ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐÀO VIỆT HÙNG

VẤN ĐỀ DUY NHẤT HÀM PHÂN HÌNH
KHI HAI ĐA THỨC CHỨA ĐẠO HÀM
CHUNG NHAU MỘT GIÁ TRỊ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2015


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐÀO VIỆT HÙNG

VẤN ĐỀ DUY NHẤT HÀM PHÂN HÌNH
KHI HAI ĐA THỨC CHỨA ĐẠO HÀM
CHUNG NHAU MỘT GIÁ TRỊ
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Hà Trần Phương

THÁI NGUYÊN - 2015


Đào Việt Hùng


iii

Mục lục

Mở đầu

1

1 Một số kiến thức cơ bản

3

1.1. Các kiến thức cơ bản trong lý thuyết Nevanlinna . . . . .
1.1.1. Các hàm Nevanlinna và tính chất

3

. . . . . . . . .

3

1.1.2. Các định lý cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.3. Quan hệ số khuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . .



Kết luận

43

Tài liệu tham khảo

45


1

Mở đầu
Bài toán xác định duy nhất một hàm phân hình trên C thông qua ảnh
ngược của các tập hữu hạn đã được nghiên cứu bởi nhiều nhà toán học
trên thế giới: G.Pólya, R. Nevanlinna, F.Gross .... Với mỗi a ∈ C ∪ {∞},
ta kí hiệu

E(a, f ) = {z ∈ C|f (z) = a} và E(a, f ) = {z ∈ C|f (z) = a kể cả bội }.
Với một tập S ⊂ C ∪ {∞}, kí hiệu

E(S, f ) =

E(a, f );
a∈S

E(a, f ).

E(S, f ) =
a∈S

duy nhất hàm phân hình qua đa thức chứa đạo hàm bậc nhất. Luận văn
gồm hai chương:
Chương 1: Một số kiến thức cơ bản, trình bày những kiến thức cơ
sở, cần thiết cho việc chứng minh những kết quả trong chương 2 như: lý
thuyết phân bố giá trị Nevanlinna, hàm phân hình chung nhau một giá
trị.
Chương 2: Vấn đề duy nhất hàm phân hình qua đa thức chứa đạo
hàm, trình bày một số điều kiện đại số để hai hàm phân hình là trùng
nhau khi hai đa thức chứa đạo hàm bậc nhất của chúng chung nhau một
giá trị.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2015
Tác Giả
Đào Việt Hùng


3

Chương 1

Một số kiến thức cơ bản
1.1.

Các kiến thức cơ bản trong lý thuyết Nevanlinna

1.1.1.

Các hàm Nevanlinna và tính chất

Với mỗi số thực x > 0, kí hiệu:



0

log+

1
dϕ.
f (reiϕ )

0

Định nghĩa 1.1. Hàm
2π

1
m(r, f ) =
2π

log+ f (reiϕ ) dϕ
0

được gọi là hàm xấp xỉ của hàm f .
Bây giờ ta định nghĩa các hàm đếm. Cho f là hàm phân hình và r > 0.
Kí hiệu n(r, 1/f ) là số không điểm kể cả bội, n(r, 1/f ) là số không điểm


4

không kể bội của f , n(r, f ) là số cực điểm kể cả bội, n(r, f ) là số cực
điểm không kể bội của f trong Dr = {z ∈ C : |z|


t→0

Định nghĩa 1.3. Hàm

T (r, f ) = m(r, f ) + N (r, f )
gọi là hàm đặc trưng của hàm f .
Các hàm đặc trưng T (r, f ), hàm xấp xỉ m(r, f ) và hàm đếm N (r, f )
là ba hàm cơ bản trong lý thuyết phân bố giá trị, nó còn gọi là các hàm
Nevanlinna.
Định lý sau là một số tính chất cơ bản của hàm xấp xỉ, hàm đếm, hàm
đặc trưng.
Định lý 1.1. Cho các hàm phân hình f1 , f2 , · · · , fp , khi đó:
p

(1)

p

fν ) ≤

m(r,
ν=1
p

(2)

ν=1
p



N (r,
ν=1
p

(5)

ν=1
p

fν ) ≤

T (r,
ν=1
p

(6)

N (r, fν );
T (r, fν ) + log p;
ν=1
p

fν ) ≤

T (r,
ν=1

T (r, fν ).
ν=1

Kí hiệu nk) (r, 1/(f − a)) là số các không điểm kể cả bội, nk) (r, 1/(f − a))
là số các không điểm phân biệt của f − a trong Dr với bội không vượt
quá k ; n(k (r, 1/(f − a)) là số các không điểm kể cả bội, n(k (r, 1/(f − a))
là số các không điểm phân biệt của f − a trong Dr với bội ít nhất bằng


6

k . Đặt

Nk) (r,

r

nk) (t,

r

nk) (t,

r

n(k (t,

r

n(k (t,

1
)=

) log r,
t
f −a

0

1
)=
f −a

N(k (r,

1
1
) − n(k (0,
)
1
f −a
f −a
+ n(k (0,
) log r,
t
f −a

0

N (k (r,

1
)=

f −a
f −a
f −a
f −a

n(k (0,

1
1
1
1
) = lim n(k (t,
), n(k (0,
) = lim n(k (t,
).
t→0
t→0
f −a
f −a
f −a
f −a

Dễ thấy

Nk r,

1
f −a

= N r,

.
h

Kí hiệu nE (r, a; f, g), (nE (r, a; f, g)) là số các không điểm kể cả bội
(không kể bội) tại các không điểm chung cùng bội của f − a và g − a và

n0 (r, a; f, g), (n0 (r, a; f, g)) số các không điểm kể cả bội (không kể bội)


7

tại tất cả các không điểm chung của f − a và g − a. Đặt
r

NE (r, a; f, g) =

nE (t, a; f, g) − nE (0, a; f, g)
+ nE (0, a; f, g) log r,
t

0
r

N E (r, a; f, g) =
0
r

nE (t, a; f, g) − nE (0, a; f, g)
+ nE (0, a; f, g) log r,
t

và g − a, N0 (r, a; f, g); (N 0 (r, a; f, g)) là hàm đếm kể cả bội (hàm đếm
không kể bội) tại tất cả các không điểm chung của f − a và g − a.
1.1.2.

Các định lý cơ bản

Định lý sau đây là một cách viết lại của công thức Jensen, được gọi là
Định lý cơ bản thứ nhất.
Định lý 1.2 (Định lý cơ bản thứ nhất). Cho f ≡ 0 là một hàm phân


8

hình trên C. Khi đó, với mỗi r > 0, ta có:

1
f

+ N r,

1
f

+ log |cf |

(1)

T (r, f ) = m r,

(2)

1
f

+ 2N (r, f ) − N (r, f )

và gọi là hàm giá trị phân nhánh của hàm f . Hiển nhiên Nram (r, f ) ≥ 0
Định lý 1.3 (Định lý cơ bản thứ hai). Giả sử f là hàm phân hình khác
hằng trên C, a1 , · · · , aq ∈ C, (q > 2) là các hằng số phân biệt, khi đó với
mỗi ε > 0, bất đẳng thức
q

(q − 1)T (r, f ) ≤

N r,
j=1

1
f − aj

+ N (r, f ) − Nram (r, f ) + log T (r, f )

+ (1 + ε) log+ log T (r, f ) + O(1)
q

≤

N r,
j=1

1

T (r, f )
r→∞
1
)
Nk (r,
f −a
k
;
δf (a) = 1 − lim sup
T (r, f )
r→∞
m(r,

1
)
f −a
;
Θf (a) = 1 − lim sup
T (r, f )
r→∞
1
1
N (r,
) − N (r,
)
f −a
f −a
θf (a) = lim inf
.
r→∞

Định lý sau cho ta một tính chất của số khuyết, thường được gọi là bổ
đề quan hệ số khuyết.


10

Định lý 1.4. Cho f là hàm phân hình khác hằng trên C. Khi đó tập hợp
các giá trị của a mà Θf (a) > 0 cùng lắm là đếm được, đồng thời ta có

δf (a) + θf (a)
a∈C

Θf (a)

2.

a∈C

1.2.

Một số tính chất của hàm chung nhau hàm nhỏ

1.2.1.

Khái niệm mở đầu

Cho f là một hàm phân hình, a là một hàm nhỏ của f . Kí hiệu E(a, f )
là tập các không điểm kể cả bội của f − a, E(a, f ) là tập các không điểm
phân biệt của f − a.
Định nghĩa 1.5. Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng, nếu


− 2N 0 (r, a; f, g) = S(r, f ) + S(r, g),

thì ta nói f và g chung nhau hàm nhỏ (giá trị) a “IM”.
Ta dễ dàng chứng minh được nếu f và g chung nhau hàm nhỏ (giá trị)

a CM thì chúng chung nhau hàm nhỏ (giá trị) a “CM”, chung nhau hàm
nhỏ (giá trị) a IM thì chung nhau hàm nhỏ (giá trị) a “IM”. Do đó có thể
nói điều kiện “CM” (“IM”) lỏng hơn điều kiện CM (tương ứng IM).
1 CM

là viết tắt của counting multiplicities nghĩa là kể cả bội, IM là viết tắt của ignoring multiplicities nghĩa là

không kể bội.


11

Cho a là một hàm nhỏ hoặc a ∈ C ∪ {∞}, ta kí hiệu Ek (a, f ) là tập
tất cả các không điểm của f − a với một không điểm bội m được tính m
lần nếu m ≤ k và k + 1 lần nếu m > k . Năm 2001, I. Lahiri ([7]) đưa ra
khái niệm
Định nghĩa 1.7. Nếu Ek (a, f ) = Ek (a, g) thì ta nói f và g chung nhau
giá trị a với trọng số k .
Từ định nghĩa ta có nếu f và g chung nhau giá trị a với trọng số k thì

z0 là không điểm của f − a với bội m(≤ k) nếu và chỉ nếu nó là không
điểm của g − a với bội m(≤ k) và z0 là không điểm của f − a với bội

m(> k) nếu và chỉ nếu nó là không điểm của g − a với bội n(> k), với

E

N k) r,

− N k) (r, a; f, g) = S(r, f ),

N k)

− N k) (r, a; f, g) = S(r, g),

N (k+1
N (k+1

E

O

− N (k+1 (r, a; f, g) = S(r, f ),
O

− N (k+1 (r, a; f, g) = S(r, g),


12

hoặc nếu k = 0 và

N r,

1

hiệu Np (r, a; f ) là hàm đếm các a−điểm của f với mỗi a−điểm bội m
được tính m lần nếu m ≤ p và p lần nếu m > p. Như vậy

Np (r, a; f ) = N (r, a; f ) + N (r, a; f | ≥ 2) + · · · + N (r, a; f | ≥ p).
Định nghĩa 1.12. Cho m là một số nguyên dương và Em) (a; f ) =

Em) (a; g) với mỗi a ∈ C. Cho z0 là một không điểm của f − a với bội p và
là một không điểm của g − a với bội q . Ta kí hiệu N L (r, a; f ) là hàm đếm


13
(m+1

các a- điểm của f và g với p > q ≥ m + 1, N E

(r, a; f ) là hàm đếm rút

gọn các a- điểm của f và g với p = q ≥ m + 1, và N f >m+1 (r, 1; g) là hàm
đếm rút gọn của f và g với p ≥ m + 2 và q = m + 1. Ta cũng kí hiệu

N f ≥m+1 (r, a; f |g = a) là hàm đếm các a−điểm của f và g với p ≥ m + 1
(m+1

và q = 0. Tương tự, ta cũng có thể định nghĩa N L (r, a; g), N E

(r, a; g)

và N g≥m+1 (r, a; g|g = a).
Định nghĩa 1.13. Cho a, b ∈ C ∪ {∞}. Ta kí hiệu N (r, a; f |g =


Bởi vậy

T (r, F ) ≥ (n + 1)T (r, f ) + S(r, f ).
Theo Định lý cơ bản thứ hai, ta có
1
1
T (r, F ) ≤ N (r, F ) + N r,
+ N r,
+ S(r, f )
F
F −1
1
1
1
≤ N (r, f ) + N r,
+ N r, 3
+ N r,
f
f −1
f
1
+ N r,
+ S(r, f )
G−1

≤ 7T (r, f ) + T (r, G) + S(r, f ).
Chú ý rằng

T (r, G) ≤ T (r, g n (g 3 − 1)) + T (r, g ) ≤ (n + 5)T (r, g) + S(r, g).
Suy ra


N r,

1
f (k)

≤ N r,

1
f

+ kN (r, f ) + S(r, f ).

Bổ đề 1.9 ([8]). Nếu f và g là hai hàm phân hình khác hằng thì

f n (f 3 − 1)f g n (g 3 − 1)g ≡ 1
với n là một số nguyên dương.
Bổ đề 1.10 ([9]). Kí hiệu

F ∗ = f n+1

1
f3
−
,
n+4 n+1

G∗ = g n+1

g3

không có nghiệm đơn với k = 1, 2, · · · , n + 1. Như vậy

Θ(uk ; h) ≥ 1/2 với k = 1, 2, · · · , n + 1(≥ 5),


16

điều này không thể xảy ra. Vì vậy h là hằng hằng số. Nếu h = 1 thì dẫn
đến vô lý. Vậy h = 1 và f ≡ g . Bổ đề được chứng minh.
Với hai hàm phân hình F và G, ta sẽ xây dựng hàm H như sau:

H=

F
2F
−
F
F −1

−

G
2G
−
G
G−1

Bổ đề 1.11 ([1]). Cho F, G là các hàm phân hình và H xác định như
trên. Nếu F và G chung nhau (1, 1) và H ≡ 0 thì


+ N (r, F ) + S(r, F ) + S(r, G).
+ N r,
2
F
2
Bổ đề 1.12 ([14]). Cho H được định nghĩa như trên. Nếu F và G chung
nhau (1, 0) và H ≡ 0 thì
1)

NE

r,

1
F −1

≤ N (r, H) + S(r, F ) + S(r, G).

Bổ đề 1.13 ([14]). Cho F và G là hai hàm phân hình khác hằng sao cho

F và G chung nhau giá trị 1 IM. Nếu H ≡ 0 thì
T (r, F ) ≤N r,

1
F

+ N L r,

+ N (r, F ) + N r,
1

17

F và G chung nhau giá trị 1 IM. Thì ta có
1
1
N L r,
≤ N r,
+ N (r, F ) + S(r, F ),
F −1
F
1
1
N L r,
≤ N r,
+ N (r, F ) + S(r, G),
G−1
G
Bổ đề 1.15 ([2]). Cho H được định nghĩa như trên, nếu F và G chung
nhau “(1, 2)” và H ≡ 0 thì

T (r, F ) ≤N2 r,

1
F

+ N2 r,

∞

−

+ S(r, F ) + S(r, G).
Bổ đề 1.17 ([10]). Cho f là một hàm phân hình khác hằng và cho

an (z)(≡ 0), an−1 (z), · · · , a0 (z) là các hàm phân hình sao cho T (r, ai (z)) =
S(r, f ) với i = 0, 1, 2 · · · , n thì ta có:
n−1
T (r, an f n + an−1
+ · · · + a1 f + a0 ) = nT (r, f ) + S(r, f ).

Bổ đề 1.18 ([10]). Cho f là một hàm phân hình khác hằng, ta có:

N (r, 0; f (k) ) ≤ N (r, 0; f ) + kN (r, ∞; f ) + S(r, f ).
Bổ đề 1.19 ([10]). Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng. Nếu

f
2f
g
2g
−
≡
−
f
f −1
g
g−1
và

N (r, 0; f ) + N (r, 0; g) + N (r, ∞; f ) + N (r, ∞; g)

không điểm của f (f − 1), mỗi điểm được đếm số lần bằng bội của nó.
Bổ đề 1.22 ([10]). Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng, nếu

E1) (1; f ) = E1) (1; g) thì
(2

2N L (r, 1; f ) + 2N L (r, 1; g) + N E (r, 1; f ) + N g≥2 (r, 1; g|f = 1)
− N f >2 (r, 1; g) ≤ N (r, 1; g) − N (r, 1; g).
Bổ đề 1.23 ([10]). Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng, nếu

E1) (1; f ) = E1) (1; g) thì
N f ≥2 (r, 1; f |g = 1) ≤ N (r, 0; f ) + N (r, ∞; f ) + N 0 (r, 1; f ) + S(r, f ).
Bổ đề 1.24 ([10]). Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng, nếu

E1) (1; f ) = E1) (1; g) thì
N f >2 (r, 1; g)+N f ≥2 (r, 1; f |g = 1)
≤ N (r, 0; f ) + N (r, ∞; f ) − N0 (r, 0; f ) + S(r, f ).
Bổ đề 1.25 ([10]). Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng và

α(≡ 0, ∞) là một hàm nhỏ của f và g . Cho n và m là hai số nguyên
dương sao cho n > 3m + 1 thì

f n P (f )f g n P (g)g ≡ α2 ,


19

trong đó

P (z) = am z m + am−1 z m−1 + · · · + a1 z + a0


và từ (1.2) suy ra

1
(n + m + 1)(n − 1)
n+m−1
+2 =
.
n+1
m
m

Cho z1 (α(z1 ) = 0, ∞) là một không điểm của P (f ) bậc p và là không
điểm của f −bi bậc qi với i = 1, 2, · · · , s. Do đó p = li qi với i = 1, 2, · · · , s.
Vì vậy z1 là một cực điểm của g với bội q . Vậy từ (1.1) ta có:

qi li + qi − 1 = (n + m + 1)q + 1 ≥ n + m + 2
nghĩa là, qi ≥

n+m+3
li +1

với i = 1, 2, · · · , s. Vì một cực điểm của f (mà

không là cực điểm của α) hoặc là không điểm của g n P (g) hoặc là không
điểm của g , ta có:

N (r, ∞; f ) ≤N (r, 0; g) +

sN (r, bi ; g) + N 0 (r, 1; g ) + S(r, f ) + S(r, g)


≤

+ N 0 (r, 1; g ) − N 0 (r, 0; f ) + S(r, f ) + S(r, g).

(1.3)

Tương tự

sT (r, g) ≤

m
m+s
+
{T (r, f ) + T (t, g)}
n+m−1 n+m+3
+ N 0 (r, 1; f ) − N 0 (r, 0; g ) + S(r, f ) + S(r, g).

(1.4)

Cộng (1.3) và (1.4) ta có:

s−

2m
2(m + s)
−
{T (r, f ) + T (t, g)} ≤ S(r, f ) + S(r, g),
n+m−1 n+m+3


n+1

và

trong đó a0 (= 0), a1 , · · · , am−1 , am (= 0) là các hằng số phức. Hơn nữa
cho F0 =

F
α

và F0 =

F
α

với α(= 0, ∞) là một hàm nhỏ của f và g . Thì