức thỏa mãn một số điều
kiện nào đó.
Nội dung của luận văn gồm phần mở đầu, phần kết luận, các tài liệu
tham khảo và ba chương.
Chương 1 trình bày các kiến thức cơ bản về giải tích p-adic và lý
thuyết Nevanlinna p-adic. Đây là các kiến thức cơ sở cho các chương sau.
Chương 2 trình bày các kết quả về đa thức duy nhất cho các hàm
phân hình trên trường không Acsimet.
Chương 3 trình bày các kết quả về song tập xác đònh duy nhất kiểu
(1,n) cho các hàm phân hình trên trường không Acsimet.
Luận văn được thực hiện dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Trọng
Hòa, ngưới đã đặt vấn đề và dẫn dắt tác giả hoàn thành công việc của mình.
Tác giả xin gửi tới TS. Nguyễn Trọng Hòa lời cảm ơn chân thành. Tác giả
cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS. TS. Mỵ Vinh Quang người thầy
đầu tiên đã hướng dẫn tác giả trong công việc nghiên cứu các vấn đề về
lý thuyết Nevanlinna p-adic và các áp dụng. Tác giả cũng xin chân thành
biết ơn ban chủ nhiệm khoa Toán-Tin, Đại học Sư phạm thành phố Hồ
Chí Minh, đặc biệt là TS. Nguyễn Thái Sơn đã tạo điều kiện giúp đỡ tác giả
hoàn thành công việc của mình. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới PGS.
6

1.1 Trường không Acsimet
Các khái niệm và kết quả được nhắc đến trong phần này được trình
bày một cách chi tiết trong [8].
Chuẩn không Acsimet
Đònh nghóa 1.1. Một chuẩn trên trường W là ánh xạ
|.| : W → R
+
=[0, ∞),
thỏa mãn các điều kiện sau:
(1) |x| =0⇔ x =0,
(2) |xy| = |x||y|; ∀x, y ∈ W,
(3) |x + y|≤|x| + |y|; ∀x, y ∈ W.
Nếu thay (3) bởi điều kiện mạnh hơn: (3

) |x + y|≤max{|x|, |y|} thì ta thu
được chuẩn không Acsimet.
Mỗi chuẩn | .| trên trường W cảm sinh một hàm khoảng cách d xác
đònh bởi d(x, y)=|x − y| với mọi x, y ∈ W, và do đó chuẩn này cảm sinh
một tôpô trên W. Trường với chuẩn không Acsimet được gọi là trường không
Acsimet, ký hiệu K. Hai chuẩn trên một trường W gọi là tương đương nếu
nó cùng cảm sinh một tôpô trên W.
Cho r là số thực dương và điểm x ∈ W. Ký hiệu đóa mở, đóa đóng tâm
x bán kính r theo thứ tự bởi:
D(x, r)={y ∈ W|d(x, y) <r},
D(x, r)={y ∈ W|d(x, y) ≤ r}.
Đóa D = D(0, 1) được gọi là đóa đơn vò.
Với hằng số c>1, hàm v
c
: W → R ∪ {∞},
v

→ Z
+
,v
p
(a)=v.
Có thể mở rộng hàm v
p
lên trường các số hữu tỷ: với mọi x = a/b ∈ Q, đặt
v
p
(x)=

v
p
(a) − v
p
(b) nếu x =0,
+∞ nếu x =0.
Khi đó, chúng ta có chuẩn p-adic tương ứng, ký hiệu |.|
p
trên Q, xác đònh
bởi:
|x|
p
=

p
−v
p
(x)

p
là trường đóng đại số và đầy đủ theo chuẩn không Acsimet.
C
p
là không gian khả ly nhưng không compact đòa phương.
10
1.2 Hàm phân hình p-adic
Đònh nghóa 1.2. Một chuỗi lũy thừa
f(z)=
∞

n=0
a
n
z
n
; a
n
∈ K,
hội tụ trên đóa D(0,ρ) được gọi là hàm chỉnh hình p-adic trên đóa ấy. Hàm
chỉnh hình p-adic trên toàn K được gọi là hàm nguyên p-adic.
Giả sử f và g là các hàm chỉnh hình p-adic không có không điểm
chung trên một đóa. Khi đó hàm
ϕ =
f
g
,
được gọi là hàm phân hình p-adic trên đóa đó. Nếu f và g là các hàm nguyên
p-adic thì ϕ là hàm phân hình p-adic trên K, còn gọi là hàm phân hình p-adic.
Sau này, nếu không cần phân biệt, chúng ta gọi chung hàm phân hình


r
0
ν(t, f) − ν(0,f)
t
dt + ν(0,f) log r.
Bổ đề 1.2 (Đònh lý chuẩn bò Weierstrass). Cho f là hàm chỉnh hình trên đóa
D(0,ρ). Khi đó, có tồn tại một đa thức monic P có bậc là ν(r, f ) và một hàm
chỉnh hình p-adic g trên
D(0,r) sao cho f = gP. Hơn nữa, g không có không
điểm trong
D(0,r) và P có đúng ν(r, f) không điểm kể cả bội trên D(0,r).
11
Cho hàm phân hình f trên D(0,ρ), thì khi đó f =
g
h
, với g, h là hai
hàm chỉnh hình p-adic không có không điểm chung trên D(0,ρ). Ta đònh
nghóa
µ(r, f)=
µ(r, g)
µ(r, h)
.
Bổ đề 1.3. Giả sử f là hàm phân hình trên D(0,ρ), khi đó
µ(r, f

) ≤
1
r
µ(r, f).

là các khái niệm và kết quả chính của lý thuyết này.
Cho f là hàm chỉnh hình trên D(0,ρ). Với mỗi t ≥ 0, ta đặt n(t,
1
f
)
là số các không điểm kể cả bội của f trong D(0,t). Với mỗi 0 <r<ρ,ta
đònh nghóa hàm đếm các không điểm của f bởi công thức
N

r,
1
f

=

r
0
n(t,
1
f
) − n(0,
1
f
)
t
dt + n

0,
1
f


r,
1
f

=

r
0
¯n

t,
1
f

− ¯n

0,
1
f

t
dt +¯n

0,
1
f

log r.
Cho f là hàm phân hình trên D(0,ρ), khi đó f =

f
là hằng số chỉ phụ thuộc vào f.
Mệnh đề 1.3. Với mọi hàm phân hình f ta có
N(r, f)=

r
0
n(t, f) − n(0,f)
t
dt + n(0,f) log r.
13
Đònh nghóa 1.3 (Hàm xấp xỉ). Cho f là hàm phân hình trên D(0,ρ).Ta
gọi hàm m(r, f) = log
+
µ(r, f) = max{0, log µ(r, f )} là hàm xấp xỉ của f.
Nhận xét. Hàm xấp xỉ m(r, f ) đo độ lớn của tập hợp mà tại đó hàm f nhận
giá trò gần với ∞ trong hình tròn bán kính r.
Đònh nghóa 1.4 (Hàm đặc trưng). Cho f là hàm phân hình trên D(0,ρ).
Ta gọi hàm T (r, f)=m(r, f )+N(r, f) là hàm đặc trưng của f.
Mệnh đề 1.4. Hàm đặc trưng T (r, f ) là hàm tăng theo biến r và hơn nữa nếu
f là hàm phân hình trên K thì ta có lim
r→∞
T (r, f)=∞.
Đònh lý 1.2 (Đònh lý cơ bản thứ nhất). Giả sử r là một số thực dương, f là
hàm phân hình trên K và a ∈ K bất kỳ. Khi đó
T

r,
1
f − a

i=1
¯
N

r,
1
f − a
i

− N
0

r,
1
f


− log r + O(1),
trong đó N
Ram
(r, f)=N(r, 1/f

)+2N(r, f ) − N(r, f

) là hạng tử rẽ nhánh
và N
0
(r, 1/f

) là hàm đếm các không điểm của f


T (r, f)
,
Θ
f
(a)=1− lim
r→∞
sup
¯
N

r,
1
f−a

T (r, f)
,θ
f
= lim
r→∞
inf
N
Ram
(r, f)
T (r, f)
.
Đònh lý 1.4 (Quan hệ số khuyết). Giả sử f là hàm phân hình trên K. Khi
đó, tập hợp các phần tử a ∈ K ∪ {∞} sao cho Θ(a) =0là đếm được và hơn
nữa,


f − a

≤
1
q
n

r,
1
f − a

.
Suy ra
¯
N

r,
1
f−a

T (r, f)
≤
1
q
N

r,
1
f−a


ta đặt g = u
p
,h = v
q
, trong đó u, v là các
hàm nguyên không có không điểm chung. Lấy f =
g
h
∈M(K). Theo công
thức (1.2) và bổ đề 1.4 ta có T (r, f ) = max{T (r, g),T(r, h)} + O(1).
Áp dụng bổ đề 1.5 ta thu được
Θ
f
(0) = 1 − lim
r→∞
sup
¯
N

r,
1
f

T (r, f)
=1− lim
r→∞
sup
¯
N


=1− lim
r→∞
sup
¯
N

r,
1
h

T (r, f)
≥ 1 − lim
r→∞
sup
¯
N

r,
1
h

T (r, h)
=Θ
h
(0) ≥ 1 −
1
q
.
Do đó


a∈K∪{∞}
Θ
f
(a)=2.
Chứng minh. Lấy f(z)=
∞

i=1

1 −
z
b
i

i
,g(z)=
∞

i=1

1 −
z
b
i

, trong đó b ∈ K
sao cho |b| > 1. Theo hệ quả 1.25 trong [8], ta được f,g ∈A(K), và hơn nữa
¯
N


N

r,
1
f

T (r, f)
=1− lim
r→∞
sup
N

r,
1
g

N

r,
1
f

.
Với mọi k ∈ N
∗
và r đủ lớn, ta sẽ thấy N

r,
1
f

N

r,
1
f

≤
1
k
.
Vì vậy Θ
f
(0) ≥ 1 −
1
k
, ∀k ∈ N
∗
. Cho k →∞, ta phải có Θ
f
(0) = 1.
Hơn nữa, do f ∈A(K) nên Θ
f
(∞)=δ
f
(∞)=1.
Tóm lại, ta có 2 ≥

a∈K∪{∞}
Θ
f

) = log µ(r, g) − log r
= m(r, g)+O(log r)
= T (r, g)+O(log r).
Xét hàm phân hình f =
1
g
. Hệ thức Wronskian của f là
W =




1 g
0 g





= g

∈A(K).
16
Theo đònh lý 2.15 trong [8] ta có N

r,
1
W

= N

f
(a)=δ
g
(a
−1
)=0.
Do đó

a∈K∪{∞}
δ
f
(a)+θ
f
= δ
f
(∞)+θ
f
=2.
Từ các kết quả trên, chúng ta có thể khẳng đònh số ''2'' trong bất đẳng
thức quan hệ số khuyết là số nhỏ nhất có thể chọn được.
Đònh lý 1.8. Với mọi δ ∈ [0, 1], luôn tồn tại f ∈M(K) và a ∈ K ∪ {∞} sao
cho δ
f
(a)=δ.
Chứng minh. Nếu f ∈A(K) thì δ
f
(∞)=1và δ
f
(a)=0, ∀a ∈ K.
Với mọi δ ∈ (0, 1) ta đặt

log |b|≤log r. Khi đó µ(r, h)=r
n
n

i=1
|b|
−
[
i
1−δ
]
. Suy ra
log µ(r, h)=n log r −
n

i=1

i
1 − δ

log |b|.
Áp dụng bổ đề 6.3 trong [5] với  =1− δ và ρ =
log r
log |b|
ta thu được
log µ(r, h)=(1− δ)
(log r)
2
2 log |b|
+ O(log r).

δ
ϕ
(∞)=1− lim
r→∞
sup
N(r, ϕ)
T (r, ϕ)
= δ.
Chọn f = a +
1
ϕ
, khi đó δ
f
(a)=δ
ϕ
(∞)=δ.
Trong cách xây dựng hàm f trong đònh lý 1.8, chúng ta thấy hàm ϕ
chỉ có các cực điểm đơn, do đó Θ
ϕ
(∞)=δ
ϕ
(∞). Vì vậy, ta có kết quả sau
đây.
Đònh lý 1.9. Với mọi Θ ∈ [0, 1], luôn tồn tại f ∈M(K) và a ∈ K ∪ {∞} sao
cho Θ
f
(a)=Θ.
Kết luận chương 1
Nội dung của chương 1 là trình bày các kiến thức cơ sở về giải tích
p-adic. Đặc biệtlà lý thuyết Nevanlinna p-adic, với hai đònh lý cơ bản. Lý

Trong chương này, chúng tôi sẽ tập trung nghiên cứu các điều kiện
cần và điều kiện đủ để một đa thức lấy hệ số trên W là đa thức duy nhất
yếu (mạnh). Trong suốt phần này, chúng ta luôn giả sử rằng P (z) ∈ W[z] là
một đa thức monic bậc q ≥ 1. Ta viết
P

(z)=q(z − d
1
)
q
1
(z − d
2
)
q
2
(z − d
k
)
q
k
,
19
trong đó q
1
+ q
2
+ ···+ q
k
= q − 1,d

cho F.
Đònh lý 2.1. Nếu q =3thì P không là đa thức duy nhất yếu và mạnh cho
M(W).
Chứng minh. Giả sử P (z)=z
3
+ az
2
+ bz + c. Đặt Q(z)=P (z + d), khi đó
Q(z)=z
3
+(a +3d)z
2
+(3d
2
+2ad + b)z + d
3
+ ad
2
+ bd + c.
Chọn d ∈ W sao cho 3d
2
+2ad + b =0. Khi đó Q(z) sẽ có dạng
Q(z)=z
3
+ a
1
z
2
+ a
2


= g + d. Khi đó f

,g

∈M(W) và f

= g

. Nhưng ta có
P (f

)=P (f + d)=Q(f)=Q(g)=P (g + d)=P (g

).
Vậy P không là đa thức duy nhất yếu cho M(W). Do đó P cũng không là
đa thức duy nhất mạnh cho M(W).
Đònh lý 2.2. Nếu k =1thì P không là đa thức duy nhất yếu và mạnh cho F.
Chứng minh. Giả sử k =1, khi đó q ≥ 2 và P

(z)=q(z − d)
q−1
. Suy ra
P (z)=(z − d)
q
+ c, với d, c ∈ K và c =0. Với bất kì hàm khác hằng số
f ∈Fvà hằng số ξ =1sao cho ξ
q
=1. Đặt hàm g = ξf +(1− ξ)d. Dễ
dàng kiểm tra được P (f)=P (g), nhưng f = g. Do đó P (z) không thể là

2
− d
1
)(z − d
2
)
q−1
+ b.
Đặt Q(z)=P (z + d
2
), khi đó
Q(z)=z
q
+ az
q−1
+ b,
với a =
q
q − 1
(d
2
− d
1
) =0. Xét hai hàm phân hình
f =
ϕ
q−1
− ψ
q−1
ψ


. Nhưng ta có
P (f

)=P (f + d
2
)=Q(f)=Q(g)=P (g + d
2
)=P (g

).
Vậy P không là đa thức duy nhất yếu cho M(W). Do đó P cũng không là
đa thức duy nhất mạnh cho M(W).
21
Từ các trường hợp đặc biệt đã xem xét ở trên, chúng ta có thể đưa ra một
điều kiện cần để một đa thức bất kỳ trên W là đa thức duy nhất yếu (mạnh)
cho M(W).
Hệ quả 2.1. Nếu P là đa thức duy nhất yếu cho M(W) thì q =1hoặc k ≥ 3
hoặc k =2và min{q
1
,q
2
}≥2.
Hệ quả 2.2. Nếu P là đa thức duy nhất mạnh cho M(W) thì k ≥ 3 hoặc
k =2và min{q
1
,q
2
}≥2.
Trong [2], chúng tôi phân tích khá rõ một số sự khác biệt của lý

χ
∞
f
(z)=

−1 nếu z là cực điểm của f,
0 trong các trường hợp còn lại.
Với điều kiện C cho trước, ta đònh nghóa
χ
∗
f

|
C
(z)=

χ
0
f

(z) nếu z thỏa mãn điều kiện C và f(z) = d
j
; ∀j,
0 trong các trường hợp còn lại.
Chứng minh. Giả sử tồn tại hai hàm phân hình khác hằng số f và g sao
cho P (f)=P (g). Ta chứng minh f = g. Thật vậy, giả sử f = g. Đặt
ϕ =
1
f
−

χ
d
j
f
(z) ≤ χ
d
j
g
(z)+χ
∗
g

|
f=d
j
(z).
Điều này kéo theo
k

j=1
χ
d
j
f
(z) − χ
∞
f
(z) ≤
k


|
f=d
j
(z).
23
Áp dụng đònh lý cơ bản thứ hai cho hàm f và các giá trò d
1
,d
2
, ,d
k
ta có
(k − 1)T (r, f) ≤
k

j=1
N

r,
1
f − d
j

+
N(r, f) − N
0

r,
1
f

f


− log r + O(1)
≤ T

r,
1
ϕ

+
k

j=1
N
0

r,
1
g


|
f=d
j
− N
0

r,
1


r,
1
f


− log r + O(1). (2.3)
Đối với hàm g ta cũng có bất đẳng thức tương tự
(k − 1)T (r, g) ≤ T (r, ϕ)+
k

j=1
N
0

r,
1
f


|
g=d
j
− N
0

r,
1
g


j=1
N
0

r,
1
f


|
g=d
j
− N
0

r,
1
f


−2 log r + O(1).
24
Dễ dàng nhận thấy:
k

j=1
N
0

r,

≤ N
0

r,
1
f


.
Do đó, ta có
(k − 3) (T(r, f )+T(r, g)) ≤−2 log r + O(1).
Cho r →∞ta thu được k<3, mâu thuẫn.
Đònh lý được chứng minh.
Đònh lý 2.4 chỉ cho chúng ta các điều kiện đủ để một đa thức là đa
thức duy nhất yếu cho M(W). Các điều kiện đó chưa phải là điều kiện cần
và đủ, tức là có tồn tại các đa thức duy nhất yếu cho M(W) nhưng không
thỏa mãn các điều kiện của đònh lý 2.4. Ví dụ sau đây sẽ cho chúng ta thấy
rõ điều này.
Ví dụ. (Xem [8]) Xét đa thức
F
n,b
(z)=
(n − 1)(n − 2)
2
z
n
− n(n − 2)z
n−1
+
n(n − 1)

n,m
Trong [8], các tác giả đã đưa ra đa thức
Y
n,m
(z)=z
n
− az
m
+ b,
trong đó n, m ∈ Z
+
,n > m) và đồng thời khẳng đònh với n ≥ m +2,đa
thức Y
n,m
là đa thức duy nhất yếu cho M(K) nếu một trong hai điều kiện
sau thỏa mãn
25
(i) (n, m)=1,n>
1
2

5+

17 + 4m(m − 3)

,
(ii) (n, m)=1,m= n − 2 ≥ 3.
Sau đó, các tác giả có đặt ra một câu hỏi: ``Có phải đa thức Y
n,n−1
là đa thức

n,n−1
(g).
Vì vậy, Y
n,n−1
không là đa thức duy nhất yếu cho M(K).
Hiển nhiên, khi đó Y
n,n−1
cũng không là đa thức duy nhất mạnh cho
M(K).
Bây giờ, chúng ta sẽ xét tất cả các giá trò m, n sao cho Y
n,m
là đa thức
duy nhất yếu cho M(K). Một vấn đề đặt ra là cần phải thêm các điều kiện
nào của m, n để cho Y
m,n
cũng sẽ là đa thức duy nhất mạnh cho M(K).
Đònh lý sau đây là câu trả lời cho vấn đề này.
Đònh lý 2.6. Nếu m, n là các giá trò sao cho Y
n,m
là đa thức duy nhất yếu cho
M(K) và hơn nữa 2m ≥ n +3thì Y
n,m
là đa thức duy nhất mạnh cho M(K).
Chứng minh. Giả sử có hai hàm f,g ∈M
∗
(K) và hằng số khác không c ∈ K
sao cho Y
n,m
(f)=cY
n,m

Trích đoạn Kết luận chương

---