ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
LƯU ĐÌNH TRUNG
VẤN ĐỀ DUY NHẤT ĐỐI VỚI ĐƠN THỨC SAI
PHÂN CỦA HÀM PHÂN HÌNH P-ADIC
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - Năm 2013
1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
LƯU ĐÌNH TRUNG
VẤN ĐỀ DUY NHẤT ĐỐI VỚI ĐƠN THỨC SAI
PHÂN CỦA HÀM PHÂN HÌNH P-ADIC
Chuyên ngành: GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học
TS. VŨ HOÀI AN
Thái Nguyên - Năm 2013
2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ii
LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại Khoa Sau Đại học, Đại học Sư phạm - Đại
học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Vũ Hoài An. Nhân dịp
này, tôi xin cảm ơn Tiến sĩ Vũ Hoài An, người đã hướng dẫn giúp đỡ tôi
trong suốt quá trình thực hiện luận văn. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến
các nhà toán học của Khoa Toán, Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên
và Viện Toán học Việt Nam.
Tuy có nhiều cố gắng, song thời gian và năng lực của bản thân có hạn nên
luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong và xin được cảm ơn ý
kiến đóng góp của các nhà khoa học và bạn đọc.

• C
p
: Trường số phức p-adic
• f : Hàm phân hình p-adic
• N
f
(a, r): Hàm đếm của f tại a
• m
f
(∞, r) : Hàm xấp xỉ của f
• T
f
(r): Hàm đặc trưng của f
• E
f
(S): Ảnh ngược tính cả bội của tập S đối với f
5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
MỞ ĐẦU
Lý thuyết phân bố giá trị do Nevanlinna xây dựng được xem là thành
tựu toán học đẹp đẽ nhất của toán học thế kỷ XX, mà ngày nay được gọi
là Lý thuyết Nevanlinna. Nội dung chính của Lý thuyết phân bố giá trị là
hai Định lý cơ bản. Định lý cơ bản thứ nhất là mở rộng Định lý cơ bản
của đại số, mô tả sự phân bố đều giá trị của hàm phân hình khác hằng
trên mặt phẳng phức C. Định lý cơ bản thứ hai là mở rộng Định lý Picard,
mô tả ảnh hưởng của đạo hàm đến sự phân bố giá trị của hàm phân hình.
Hà Huy Khoái là người đầu tiên xây dựng tương tự Lý thuyết phân bố
giá trị cho trường hợp p-adic. Ông và các học trò đã tương tự lý thuyết
Nevanlinna cho trường số phức p-adic mà ngày nay thường gọi là lý thuyết
Nevanlinna p-adic. Họ đã đưa ra hai Định lý chính cho hàm phân hình

f
(S
i
) = E
g
(S
i
),
i = 1, 2, ta có f ≡ g ?
Các công trình sâu sắc của F.Gross và C.C.Yang, H.X.Yi, P.Li, E. Mues-
M.Reinders , H.Fujimoto, M.Shirosaki, M.Ru, P.C.Hu-C.C.Yang, Hà Huy
Khoái, A. Escassut, Vũ Hoài An, Tạ Thị Hoài An, T.T.H.An- J.T Y.Wang-
P M.Wong . . góp phần trả lời câu hỏi của F.Gross.
Phân bố giá trị và vấn đề xác định duy nhất đã được nhiều nhà toán học
trong và ngoài nước xét trong mối liên hệ với đạo hàm của hàm phân hình
và ảnh ngược của các điểm riêng rẽ. Người khởi xướng hướng nghiên cứu
này là Hayman. Năm 1967, Hayman đã chứng minh kết quả sau đây:
Định lí A.[4] Cho f là hàm phân hình trên C. Nếu f (z) = 0 và f
(k)
(z)
= 1 với k là một số nguyên dương nào đó và với mọi z ∈ C, thì f là hằng.
Năm 1967, Hayman cũng đưa ra giả thuyết sau đây:
Giả thuyết Hayman.[4] Nếu một hàm nguyên f thỏa mãn f
n
(z) f

(z)
= 1 với n là một số nguyên dương nào đó và với mọi z ∈ C, thì f là hằng.
Giả thuyết Hayman đã được Hayman kiểm tra đối với hàm nguyên siêu
việt và n > 1, đã được Clunie kiểm tra đối với n ≥ 1. Các kết quả này và

, ở đó c, c
1
,
c
2
là các hằng số và thỏa mãn (c
1
c
2
)
n+1
c
2
= −a
2
.
Từ đó, hướng nghiên cứu trên phát triển mạnh mẽ với những kết quả sâu
7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3
sắc của I. Lahiri, Q. Han – H. X. Yi, W. Bergweiler, J. K. Langley, K. Liu,
L. Z. Yang, L. C. Hong, M. L. Fang, B. Q. Li, P. C. Hu - C.C.Yang, A.
Eremenko, G. Frank - X. Hua – R. Vaillancourt . . . . Công cụ sử dụng ở
đó là một số kiểu Định lí chính thứ hai cho đa thức vi phân cùng với với
các ước lượng giữa hàm đặc trưng, hàm đếm của hàm và đạo hàm.
Trong trường hợp p-adic, kết quả đầu tiên theo hướng nghiên cứu này
thuộc về J. Ojeda. Năm 2008, J. Ojeda đã xét vấn đề nhận giá trị của
f

+ T f
n

- {0} thỏa mãn điều kiện f
n
(z) (f
(k)
)
m
(z) = a với mọi z ∈ C
p
.
Khi đó f là đa thức bậc < k nếu một trong các điều kiện sau xảy ra:
i. f là một hàm nguyên.
ii. k > 0 và hoặc m = 1, n >
1+
√
1+4k
2
hoặc m > 1, n ≥ 1.
Năm 2012, Hà Huy Khoái - Vũ Hoài An - Nguyễn Xuân Lai [7] đã xét vấn
đề duy nhất khi (f
n
)
(k)
, (g
n
)
(k)
cùng nhận một giá trị.
Gần đây,K. Boussaf-A.Ecassut-J.Ojeda đã bắt đầu nghiên cứu các hàm
phân hình trên C
p


c
f=f (z + c)-f (z), 


1
c
f=


c
f, ,


n+1
c
f=


n
c
(f (z + c) − f (z)),
n = 1, 2, , ở đó c ∈ C
p
là một hằng số khác 0.
Đa thức sai phân của f được xác định như sau:
A (z, f) =

λ∈I
a

k
∈ C
p
, a = 0, c = 0, k ∈ N
∗
.
Năm 2012, Hà Huy Khoái và Vũ Hoài An đã tương tự Định lý E, Định
lý B cho Toán tử sai phân,đa thức sai phân của hàm phân hình p − dic.
Họ đã nhận được kết quả sau:
Cho P là đa thức bậc n trên C
p
. Viết P = a
0
(z − a
1
)
m
1
(z − a
s
)
m
s
Định lý F.[5] (Tương tự Giả thuyết Hay man cho hàm phân hình p−adic
và Toán tử sai phân của nó)
Giả sử f là hàm phân hình trên C
p
, n, k
i
, s, q, i = 1, q, là các số nguyên,


k
1
(


q
c
f)
k
q
− a có không điểm,ở
đó a ∈ C
p
, a = 0.
Định lý G.[5] (Tương tự Giả thuyết của Hayman cho hàm phân hình
p − adic và đa thức sai phân của nó)
Giả sử f là hàm phân hình trên C
p
,n, q
i
, s, k, i = 1 k, là các số nguyên,s ≥
1, q
i
≥ 1, k ≥ 1, n ≥
k

i=1
q
i

n+h
= 1.
2. Nếu E
f
n
f(z+c) (f (z+kc))
q
k
(1) = E
g
n
g(z+c) (g(z+kc))
q
k
(1)
k ≥ 1, q
i
> 1, i = 1, , k, n ≥
k

i=1
q
i
+ 8k + 8 là các số nguyên thì f = hg
với h
n+q
1
+ +q
k
= 1 hoặc fg = l với l

m
c)(g(z+t
1
c))
q
1
(g(z+t
k
c))
q
k
(1).
với e
j
≥ 1, j = 1, , m, t
i
≥ 1, q
i
> 1, k ≥ 1, i = 1, k, n ≥ 5m +
k

i=1
q
i
+
8k + 8 là các số nguyên thì f = hg với h
n+m+q
1
+ +q
k

hình để dùng cho Chương 2.
1.1 Hàm đặc trưng của hàm phân hình p-adic
1.1.1 Không gian C
p
Với p là một số nguyên tố cố định, Ostrowski đã khẳng định: Chỉ có hai
cách trang bị chuẩn không tầm thường cho trường hữu tỉ Q. Mở rộng theo
chuẩn thông thường ta có trường số thực R, mở rộng theo chuẩn p-adic ta
11Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
7
có trường số Q
p
.
Kí hiệu C
p
=

Q
p
là bổ sung của bao đóng đại số của Q
p
. Ta gọi C
p
là
trường số phức p-adic.
Chuẩn trên C
p
được mở rộng tự nhiên của chuẩn p-adic trên Q
p
.
Kí hiệu:

n
| đạt giá trị lớn nhất.
Khi đó ta đặt: |f|
r
= max
n≥0
{|a
n
||z
n
|}.
Trong suốt luận văn ta quy ước log là log
p
.
1.1.2 Hàm đặc trưng
Giả sử f là một một hàm chỉnh hình khác hằng trên C
p
. Với mỗi a ∈
C
p
, viết f =

P
i
(z − a) với P
i
các đa thức bậc i. Định nghĩa v
f
(a) =
min {i : P

(a, x)
x
dx ở đó n
f
(a, x) là số nghiệm của phương trình f(z) = a tính
cả bội trên đĩa |z| ≤ x.
Nếu a = 0 thì đặt N
f
(r) = N
f
(0, r). Cho l là một số nguyên dương. Đặt
N
l,f
(a, r) =
1
ln p

r
ρ
0
n
l,f
(a, x)
x
dx, ở đó n
l,f
(a, x)=

|z|≤r
min {v


|z|≤r
v
≤k
f
(z), n
≤k
f
(a, r) = n
≤k
f−a
(r).
Định nghĩa
12Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8
N
≤k
f
(a, r) =
1
ln p

r
ρ
0
n
≤k
f
(a, x)
x


v
≤k
f−a
(z), l

.
Tương tự ta định nghĩa:
N
<k
f
(a, r), N
<k
l,f
(a, r), N
>k
f
(a, r), N
≥k
f
(a, r), N
≥k
l,f
(a, r), N
>k
l,f
(a, r).
Giả sử f là một hàm phân hình trên C
p
, khi đó tồn tại hai hàm f

f
2
(0, r)
n
f
1
−af
2
(0, r).
Định nghĩa hàm đếm N
f
(a, r) của f tại a bởi:
N
f
(a, r) =



N
f
(∞, r) = N
f
2
(0, r)
N
f
1
−af
2
(0, r).

n
z
n
, f
2
=
∞

n=m
2
b
n
z
n
, trong đó m
2
, m
1
∈ N và a
m
1
= 0,
b
m
2
= 0. Ta có
N
f
(0, r) = N
f

|a
m
1
|
|b
m
2
|
= log |f|
r
− log |f
∗
( 0)|,
Trong đó f
∗
(0) =
a
m
1
b
m
2
. ta có
f
∗
(0) = lim
z−→0
z
m
2

|
r
+ log |f
2
|
ρ
0
=log
|f
1
|
r
|f
2
|
r
−log
|f
1
|
r
0
|f
2
|
r
0
=log |f|
r
−log |f|

là hàm phân hình không đồng nhất 0 trên C
p
, i = 1, 2, , k. Khi
đó với mỗi r > 0, ta có
N
k

i=1
f
i
(∞, r) ≤
k

i=1
N
f
i
(∞, r) + O(1); N
k

i=1
f
i
(∞, r) ≤
k

i=1
N
f
i

=
f
i1
f
i2
, trong đó f
i1
, f
i2
∈ A(C
p
). Khi đó, viết
k

i=1
f
i
=
F
f
12
f
k2
;
k

i=1
f
i
=


i=1
f
i
(∞, r) ≤
k

i=1
n
f
i
(∞, r); n
k

i=1
f
i
(∞, r) ≤
k

i=1
n
f
i
(∞, r).
Điều này kéo theo
N
k

i=1

|
r
≤ log max
i∈{1, ,k}
|f
i
|
r
= max
i∈{1, ,k}
log |f
i
|
r
,
14Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10
nên m
k

i=1
f
i
(∞, r) ≤ max
i∈{1, ,k}
m
f
i
(∞, r) và log |
k

Tiếp theo ta định nghĩa hàm đặc trưng cho bởi công thức
T
f
= m
f
(∞, r) + N
f
(∞, r). Ta có T
f
(r) = max
1≤i≤2
log |f
i
|
r
+ O(1).
f được gọi là siêu việt nếu lim
r−→∞
T
f
(r)
log r
= ∞.
Mệnh đề 1.2. [1]
Giả sử f
i
là các hàm phân hình không đồng nhất 0 trên C
p
,i = 1, 2, , k.
Khi đó với mỗi ρ

f
(r) là một hàm tăng theo r.
Trong lý thuyết phân bố giá trị , công thức Poisong-Jensen sau đây là kết
quả quan trọng:
Giả sử
f(z) =
∞

n=0
a
n
z
n
là hàm chỉnh hình p-adic không đồng nhất không trên D
r
.
Đặt
T = −log r, n
f
(0, r) = n
−
f
(T )
c = −log ρ
Γ
f
(T ) = {t ∈ R : (n
−
f
(t) − n

−
f
(c)(c − T).
Chứng minh. Viết
f(z) =
∞

n=0
a
n
z
n
Để đơn giản ta đặt
 = n
f
(0, 0), a = log |a

|,
M =
1
ln p
r

0
n
f
(0, x) − 
x
dx +  log r,
M

=
1
ln p
r

ρ
n
f
(0, x) − 
x
dx,
M
4
=

c>t≥T
((n
−
f
(t) − n
+
f
(t))(t − T) + n
−
f
(c)(c − T),
M
5
=


(ρ) = M
3
= M
4
. (1.1)
Để chứng minh (1.1), trước tiên ta chứng minh
T
f
(r) − a = M = M
5
(1.2)
Trường hợp 1.  = 0
Khi đó
M =
1
ln p
r

0
n
f
(0, x)
x
dx, M
5
= M
6
.
Nếu Γ = ∅ thì T
f

f
(0, r), s
1
= n
f
(0, b
2
), c
1
= |a
s
|,
c
2
= log |f|
b
1
, c
3
= log |f|
b
2
, c
4
= |a
s
1
|,
M
7

f
(t
(i)
) = n
−
f
(t
(i+1)
), i = 1, , n − 1 và n
−
f
(t) − n
+
f
(t) = 0
với mọi t = t
(i)
, i = 1, , n nên
M
7
= M
6
+ s(T − t
(1)
), M
8
= M
7
+ s
1

1
r
s
− log c
1
b
s
1
,
T
f
(b
1
) = log c
1
b
s
1
.
Do b
1
< r và n = 1 nên
s = n
−
f
(t
(1)
), T
f
(r) = log c

(1)
− t) = T
f
(r) − a.
Vậy
M = M
6
= T
f
(r) − a.
Do đó (1.2) được chứng minh trong trường hợp này.
Với n ≥ 2 giả sử hệ thức (1.2) đúng với mọi v(1 ≤ v ≤ n − 1). Ta chứng
minh hệ thức (1.2) đúng với mọi n
Xét b
1
< r .Khi đó 0 < b
n
< b
n−1
< < b
1
< r và vì vậy
T < t
(1)
< < t
(n)
. Áp dụng giả thiết quy nạp ta có:
1
ln p
b

ln p
r

b
1
n
f
(0, x)
x
dx
= M
6
+ s(T − t
(1)
) +
1
ln p
r

b
1
n
f
(0, x)
x
dx. (1.3)
18Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14
Mặt khác
1

) (1.4)
Do các phần tử t với T ≤ t < t
(1)
không phụ thuộc Γ nên
T
f
(r) = log c
1
r
s
(1.5)
Từ (1.3), (1.4), (1.5) ta có
M = T
f
(r) − a = M
6
+ s(T − t
(1)
) + s(t
(1)
− T ) = M
6
Xét b
1
= r .Khi đó ta có 0 < b
n
< < b
2
< b
1

).
Vậy
M = c
3
−a+
1
ln p
b
1

b
2
n
f
(0, x)
x
dx = M
7
+s
1
(t
(1)
−t
(2)
)+
1
ln p
b
1


(log b
1
−log b
2
) = s
1
(t
(2)
−t
(1)
) = log c
4
b
s
1
1
−log c
4
b
s
1
2
,
c
3
= log c
4
b
s
1

1
(t
(2)
− t
(1)
) = M
7
.
19Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15
Vì T = t
(1)
nên M
7
= M
6
.
Do đó M = T
f
(r) − a = M
6
.
Trường hợp 2  = 0
Khi đó f = f
1
f
2
với f
1
= z

1
ln p
r

0
n
f
2
(0, x)
x
dx = T
f
2
(r) − a = M
6
.
Vậy
M = T
f
2
(r) − a +  log r = T
f
(r) − a = M
5
.
Chứng minh tương tự như trên ta nhận được
M
1
= T
f

3
= M − M
1
= T
f
(r) − T
f
(ρ) = M
5
− M
9
= M
4
.
Định lý 1.3 được chứng minh
Hệ quả 1.4. [3]
Giả sử f là hàm phân hình p-adic không đồng nhất không trên D
r
. Khi đó
T
f
(r) = N
f
(r) − N
1
f
(r) + O(1),
ở đó O(1) là đại lượng bị chặn khi r −→ +∞.
20Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16

f
(a, r) + N
f
(a, r) = T
f
(a, r) = T
f−a
(r) − log |f −a|
ρ
0
.
Ta lại có
T
f−a
(r) ≤ T
f
(r)+ log
+
|a|, T
f
(r) ≤ T
f−a
(r)+ log
+
|a|,
Từ đó ta có kết luận của định lý.
Mệnh đề sau là Bổ đề đạo hàm logarit.
Mệnh đề 1.6. [1]
Nếu f là hàm phân hình khác hằng trên C
p

f
|
r
= |f|
r
≤
1
r

,
Do đó |
f
(k)
f
|
r
= |
k

i=1
f
(i)
f
(i−1)
|
r
=
k

i=1

hg

− gh

h
2
.
h
g
|
r
= |
g

g
−
h

h
|
r
≤ max

|
g

g
|
r
, |

Ramf
(∞, r) = 2N
f
(∞, r) − N
f

(∞, r) + N
f

(0, r).
Tiếp theo ta giới thiệu Định lý chính thứ hai.
Định lý 1.7. (Định lý chính thứ hai) [1]
Nếu f là hàm phân hình khác hằng trên C
p
(0, ρ) và a
1
, , a
q
∈ C
p
là các
số phân biệt. Đặt δ = min
i=j
{1, |a
i
− a
j
|}, A = max {1, |a
i
|}. Khi đó với

trong đó S
f
=
q

j=1
log |f − a
j
|
ρ
0
− log |f

|
ρ
0
+ (q − 1) log
A
δ
.
Chứng minh
Trong chứng minh khi viết | | ta hiểu là | |
p
Lấy r

∈ |C
p
|sao cho
ρ
0

(i = 1, 2, , q).
Khi đó |f
k
(z)| ≤ Amax {|F
2
(z)|, |F
i
(z)|} , (k = 0, 1). (1)
Ta luôn sử dụng
W = W (f
0
, f
1
) =





f

0
f

1
f
0
f
1


Khi đó tồn tại một chỉ số j ∈ {1, 2, , q} sao cho
|F
j
(z)| = min
1≤j≤q
|F
i
(z)|.
Chú ý rằng |f
0
(z)| =
|F
i
(z) − F
j
(z)|
|a
j
− a
i
|
≤
1
δ
|F
i
(z)|(i = j).
Như vậy chúng ta có thể lấy các chỉ số phân biệt β
1
, , β

l
(z)|,
với mỗi k = 0, 1; l = 1, 2, q − 1. Như vậy ta thu được
|

f(z)| = max
k
|f
k
(z)| ≤
A
δ
|F
β
l
(z)
|, l = 0, , q − 1, trong đó

f(z) = (f
0
, f
1
) : C
p
−→ C
2
p
là một biểu diễn của f. Vì W = W
j
, ta thu

j
F
j
−
F

0
F
0
|.
Khi đó log |F
β
l
(z) F
β
q−l
| ≤ log
|F
0
(z) F
q
(z)|
|W (z)|
+ log D
j
(z).
Bởi vậy ta có
(q − 1) log | f(z)| ≤ log
|F
0


≤
1
r
,
Như vậy log D
j
(z) ≤ −log r. Hơn nữa ta có
log |F
0
(z)|
r
= log |f
2
|
r
= N
2
(0, r) + log |f
2
|
ρ
0
= N
f
(∞, r) + log |f
2
|
ρ
0

|
ρ
0
.
log |f

i
| = log |F
i
|
r
= log |f
1
−a
i
f
2
|
r
= N
f
(a
i
, r) + log |f −a
i
|
r
+ log |f
2
|

(1).
23Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
19
Chú ý rằng W = f
0
f

1
− f
1
f

0
= f
2
0
f

.
Ta có
n
W
(0, r) = 2n
f
(∞, r) − n
f

(∞, r) + n
f


Từ đó suy ra bất đẳng thức trong Định lí.
Chú ý
Ta viết
n(r,
1
f

; a
1
, a
q
) = n
f

(0, r) +
q

j=1
n
f
(a
i
, r) −
q

j=1
n
f
(a
i


; a
1
, a
q
) ≤ n
f

(0, r).
và Định lý 1.6 được viết lại như sau
(q −1)T
f
(r) ≤ N
f
(∞, r) +
q

j=1
N
f
(a
i
, r) −N(r,
1
f

; a
1
, a
q

f
(a, r)
T
f
(r)
.
Θ
f
(a) = 1 − lim
r−→∞
sup
N
f
(a, r)
T
f
(r)
.
Dễ thấy
0 ≤ δ
f
(a) ≤ Θ
f
(a) ≤ 1.
Nếu a = ∞ ta kí hiệu
δ
f
(∞) = lim
r−→∞
inf

p
. Khi đó

a∈C
p

{∞}
δ
f
(a) ≤

a∈C
p

{∞}
Θ
f
(a) ≤ 2.
Có thể thấy, quan hệ này chưa phải tốt nhất và bây giờ ta xem xét cẩn
thận hơn.
Giả sử f là một hàm nguyên trên C
p
. Khi đó
N
f
(r) = log |f|
r
− log |f|
ρ
0