GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
B. Giải và biện luận phương trình logarit:
I. Nhắc lại về hàm số logarit:
1. Khái niệm: Hàm số logarit có dạng
xlogy
a
=
( a > 0,
1a
≠
)
TXĐ: x > 0.
2. Tính chất:
. a > 1: hàm số
xlogy
a
=
là hàm số đồng biến
. 0 < a < 1: hàm số
xlogy
a
=
là hàm số nghịch biến.
.
1alog
a
=
,
01log
a
=

)0,0x(xlog
1
xlog
a
a
≠α>
α
=
α
.
)0x,1b,a,b,a0(xlog.blogxlog
baa
>≠<=
.
alog
1
blog
b
a
=
II. Phương trình logarit:
1. Khái niệm: phương trình logarit là phương trình chứa ẩn số dưới dấu logarit.
2. Phương trình logarit đơn giản:
.
blogxlog
aa
=
(a > 0, a
≠
1, b > 0)

Ta biến đổi về cùng cơ số 2:
xlog.logxlog
233
2
=
;
xlog.logxlog
244
2
=
;
xlog.logxlog
21010
2
=
(1)
⇔

02221
10432
=−++
)logloglog(xlog

⇔

0
2
=
xlog


4
1
3
4
1
636
4
1
3
4
1
+=+
xlog)x(log
Đk:





>+
>−
>+
06
04
02
x
x
x
⇔


4
1
4
1
+−=+

⇔
06424
>+−=+
)x)(x(x
⇔



−+=+
+−−=+
24224
24224
2
2
xx)x(
xx)x(

⇔




=−−
=−+

=
331
2
x
x
Ví dụ 3. Giải và biện luận phương trình:
2x3xlog
2
32
+−
+
+
1xlog
32
−
−
=
[ ]
)2x(alog
347
+
−
, a > 0 (1)
Giải.
Đk:
2
x
– 3x + 2 > 0, x – 1 > 0, a(x + 2) > 0
⇒
x > 2

+
xxlog
+
1
32
−
−
xlog
=
1
23
2
32
−
+−
+
x
xx
log
=
)x(log 2
2
1
32
−
+
[ ]
)x(alog 2
347
+

2
1
32
−
+
=
[ ]
)x(alog 2
2
1
32
+−
+

⇔
x – 2 =
[ ]
1
2
−
+
)x(a

⇔

2
x
– 4 =
a
1

1
2
+
+
.
)(log
x
14
2
+
=
8
1
2
1
log
b)
3
x
log
+
xlog
3
=
3
x
log
+
xlog
3

22
4
4222
−+−
+
)mmxx(log
22
2
1
2
−+
= 0
có nghiệm
1
x
,
2
x
thoả mãn:
2
1
x
+
2
2
x
> 1.
Hướng dẫn:
pt
⇔

02
0221
22
22
mmxx
mmx)m(x

⇔





>−+



−=
=
)(mmxx
mx
mx
202
1
2
22
2
1
phương trình có 2 nghiệm
1



<<
<<−
2
1
5
2
01
m
m
3) Tìm a để phương trình
)x(log
)ax(log
1
5
5
+
= 2 có nghiệm duy nhất. (đề 120)
Hướng dẫn:
pt
⇔





+=
≠+>+
>

1
−
−
= 8
3
1)x(
−
Giải.
Đk:



>−
>−
01
014
x
)x(
Lấy logarit cơ số 2 cả 2 vế, ta được:
[ ]
)x(log
)x(log
14
2
2
1
−
−
=
[ ]

= 3 + 3
)x(log 1
2
−
(1)
Đặt t =
)x(log 1
2
−

⇒
(1)
⇔

2
t
– t – 3 = 0.
⇒
phương trình có nghiệm:
2
131
1
−
=
t
;
2
131
2
+

131
2
21
+
+=
x
Ví dụ 2. Giải phương trình
2.
2
2
2
)x(
−
=
)x(log 2
2
Giải.
Đk:



≥−
>
02
02
x
x

⇒


2

⇔



=
=
y
x
x
y
22
22

⇔
y.
y
2
= x.
x
2
(1)
Xét hàm số: f(z) = z.
z
e
; f'(z) =
z
e
+ 2

≥
x

⇒
x = 2 là nghiệm.
Ví dụ 3. Giải phương trình
9
2
log
x
=
2
x
.
xlog
2
3
–
3
2
log
x
(1)
Giải.
Đk: x>0
áp dụng công thức:
clog
b
a
=

Đặt t =
xlog
2

⇒

t
3
+ 1 =
t
4

⇔

t






4
3
+
t






Bài tập áp dụng:
1) Giải phương trình
a)
)xx(log 1
2
2
−−
)xx(log 1
2
3
−+
=
1
2
6
−−
xxlog
b)
)(log
x
13
3
−
)(log
x
33
1
3
−
+

xlog
a
= –
2
b) (
xlog
a
2
+ 2).
alog
xa
2
=
alog
x
a
x
log
a
2
3) Cho phương trình: (m – 3)
)x(log 4
2
2
1
−
– (2m + 1)
)x(log 4
2
1