Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM §µO Anh tuÊn

NGHIỆM PHÂN HÌNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM VỚI HỆ
SỐ KHÁC HẰNG VÀ PHÂN TÍCH HỮU TỶ CỦA HÀM
PHÂN HÌNH PHỨC
Chuyên ngành: Giải tích
Mã số: 60.46.01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
phân hình của phương trình hàm với hệ số khác hằng và phân tích hữu tỷ
của hàm phân hình phức”. Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương nội
dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo.
Chương I: Trình bày định nghĩa các hàm đặc trưng, hai định lý cơ bản
của Nevanlinna,
Chương II: Nghiệm phân hình của phương trình hàm với hệ số khác hằng
và phân tích hữu tỷ của hàm phân hình.
Ngoài kiến thức cơ sở, luận văn được trình bày dựa theo hai bài báo sau :
1/ P. Li and C C. Yang, Meromorphic solutions of functional
equations with nonconstant coefficients. Proc. Japan Acard., 82,
ser. A (2006).
2/ Alain Escassut and E. Mayerhofer, Rational Decomposition of
Complex Meromorphic Function. Complex Variables, Vol.49,
No. 14,15 November 2004, pp. 991-996
Kết quả này có được là nhờ sự hướng dẫn tận tình của GS. TSKH Hà Huy
Khoái. Thầy không chỉ tận tình hướng dẫn mà còn động viên tôi trong suốt

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

2
quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Nhân dịp này em xin gửi lời
cảm ơn sâu sắc tới thầy!
Đồng thời, em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong hội đồng bảo
vệ luận văn thạc sỹ đã tạo điều kiện thuận lợi để em vững tin hơn trong việc
chuẩn bị bảo vệ luận văn của mình.
Xin chân thành cảm ơn Đại học Thái Nguyên, Trường Đại học Sư phạm -
ĐHTN, Khoa Sau đại học của trường Đại học Sư phạm, khoa Toán cùng các

Định nghĩa 1.1. Điểm a được gọi là điểm bất thường cô lập của hàm
()fz

nếu hàm
()fz
chỉnh hình trong một lân cận nào đó của a, trừ ra tại chính
điểm đó.
Điểm bất thường cô lập
za
của hàm
()fz
được gọi là
a) điểm bất thường khử được nếu tồn tại giới hạn hữu hạn của
()fz
khi z
dần đến a.
b) cực điểm của
()fz
nếu
lim ( )
za
fz


.
c) điểm bất thường cốt yếu nếu không tồn tại
lim ( )
za
fz


hàm nguyên và phân hình, tập hợp các hàm nguyên sẽ tạo thành một vành và
gọi là vành các hàm nguyên, kí hiệu là
()A
. Tập hợp các hàm phân hình
trên

sẽ tạo thành một trường và gọi là trường các hàm phân hình, kí hiệu
là
()M
.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

4
Định nghĩa 1.2. Điểm
0
z
gọi là cực điểm cấp m>0 của hàm
()fz
nếu trong
lân cận của
0
z
, thì hàm
0
1
( ) ( )

z
là cực điểm cấp m>0 của hàm
()fz
thì
0
z
là
cực điểm cấp m+1 của hàm
()fz

.
Nhận xét. Hàm
()fz
không có quá đếm được các cực điểm trên D.
Tính chất 1.2. Cho hàm
()fz
chỉnh hình trong

, điều kiện cần và đủ để
()fz
không có các điểm bất thường khác ngoài cực điểm là
()fz
là hàm
hữu tỷ.
1.2. Công thức Poisson – Jensen
Định lý 1.1. Giả sử
()fz
là hàm phân hình trong hình tròn
 
zR

f z f d
R Rrcos r



  


  


22
11
()
()
log log .
MN
R z a
R z b
R a z R b z














  


.
Khi
 
00f 
hoặc

công thức trên thay đổi chút ít.
Thật vậy, nếu
 
00f 
hoặc
 
0f 
hàm
()fz
có khai triển tại lân cận
0z 
dạng :
 
( )f z C z



  

0
1
log log Re log log log
2
MN
i
v
v
a
b
C f d R
RR








   


.
Nhận xét. Giả sử
()fz
là hàm phân hình trong một miền G nào đó. Ta gọi
cấp của hàm
()fz
tại điểm

z
f z ord f k k  
.
(2)
0
z
là cực điểm cấp k của
 
0
z
f z ord f k  
.
(3) Tại
0
z
hàm
()fz
chỉnh hình, khác 0
0
0
z
ord f
.
Công thức Poison – Jensen có thể viết dưới dạng :
 
 
 
2
2
2

trong đó tổng lấy theo mọi

trong hình tròn
 
R


.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

6
1.3. Hàm đặc trƣng – Định lý cơ bản thứ nhất
Định nghĩa 1.3. Giả sử x là số thực dương, ta định nghĩa :
 
log max 0;logxx


.
Ta có :
1
log log logxx
x


,
vì x>1 :

ii
i
f d f d d
f
  


  
  


  
.
Đặt
 
 
2
0
1
, log Re
2
i
m R f f d














.
Như vậy,
1
0
11
, log ,
R
M
R dt
N R n t
f f t
a



   

   
   


.
Khi đó công thức Poisson – Jensen viết dưới dạng :


1
, , log 0T R f T R f
f




. (1.2)

 
,T R f
được gọi là hàm đặc trưng Nevanlinna của f.
Tính chất 1.3 (Tính chất hàm đặc trƣng). Giả sử
   
1
, ,
l
f z f z
là các hàm
phân hình, ta có các bất đẳng thức sau đây
(1)
 
 
11
, , log
ll
kk
kk
m r f z m r f l


,,
ll
kk
kk
N r f N r f






.
(4)
 
1
1
,,
l
l
kk
k
k
N r f N r f














.
Đặc biệt với mọi hàm phân hình
()fz
và với mọi
aC
ta có :

   
, , log log2T r f T r f a a

   
. (1.3)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

8
Định lý 1.2. (Định lý cơ bản thứ nhất)
Giả sử
()fz




được cho bởi công thức :
1
1
, log
M
R
NR
fa
a









,
trong đó
a

là các nghiệm của phương trình
 
f z a
trong hình tròn
zR

f R a


nhỏ)
thì hàm m càng lớn. Như vậy có thể nói tổng trong vế trái của Định lý cơ bản
thứ nhất là hàm “đo độ lớn của tập hợp nghiệm phương trình
 
f z a
” và
“độ lớn tập hợp tại đó
 
fz
nhận giá trị gần bằng a”. Trong khi đó vế phải
của đẳng thức trong Định lý cơ bản thứ nhất có thể xem là không phụ thuộc a.
Vì thế Định lý cơ bản thứ nhất cho thấy rằng hàm phân hình
 
fz
nhận
mỗi giá trị a (và giá trị gần a) một số lần như nhau.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

9
1.4. Định lý 1.4. (Định lý cơ bản thứ hai)

q
v
v
q T r f N r f N r S r
fa

   


.
trong đó:

 
 
'
1
'
1
( ) , 2 , ,N r N r N r f N r f
f

  


.

 
( ) log( , log )S r T r f r
.


   
.
với
( , ) log
r
N r f
b


; tổng lấy theo mọi cực điểm b của hàm
1
fa
,
br
;
đồng thời mỗi cực điểm chỉ được tính một lần.

 
( , )
( ) ( , ) 1 lim
;
N r a
a a f
T r f
    
.
 
( , ) ( , )
( ) ( , ) lim
;

   
   

aa
a a a
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
T r a S r f
thoả mãn với mọi hệ số của phương trình.
+ Hàm phân hình
 
a a z
là một hàm nhỏ của f nếu
   
,,T r a S r f

khi
r 
.
Định lý 2.7. Giả sử a
i
, b
i
(i=1,2) và c là các hàm phân hình không đồng nhất
không. Giả sử n,m (

2) là số nguyên dương nguyên tố cùng nhau và n >
2m + 3 thì phương trình sau đây :

1 1 2 2
()
n n m n n m
f a f b c g a g b

    
. (2.1)
có cặp nghiệm (f,g) chấp nhận được, khi và chỉ khi c = b

thì sẽ tồn tại

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

12
hàm nhỏ

đối với f thoả mãn
,
nm
ab


, trong đó
 
,,N r f a g b
là
kí hiệu hàm đếm thu gọn của tất cả không điểm chung của f-a và g-b.
Chứng minh.
Nếu
n
m
fa
fb


là rút gọn được, thì sẽ tồn tại hàm nhỏ

( ) ( )
n
f a f P f

  
thì ta có c
n-1
=1, c
j
=

n-1-j

,j=0,1,…,n-2 và a=

c
0
, do đó a=

n
. Hoàn toàn tương tự ta có b=

m
.
Giả sử rằng
( , , ) ( , )
nm
N r f a f b S r f  
, đặt z là không điểm chung của
f


m
.


Ta tiếp tục chứng minh Định lý 2.7
Từ (2.1) ta có T(r,f)=T(r,g)+S(r,f) , đặt S(r)=S(r,f)=S(r,g). Phương trình (2.1)
được viết lại dưới dạng f
1
+f
2
=cb
2
– b
1
. (2.2)
trong đó f
1
= f
n – m
(f
m
+a
1
), f
2
= - cg
n – m
(g
m

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

13
Suy ra
1
( , ) (2 3) ( , ) ( )nT r f m T r f S r  
. (2.4)
mâu thuẫn với n > 2m + 3. Vậy c=b
1
/b
2
và do đó phương trình (2.1) trở thành
12
( ) ( )
m n n m
g h c a h ca

   
, (2.5)
trong đó h = f / g.
Nếu
n
hc
thì
12
()
nm


11
( , ) ( , ) , , ( )
n
nT r h N r h N r N r S r
h h c
   
   
   

   11
2 ( , ) , ( )
n
T r h N r S r
m h c

  


2 ( , ) ( )

  



mn
ah
g
h





, (2.7)
trong đó h
1
= h/

.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

14
Do n,m là nguyên tố cùng nhau, phương trình z
n – m
– 1 =0 và z
n
– 1 =0 có
nghiệm phân biệt ngoại trừ z = 1.
Cho r
j

2 thì h
n


c.
Từ phương trình (2.5) suy ra
2
1
nm
ca
h
a


. Do đó h
m
= a
1
/a
2
.


Hệ quả 2.2. Cho số nguyên n và m với n > 2m + 3 (m

2) nguyên tố cùng
nhau, và hàm hữu tỉ a
1
, a
2

0. Nếu bộ
ba số nguyên dương (n,m,k) thoả mãn k>1,m<n và n>k(m+2)/(k – 1) hoặc
n<k(m – 2) khi đó phương trình sau :

1 2 3
n n m k
f a f a g a

  
. (2.10)
không có cặp nghiệm phân hình (f,g) chấp nhận được.
Định lý 2.9. Giả sử a là hàm phân hình khác hằng, và P(z) là một đa thức
bậc n có dạng :

12
0 1 1 2
( ) ( ) ( ) ( )
k
m
mm
k
P z c c z z z z z z    
. (2.11)
trong đó c
0
, c
1
(c
0
c

2
2
zz
z
e ae a
f
ae



;
2
2
2
zz
z
e e a
g
ea



thoả
mãn phương trình (2.12) đối với mọi hàm hữu tỉ khác hằng a.
Định lý 2.10. Giả sử trong phương trình (2.12) mà a(z) là hàm phân hình
khác hằng, P(z) là một đa thức có bậc n có dạng :

1
12
( ) ( ) ( )

n
n
z z a h
gz
ah




.
trong đó h là hàm phân hình tuỳ ý sao cho a(z) là hàm nhỏ của h.
Nếu như hàm nhỏ a(z) trong phương trình (2.12) được thay thế bởi
ae


khi đó ta có định lý sau :
Định lý 2.11. Giả sử rằng a(z) là hàm phân hình khác hằng, P(z) là đa thức
có bậc là n
với công thức (2.11). Nếu k>1 và n>4k+2 thì với mọi hàm nguyên

thì
phương trình sau :
P(f) =
ae

P(g). (2.14)
không có cặp nghiệm phân hình f và g chấp nhận được thoả mãn a là một
hàm nhỏ đối với f và g.
Các Định lý 2.8, 2.9, 2.10, 2.11 nói về điều kiện để phương trình hàm
không có nghiệm phân hình chấp nhận được khác không , chứng minh chi tiết

P

là số các số không phân biệt của P.
Giả sử
/F A B
với
 
,A B x
và
 
gcd , 1AB 
.
Ta đặt
     
 
min ,F A B
  

.
Giả sử
,

là những hàm từ


tới


. Nếu




là quan hệ
thứ tự).
Ta định nghĩa quan hệ thứ tự là quan hệ hầu khắp nơi trừ ra một tập có
độ đo Lơbe bằng không.
Nếu


thì tồn tại hàm

khác từ


tới


và tập hợp con H của


của độ đo Lơbe bằng không, thoả mãn
   
,
lim / 0
r r H
rr

 

, và

điều kiện M đối với
1
, ,
k
c c E
nếu :
(1) C và D là monic (đa thức luỹ thừa có bậc cao nhất là 1).
(2)
 
 
,
jl
F c F c j l  
.
(3)
   
deg degCD
, giả thiết
 
1, 1,
j
F c j k  
.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

17

’
):
Điều kiện (4
’
), với mọi
1,jk
ta có
 
 
j
G d F c
và
   
0C d D d 
với
mỗi không điểm d của
 
''
j
C F c D
.
Định lý 2.12. Giả sử
f 
()M
, và
1
, ,
n
bb
. Khi đó :

, thoả mãn
   
F f G g
khi đó
kq p
.
Chứng minh.
Để chứng minh Định lý 2.13 trước hết ta chứng minh các bổ đề sau :
Bổ đề 2.2. Cho E là một trường đóng đại số,
 
/ , /F A B G C D x  
, và
   
gcd , gcd , 1A B C D
, thoả mãn điều kiện M đối với
1
, ,
k
cc
, đặt
 
degqG
khi đó với mỗi
1,jk
ta có thể phân tích dạng :
 
   
 
j
s

18
trong đó
,jl
b
và qk là những phần tử khác nhau.
Chứng minh của Bổ đề 2.2 được thể hiên ở trong [4] trong trường p-adic
với đặc số
0p 
, trong trường đóng đại số.
Bổ đề 2.3. (Bổ đề cơ bản) Cho
 
Rx
và
f 
()M

khi đó,
 
 
   
, deg ,T r R f R T r f
.
Chứng minh của Bổ đề 2.3 được trình bày ở [3], [5], [7].
Bổ đề 2.4. (Bổ đề cơ bản) Cho E là một trường , giả sử
 
/F A B x 
, gọi
c là không điểm của F
’
thoả mãn

Theo Bổ đề 2.4,
1
, ,
k
cc
là các không điểm của 1/F
’
. Ta thấy điều kiện (1-
3) rõ ràng thoả mãn bởi 1/F,1/G. Do đó ta cần chỉ ra thoả mãn điều kiện (4
‟
).
Cho u là không điểm của
 
 
''
1/
j
D F c C
. Suy ra u là không điểm của
 
''
j
C F c D
, do đó điều kiện (4
‟
) thoả mãn bởi F,G.
Ta có
 
 
j
19

 
 
j
F x F c
thành
 
 
j
s
jj
x c R x
, (2.1)
với
 
2, 0
j j j
s R c
, và tương tự ta có :

 
 
 
 
 
,
1


      

. (2.3)
Theo Định lý 2.12 ta có :

   
 
 
,
11
1 , , ,
q
k
jl
jl
qk T r g N r g b N r g

   


. (2.4)
Theo biểu thức (2.2), với mỗi j cố định ta có :

 
 
 
 
 
 

Theo Bổ đề 2.3 ta có :
   
, / ,T r g p qT r f
.
Giả sử
     
/
j j j
R x A x B x
, suy ra
 
deg
jj
A p s
.
Áp dụng Bổ đề 2.3 ta có :
 
 
   
 
 
 
   
, , , , , ,
j j j
N r R f N r f N r A f N r f p s T r f N r f     


(2.7)
Bây giờ ta giả sử giả thiết của Định lý 2.13 . Vì f,g là các hàm nguyên trên

 
 
 
 
 
   


,,
j
s
j j j
N r G g F c D g N r f c R f D g   
 
 
 
   
,,
, ( ) , .
jj
j
N r f c N r R f
T r f p s T r f
  
  



   




.
Vì
 
,T r f
là không giới nội, ta có thể thấy được rằng :
 
 
1
11
k
j
j
qk p q kp s


   



.
Do đó :
 
1
1
k

Định lý 2.14. Giả sử
 
/ , /F A B G C D x  
với gcd(A,B)=gcd(C,D)=1,
C và D là monic, thoả mãn điều kiện M đối với
1
, ,
k
cc
, đặt
   
deg , degp F q G
. Giả sử tồn tại hai hàm
,fg
()M
, thoả mãn
   
F f G g
khi đó
 
 
 
1kq p k D


.
Chứng minh.
Bây giờ ta giả sử có giả thiết của Định lý 2.14. Ta có thể tìm thấy một hằng số
h
sao cho

 
 
 
, , ,
jj
N r R f D g N r R f N r D g
.
Do đó, theo biểu thức (2.6) và biểu thức (2.7) ta có :
 
 
 
 
 
 
   


,,
j
s
j j j
N r G g F c D g N r f c R f D g   
 
 
 
 
 

  

.
Do đó, theo biểu thức (2.8) ta có :
 
 
 
 
 
 
 
     
, , , ,
jj
N r G g F c D g T r f p s T r f D T r g

    
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

22

 
 
 

 
1
1 , , 1
k
j
j
kp D
qk pT r f qT r f kp s
q



    




.
Do
 
,T r f
là không giới nội, nên ta có :
 
 
 
1
11
k
j
j

với gcd(A,B)=gcd(C,D)=1
và C và D là monic, thoả mãn điều kiện M
’
đối với
1
, ,
k
cc
, đặt
   
deg , degp F q G
. Giả sử tồn tại hai hàm
,fg
()M
, thoả mãn
   
F f G g
khi đó
 
 
 
1kq p k G


.
Chứng minh.
Bây giờ ta giả sử có giả thiết của Định lý 2.15. Do điều kiện M
’
, áp dụng Bổ
đề 2.5 ta có thể thay thế F , G bởi 1/F , 1/G tương ứng . Vì chúng cũng thoả

là nhỏ
hơn nhiều so với
   
 
max deg ,degCD
.
Ví dụ 2.3 Cho
       
22
22
1
sin , cos , ,
1
xx
f x x g x x F x G x
xx

   

. Khi
đó
   
2
cotF f G g x  
, trong đó
,fg
()A
. Theo Định lý 2.13, ta có
q=p=2, do đó k phải ít nhất là 1. Thực sự điều này là đúng bởi vì
 24
KẾT LUẬN Luận văn trình bày cơ sở lý thuyết Nevanlinna và áp dụng để tìm
nghiệm phân hình của phương trình hàm với hệ số khác hằng và sự phân tích
hữu tỷ của hàm phân hình phức. Cụ thể là :
+ Trình bày một số điều kiện để phương trình hàm không có nghiệm
phân hình khác không.
+ Trình bày lại một số lớp phương trình tồn tại nghiệm phân hình chấp
nhận được.
+ Trình bày một số điều kiện để hàm phân hình có phân tích duy nhất.
Những kết quả trên được trình bày theo các bài báo của P. Li and C C.
Yang, Eayerhofer – Escassut.