1
Lời mở đầu
Năm 1926, Nevanlinna đã chứng minh: hàm phân hình trên C xác định một
cách duy nhất bởi ảnh ngợc, không tính bội của năm giá trị phân biệt. Định
lý năm điểm của Nevanlinna suy ra hai hàm nguyên khác hằng chung nhau bốn
giá trị hữu hạn phải trùng nhau (ta nói rằng hai hàm
f và g chung nhau giá trị a
nếu f
1
(a)=g
1
(a)). Kết quả này không thể tốt hơn, vì hai hàm e
z
và e
z
chung
nhau tại
0, 1, 1. Lý thuyết về tập xác định duy nhất của các hàm phân hình đợc
Gross nêu ra một cách tự nhiên: Liệu chỉ xét nghịch ảnh của một tập con
S mà
không phải là nghịch ảnh của từng phần tử, chúng ta có nhận đợc các kết quả
tơng tự định lý năm điểm Nevanlinna không? Tức là có tồn tại hay không tập
S
để với bất kỳ các hàm phân hình f,g thoả mãn f
1
(S)=g
1
(S) kéo theo f = g?
Ký hiệu W là trờng số phức C hoặc trờng K đóng đại số, đặc số 0, đầy đủ
với chuẩn không Acsimet,
A(W) là vành các hàm chỉnh hình trên W, M(W) là
(S) (tơng ứng, E
f
(S)=E
g
(S)). Tập S gọi là tập xác
định duy nhất
(tơng ứng, tập xác định duy nhất không tính bội)chohọcác
hàm
F, kí hiệu là URS (tơng ứng, URSIM), nếu với mọi hàm f,g F thoả mãn
E
f
(S)=E
g
(S) (tơng ứng, E
f
(S)=E
g
(S)) thì f = g.
Khái niệm sau đây đợc đa ra bởi Gross - Yang.
Họ
S =(S
1
,S
2
, ,S
n
) các tập không rỗng S
1
,S
2
f
(S
n
)), E
f
(S)=(E
f
(S
1
), E
f
(S
2
), E
f
(S
n
)). 1-URS
(tơng ứng,
1-URSIM) là URS (tơng ứng, URSIM), 2-URS (2-URSIM) gọi là
bi-URS (bi-URSIM).
Với mỗi họ
S =(S
1
,S
2
, ,S
n
), định nghĩa số các phần tử của S là #S =
#S
M(C). Năm 2002, Wang đarađặctrng của
bi-URS cho
M(L) với L là trờngđóngđạisốcóđặcsốp 0.
Theo hớng thứ nhất, trên C, định lý năm điểm của Nevanlinna tơng ứng với
n =5. Trờng hợp n =1, kết quả tốt nhất cho đến nay là chỉ ra URS cho M(C)
có 11 phần tử. Trên K, Hu - Yang đã chỉ ra tồn tại URS cho M(K) có 10 phần
tử, và đó cũng là tập có số phần tử ít nhất đã tìm đợc. Trờng hợp
n =2, năm
1996, Li -Yang đã chứng minh, trên
C tồn tại bi-URS cho h àm phân hình có dạng
(S, {}) với #S 15. Trên trờng K, năm 1971, Adams và Straus đã chỉ ra: với
mọi
a = b, cặp ({a}, {b}) là bi-URS cho hàm nguyên. Năm 1998, Boutabba và
Escassut đã chỉ ra: với mọi
n 5 và K {}, tồn tại bi-URS cho M(K) có
dạng
({z
1
,z
2
, ,z
n
}, {}). Cũng tại đây, các tác giả đã chứng minh không tồn
tại bi-URS cho
M(K) có dạng ({z
1
,z
2
,z
3
W.
Vấn đề 2. Các tập song xác định duy nhất (bi-URS) cho M(K) kiểu (2,m).
Luận án đợc chia thành ba chơng cùng với phần mở đầu, kết luận, danh
mục các công trình đã công bố và 57 tài liệu tham khảo.
Chơng 1 dành cho việc trình bày các kiến thức cơ sở sẽ dùng trong luận án.
Chơng 2 dành giới thiệu những kết quả nghiên cứu phơng trình tổng quát
P (f)=Q(g) trong M(K) và M(C). Nội dung chính của chơng là phát biểu và
chứng minh các điều kiện đủ để phơng trình
P (f)=Q(g) không có nghiệm khác
hằng trong M(K) và M(C), điều kiện cần và đủ để phơng trình P (f)=P (g)
không có nghiệm khác hằng phân biệt trong M(K). Ngoài ra, ở một số trờng
hợp đặc biệt, chúng tôi cố gắng chỉ ra một họ nghiệm phân hình khác hằng của
các phơng trình này.
Chơng 3 nghiên cứu về bi-URS cho các hàm phân hình trên trờng không
Acsimet. Kết quả chính của chơng này là đa ra một lớp bi-URS tổng quát cho
M(K) kiểu (2,m) với mọi m 3 và khẳng định m =3là bé nhất có thể.
Kết quả nghiên cứu của luận án đã đóng góp cụ thể trong đề tài Lý thuyết
Nevanlinna p-adic và ứng dụng, chơng trình nghiên cứu cơ bản cấp nhà nớc,
chủ nhiệm đề tài GS. TSKH. Hà Huy Khoái, Viện Toán học, Hà nội.
4
Chơng 1
Cáckiếnthứccơsở.
Nội dung chơngnàytrìnhbàycáckháiniệmcơsởcơbảnnhấtliênquanđến
toàn bộ luận án.
1.1 Trờng không Acsimet.
Chuẩn không Acsimet.
Định nghĩa 1.1.1. Một chuẩn không Acsimet trên trờng K là ánh xạ
| . |: K R
+
=[0, )
Q, đặt
v
p
(x)=
v
p
(a) v
p
(b) nếu x =0
+ nếu x =0.
Khi đó, ta có chuẩn p-adic tơng ứng, ký hiệu ||
p
, trên Q, xác định bởi:
| x |
p
=
p
v
p
(x)
nếu x =0
0 nếu x =0.
Chỉ có hai hớng mở rộng trờng các số hữu tỷ Q : Mở rộng theo chuẩn giá trị
tuyệt đối thông thờng ta đợc trờng số thực
R, mở rộng theo chuẩn p-adic ta
đợc trờng các số p-adic, kí hiệu là
Q
p
p
, hội tụ trên
đĩa
D(0,r) gọi là hàm chỉnh hình p-adic trên đĩa ấy. Hàm chỉnh hình trên toàn
C
p
đợc gọi là hàm nguyên p-adic.
Giả sử
f và g là các hàm chỉnh hình p-adic không có không điểm chung trên
một đĩa. Khi đó hàm
=
f
g
đợc gọi là hàm phân hình p-adic trên đĩa đó. Nếu
f,g là các hàm nguyên p-adic thì là hàm phân hình trên C
p
, còn gọi là hàm
phân hình p-adic
.
Không gian hyperbolic.
Định nghĩa 1.2.2. Giả sử D là đĩa đơn vị trong C, khoảng cách hyperbolic giữa
hai điểm
a, b D xác định bởi
d
hyp
(a, b):=
1
2
log
1+
m
(b
m
)=
y, f
i
(b
i
)=f
i+1
(a
i+1
),i=1, 2, ,m1. Khi đó, ta nói rằng x và y đợc nối với nhau
6
bởi chuỗi các đĩa Kobayashi.Đặtd
kob,X
(x, y)=d
X
(x, y):=inf
m
i=1
d
hyp
(a
i
,b
i
),
trong đó, cực tiểu lấy với mọi cách chọn f
ngợc lại. Bởi vậy, để chứng minh đờng cong xạ ảnh trên
C là hyperbolic, ngời
ta thờngsửdụngmệnhđềsauđây:
Mệnh đề 1.2.6. Mọi diện Riemann compact có giống g 2 là đa tạp hyperbolic
Kobayashi và do đó cũng là đa tạp hyperbolic Brody.
Nếu W là trờng không Acsimet, chúng ta có định lý:
Định lý 1.2.7. (Picard - Berkovich). Giả sử X P
2
(K) là đờng cong đại số trơn
xác định trên trờng
K, đầy đủ với chuẩn không Acsimet không tầm thờng, có
giống
g
X
1. Khi đó, mọi ánh xạ chỉnh hình từ đờng thẳng affine A
1
(K) lên X
đều là ánh xạ hằng.
Nếu đờng cong X trên K có giống g
X
1 thì X cũng đợc gọi là hyperbolic
trên K.
Nhận xét 1.2.8. Nếu F (x, y) là đa thức trên W sao cho đờng cong đại số
C = {(x, y) A
2
(W) | F(x, y)=0}
có giống g
C
2 (trờng hợp phức) và g
C
,
W
3
= W (X, Z)=
XZ
dX dZ
.
Các 1-dạng
i
=
R(X, Y , Z)
S(X, Y, Z)
W
i
,i=1, 2, 3, gọi là các 1-dạng hữu tỷ trên P
2
(W).
1-dạng
i
gọi là xác định tốt nếu deg R +2=deg S.
X (và cũng là trên
C).
Nếu W là C, chúng ta có kết quả sau:
Định lý 1.3.6. Giả sử C là đờng cong đại số bất khả quy bậc n trên A
2
(C) xác
định bởi phơng trình affine
F (x, y)=0sao cho
F
y
0,Xlà diện Riemann thu
đợc từ phép giải kỳ dị của
C. Khi đó các 1-dạng vi phân chính quy trên X (và
cũng là trên
C) chỉ là các dạng vi phân có dạng
(x, y)dx
F
y
(x, y)
trong đó, (x, y)=0là phơng trình đờng cong bậc n 3 liên hợp với C. Nh
vậy, không gian các 1-dạng vi phân trên
X có số chiều là g, với g là giống của
X.
8
Chơng 2
Phơng trình hàm P(f)=Q(g) trên K
và C.
2.1 Những vấn đề chung
Giả sử P(z),Q(z) là các đa thức không tuyến tính trên W. Sử dụng các công
m
y
m
+ + b
1
y + b
0
,b
m
=0. (1.1)
9
Khi đó,
P
(x)=na
n
(x
1
)
n
1
ããã(x
k
)
n
k
,Q
(y)=mb
m
P
(x)
x=
X
Z
,Q
(Y,Z ):=Z
m1
Q
(y)
y =
Y
Z
.
Ký hiệu
C :=
(X : Y : Z) P
2
(W) |
I
j=0
(n j)b
j
Y
j
Z
n1j
. (1.5)
Chúng ta có bổ đề sau:
Bổ đề 2.1.3. Giả sử P (z),Q(z) W[z] là các đa thức bậc n, m tơng ứng,
1
, ,
k
là các không điểm phân biệt của P
,
1
, ,
l
là các không điểm
phân biệt của
Q
và
C là đờng cong xạ ảnh xác định bởi (1.4). Ký hiệu
là
= {(
i
:
j
:1)| P(
i
) Q(
j
)=0} {(1 : 0 : 0)}.
Các kí hiệu sau đợc dùng trong suốt chơng này.
:= {(
i
:
j
:1)| (
i
:
j
:1)là điểm kỳ dị của
C},
:= {
i
| tồn tại không điểm
j
của Q để (
i
:
có bội n
sao cho / , thì
n
n m +2,
(iv) l J =1và gọi là không điểm duy nhất của Q
sao cho / , thì
phải là không điểm bội.
Để chứng minh định lý này, chúng ta cần bổ đề sau:
Bổ đề 2.2.2. (i) Nếu J<l,thì 1-dạng
:=
W (X, Z )
t|
t
/
(Y
t
Z)
m
t
,
chính quy trên
C.
(ii) Nếu I<k,thì 1 -dạng
:=
Z
i
+1
a
it
(x
i
)
t
,Q(y) Q(
j
)=
m
t=m
j
+1
b
jt
(y
j
)
t
,
11
với P (
i
)=Q(
j
). Do vậy,
it
(X
i
Z)
t
Z
nm
m
t=m
j
+1
b
jt
(Y
j
Z)
t
.
Khai triển Piuseux
F (X, Y , Z) tại
ij
, ta nhận đợc
(n
i
+1)ord
ij
,
(
i
1
:
1
:1), (
i
2
:
2
:1) . Khi đó, đờng cong
C là hyperbolic trên K nếu
một trong các điều kiện sau thoả mãn:
(i) m
1
m
2
2,m
1
n
i
1
và m
2
n
i
2
,
(ii) n
i
1
,n
i
2
>m
2
2,m
1
> 2 và
m
2
+1
m
2
n
i
2
m
2
m
1
2
,
(iv) n
i
1
>m
1
i
2
m
2
m
1
2
.
Trờng hợp J =# =1, chúng ta có kết quả sau.
Mệnh đề 2.2.5. Giả sử P (x),Q(y) là hai đa thức không tuyến tính khác nhau bậc
n, m tơng ứng ,
C là đờng cong xác định bởi (1.4), , , ,J đãchoởtrênvà
J =1. Kí hi ệu n
i
là bội của
i
tơng ứng,
1
có bội m
1
. Khi đó,
C là
hyperbolic nếu
i|
i
n
thoả mãn P(f)=Q(g), với h là hàm phân hình bất kỳ.
12
Tổng hợp các Mệnh đề 2.2.3, 2.2.5 và Chú ý 2.2.6, ta có:
Định lý 2.2.7. Cho P(z),Q(z) là hai đa thức không tuyến tính bậc n, m, tơng
ứng, v à
, ,I,J là các kí hiệu đợc định nghĩa ở trên. Sắp xếp các
j
sao
cho
m
1
m
2
m
J
.
1.GiảsửJ 2,Pthỏamãnđiềukiệntáchnghiệmvà(
i
t
:
t
:1) với
t =1, 2. Khi đó, không tồn tại các hàm phân hình khác hằng f,g để P(f)=Q(g)
nếu một trong các điều kiện sau thoả mãn:
(i) m
1
m
2
2,m
1
1
m
1
m
2
2
,
(iii) m
1
n
i
1
,n
i
2
>m
2
2,m
1
> 2 và
m
2
+1
m
2
n
i
2
m
2
2
và
m
2
+1
m
2
n
i
2
m
2
m
1
2
.
2.GiảsửJ =1, ký hiệu
1
,
2
, ,
I
là các không điểm phân biệt của P
với bội n
1
,n
2
k
là các không điểm phân biệt
của
P
với bội tơng ứng n
1
,n
2
, ,n
k
. Sắp xếp các
i
sao cho n
1
n
2
n
k
.
Cần và đủ để k hông tồn tại các hàm phân hình khác hằng phân biệt f,g thoả
mãn
P (f)=P (g) là k 3 hoặc k =2và min{n
1
,n
2
} 2.
Chứng minh. Kí hiệu
H
n3
W (X, Z )
(Y
1
Z)
n
1
(Y
k
Z)
n
k
.
13
Từ tính chính quy của suy ra điều kiện cần của định lý.
Ngợc lại, nếu
k =1, ký hiệu
n
=1và h làhàmphânhìnhkháchằngbấtkỳ
trên
K,thì
f = h + ,g= h + ,
là nghiệm của phơng trình P (f)=P (g).
Trờng hợp k =2và min{n
1
,n
2
} < 2, thì
f = {
b
3
2i
}h + {
i
3
2i
}
1
h
b
3a
,
là các nghiệm phân hình khác hằng phân biệt của phơng trình P (f)=P (g).
Nếu k =2,n
1
2 và n
2
=1, thì đờng cong C
có giống 0, nghĩa là tồn tại các
hàm phân hình khác hằng
f,g để (f(z):g(z):1) C
. Định lý đã đợc chứng
minh.
2.3 Phơng trình hàm P (f)=Q(g) trên C.
Định lý 2.3.1. Giả sử P(x),Q(y) là hai đa thức không tuyến tính khác nhau trên
C bậc n, m tơng ứng. , ,I,J đã cho ở trên, k và l theo thứ tự là chỉ số đạo
2
3, trong đó m
1
,m
2
là số bội của các không điểm
phân biệt
1
,
2
của Q
sao cho
1
,
2
/ ,
(v) k I =1và n
1
n m +3 với n
1
là số bội của không điểm
1
của P
sao cho
1
/ ,
14
i|
i
/
(X
i
Z)
n
i
,
chính quy trên
C.
Bổ đề 2.3.3.
Nếu
i|
i
/
n
i
n m +3 hoặc
t|
t
/
m
t
3, thì
C là hyperbolic.
C là hyperbolic nếu một trong các điều kiện sau đợc thoả mãn:
(i) m
1
m
2
3,m
1
n
1
,m
2
n
2
,
(ii) m
1
n
1
,m
1
> 3,n
2
>m
2
3,
m
2
+1
m
2
m
2
3
,
(iv) n
1
>m
1
m
2
> 3,n
2
>m
2
,
m
1
+1
m
1
n
1
m
1
m
2
3
và
m
hyperbolic nếu
i|
i
n
i
(n m +3) m
1
max
i|
i
{n
i
}.
Nếu k = I = J = l =1, phơng trình P(f)=Q(g) sẽ trở thành a(f )
n
=
b(g )
m
. Gọi h là hàm phân hình khác hằng bất kỳ, thì
f = +
h
m
n
a
,g= +
h
3,m
1
n
1
,m
2
n
2
,
(ii) m
1
n
1
,m
1
> 3,n
2
>m
2
3,
m
2
+1
m
2
n
2
m
2
1
>m
1
m
2
> 3,n
2
>m
2
,
m
1
+1
m
1
n
1
m
1
m
2
3
và
m
2
+1
m
2
t=1
n
t
(n m +3) m
1
max
1ataI
{n
t
}.
3.Giảsửl = J = I = k =1. Khi đó, phơng trình P (f)=Q(g) luôn có
nghiệm phân hình khác hằng trên
C.
Kết luận.
Kết quả chính của chơng này là đa ra các điều kiện đủ để phơng trình
P (x) Q(y)=0không có nghiệm phân hình khác hằng trên K (các Định lý 2.2.1
và 2.2.7) và trên
C (các Định lý 2.3.1 và 2.3.8). Đặc biệt, trên K, chúng tôi tìm
đợc điều kiện cần và đủ để phơng trình
P (x)=P (y) không có nghiệm phân
hình khác hằng phân biệt (Định lý 2.2.9). Cùng với Bổ đề 2.1.1, những kết quả
này cho phép chúng ta khẳng định phơng trình
P (x) Q(y)=0hầu nh không
có nghiệm phân hình khác hằng trên K và C nếu degP, degQ 3, cho dù đờng
cong
{P (x) Q(y)=0} có hoặc không có kỳ dị hữu hạn.
16
Chơng 3
Bi-URS cho hàm phân hình trên trờng
i
),i=1, 2, ,n thì f = g. Nếu n =2thì cặp 2-URS gọi là bi-URS.
Một vấn đề cơ bản đ ợc đặt ra: giả sử
(S
1
,S
2
, ,S
n
) là một họ các tập con
hữu hạn đôi một rời nhau của
W, hãy tìm các điều kiện của n và các S
i
để
(S
1
,S
2
, ,S
n
) là n-URS cho các hàm phân hình trên W. Trờng hợp W là C nếu
n =5, #S
i
=1, bài toán trở thành định lý năm điểm của Nevanlinna. Nếu n =1
bài toán trở thành bài toán về tập xác định duy nhất cho hàm nguyên và hàm phân
hình trên
C. Trên K, khi n =4và #S
i
=1, chúng ta có các kết quả của Adams
,a
4
}) là bi-URS cho M(K). Nh vậy, bài toán bi-URS cho M(K)
dạng ({},S) với S K đã giải quyết trọn vẹn. Trong phạm vi chơng này, chúng
tôi nghiên cứu bi-URS cho
M(K) dạng (S, T ) với #S =2, #T = m.
3.2 Bi-URS kiểu (2, m) cho M(K).
Bổ đề 3.2.2. Giả sử :=
u
1
z + v
1
u
2
z + v
2
là phép biến đổi phân tuyến tính khác hằng
trên
W. Thế thì, S là URS cho M(W) khi và chỉ khi S
= (S) cũng vậy.
Chúngtacókháiniệmsau:
Định nghĩa 3.2.3. Ta nói rằng mệnh đề S(a
1
,a
2
, ,a
m
) đúng với a
2
, ,b
m
là các phần tử phân biệt và đủ tổng quát
của
K, thì cặp ({a
1
,a
2
}, {b
1
,b
2
, ,b
m
}) là bi-URS cho hàm phân hình trên K với
mọi
m 3. Không tồn tại bi-URS cho các hàm phân hình trên K kiểu (2,m) với
m<3.
Do 3.2.2, để thuận lợi cho việc tính toán, chúng ta lấy
S = {1},T= {0,a
1
,a
2
, ,a
n
},
với các a
i
2
= C(g
2
1)
n+1
f
2
(f a
1
)
2
(f a
n
)
2
.
18
Điều này có nghĩa là phơng trình
(x
2
1)
n+1
y
2
(y a
1
)
2
(y a
n
)
2
(y a
n
)
2
,
F (x, y):=
1
x y
{P (x, y) P (y,x)},
F
c
(x, y):= P (x, y) CP (y, x),C=0, 1.
F
c
(X, Y, Z ):=Z
4(n+1)
F
c
(
X
Z
,
Y
Z
),
F
:={(X : Y : Z) P
2
(K) | F
(X, Y, Z )=0}.
Khi đó, cặp (S, T ) là bi-URS cho M(K) nếu phơng trình F (x, y)=0và phơng
trình
F
c
(x, y)=0chỉ có nghiệm f = g trên M(K). Điều này có nghĩa là chúng ta
phải chứng minh các đờng cong
c
và
là hyperbolic trên M(K).
Xét các trờng hợp:
(#S =2, #T =3), (#S =2, #T>3), (#S =2, #T<3).
A. Bi-URS kiểu (2, 3).
Bởi nhận xét sau định lý 3.2.4, không mất tính tổng quát, ta lấy S = {1, 1},T =
{0,a,b}
với a = b và a, b / {1, 1, 0}. Khi đó,
P (x, y)= (x
2
1)
3
y
2
(y a)
(X, Y, Z )=Z
11
F (
X
Z
,
Y
Z
),
19
c
= {(x, y) A
2
(K) | F
c
(x, y)=0},
= {(x, y) A
2
(K) | F(x, y)=0},
c
= {(X : Y : Z) P
2
(K) | F
c
(X, Y, Z )=0},
c
chỉkỳdịtạicácđiểmsau: (1:1:1), (a :
0:1), (b :0:1), (0 : a :1), (0 : b :1), (a : a :1), (b : b :1), (a : b :1), (b : a :1), (0 : 0 :
1), (1 : 0 : 0), (0:1:0), (x
c
: y
c
:1), với x
c
,y
c
là hai trong ba không điểm phân biệt
nào đó của đa thức
(a + b)z
3
(2ab +3)z
2
+2(a + b)z ab.
Bởi xét tính chính quy của
:=
(y
2
1)(y y
c
)dx
(x
2
1)
(a + b)y
(2ab +3)y
2
+2(a + b)y ab =0,
F (x, y)=0,
không có nghiệm, thì đờng cong
P
2
(K) chỉ kỳ dị tại các điểm sau: (1:
1:1), (1:1:1), (1 : 1:1), (1 : 1 : 1), (a :0:1), (b :0:1), (0 : a :1), (0 : b :1), (a :
b :1), (b : a :1), (1 : 0 : 0), (0 : 1 : 0).
Mệnh đề sau khẳng định tính hyperbolic của
.
Mệnh đề 3.2.10. Nếu a + b =0và giả thiết của Bổ đề 3.2.8 đợc thoả mãn, thì
hyperbolic trên P
2
(K).
20
Nếu a + b =0, thì S
= {1, +1},T
= {0,a,a}. Khi đó, ta có:
Mệnh đề 3.2.11. Với mọi a
K,a/
3
y
2
(y a)
2
(y b)
2
(y
2
1)
3
x
2
(x a)
2
(x b)
2
x y
=0,
không có nghiệm, thì cặp ({1}, {0,a,b}) là bi-URS cho hàm phân hình trên K.
B. Bi-URS kiểu (2,m) với m 4.
Ta lấy S = {1},T= {0,a
1
,a
2
, ,a
n
} (n 3) với a
1
,a
a
2
a
n
,
là các đa thức đối xứng cơ bản của a
1
,a
2
, ,a
n
và
r(z):=
1
z
n+1
+(2
2
+ n +1)z
n
+(3
3
+ n
1
)z
n1
+ +((n 1)
n1
+4
n3
}},
với x
c
,y
c
là các không điểm phân biệt của r(z) sao cho F
c
(x
c
,y
c
)=0.
Nhận xét 3.2.14. (ii) Giả sử r(z) có k không điểm phân biệt d
i
,i=1, 2, ,k với
bội
n
1
,n
2
, ,n
k
, tơng ứng,
k
i=1
n
i
= n +1. Với m ỗi C cho trớc, có thể chọn
các
) và (d
t
,d
h
) là các điểm kỳ dị của
c
, thì
P (d
i
,d
j
)
P (d
j
,d
i
)
=
P (d
t
,d
h
)
P (d
h
,d
t
)
.
21
c
I
1
,d
c
1
)
P (d
c
1
,d
c
I
1
)
=
P (d
c
I
2
,d
c
2
)
P (d
c
2
,d
c
I
j
), 1 a i, j a n} {(d
c
I
j
,d
c
j
), 1 a j a t},
và
t
j=1
n
c
j
a n 1.
Mệnh đề 3.2.15. Nếu
1
=0và các a
i
đủ tổng quát, thì
c
hyperbolic trên P
2
(K).
Bổ đề 3.2.16. Nếu a
1
,a
F (x, y)=0,
không có nghiệm, thì không tồn tại các không điểm d
i
,d
j
,d
h
phân biệt của r(z) để
P (d
i
,d
j
)
P (d
j
,d
i
)
=
P (d
h
,d
j
)
P (d
j
,d
h
)
.
(d
c
j
,d
c
I
j
) =0, tức là, t a
k
2
+1. Do đó, nếu k>4 thì k t 2. Nế u k =4
thì t =2. Nếu k =3, bởi giả thiết, F (d
i
,d
j
) =0với mọi i = j cho nên t =1. Còn
nếu
k =2thì t =1, nhng khi đó, min{n
1
,n
2
} 2. Nếu k =1thì t =0. Nh vậy,
nếu chọn các
a
i
sao cho hệ phơng trình
,
thì là một tập đại số của (
K)
n
(vì các điều kiện xác định đều là các điều kiện
đại số) và
=(
K)
n
. Ta nhận đợc bổ đề sau:
Bổ đề 3.2.20. Tồn tại tập đại số K
n
sao cho với mọi (a
1
,a
2
, ,a
n
) K\,
các đờng cong
c
và
là hyperbolic trên P
2
(K).
K.
- Định lý 3.2.21 cùng bổ đề 3.2.2 đã xây dựng đợc một lớp tổng quát các tập
S, T kiểu (2 ,n) là bi-URS cho hàm phân hình trên K với mọi n 4.
- Định lý 3.2.4 về cơ bản giải quyết hoàn chỉnh bài toán bi-URS kiểu (2,m)
cho các hàm phân hình trên K : Nếu S, T làcáctậpconđủtổngquátcủa
K,
#S =2, #T = m 3, th ì (S, T ) là bi-URS cho các hàm phân hình trên K. Kết quả
này không thể tốt hơn vì các cặp
(S, T ) với #S =2, #T<3 đều không phải là
bi-URS cho các hàm phân hình trên
K (nhận xét 3.2.22).
23
Kết luận của Luận án.
Luận án nghiên cứu hai vấn đề cơ bản sau:
-Nghiệmphânhìnhkháchằngcủaphơng trình hàm
P (f)=Q(g) trên trờng
số phức và trờng không Acsimet.
- Các tập song xác định duy nhất (bi-URS) cho hàm phân hình trên
K.
Cáckếtquảchínhcủaluậnánlà:
1. Đaracácđiềukiệnđủđểphơng trình
P (x) Q(y)=0không c ó nghiệm
phân hình khác hằng trên
K (bổ đề 2.1.1, các định lý 2.2.1 và 2.2.7) và trên
C (các định lý 2.3.1 và 2.3.8). Đặc biệt chỉ ra đợc điều kiện cần và đủ để
phơng trình
P (x)=P (y) không có nghiệm phân hình khác hằng phân biệt trên
K (định lý 2.2.9). Những kết quả này cho phép chúng ta khẳng định phơng trình
P (x) Q(y)=0hầu nh không có nghiệm phân hình khác hằng trên W (là C
[2] Nguyen Trong Hoa,
On the functional equation P(f)=Q(g) in the p-adic field, in
L. H. Son, W. Tutschke and S. Jain,
Methods of Complex and Clifford Analysis,
SAS International Publication, (2004), pp. 327-334.
[3] Nguyen Trong Hoa,
On the functional equation P(f)=Q(g) in non- Archimedean
field,
Acta Mathematica Vietnamica, Vol. 31, No 2 (2006), pp. 167-180.
[4] Nguyen Trong H oa,
On the functional equation P(f)=Q(g) in Complex numbers
field,
Vietnam Journal of Mathematics, Vol. 34, No 3 (2006), pp 317-329.
[5] Ha Huy Kho ai and Nguyen Trong Hoa,
Bi-URS for p-adic meromorphic func-
tions,
The Ramanujan Journal (to appear).
25
Các kết quả chính của luận án đợc báo cáo trong các hội nghị, hội
thảo sau:
[1] Recent trends of applied mathematics based on partial differential equations
and complex analysis,
ICAM Hanoi 2004, August 25- 29.
[2]
Không gian Hyperbolic p-adic và ứng dụng, Xeminar liên phòng Đại số và Lý
thuyết số, Viện Toán học, Hà nội, 2005.
[3] Xeminar Khoa Toán, Trờng Đại học Vinh, năm 2005 và 2006.
[4]
Hội nghị Đại số-Hình học-Tôpô 2005, ĐHSP TP Hồ Chí Minh, 25- 28 /11/2005.
[5]
Copyright: Tài liệu đại học ©