PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOA LƯ

TRƯỜNG THCS ĐINH TIÊN HOÀNG

SÁNG KIẾN
MỘT SỐ BIỆN PHÁP NHẰM PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG
TẠO CHO HỌC SINH THCS THÔNG QUA DẠY HỌC GIẢI
TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC PHẲNG

Tác giả:

Dương Đặng Phương Hoa- Phó Hiệu trưởng, Cử nhân Toán học
Mai Thị Loan- Giáo viên, Cử nhân Toán học
Đặng Thị Tuyết- Giáo viên, Cử nhân Toán học
Vũ Thị Hương- Giáo viên, Cử nhân Toán
Đơn vị:Trường THCS Đinh Tiên Hoàng

Thị trấn Thiên Tôn, Huyện Hoa Lư, Tỉnh Ninh Bình

Hoa lư tháng 5 năm 2016

MỤC LỤC


I. Tên cơ sở được yêu cầu công nhận sáng kiến: Sở GD&ĐT Ninh Bình..................................1
II. Đồng tác giả............................................................................................................................1
III.Tên sáng kiến, lĩnh vực áp dụng............................................................................................1
IV. Nội dung sáng kiến...............................................................................................................1
1. Giải pháp cũ thường làm.........................................................................................................1
1.2. Thực trạng dạy học toán cực trị hình học đối với các lớp bồi dưỡng học sinh giỏi.............3
1.3. Thống kê số tiết dạy theo PPCT hình học THCS có toán cực trị.........................................5



I. Tên cơ sở được yêu cầu công nhận sáng kiến: Sở GD&ĐT Ninh Bình
II. Đồng tác giả
Tỷ lệ(%)
Trình độ
đóng góp
chuyên
vào việc tạo
môn
ra sáng kiến
ĐH
35%
Toán

Số
TT

Họ và tên

Ngày
tháng năm
sinh

1

Dương Đặng Phương Hoa

27/4/1975


THCS Đinh
Tiên Hoàng

Giáo
viên

ĐH
Toán

20%

4

Vũ Thị Hương

15/11/197
7

THCS Đinh
Tiên Hoàng

Giáo
viên

ĐH
Toán

20%

Nơi công tác

6 gv

10 gv

02 gv

1


Giao bài tập về nhà

Thường xuyên Không thường Không giao
xuyên
06gv
08 gv
04 gv
Chữa hết

Thithoảng
chữa

Không
chữa

03gv

08 gv

07 gv


Không tích cực Không học
70 hs

30 hs
Làm bài tập về nhà

Phát triển bài toán

Mạnh dạn trao đổi với thày cô

20 hs

Làm hết

Làm ít

Không làm

10 hs

72 hs

38 hs

Thường
xuyên

Ít khi

Không

tập phần này. Một số giáo viên chỉ dừng lại ở việc chữa bài hoặc hướng dẫn cho
học sinh khá giỏi về nhà làm chứ chưa quan tâm đến việc khai thác, phát triển
bài toán . Đặc biệt trong các bài kiểm tra định kỳ rất ít khi có nội dung cực trị
hình học.
Đối với học sinh đa số học sinh không thích học và sợ học toán cực trị.
Nhiều em không học và không làm bài tập giao về nhà. Số lượng học sinh mạnh
dạn trao đổi với thày cô và tìm tòi, đề xuất bài toán mới còn rất ít, hầu như
không có.
1.2. Thực trạng dạy học toán cực trị hình học đối với các lớp bồi dưỡng học
sinh giỏi
Bảng 3: Bảng điều tra thực trạng dạy toán cực trị hình học trong các chuyên đề bồi
dưỡng học sinh giỏi cấp THCS
Nội dung

Mức độ
Có
hệ Nhắc
lại Không
thống lại
trong
quá dạy
Hệ thống nội dung kiến thức lý thuyết
trình chữa
sử dụng
bài

Dạy bài tập

Liên hệ với thực tế


Không
thường
xuyên

Không
liên hệ
4 gv
Không
thực hiện

5 gv
5 gv
8 gv
Bảng 4: Điều tra ý thức học tập của học sinh giỏi khi học về
toán cực trị hình học
Nội dung

Mức độ
3


Nắm vững Chưa vững

Không
nhớ

20 hs

6 hs


xuyên

Ít khi

Không
liên hệ

Nắm kiến thức lý thuyết

Làm bài tập về nhà

Phát triển bài toán

Mạnh dạn trao đổi với thày cô

8 hs

10 hs
12 hs
Từ kết quả của bảng 3 chúng tôi thấy việc dạy chuyên đề toán cực trị hình
học cho học sinh giỏi vẫn chưa thực sự có hiệu quả. Số lượng giáo viên dạy bài
bản, quan tâm đến việc phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh còn rất ít. Nhiều
giáo viên không dạy phần này.
Đối với học sinh giỏi, số lượng các em đam mê, tìm tòi, khám phá chưa
nhiều, nhiều em chỉ làm cho xong chưa nghĩ đến tìm cách giải khác. Còn một bộ
phận không nhỏ các em không làm bài.

4




02

8
9

- Do số tiết học ở trên lớp còn ít, khối lượng tri thức cần truyền đạt nhiều
đồng thời phải đúng lịch phân phối chương trình theo quy định nên việc mở
rộng, khai thác, ứng dụng sáng tạo các kiến thức đã học chưa được triệt để sâu
sắc. Điều này ảnh hưởng đến việc huy động vốn kiến thức của học sinh, hạn chế
đến việc rèn luyện tính tích cực, độc lập, sáng tạo của học sinh trong học tập,
nhất là đối tượng học sinh khá và giỏi.
- Trong chương trình toán THCS, số lượng các dạng toán về phần cực trị
hình học còn đề cập rất hạn chế, nó chỉ nằm rải rác ở một bộ phận sách tham
khảo, hơn nữa các bài toán về phần cực trị hình học là một chủ đề toán khó
thường chỉ hay xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi. Do đó học sinh và giáo
viên cũng ít được tiếp cận với dạng toán này và có thể nói một thực tế giáo viên
còn thờ ơ trong việc thực hiện dạy học chủ đề đó. Điều này dẫn đến việc giải các
bài tập cực trị hình học học sinh còn tỏ ra lúng túng, chưa được rèn luyện về kỹ
năng giải toán, chưa kích thích được sự ham mê tìm tòi khám phá của học sinh,
từ đó học sinh tiếp thu kiến thức một cách hình thức và hời hợt. Việc tiến hành
bồi dưỡng cho đội ngũ học sinh khá và giỏi chưa được tiến hành một cách
thường xuyên ngay từ đầu. Chính vì vậy quá trình bồi dưỡng kiến thức toán học
theo hướng nâng cao của chủ đề cực trị hình học cho HS chưa được liên mạch
và chưa có hệ thống, chỉ khi nào có những kỳ thi như thi vào trường chuyên, lớp
chọn, HS giỏi thì giáo viên và học sinh mới thực sự nhảy vào cuộc. Chính điều
đó làm cho HS dễ hụt hẫng về kiến thức, sự khai thác một bài toán còn gặp
5



2.1.3. Bất đẳng thức trong đường tròn
- Trong tất cả các dây cung của đường tròn, đường kính là dây lớn nhất.
- Trong một đường tròn, dây cung nào có độ dài ngắn hơn thì có khoảng cách
đến tâm lớn hơn và ngược lại.
6


- Trong hai cung nhỏ của một đường tròn, cung lớn hơn khi và chỉ khi góc ở tâm
lớn hơn.
- Trong hai cung nhỏ một đường tròn, cung lớn hơn khi và chỉ khi dây trương
cung lớn hơn.
2.1.4. Bất đẳng thức đại số
- Giả sử ta có
trị nhỏ nhất,

a
a
với a > 0, nếu a không đổi, đạt giá trị lớn nhất nếu b đạt giá
b
b

a
đạt giá trị nhỏ nhất nếu b đạt giá trị lớn nhất.
b

- Nếu x + y là hằng số thì tích x. y lớn nhất ⇔ x = y.
x . y là hằng số thì tổng x + y nhỏ nhất ⇔ x = y.
- Bất đẳng thức Cauchy: cho 2 số a, b không âm ta có:

a +b

đại lượng nào đó trong hình làm ẩn số, dựa vào mối quan hệ giữa ẩn số đó với
các đại lượng khác trong hình, nhưng đại lượng này có thể do đầu bài cho sẵn,
7


nhưng cũng có thể do ta làm xuất hiện trong quá trình đi tìm lời giải của bài
toán. Biểu thị ẩn số theo các đại lượng đã biết, các đại lượng không đổi rồi biến
đổi tương đương biểu thức vừa tìm được để cuối cùng xác định được giá trị của
đại lượng cần tìm, từ đó suy ra vị trí của hình để đạt cực trị).
Thường dùng cách này khi đầu bài được cho dưới dạng:
“Tìm một hình nào đó thoả mãn các điều kiện cực trị của bài toán”
Ví dụ 1: Trong các tam giác có cùng đáy và cùng diện tích tam giác nào có chu
vi nhỏ nhất ?
’
B
•

Lời giải (Hình 1)
Xét các tam giác có chung đáy là BC = a và
có cùng diện tích là S. Gọi AH là đường cao
tương ứng với đáy BC. Ta có:
1
2S
2S
S = AH . BC ⇒ AH =
=
(không
2
BC
a


Thay AB’ = AB, A’B’ = A’B vào (1) ta có:
AB + AC ≥ A’B + A’C (2). Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi B ’, A, C thẳng hàng.
Khi đó A ≡ A’.
Vì A’B = A’B’ = A’C nên ∆ A’BC cân tại A’.
Vậy trong các tam giác có cùng đáy và cùng diện tích, tam giác cân có chu vi
nhỏ nhất.
Nhận xét: Khi giải bài toán đã cho ta đã thay các điều kiện của bài toán bằng các
điều kiện tương đương và tìm được tam giác cân thoả mãn điều kiện cực trị của
bài toán.

8


Hướng 2
Ta đưa ra một hình vẽ (theo yêu cầu của đầu bài) rồi chứng minh mọi hình khác
có chứa các yếu tố (mà ta phải tìm cực trị) lớn hơn hoặc bé hơn yếu tố tương
ứng trong hình đã đưa.
Thường dùng cách chứng minh này khi hình dạng của hình có cực trị đã được
nói rõ trong đầu bài.
Ví dụ 2: Chứng mình rằng trong các tam giác có cùng đáy và cùng diện tích, tam
giác cân có chu vi nhỏ nhất?
Phân tích bài toán: Đây là bài toán ta đã đề cập trong ví dụ 1, nhưng ở đây đầu
bài đã nói rõ hình phải chứng minh là một tam giác cân, nên đưa ra một tam giác
cân A’BC (Hình 1) rồi xét một tam giác không cân ABC có cùng đáy BC, đỉnh
A chạy trên đường thẳng d // BC, ta chỉ việc chứng minh: Chu vi ∆ ABC ≥ chu
vi ∆ A’BC tức là AB + AC ≥ A’B + A’C.
Hướng 3
Thay việc tìm cực đại của một đại lượng hình học này bằng việc tìm cực tiểu
của một đại lượng khác và ngược lại.

Trong các bài toán cực trị, thường có các điểm di chuyển trên các hình nhất
định các hình đó có khi được cho ngay trong đề bài, có khi được tìm ra bởi một
bài toán quỹ tích. Đó chính là: Vận dụng quỹ tích để giải bài toán cực trị.
= α. Tam giác nào có diện tích

Ví dụ 4: Cho các tam giác ABC có BC = a,
lớn nhất?
Lời giải (Hình 3)

= α. Khi

Xét các tam giác ABC có BC = a,

A’

A

đó A nằm trên cung chứa góc α dựng trên cạnh BC
của tam giác ABC. Gọi A’ là điểm chính giữa của

a

cung chứa góc nói trên. Kẻ AH ⊥ BC, A’H’ ⊥ BC.
B

Hiển nhiên AH ≤ A H . Do đó SABC ≤ S A' BC . Vậy
’

’



Ta có: SAMN + SBMNC = SABC
Suy ra:

h-x

N

y
x

y ( h − x) x ( a + y ) 1
+
= a.h
2
2
2

B
10

Q H

P
Hình 4

C


a

•
vi tứ giác BCMN lớn nhất.
Lời giải (Hình 5)

x

t

Đặt: BM = x, AM = y, AN = z, NC = t
thì chu vi tứ giác BMNC = BC + x + y +
z + t.
Với hai đại lượng a, b bất kỳ ta luôn có:
(a - b)2 ≥ 0 ⇔ a2 + b2 ≥ 2ab
⇔ 2(a2 + b2) ≥ (a + b)2

(*)

∆ ABC vuông tại M, áp dụng định lý Pitago ta có:
x2 + y2 = AB2. áp dụng hệ thức (*):
(x + y)2 ≤ 2AB2 ⇔ x + y ≤ AB 2
Dấu “=” xảy ra khi x = y
Tương tự: z + t ≤ AC 2
Dấu “=” xảy ra: khi z = t
11

C

B
Hình 5


dưỡng cho HS một số hoạt động trí tuệ cơ bản qua đó tạo cho HS tìm được
nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau, khả năng tìm ra
những mối liên hệ trong những sự kiện bên ngoài tưởng như không có liên hệ với
nhau, khả năng tìm ra giải pháp lạ hoặc duy nhất. Các hoạt động này góp phần tạo
ra tính mềm dẽo, tính nhuần nhuyễn cũng như tính độc đáo của tư duy.
2.2.2.1. Rèn luyện khả năng phân tích, tổng hợp bài toán
- Phân tích là dùng trí óc để tách ra từng thuộc tính hay khía cạnh riêng biệt của
các toàn thể hoặc chia các toàn thể ra thành từng phần, là phương pháp suy luận
đi từ cái chưa biết đến cái đã biết. Trái lại tổng hợp là dùng trí óc để kết hợp lại
vài thuộc tính hay khía cạnh khác nhau nằm trong cái toàn thể hoặc hợp lại từng
phần của cái toàn thể. Do đó là hai mặt đối lập của một quá trình thống nhất
trong tư duy, đó là hai thao tác trái ngược nhau.
Trong hoạt động giải toán, trước hết phải nhìn nhận một cách tổng hợp để xem
bài toán đó thuộc loại gì, cần huy động những loại kiến thức thuộc vùng nào và
12


có thể sử dụng những phương pháp nào, sau đó phải phân tích cái đã cho và cái
phải tìm, hoặc phân tích bài toán lớn thành nhiều bài toán nhỏ hơn, phân tích
mối liên hệ giữa các yếu tố của bài toán để tìm ra lời giải. Sau khi tìm được lời
giải của các bài toán bộ phận phải tổng hợp lại để được lời giải của các bài toán
đang xét. Thông thường khi tìm tòi lời giải, ta thường dùng phương pháp phân
tích nhiều hơn, nhưng khi trình bày lời giải, ta dùng phương pháp tổng hợp cho
ngắn gọn, dù đôi khi có vẽ thiếu tự nhiên trong lúc giải bài toán.
Các kiến thức trong SGK thường được trình bày theo phương pháp tổng hợp để
đảm bảo tính ngắn gọn, cô đọng song khi thực hiện bài dạy lúc giảng bài, GV
cần có những câu hỏi gợi mở dẫn dắt HS đi đến những kết luận đó sao cho quá
trình lý luận càng tự nhiên càng tốt từ dễ đến khó không áp đặt, không đột ngột,
đó chính là dùng phương pháp phân tích.
Ví dụ 7: Cho góc nhọn xOy và điểm A nằm trong góc đó. Tìm các điểm B, C

DE. Như vậy, chu vi tam giác ABC ngắn nhất bằng DE.
⇔ D, C, B, E thẳng hàng ⇔ B, C thuộc
đường thẳng DE (1). Trong bài toán còn
giả thiết gì chưa dùng? Đó là B, C tương
ứng trên Ox, Oy (2).

D
y

Từ (1) và (2) cho ta điều gì?

C
A

C = Oy ∩ DE

 B = Ox ∩ DE

O
B

b. GV yêu cầu HS tổng hợp những điều
đã phân tích, xây dựng một chương trình
giải cho bài toán.

Hình 6

x

E

B, C tương ứng xác định duy nhất. Từ đó bài toán có một nghiệm hình.
d. GV yêu cầu HS kiểm tra và nghiên cứu lời giải bài toán vừa thực hiện xong.
- Ta sẽ giải được bài toán nếu nắm được thực chất của bài toán. Đó là tìm độ dài
ngắn nhất của đường gấp khúc. Kiến thức cần có là: Độ dài được gấp khúc có
hai đầu mút cố định sẽ ngắn nhất khi các điểm thẳng hàng.
- Khi tiến hành các bước như trên, tức là đã phân tích để tìm ra cách xác định
các điểm cần dựng, rồi tiến hành các bước cần dựng. Từ đó dễ dàng chứng minh
được các điểm cần dựng thoả mãn yêu cầu của bài toán.
Như vậy sau khi đã phân chia bài toán, ta cố gắng tổ hợp lại các yếu tố đã phân
tích trong bài toán. Việc giải bài toán đòi hỏi HS phải biết phân tích các trường
hợp khác nhau của nó, chia bài toán lớn thành bài toán nhỏ. Giải các bài toán
nhỏ và kết hợp lại thành bài toán lớn. Trong nhiều bài toán, HS phải biết tách
các yếu tố đã cho để nhận biết đặc điểm riêng rẽ tổng hợp lại, từ đó rút ra cách
giải. Như vậy qua giải bài toán ta thấy rằng, các thao tác phân tích và tổng hợp
thường gắn bó khăng khít với nhau, nhưng đôi khi được thực hiện chủ yếu
hướng phân tích hoặc hướng tổng hợp. Khi bài toán đã được hiểu trên toàn bộ,
đã tìm được mục đích, ý chủ đạo thì cần phải đi vào chi tiết. Đặc biệt, nếu gặp
bài toán khó khăn trong cách giải thì đôi khi cần thiết phải thực hiện xa hơn nữa
việc phân chia, khảo sát chi tiết hơn. Tóm lại cần phải rèn luyện cho HS khả
năng phân tích bài toán để từ đó định hình được phương pháp giải. Do đó nhiệm
vụ của người GV cần làm là thông qua hoạt động toán học nhằm rèn luyện khả
năng tư duy cho HS, để từ đó HS có khả năng thích ứng khi đứng trước một vấn
đề cần giải quyết. GV cần làm cho lời giải bài toán đến với HS như một quá
trình suy luận.

15


2.2.2.2. Rèn luyện khả năng kiểm tra lời giải bài toán
Quá trình được tiến hành theo 2 bước:


Dấu “=” xảy ra ⇔ M là điểm chính giữa của cung BC.
Cách giải 2:Gọi I là giao điểm của AM và BC. ∆MBI ~ ∆ MAC Hình 7
(vì

=

,

=

)

⇒

MB
BI tương
=
,
MA AC

⇒

MB MC BI
IC BC = 1 ⇒ MB + MC = MA
+
=
+
=
MA MA AC AB AB

 BI
+
 . MA
MA + MB + MC = MA + 
 AC AB 
BI
IC 

+
 . Do vậy nếu:
= MA 1 +
AC AB 


∆ABC cân tại A thì 1 +

BI
IC
BC
+
=1+
không đổi nên MA + MB + MC
AC AB
AB

lớn nhất ⇔ MA lớn nhất ⇔ MA là đường kính của (O, R).
Như vậy bằng việc kiểm tra thao tác phân tích các giả thiết, các điều kiện của
bài toán và cả kết quả của nó giúp cho HS thấy rõ quá trình xảy ra có tính chất
quy luật của bài toán. Nói cụ thể hơn là người giải toán sẽ biết được giả thiết,
các điều kiện đã cho như vậy thì tất yếu kết quả sẽ diễn ta như thế nào.

D
A

(D nằm giữa O và A).
Xét ba điểm: O, A, B ta có:

B

OA - OB ≤ AB ≤ OA + OB

Hình 8

mà OB = OC = OD = R
OA + OC = AC
OA - OD = AD
Do đó: AD ≤ AB ≤ AC

a. AB ≤ AC (không đổi). Dấu “=” xảy ra ⇔ B ≡ C. Vậy B ≡ C thì đoạn thẳng
AB dài nhất.
b. AB ≥ AD (không đổi). Dấu “=” xảy ra ⇔ B ≡ D
Vậy B ≡ D thì đoạn thẳng AB ngắn nhất.
Trong bài toán ta vừa xét ở trên giả thiết của bài toán cho điểm A nằm ở ngoài
đường tròn, liệu nếu điểm A mà ta đang xét nằm ở những vị trí khác như điểm
A nằm trên đường tròn, điểm A nằm trong đường tròn thì liệu kết quả của bài
toán sẽ thay đổi như thế nào. Thật vậy
- Nếu điểm A nằm trên đường tròn (O, R) từ lời giải bài toán đã cho ta có: AB
dài nhất ⇔ AB = 2R và AB ngắn nhất AB = 0.
Lúc này ta thấy rằng bài toán mới ta đề xuất được nhưng lại quá tầm thường hơn
bài toán đã cho ban đầu.
B

ngắn nhất ?
Ta đi xét trường hợp thẳng d và đường tròn (O, R) không giao nhau (Hình 10).
Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với d và cắt (O) tại M và M ’. (M nằm giữ O
và H, H là giao điểm của MM ’ và
M’
d).
B
Ta nhận ra rằng:
BB' dài nhất ⇔ B ≡ M’

• O

BB' ngắn nhất ⇔ B ≡ M
Từ những ý tưởng phân tích ở trên
ta lại có được bài toán mới mang
tính tổng quát hơn bài toán 1 như
sau:

•
B’

M

H

d
Hình 10

Bài toán 3: Cho đường tròn (O, R) và đường thẳng d không giao nhau.
Xác định vị trí điểm B trên đường tròn (O, R) để khoảng cách từ B đến đường

ta cần quan tâm bồi dưỡng cho HS, khả năng thể hiện rõ nét nhất là ở chỗ đề
xuất được bài toán mới. ở đây có thể là bài toán hoàn toàn mới, cũng có thể là sự
mở rộng, đào sâu của những bài toán đã biết. Để góp phần có thêm được những
khả năng đó, tác giả quan tâm bồi dưỡng cho HS một số vấn đề sau:
2.2.3.1. Rèn luyện khả năng nhận biết, tìm tòi và phát hiện các bài toán
liên quan và sáng tạo bài toán mới
Thông qua hoạt động dạy học giải bài tập, HS được lôi cuốn vào các hoạt động,
cơ hội tìm tòi, khám phá phát hiện vấn đề là việc làm hết sức cần thiết.
Với cách dạy học đề cao vai trò chủ thể của người thầy thì HS có được cơ hội
này trong một số giờ luyện tập cũng rất hạn chế. HS ít khi được phát hiện vấn đề
mới mà thường lập lại hoặc phát hiện vấn đề được GV đã đưa ra, HS thường bị
động khi tiếp nhận kiến thức từ phía GV. Cách dạy và học như vậy sẽ làm hạn
chế khả năng tìm kiếm, tự phát hiện vấn đề của HS, điều này trái với quan điểm
về việc học theo xu hướng hoạt động hoá người học, lấy người học làm trung
tâm, việc hoà là sự biến đổi bản thân mình để trở nên có kiến thức mới, phương
pháp tư duy và sự thực hiện được phê bình, để tự hiểu bản thân. Chính vì điều
đó mà trong dạy học, người GV phải biết chú trọng công tác bồi dưỡng HS năng
lực nhận biết tìm tòi, phát triển vấn đề để giúp HS rèn luyện các kỹ năng tư duy
vào thói quen phát triển tìm tòi, thông qua một số thao tác trí tuệ. Việc thường
xuyên rèn luyện cho HS năng lực này tạo cho HS thói quen luôn luôn tích cực
khám phá kiến thức ở mọi lúc, mọi nơi. Muốn làm tốt điều đó đòi hỏi HS phải
trải qua một quá trình tìm tòi, mò mẫm, dự đoán, suy xét ở nhiều góc độ để rồi
thử nghiệm.

20


Ví dụ 10: Tìm tam giác có diện tích lớn nhất nội tiếp trong đường tròn (O, R)
cho trước?
A

cho cố định đoạn AB thì diện tích tam giác ABC lớn nhất khi tam giác ABC cân
tại C.
Vì vậy từ những điều phân tích ở trên mà ta đi đến dự đoán được S ∆ABC lớn nhất
khi ∆ ABC là tam giác đều. Dễ thấy rằng tứ giác
OB A’C là hình bình hành (Hình 12).
Suy ra: AH =

A

3R
2

BC = R 3
Nên S∆ABC =

3 3R
4

R

2

B

Từ đó sẽ gợi cho ta thực hiện phép chứng minh

H

C


 2 .


1
1
AH . BC ≤ (R + x) . 2
2
2


3
R 2 − x 2  +
3


(

3x.

R 2 − x 2 = R R 2 − x 2 + x. R 2 − x 2

)

R2 − x2 .

áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm dẫn đến:

2 3 1  3R 2
3 1
. 

∠BAC = 60

3. x

Tức là ∆ ABC đều và có cạnh bằng R 3 .
Trong quá trình tiếp cận và giải quyết bài toán cực trị hình học nào đó, HS
không chỉ nhìn bài toán từ một góc độ mà phải xem xét bài toán đó theo quan
điểm toàn diện, không chấp nhận một cách giải quen thuộc hoặc duy nhất, từ đó
luôn luôn suy nghĩ, tìm tòi đề xuất được nhiều cách giải khác nhau cho một bài
toán nhằm rèn luyện tính linh hoạt, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo của tư duy.
Tức là rèn luyện khả năng từ hoạt động trí tuệ này sang trí tuệ khác, nhìn nhận
một đối tượng toán học, một vấn đề, một bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau,
nhìn trong mối tương quan với các hiện tượng khác, tìm cách giải mới, sáng tạo.
Mặt khác, tìm nhiều lời giải cho một bài toán giúp HS có cách nhìn toàn
diện, biết hệ thống hoá và sử dụng các kiến thức, các kỹ năng và phương pháp
giải toán một cách chắc chắn, mềm dẻo, linh hoạt. Đó cũng là yếu tố đặc trưng
của tư duy sáng tạo.
Ta có một số cách giải khác nữa cho bài toán đã xét sau:
Cách giải 2: Nếu ta cố định cạnh BC. Suy ra S ∆ABC lớn nhất ⇔ ABC cân tại A.
Trong lý luận ở cách giải thứ nhất ta đã lập luận tìm ra được tam giác ABC nội
tiếp thoả mãn yêu cầu bài toán là tam giác đều và đi chứng minh
3 3 R2
S∆ABC ≤
.
4
22


Nhưng ở cách giải này ta nhìn bài toán dưới một góc độ khác đó là từ S ∆ABC lớn
nhất ⇔ ∆ ABC cân tại A (theo lập luận ở cách 1).

= 1200 ⇔

R
2

= 600 ⇔ ∆ ABC đều.

Cách giải 3: Theo lập luận cách 1 ta có:
S∆ABC = (R + x)

R2 − x2 ,

( R + x) 2 ( R 2 − x 2 ) =

S∆ABC=

(

1
3

(R
)

2

)(

+ 2 Rx + x 2 3R 2 − 3 x 2


=
4  4 
2  
3  
3  4

4
3 4

Dấu “=” xảy ra ⇔ x =

R
⇔ BC = R 3 ⇔ Sđ
2

= 120o ⇔

= 60o

⇔ ∆ABC đều
2.2.3.2. Rèn luyện khả năng nhìn nhận và giải bài toán dưới nhiều góc độ
khác nhau
Con người giải quyết những vấn đề nảy sinh trong cuộc sống bằng cách vận
dụng những kiến thức, kỹ năng đã được học, được rèn luyện trong nhà trường.
Nhưng hiện nay trường học lại chưa chú trọng bồi dưỡng cho HS nhiều về kiến
thức cơ bản để sau này vận dụng.
23