Tỡm ti liu Toỏn ? Chuyn nh - www.toanmath.com

Phng trỡnh - Bt phng trỡnh - H phng trỡnh cha tham s Luyn thi THPT Quc gia 2016

CHUYấN :

BI TON THAM S TRONG PHNG TRèNH,
BT PHNG TRèNH V H PHNG TRèNH
I- Lí THUYT: Mt s dng toỏn v phng phỏp tng ng:

Cho hm số y f (x ) liên tục trên tập D. Gi s trờn D tn ti min f x ; max f x , nu khụng
xD

xD

ta cn lp bng bin thiờn v a ra kt lun.
Dng 1:

Phương trình f x m có nghiệm x D

Phng phỏp: ycbt min f x m max f x
xD

Dng 2:

xD

Bât phương trình f x m có nghiệm x D

Phng phỏp: ycbt min f x m
xD

* THUT TON: gii cỏc bi toỏn tỡm giỏ tr tham s m phng trỡnh (PT), bt phng
trỡnh (BPT) cú nghim ta cú th thc hin theo cỏc bc sau:
Thuật ton 1:
i vi bi toỏn khụng cn t n ph





Bc 1: Bin i a PT v dng f x g m hoặc f x g m ; hoặc f x g m
Bc 2: Lp bng bin thiờn ca hm s y f x , có tập xc định Df .
Suy ra: min f x , max f x . (nu cú)
xD

xD

Bc 3: S dng cỏc nhn xột v phng phỏp ó nờu phn trờn, a ra kt lun.
Thuật ton 2:
i vi bi toỏn t n ph
Bc 1: t n ph t x . T iu kin rng buc ca x suy ra min giỏ tr t x .

Giỏo viờn: Lấ B BO...0935.785.115...

-1-

CLB Giỏo viờn tr TP Hu


Tỡm ti liu Toỏn ? Chuyn nh - www.toanmath.com


x 9x
9
9
0 t
2
2
2

0x 9

2

BBT:

Do đó: 0 t 9

2

* Lúc đó phương trình (*) trở thnh: 9 2t t 2 m t 2 2t 9 m (**)

Xét hm số f (t ) t 2 2t 9

0 t 9 2 . Ta có: f (t) 2t 2 0 t 1
/

Lp bng bin thiờn:

Giỏo viờn: Lấ B BO...0935.785.115...

-2-



4

2

x 1



3



1
2 x

0x x 



4

x2 1



3



Bài giải:
Xét hàm số f x   x 2  x  1  x 2  x  1 trên  .
Ta có:

f / x  

2x  1
2

2 x x 1



2x  1
2

2 x x 1

 0  2x  1 x 2  x  1  2x  1 x 2  x  1



2x  12x  1  0



2x  12x  1  0

2
2


1












2 
4
2 
4










Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...



x x  x  12
5x  4 x

Xét hàm số f x   x x  x  12





 m  x x  x  12



5x  4 x





5  x  4  x , x  0; 4

Ta có:

3
1

f / x    x 

 2


5  2  m  12.

Nhận xét: Ta có thể giải như sau:

x x  x  12

. Ta có hàm số g x   x x  x  12 đồng biến và
5x  4 x
nhận giá trị dương trên 0; 4 , hàm số h x   5  x  4  x nghịch biến và nhận giá trị
x x  x  12
dương trên 0; 4 . Suy ra f x  
đồng biến trên 0; 4 . Suy ra phương trình
5x  4 x
f x   m có nghiệm trên 0; 4  f 0  m  f 4  2 3 5  2  m  12.
Phương trình  m 



Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

-4-



CLB Giáo viên trẻ TP Huế


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com




x 2  2  1  0, x  .

, x  .

2  x2  2

x  

do



2

x  2 1

2

x  2

0
.
x   2


BBT: lim f x   1; lim f x   1 .
x 


x  x  1  1  0, x  1 .

, x  1;  .

 1
1 

x  x  1  1 3x 2  3  x 3  3x  4 

 2 x 2 x  1 



 







x  x 1  1

2

.

Với x  1 thì x  x  1  1  0 , 3x 2  3  0 , x 3  3x  4  0 (xét biến thiên) và
1
1

1

1



2 4 x



2 x 5

4 x  x  5
2 4 x. x  5

 0.


x  5; 4
1
 4 x  x  5  
x  .


4 x  x  5
2



BBT:

/

x  

x 3 1
do x  1  0, x  3 .
x 1

x 3 1
, x  3;  .
x 1


5  x  0
 0  x 3  5x  

2  x  4.

x

3

5

x



x 3


Bài giải: TXĐ: D   .
Đặt

x2  4  t  2.


5
Phương trình đã cho tương đương với: t 2  4  m 2   t  2  m 3  0

3 

(1)


5
Xét hàm số f t   t 2  4  m 2   t  2  m 3 , ta có f t  liên tục trên 2;  và


3 
4
lim f t    . Ta sẽ chứng minh f 2  0, m  0 . Thật vậy: f 2  m 3  2m 2  .
3
m  0

4
3
2
/
2
Xét hàm số g m   m  2m  , m  0 . Ta có: g m   3m  4m  0  

1
2 x 3

1





6x  x  3

0

2 6 x
2 6 x x  3


x  3; 6  x  3 .
 6x  x  3  

6 x  x  3
2



 3 
   3 2, min t  t 3  t 6  3 hay x  3; 6  t  3; 3 2  .
Suy ra: max
t



f'(t)

+
18-6 2

f(t)
3

 

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán  f 3  9  2m  f 3 2 
Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

2 x 2  2x  3  m  1



6 2 9
 m  3.
2



x  3  1x m 1  0 .

Bài giải: Điều kiện: x  3;1 .
Đặt t  x  3  1  x  t 2  4  2 x  31  x .
Ta có: t / 


3;1






Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

-8-

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình chứa tham số Luyện thi THPT Quốc gia 2016
Hoặc: Do t 2  4  2 x  31  x   4  t  2
và t  x  3  1  x  2

x  3  1  x   2

2  t  2;2 2  .



Lúc đó phương trình trở thành: t 2  m  1t  m  3  0  m 

t2  t  3
t 1

2

f'(t)

+
12 2+13
7

f(t)
3

12 2  13
.
7
Bài tập 3: (CĐ 2011) Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán  3  m 

6  x  2 4  x 2x  2  m  4





4  x  2x  2 .

Bài giải: Điều kiện: x  1; 4 .
Đặt t  4  x  2x  2  t 2  2  x  2 4  x 2x  2.
Ta có: t / 







Suy ra: max
t  t 3  3, min
t  t 1  3 hay x  1; 4  t   3; 3 .
1;4
1;4


 
 
Lúc đó phương trình trở thành: t 2  4t  4  m .
Xét hàm số f t   t 2  4t  4, t   3; 3 . Ta có: f / t   2t  4  0  t  2  2;2 2 .


BBT:



Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

-9-



CLB Giáo viên trẻ TP Huế


Phương trình  x 2 

x

2





 x 1 x2 x 1 m

Đặt t  x 2  x  1  x 2  x  1  t / 







x2 x 1 2 .



x2  x 1  x2 x 1  2  7  0

2x  1
2

2 x x 1




2 
2
2 
2
2x  12x  1  0 vô nghiệm.










 


1  
1
3 
1  
1
3


x 0








Suy ra t / x  không đổi dấu trên  , mà t / 0  1  0 suy ra t / x   0, x   vậy t x  đồng
biến trên  .
Ta có lim t x   1; lim t x   1 . Vậy t  1;1 .
x 

x 







Lúc đó: t 2  2x 2  2  2 x 2  x  1 x 2  x  1 nên phương trình trở thành:

t2  2
t 2  12
do t  2  0, t  1;1 .
 m t  2  7  0  2m 
2
t 2
t 2  12
t 2  4t  12


1
_

f'(t)
13

f(t)

13
3

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán 

13
13
13
 2m  13    m   .
3
2
6
x  2  2 4 x 2  2x  m x  0 .

Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm
Bài giải: Điều kiện: x  2 .
Phương trình 

x 2
x 2
 24


1
_

f'(t)
f(t)

0
-1

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán  1  m  0  0  m  1 .
Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

m





x  2  24 x2  4  x  2  24 x2  4 .

Bài giải: Điều kiện: x  2 .
+ Ta thấy x  2 không phải là nghiệm của phương trình.
 x 2

x 2
 4
+ Xét x  2 , phương trình  m 
 2  4
 2 (do x  2 )

Phương trình trở thành: m   2  t  2  m 
, t  1;  .
 t
2t  1


Đặt t 

4

t 2  2t
2t 2  2t  2
/
Xét hàm số f t  
, t  1;   f t  
 0, t  1;  .
2
2t  1
2
t

1


BBT: lim f t    .
t 

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán  1  m  0  0  m  1 .
Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm 5x 2  6x  7  m x  1 x 2  2 .
Bài giải: Điều kiện: x   .

Đặt t 

x 1
x2  2

, khi đó t / 

2x



2

x 2



3

 0  x  2.

BBT: lim t x   1; lim t x   1 .
x 

x 

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

-12-


6 
3t 2  2

/
 f t  
0
Xét hàm số f t    3t, t  1;
2

t
2 
t



6

t  3

.

6
t  

3

BBT: lim f t   ; lim f t    .
t 0

t 0

4



x  x 1





1
x  x  1 m x 
 4 x x  1


x 1





1
x 1

x  x 1



1


1
1
Phương trình trở thành: 2  t  1  m  m   2  t  1, t  0;1 .
t
t
1
2
Xét hàm số f t    2  t  1, t  0;1  f / t   2  1  0, t  0;1 .
t
t
BBT: lim f t    .
t 0

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán  m  1.
Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm

x  2 

2

x 1

x2 1



2




, khi đó t / 

1  2x



x2 1



3

0x 

1
.
2

BBT: lim t x   1; lim t x   1 .
x 

x 



Vậy x    t  1; 5  .

Phương trình trở thành: t  1 
2






BBT: lim f t   .
t 1

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán  m  7 .
Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: tan2 x  cot2 x  m tan x  cot x   3  0 .
Bài giải: Điều kiện: x  k


.
2

Đặt t  tan x  cot x  t  tan x 

1
1
 tan x 
2
tan x
tan x

suy ra: t 2  2  tan2 x  cot2 x .

t2  1
, t  2.
Phương trình trở thành: t  mt  1  0  m 
t



Tỡm ti liu Toỏn ? Chuyn nh - www.toanmath.com

Phng trỡnh - Bt phng trỡnh - H phng trỡnh cha tham s Luyn thi THPT Quc gia 2016

nghiệm duy nhất x 0; .
2


Bi gii: Xét x 0; , khi đó sin x 0, cos x 0, tan x 0 v sin x 3 cos x 0.
2
(sin x 2 cos x )
tan x 2
m 3 tan x 1
m (2)
(sin x 3 cos x )
tan x 3
t 2
Đặt t tan x t 0 x 0;
. Lúc đó, PT (2) trở thnh: 3 t 1
m (3)
2
t 3
3
t 2
t 2 3 t 1
Xét hm số f (t ) 3 t 1
.
0, t 0



. Do đó, PT (1)
2
khi v chỉ khi PT (3) có nghiệm duy nhất t 0. Dựa vo BBT,

Bi tp 3: Tỡm m phng trỡnh sau cú ỳng hai nghim phõn bit:

x 6 2x 5 3x 4 mx 3 3x 2 2x 1 0 (1)
Bi gii:
+ Rừ rng x 0 khụng l nghim ca phng trỡnh (1).



1
1
1
+ Vi x 0 , phng trỡnh (1) x 3 3 2 x 2 2 3 x m 0 (2)

x
x
x


t t x

1
1
1
t x x 2 t 2.


t2  2 , hoặc (3) có đúng 1 nghiệm t thoả mãn t  2 . Ta xét hai trường hợp:

8  m  0
TH 1: (3) có đúng hai nghiệm t1  2 và t2  2  
không tồn tại m .


m

0


TH 2: (3) có đúng một nghiệm t và thoả mãn t  2 .
Ta có (3)  m  t 3  2t 2  6t  4 .


t  2  22

3
Xét hàm số f t   t 3  2t 2  6t  4, t  2  f / t   3t 2  4t  6  0  
.



2
22
t 

3

Bài tập 3: (ĐH A - 2002) Tìm m để phương trình sau có nghiệm thuộc 1; 3 3  :



log23 x  log23 x  1  2m  1  0 .
Bài giải: Điều kiện: x  0 .
Đặt t  log23 x  1  x  1; 3 3   0  log3 x  3  0  log23 x  3


2
 1  log3 x  1  4  t  1;2 .
Phương trình trở thành: t 2  t  2  2m  2m  t 2  t  2, t  1;2 .
Xét hàm số f t   t 2  t  2, t  1;2  f / t   2t  1  0, t  1;2 .
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

-17-

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình chứa tham số Luyện thi THPT Quốc gia 2016
BBT:

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán  0  2m  4  0  m  2 .
Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thuộc 0;1 :
 




ln 2  0, x  0;1  
3

max
t
x

t
1







 
2

 0;1

 3
 x  0;1 : t  0; 
 2






0

2
 

t  1  11  0; 3 
2t  1
 2 

2

BBT:
Xét hàm số f t  

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

-18-

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


Tỡm ti liu Toỏn ? Chuyn nh - www.toanmath.com

Phng trỡnh - Bt phng trỡnh - H phng trỡnh cha tham s Luyn thi THPT Quc gia 2016
Da vo bng bin thiờn, yờu cu bi toỏn

2 11 m
2 2 11 m 4 .
2
2


t 3

2

t 1
(3)
t 3

0 t 5

Lp bng bin thiờn:

Lúc đó, phương trình (1) có nghiệm x 32; khi chỉ khi PT (3) có nghiệm t 5;
ycbt 1 m 2 3. Kết hợp m 0, suy ra: 1 m 3.
Bi tp 3: Tỡm m phng trỡnh sau cú nghim:

4m 3

x 3 3m 4 1 x m 1 0 (1)

Bi gii: iu kin: x 3;1 .







(1) m 4 x 3 3 1 x 1 3 x 3 4 1 x 1 m






Khi ú ta cú phng trỡnh: m


6 sin 8 cos 1
(2). t t tan , khi ú t 0;1
2
8 sin 6 cos 1

2t
1 t2
7t 2 12t 9
v sin
, (2) tr thnh: m 2
, t 0;1 .
; cos
1 t2
1 t2
5t 16t 7
Giỏo viờn: Lấ B BO...0935.785.115...

-19-

CLB Giỏo viờn tr TP Hu




f'(t)
9
7

f(t)

7
9
Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán 

7
9
m  .
9
7

Nhận xét: Hoàn toàn ta có thể khảo sát trực tiếp hàm số g x  

3 x  3  4 1x 1
4 x  3  3 1x 1

trên

3;1 để tìm điều kiện có nghiệm của phương trình.


Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt:
m2



(1)  2m  2m  1
 2 
 3  5 


Đặt t  
 2 

3

3

x2

 3  5 


 
 2 

3

x2

 0.

x2

 t  1, x   .


Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình chứa tham số Luyện thi THPT Quốc gia 2016
t2 1
t 2  4t  1
Xét hàm số f t  
, t  1  f / t  
 0, t  1 .
2
t 2
t  2
BBT:

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán  2m  0  m  0 .

1
Bài tập 3: Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x thoả mãn x  :
2

92x

2

x

 2 m  1 62x

2

x


m 1  0

1
 2x 2  x  0  t  1 .
2

t 2  2t  1
, t  1;  .
Bất phương trình trở thành: t  2 m  1t  m  1  0  m 
2t  1
2

Xét hàm số f t  

t 2  2t  1
2t 2  2t  4
, t  1;   f / t  
 0  t  2  1;  .
2
2t  1
2t  1

BBT: lim f t    .
t 

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán  m  3 .
Bài tập 3: (Cao Đẳng - 2013) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm:

x  2  m 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

/
Xét hàm số f t  
, t  0  f t  
 0  t  1  0;  .
2
t 1
t  1
BBT:

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán  m  2 .
Bài tập 3: Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x  1;1

m 1  x  12 1  x 2  16x  3m 1  x  2m  15 .
Bài giải: Điều kiện: x  1;1 .


Bất phương trình  m





1  x  3 1  x  16x  12 1  x 2  2m  15 .










t 2
2

Xét hàm số f t  

2t 2  5
2t 2  8t  5
, t   2; 3 2   f / t  
 0, t   2; 3 2  .
2




t 2
t  2

BBT:

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

-22-

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com


Bài giải: §Æt t  x 2  2x  2 x  0;1  3  . Ta cã t / 



x 1
2

x  2x  2

 0  x  1.

Ta cã b°ng biÕn thiªn:

Tõ ®ã: 1  t  2.
Víi 1  t  2, ta biÕn ®æi: t  x 2  2x  2  t 2  x 2  2x  2  x (2  x )  t 2  2.
t2  2
BPT (1) trë th¯nh: m(t  1)  t  2  m 
(2)
t 1
t2  2
t 2  2t  2
/
XÐt h¯m sè f (t ) 
1

t

2
.
Ta


 f (2)  2 .
§iÒu n¯y x±y ra khi m  max
t 1;2
3
Nhận xét: Nếu đề bài yêu cầu tìm m để bất phương trình đã cho nghiệm đúng x  0;1  3 


1
thì yêu cầu bài toán  m  f 1   .
2


x  2y  xy  0
Bài tập 1: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: 
.


x

1

2
y

1

m







 x  1  2y  1  m




(do





1
x  y  0, x  1; y  )
2

Từ (1) ta thấy với mỗi y 
(2) có nghiệm y 

1
sẽ cho ta một x  1 . Vì vậy hệ đã cho có nghiệm  phương trình
2

1
.
2


1
Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán  m 
.
2


2x  y  m  0 (1)
Bài tập 1: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: 
.

y

xy

2
(2)



Bài giải: Điều kiện xy  0 .



y 2



Phương trình (2)  xy  2  y  
y 2  4y  4 (do y  0 không thoả mãn phương trình)


y 0

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán  m  4 hoặc m  2 .
2



3
x

1
 y  m  0 (1)


Bài tập 1: Tìm m để hệ phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: 
.


x  xy  1
(2)



Bài giải: Điều kiện xy  0 .



x 1

