PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOA LƯ

TRƯỜNG THCS ĐINH TIÊN HOÀNG

S NG

N

MỘT SỐ B ỆN PH P NHẰM PH T TR ỂN TƯ DUY S NG
TẠO CHO HỌC S NH THCS THÔNG QUA DẠY HỌC G Ả
TO N CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC PHẲNG

Tác giả:

Dương Đặng Phương Hoa- Phó Hiệu trưởng, Cử nhân Toán học
Mai Thị Loan- Giáo viên, Cử nhân Toán học
Đặng Thị Tuyết- Giáo viên, Cử nhân Toán học
Vũ Thị Hương- Giáo viên, Cử nhân Toán
Đơn vị:Trường THCS Đinh Tiên Hoàng

Thị trấn Thiên Tôn, Huyện Hoa Lư, Tỉnh Ninh Bình

Hoa lư tháng 5 năm 2016


MỤC LỤC
I. Tên cơ sở được yêu cầu công nhận sáng kiến .............................................. 1
II. Đồng tác giả............................................................................................... 1
III.Tên sáng kiến, lĩnh vực áp dụng ................................................................ 1
IV. Nội dung sáng kiến................................................................................... 1
1. Giải pháp cũ thường làm ............................................................................ 1

2.2.3.3. Rèn luyện khả năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn ...................... 26
3. Tổ chức và nội dung thực nghiệm ............................................................. 29
3.1. Tổ chức thực nghiệm .............................................................................. 29
3.2. Nội dung thực nghiệm ............................................................................ 30
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm ................................................................ 32
3.4. Kết luận chung về thực nghiệm sư phạm: ............................................... 33
V. Hiệu quả kinh tế và xã hội dự kiến đạt được ............................................. 33
1. Hiệu quả kinh tế ........................................................................................ 33
2. Hiệu quả xã hội ......................................................................................... 34
VI. Điều kiện và khả năng áp dụng................................................................ 34


. Tên cơ sở được yêu cầu công nhận sáng kiến: Sở GD&ĐT Ninh Bình
II. Đồng tác giả
Tỷ lệ(%)
Trình độ
đóng góp
chuyên
vào việc tạo
môn
ra sáng kiến
ĐH
35%
Toán

Họ và tên

Ngày
tháng năm
sinh

ĐH
Toán

25%

3

Mai Thị Loan

14/11/196
1

THCS Đinh
Tiên Hoàng

Giáo
viên

ĐH
Toán

20%

4

Vũ Thị Hương

15/11/197
7


Nội dung
Dạy kiến thức lý thuyết trong bài

Mức độ
Dạy kỹ

Dạy lướt qua

Không dạy

6 gv

10 gv

02 gv

1


Giao bài tập về nhà

Thường xuyên Không thường Không giao
xuyên
06gv
08 gv
04 gv
Chữa hết

Thithoảng
chữa

05 gv

10 gv

Bảng 2: Bảng thống kê mức độ học tập toán cực trị hình học
của học sinh đại trà
Nội dung

Mức độ
Tích cực

Việc học lý thuyết

Không tích cực Không học
70 hs

30 hs
Làm bài tập về nhà

Phát triển bài toán

Mạnh dạn trao đổi với thày cô

20 hs

Làm hết

Làm ít

Không làm

05 hs

114

2

bao giờ

hs

liên


Qua số liệu ở bảng 1 và bảng 2 chúng tôi thấy việc dạy toán cực trị trong
trường THCS chưa được quan tâm đúng mức. Đối với các lớp dạy đại trà phần
lớn việc dạy lí thuyết dừng ở mức giới thiệu hoặc giao cho học sinh về nhà đọc.
Việc chữa bài còn rất ít thậm trí có giáo viên không giao bài và không chữa bài
tập phần này. Một số giáo viên chỉ dừng lại ở việc chữa bài hoặc hướng dẫn cho
học sinh khá giỏi về nhà làm chứ chưa quan tâm đến việc khai thác, phát triển
bài toán . Đặc biệt trong các bài kiểm tra định kỳ rất ít khi có nội dung cực trị
hình học.
Đối với học sinh đa số học sinh không thích học và sợ học toán cực trị.
Nhiều em không học và không làm bài tập giao về nhà. Số lượng học sinh mạnh
dạn trao đổi với thày cô và tìm tòi, đề xuất bài toán mới còn rất ít, hầu như
không có.
1.2. Thực trạng dạy học toán cực trị hình học đối với các lớp bồi dưỡng học
sinh giỏi
Bảng 3: Bảng điều tra thực trạng dạy toán cực trị hình học trong các chuyên đề bồi
dưỡng học sinh giỏi cấp THCS
Nội dung


3 gv

8 gv

Thường
xuyên

Ít khi

Không
liên hệ

8 gv

6 gv

4 gv

Không
thường
xuyên

Không
thực hiện

5 gv

8 gv



Không
làm

10 hs

12 hs

8 hs

Thường
xuyên

Ít khi

Không
bao giờ

4 hs

15 hs

11 hs

Thường
xuyên

Ít khi

Không


Lớp

Tên bài

7

Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên,
giữa đường xiên và hình chiếu

02

Bất đẳng thức tam giác

02

Đối xứng tâm, đối xứng trục

02

Quan hệ giữa đường kính và dây cung

02

Liên hệ giữa cung và dây, liên hệ giữa dây và
hoảng cách từ tâm đến dây

02

8

Hơn nữa, hệ thống bài tập trong sách tham khảo là rất đa dạng và phong
phú nhưng đang còn rời rạc, thiếu sự liên kết với nhau trong từng chủ đề, đặc
biệt trên thị trường tìm được một vài cuốn sách tham khảo viết dành riêng cho
phần cực trị hình học thể hiện được sự chuyên môn hoá là rất hiếm, điều này
cũng dẫn đến một tình trạng là GV và HS thiếu một hệ thống tài liệu tham khảo
để phục vụ cho công tác dạy và học. Trong thực tế, cách dạy phổ biến hiện nay
là GV với tư cách là người điều khiển đưa ra kiến thức rồi giải thích chứng
minh, sau đó đưa ra một số bài tập áp dụng, làm cho HS cố gắng tiếp thu vận
dụng. Rõ ràng với cách dạy như vậy GV cũng thấy chưa thoả mãn bài dạy của
mình, HS cũng thấy chưa hiểu được cội nguồn của vấn đề mà chỉ học một cách
máy móc, làm cho các em có ít cơ hội phát triển tư duy sáng tạo, ít có cơ hội
khai thác tìm tòi cái mới.
2. Giải pháp mới thực hiện
2.1. Một số kiến thức thường dùng để giải bài toán cực trị hình học
2.1.1. Quan hệ đường vuông góc và đường xiên, hình chiếu
Trong các đường xiên và đường vuông góc hạ từ một điểm đến một đường
thẳng.
- Đường vuông góc là đường ngắn nhất.
- Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn, hình chiếu nào lớn hơn thì
có đường xiên lớn hơn.
2.1.2. Quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác, bất đẳng thức tam giác,
qui tắc các điểm.
- Trong một tam giác, đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn và ngược lại.
- Bất đẳng thức tam giác: Trong một tam giác tổng độ dài hai cạnh bất kỳ luôn
lớn hơn độ dài cạnh còn lại.
- Qui tắc các điểm: cho n điểm A1, A2 ,… An
Ta có: A1 An  A1 A2 + A2 A3 +… + An-1 An, dấu “=” xảy ra  A1, A2… An
thẳng hàng và sắp xếp theo thứ tự đó.
2.1.3. Bất đẳng thức trong đường tròn
- Trong tất cả các dây cung của đường tròn, đường kính là dây lớn nhất.

a1  a2  ...  an

n

n

a1 . a2 ... an . Dấu “=” xảy ra  a1 = a2 = … = an

- Bất đẳng thức Bunhiacopski: Cho 4 số thực: a, b, x, y ta có:
(ax + by)2  (a2 + b2) . (x2 +y2) Dấu “=” xảy ra  ay = bx
2.1.5. Hệ thức lượng trong tam giác
- Hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông: Trong một tam giác vuông:
Mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc cos góc kề
hoặc bằng cạnh góc vuông kia nhân với tan góc đối hoặc cotg góc kề.
- Định ký Pitago: Trong một tam giác vuông bình phương độ dài cạnh huyền
bằng tổng các bình phương hai cạnh góc vuông.
2.2. Biện pháp chủ yếu bồi dưỡng một số yếu tố của tư duy sáng tạo cho hs
bậc THCS khá và giỏi thông qua dạy học giải toán cực trị hình học
2.2.1. Biện pháp 1: Xác định các hướng tiếp cận khác nhau để giải bài
toán cực trị hình học
Hướng 1
Ta vẽ một hình có chứa các đại lượng hình học mà ta phải tìm cực trị, thay các
điều kiện của đại lượng bằng các đại lượng tương đương (có khi phải chọn một
đại lượng nào đó trong hình làm ẩn số, dựa vào mối quan hệ giữa ẩn số đó với
các đại lượng khác trong hình, nhưng đại lượng này có thể do đầu bài cho sẵn,
7


nhưng cũng có thể do ta làm xuất hiện trong quá trình đi tìm lời giải của bài toán.
Biểu thị ẩn số theo các đại lượng đã biết, các đại lượng không đổi rồi biến đổi


B•

A
•

C
Hình 1

đổi)
Suy ra: A di động trên đường thẳng

d //BC và cách BC một khoảng bằng

2S
a

 Ta cần xác định vị trí của A trên đường thẳng d để chu vi  ABC có giá trị
nhỏ nhất. Chu vi  ABC = AB + BC + CA = AB + AC + a. Vì a không đổi nên
chu vi  ABC nhỏ nhất  AB + AC nhỏ nhất.
Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua d, B’C cắt d tại A’.
Xét  AB’C ta có: AB’ + AC ≥ B’C

(1)

Thay AB’ = AB, A’B’ = A’B vào (1) ta có:
AB + AC ≥ A’B + A’C (2). Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi B’, A, C thẳng hàng.
Khi đó A  A’.
Vì A’B = A’B’ = A’C nên  A’BC cân tại A’.
Vậy trong các tam giác có cùng đáy và cùng diện tích, tam giác cân có chu vi

S = SAIB + SBIC + SCIA =
r=

2S
.
a+ b+ c

1
1
1
r
cr + ar + br = (a + b + c)
2
2
2
2

Vì S không đổi, ta suy ra r lớn nhất

 (a + b + c) có giá trị nhỏ nhất, theo kết quả ở ví dụ 2, đó là tam giác cân.
9


Nhận xét: Để chứng minh bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác cân là lớn
nhất, ta đưa về việc đi chứng minh chu vi của tam giác đó là nhỏ nhất (ví dụ 2)
bằng cách biểu thị bán kính đường tròn nội tiếp tam giác cân qua diện tích và
chu vi của nó.
Hướng 4
Trong các bài toán cực trị, thường có các điểm di chuyển trên các hình nhất
định các hình đó có khi được cho ngay trong đề bài, có khi được tìm ra bởi một


H

trong các tam giác nói trên tam giác cân có diện tích
lớn nhất.

C

’

H

Hình 3

Hướng 5
Trong các bài toán cực trị hình học giải bằng phương pháp đại số, ta thường
chọn một đại lượng làm biến (độ dài đoạn thẳng, số đo góc, tỷ số lượng giác
của một góc...), cũng có trường hợp ta nên chọn hai biến, đồng thời chú ý đến
các đại lượng không đổi để làm biến cho hợp lý.
Tiếp cận theo hướng này ta gọi là: Chọn biến để giải các bài toán cực trị hình
học.
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có góc B, C nhọn, BC = a, đường cao AH = h, xét hình
chữ nhật MNPQ nội tiếp tam giác có M  BC, N  AC, P, Q  BC. Hình chữ
nhật MNPQ ở vị trí nào thì diện tích của nó có giá trị lớn nhất?
Lời giải (Hình 4)

A

Đặt MQ = x, MN = y
M


a
(h - x)
h

Gọi diện tích hình chữ nhật MNPQ là S, ta có:
S = x.y =

a
. (h - x) . x
h

Do a và h là các hằng số dương nên S lớn nhất
 Tích (h - x) . x lớn nhất, hơn nữa tổng (h - x ) + x = h (không đổi) nên tích
(h - x) . x lớn nhất  x = h - x  x =

h
.
2

Khi đó MN là đường trung bình của  ABC.
Chú ý:
Có trường hợp để tìm cực trị của một đại lượng A, ta chia đại lượng A thành
tổng của nhiều đại lương khác. Chẳng hạn như A = B + C +...
Lúc này việc đi tìm cực trị của đại lượng A ta đi tìm cực trị của B và C... rồi từ
đó phải chỉ ra được B, C.... đạt cực trị thì A cũng đồng thời đạt cực trị và ngược
lại.
Ví dụ 6: Cho tam giác ABC vuông tại A. ở bên ngoài tam giác vẽ hai nửa đường
tròn có đường kính AB, AC. Một nửa đường thẳng d quay quanh A cắt hai nửa
đường tròn theo thứ tự tại M, N (khác A).


C

B
Hình 5

d


Khi x = y thì điểm M là điểm chính giữa của cung AB, khi đó  AMB vuông
cân. Suy ra:

= 45o hay

= 45o (vì M, A, N thẳng hàng).

 N là điểm chính giữa của cung AC.

Vậy chu vi tứ giác BCMN lớn nhất khi M, N đồng thời là điểm chính giữa của
các cung AB, AC.
Nhận xét: Ta phải xác định vị trí của M, N để chu vi tứ giác BCMN lớn nhất, mà
chu vi  ABC không đổi nên chỉ phụ thuộc vào chu vi của hai tam giác AMB và
tam giác ANC, tức là phụ thuộc vào các đại lượng x + y và z + t. Từ đó ta xác
định được vị trí của M, N để thoả mãn điều kiện cực trị của bài toán.
2.2.2. Biện pháp 2: Bồi dưỡng tư duy sáng tạo kết hợp với các hoạt động trí
tuệ khác
Tư duy là một quá trình nhận thức lý tính, học tập là một nhận thức tích
cực mà đặc trưng chính là quá trình tư duy. Vì vậy để phát triển năng lực học tập
ban đầu thì đầu tiên phải phát triển tư duy cho HS. Điều này là cả một quá trình
để vươn tới tư duy sáng tạo cho HS. Việc bồi dưỡng các yếu tố đặc trưng nhất

Các kiến thức trong SGK thường được trình bày theo phương pháp tổng hợp để
đảm bảo tính ngắn gọn, cô đọng song khi thực hiện bài dạy lúc giảng bài, GV
cần có những câu hỏi gợi mở dẫn dắt HS đi đến những kết luận đó sao cho quá
trình lý luận càng tự nhiên càng tốt từ dễ đến khó không áp đặt, không đột ngột,
đó chính là dùng phương pháp phân tích.
Ví dụ 7: Cho góc nhọn xOy và điểm A nằm trong góc đó. Tìm các điểm B, C
tương ứng trên Ox, Oy sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất?
Phân tích bài toán:
a. GV yêu cầu HS tìm hiểu nội dung bài toán.
- Đọc đề bài, xác định giả thiết, kết luận, vẽ hình.
- Bài toán yêu cầu gì? Tìm các điểm B, C tương ứng trên Ox và Oy sao cho tổng
độ dài OA + BC + CA ngắn nhất ?
- Xác định dạng toán? Đây là bài toán thuộc dạng dựng hình, gồm các phần
chính: ẩn, dữ kiện, điều kiện.
- Kiến thức? Thực hiện các bước của bài toán dựng hình: phân tích, cách dựng,
chứng minh, biện luận…
+ Bài toán yêu cầu cần gì? Dựng điểm B, C
+ Phương pháp? Quỹ tích tương giao (muốn dựng một điểm ta cần biến hai quỹ
tích của nó). Ta thấy quỹ tích thứ nhất của B là Ox và quỹ tích của C là Oy. Bây
giờ ta phải đi tìm quỹ tích thứ hai của B và C. Trong bài toán những yếu tố gì
chưa dùng? Đó là chu vi tam giác bằng tổng độ dài các cạnh.
Chu vi tam giác ngắn nhất  tổng các đoạn thẳng (độ dài đường gấp khúc) ngắn
nhất. Độ dài đường gấp khúc ngắn nhất nếu điểm đầu và điểm cuối cố định và
các điểm thẳng hàng. Với bài toán cụ thể này, đường gấp khúc là 2p = AB + BC
+ CA có điểm đầu trùng với điểm cuối và tất nhiên là cố định rồi, nên ta không
sử dụng trực tiếp được. Do vậy ta cần biến đổi tương đương độ dài 2p thành
đường gấp khúc, sao cho điểm đầu, điểm cuối cố định. Trong chương trình toán
13




Hình 6

x

E

Bước 1: Phân tích, tìm ra 2 điểm D, E, từ đó xác định được đường thẳng DE,
dẫn đến xác định được hai điểm B và C.
Bước 2: Cách dựng: Dựng điểm D, E tương ứng là đối xứng của A qua oy, ox.
Dựng đường thẳng DE, dựng B =Ox  DE và C = Oy  DE.
Bước 3: Chứng minh điểm B, C dựng được thoả mãn bài toán.
Bước 4: Biện luận (theo cách dựng) số nghiệm của bài toán.
Bước 5: Kết luận.
c. GV yêu cầu thực hiện một chương trình giải cho bài toán. Đây là bài làm của
HS.
- Gọi D, E tương ứng là điểm đối xứng của A qua Oy, Ox. Khi đó ta có CD =
CA và BA = BE. Từ đó AB + BC + CA = DC + CB + BE  DE. Do đó chu vi
tam giác ngắn nhất.

C  Oy  DE
 D, C, B, E thẳng hàng  
 B  Ox  DE
- Cách dựng: Dựng D đối xứng của A qua Oy.
Dựng E đối xứng của A qua Ox
14


Dựng đường thẳng DE
Dựng B = Ox  DE


15


2.2.2.2. Rèn luyện khả năng kiểm tra lời giải bài toán
Quá trình được tiến hành theo 2 bước:
- Kiểm tra kết quả về mặt định tính: Là việc xác định lại tính đúng đắn của việc
lựa chọn phương hướng và công cụ đã thích hợp hay chưa.
- Kiểm tra kết quả về mặt định lượng: Là việc rà soát lại quá trình thao tác đã
dùng khi giải toán góp phần vào giải việc giải quyết vấn đề mới.
Ví dụ 8: Xét bài toán
Bài toán 1: Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O, R), M là điểm trên
cung BC. Xác định vị trí của M để tổng: MA + MB + MC đạt giá trị lớn nhất?
Đây là bài toán cực trị hình học lớp 9 rất quen thuộc đối với HS khá và giỏi. Có
nhiều cách giải cho bài toán này nhưng thông thường GV
A
thường hướng dẫn cho HS giải theo hai cách sau:
Cách giải 1 ( Hình 7)
Trên tia MA lấy điểm D sao cho MD = MB. Suy ra
MBD là tam giác đều và  BDA =  BMC (c.g.c)

D
B

C

I

 AD = MC.
Do đó MA + MB + MC = 2MA  4R

MA AC
MA
AB



MB MC BI
IC BC




= 1  MB + MC = MA
MA MA AC AB AB

Do đó: MA + MB + MC = 2MA  4R. Dấu “=” xảy ra  M là điểm chính giữa
của cung BC.
Trong bài toán 1 phạm vi di động của điểm M là trên cung BC nếu ta cho M di
động trên toàn bộ đường tròn (O, R) thì ta có bài toán tổng quát hơn bài toán 1.
Bài toán 3: Cho ABC đều nội tiếp (O, R), M là điểm di động trên đường tròn.
Hãy xác định vị trí M để tổng MA + MB + MC đạt giá trị lớn nhất?
Khi kiểm tra lại hai cách giải trên của bài toán 1, thì ta thấy rằng trong cách giải
thứ 2 của bài toán 1 hay hơn ở chỗ là khi ta không cần vẽ thêm đường phụ mà
còn giúp ta thấy rằng nếu tam giác ABC vuông cân tại A thì MB + MC =
16

2.


MA và ta tìm được lời giải cho bài toán mới này mà lời giải của cách 1 không


lớn nhất  MA lớn nhất  MA là đường kính của (O, R).
Như vậy bằng việc kiểm tra thao tác phân tích các giả thiết, các điều kiện của
bài toán và cả kết quả của nó giúp cho HS thấy rõ quá trình xảy ra có tính chất
quy luật của bài toán. Nói cụ thể hơn là người giải toán sẽ biết được giả thiết,
các điều kiện đã cho như vậy thì tất yếu kết quả sẽ diễn ta như thế nào.
Qua quá trình phân tích, so sánh, tương tự như trên ta lại đề xuất được bài toán
mới mà cách giải nó vẫn cần dùng cái nền của cách giải bài toán ban đầu.
Bài toán 5: Cho ABC cân tại A nội tiếp (O, R), M là điểm di động trên cung
BC không chứa điểm A. Hãy tìm vị trí của điểm M để tổng MA + MB + MC đạt
giá trị lớn nhất?
2.2.2.3. Rèn luyện khả năng định hướng và xác định đường lối giải bài
toán mang tính tổng quát hơn
Việc định hướng và xác định đường lối giải bài toán mang tính tổng quát hơn
trước hết và chủ yếu là phải xác định đúng đắn thể loại toán. Để làm tốt điều này
cần nghiên cứu kỹ bài toán đã cho mà chủ yếu là căn cứ vào yêu cầu bài toán đòi
hỏi để xác định.Tuy nhiên cái khó khăn về mặt này thường gặp là mỗi bài toán
tuy nằm trong một thể loại nào đó nhưng lại có vẻ riêng biệt của nó.Vì thế người
giải toán phát hiện đúng cái riêng của mỗi bài toán để lựa chọn đường lối thích
hợp.
Ví dụ 9: Xét bài toán
Bài toán 1: Cho điểm A nằm ngoài (O, R). Xác định vị trí của điểm B trên
đường tròn (O, R) để độ dài đoạn thẳng AB
17


a. Dài nhất ?
b. Ngắn nhất ?
Định hướng giải (Hình 8)
OA cắt (O, R) tại C và D

toán sẽ thay đổi như thế nào. Thật vậy
- Nếu điểm A nằm trên đường tròn (O, R) từ lời giải bài toán đã cho ta có: AB
dài nhất  AB = 2R và AB ngắn nhất AB = 0.
Lúc này ta thấy rằng bài toán mới ta đề xuất được nhưng lại quá tầm thường hơn
bài toán đã cho ban đầu.
Bây giờ nếu ta đi xét điểm A nằm ở trong đường tròn
(O, R), A  O (Hình 9). Cũng từ lời giải bài toán đã
cho ta có:
AB dài nhất  AB = AD

B

C

A

•
O

D

AB ngắn nhất  AB = AC
Kết hợp lại các giả thiết bài toán về vị trí tương đối
của điểm A so với đường tròn (O, R) ta có bài toán
tổng quát sau:

Hình 9

Bài toán 2: Cho đường tròn (O, R) và điểm A (A  O). Xác định vị trí của điểm
B trên (O) để độ dài AB ngắn nhất, dài nhất ?


d
Hình 10

Bài toán 3: Cho đường tròn (O, R) và đường thẳng d không giao nhau.
Xác định vị trí điểm B trên đường tròn (O, R) để khoảng cách từ B đến đường
thẳng d có giá trị lớn nhất, nhỏ nhất?
Hơn nữa ta cũng có lời giải bài toán khi đường thẳng d là tiếp tuyến của đường
tròn (O, R) hoặc đường thẳng d cắt đường tròn (O, R).
Từ việc phân tích ví dụ 9 ở trên ta thấy rằng khi ta đưa thêm các điều kiện để
hạn chế bài toán ta đã chuyển bài toán từ trường hợp chung sang trường hợp
riêng, chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho sang nghiên cứu
một tập hợp nhỏ hơn trong tập hợp đã cho, có thể xem đó là con đường đi đến
bài toán mới hay tính tổng quát hơn có tính chất đặc thù nhằm chống lại suy
nghĩ rập khuôn, chống áp dụng quy tắc, dập khuôn một cách máy móc, giúp
khắc phục “tính ỳ” của tư duy. Như vậy, việc rèn luyện khả năng khái quát hoá,
đặc biệt hoá cho HS qua việc giải toán sẽ góp phần giúp HS nắm vững kiến thức
vững vàng hơn, qua đó rèn luyện tư duy của HS trong giải toán, nhằm giúp các
em hứng thú hơn trong việc tạo ra động cơ học tập và sáng tạo.
Tóm lại: Song song với các hoạt động trên, các em đã được làm quen với các
phép suy luận, các phép chứng minh, các quan hệ, các lập luận có căn cứ và
trình bày mạch lạc tuân theo các quy luật và quy tắc của suy luận, các quy luật
của logic hình thức. Nói một cách chủ quan rằng, HS sau khi vận dụng thành
19


thạo các nội dung đã trình bày thì có thể góp được phần nào vào việc rèn luyện,
phát triển tư duy logic và sử dụng ngôn ngữ chính xác cho HS.
2.2.3. Biện pháp 3 : Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua rèn luyện khả
năng phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề mới

20


Ví dụ 10: Tìm tam giác có diện tích lớn nhất nội tiếp trong đường tròn (O, R)
cho trước?
A

 Quá trình mò mẫm và dự đoán:
Giả sử có tam giác ABC bất kỳ nội tiếp đường
tròn (O, R) cho trước (Hình 11). Vì trong bài
toán chứa đựng một yếu tố quan trọng nhất đó là
diện tích của tam giác ABC cho nên ta phải tạo ra
một yếu tố phụ đó là đường cao AH của  ABC.
Lúc này diện tích tam giác ABC:
SABC =



B

H

o
x
C

K

1
AH . BC. Có thể nói đây là “Chìa

2

B

Từ đó sẽ gợi cho ta thực hiện phép chứng minh
SABC

H

C

A’

3 3 . R2
≤
.
4

Hình 12

Cách giải 1: (Hình 11 + Hình 12)
Với tam giác ABC bất kỳ nội tiếp đường tròn (O, R) kẻ AH và OK cùng vuông
2
2
góc với BC. Đặt OK = x (0 ≤ x < R). Ta có BC = 2 R  x mà AH ≤ AK ≤ OA

+ OK = R + x.

21



R2  x2 .

áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm dẫn đến:

2 3 1  3R 2
3 1
. 
 R 2  x 2  
. 3x 2  R 2  x 2
SABC ≤
3 2 4
3 2






3 3 R2
SABC ≤
. Dấu “=” xảy ra
4


H  K

 O n»m giữa A vµ K

 3 . R  R2  x 2  3 . x

22