Bộ giáo dục và đào tạo
Trường đại học sư phạm hà nội 2

Phạm Thị Huynh

Vận dụng các yếu tố lôgic
Trong giải toán tiểu học
Chuyên ngành: Giáo dục học (Bậc Tiểu học)
Mã số
: 60 14 01

Người hướng dẫn khoa học: TS. Khuất Văn Ninh

Hà Nội 2008


Phần mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Xã hội đang vận động và biến đổi không ngừng theo xu thế của thời đại: năng
động, linh hoạt, phát triển liên tục. Làm thế nào để mỗi con người trong xã hội cũng
đều áp ứng được những yêu cầu mà xã hội đặt ra? Đó chính là mục tiêu, đồng thời
cũng là nền tảng, động lực cho sự phát triển của xã hội, nhất là khi chúng ta đã hội
nhập WTO. Để có thể thực sự đáp ứng được những yêu cầu đó của xã hội thì việc nâng
cao tầm nhận thức của mỗi người, nâng cao chất lượng giáo dục xã hội, đào tạo những
người lao động có sức khoẻ, có đức, có tài và năng lực thực tiễn là việc làm cần thiết
và tất yếu.
Như chúng ta đã biết, trong hệ thống giáo dục quốc dân, bậc Tiểu học luôn
được khẳng định là bậc học giữ vị trí, vai trò nền tảng bởi vì nó đặt cơ sở nền móng
cho quá trình hình thành và phát triển hệ thống thao tác tư duy, trí tuệ cho con người.
Chính vì vậy, nội dung, chương trình các môn học ở bậc Tiểu học hiện nay rất được
quan tâm, chú ý xây dựng theo hướng tối ưu nhất cho sự tiếp nhận và phát triển toàn

học.
Phân tích các yếu tố lôgic trong nội dung chương trình môn Toán ở Tiểu học
hiện nay.
Vận dụng các yếu tố lôgic vào việc giải toán ở Tiểu học.
Thực nghiệm sư phạm.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận.
- Thực nghiệm.
- Tổng kết tài liệu.
6. Những đóng góp mới về mặt khoa học của đề tài
Quá trình nghiên cứu đề tài dựa trên cơ sở của Toán học hiện đại và lôgic học,
những thành tựu của tâm lý học và quá trình giảng dạy thực tế ở trường tiểu học làm
sáng tỏ một số vấn đề:
Xây dựng một cách có hệ thống các bài toán mang đặc trưng lôgic ở Tiểu học:
+ Xây dựng chương trình giải từng loại bài, dạng bài.
+ Thực hiện giải mẫu.
+ Giới thiệu bài toán tương tự.
Luận văn có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh tiểu học.
7. Cấu trúc luận văn:
Luận Văn gồm ba phần:


+ Phần mở đầu.
+ Phần nội dung.
Chương 1: Cơ sở lý luận.
Chương 2: Vận dụng các yếu tố lôgic vào giải Toán ở Tiểu học.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.
+ Phần kết luận.

PHầN NộI DUNG

Trí nhớ trực quan hình tượng được hình thành và phát triển mạnh còn trí nhớ từ
ngữ - lôgic kém phát triển. Bởi vậy, các đơn vị tri thức được các em ghi nhớ còn rời
rạc, chưa có hệ thống, khi cần tái hiện tri thức còn gặp nhiều khó khăn.Vì thế trong
quá trình dạy học, người giáo viên cần giúp các em có được cách thức ghi nhớ từng
loại đơn vị tri thức dựa vào các điểm tựa lôgic hoặc sơ đồ lôgic.
1.1.3. Chú ý
Chú ý là một hiện tượng tâm lý, nó là một yếu tố quan trọng quyết định cho kết
quả của hoạt động học.
ở học sinh tiểu học, chú ý không chủ định chiếm ưu thế hơn chú ý có chủ định.
Do thiếu khả năng tổng hợp nên sự tập trung chú ý của học sinh tiểu học còn bị phân
tán, nhất là khi có các tác động mới mẻ, bất ngờ, rực rỡ Bởi vậy việc sử dụng đồ


dùng dạy học như tranh ảnh, hình vẽ một cách hợp lý là điều kiện quan trọng để tập
trung sự chú ý của học sinh, tạo ra sự hưng phấn, hấp dẫn của giờ học.
Đối với học sinh cuối Tiểu học, chú ý có chủ định của các em phát triển mạnh.
Sự chú ý của các em có thể kéo dài liên tục trong khoảng thời gian một tiết học.
1.2. Quá trình nhận thức lý tính
Quá trình nhận thức lý tính bao gồm tư duy và tưởng tượng.
1.2.1. Tư duy
1.2.1.1. Tư duy
Tư duy là quá trình nhận thức lý tính, nó phản ánh những thuộc tính bản chất
của sự vật, hiện tượng. Tư duy là quá trình phản ánh thế giới vật chất dưới dạng những
hình ảnh lý tưởng.
Tư duy của trẻ em mới đến trường là tư duy cụ thể mang tính hình thức bằng
cách dựa vào những đặc điểm trực quan của đối tượng và hiện tượng cụ thể. Nhà tâm
lý học nổi tiếng J.Piaget (Thuỵ Sĩ) cho rằng tư duy của trẻ từ 7 đến 10 tuổi về cơ bản
còn ở giai đoạn những thao tác cụ thể, dựa vào kinh nghiệm trực quan. Các em khó
chấp nhận những giả thiết không thật.
Học sinh ở cuối bậc Tiểu học (9 - 11 tuổi), khả năng tư duy đã phát triển khá

hiệu hay lôgic toán ra đời và phát triển mạnh mẽ gắn với tên nhà bác học Bul,
Sriôđerơ, Pirxơ
Lần đầu tiên, lôgic biện chứng được nhà triết học duy tâm khách quan Hê Ghen (1770 - 1831) trình bày. Nghiên cứu theo quan điểm duy vật học thuyết của Hê ghen, khái quát các thành tựu của triết học, Mác và Anghen đã sáng tạo ra phép biện
chứng duy vật và được V. I. Lênin phát triển tiếp tục.
Ngày nay, lôgic hiện đại bao gồm hai khoa học độc lập tương đối nhau đó là
lôgic hình thức và lôgic biện chứng. Chúng phát triển trong sự tác động qua lại chặt
chẽ với nhau, bổ sung cho nhau.
2.2. Các khái niệm
2.2.1. Khái niệm lôgic
Lôgic có nghĩa là tư tưởng, từ, trí tuệ. Nó được bắt nguồn từ tiếng Hy
Lạp lôgos. Lôgic chính là sự biểu hiện tập trung các quy luật bắt buộc quá trình tư
duy của con người phải tuân theo, có như vậy mới phản ánh đúng đắn hiện thực khách
quan. Ngoài ra, nó còn biểu hiện các quy tắc lập luận khoa học và những hình thức
trong đó lập luận tồn tại. Mặt khác, lôgic còn biểu thị một số tính quy luật khác của
thế giới khách quan.
2.2.2. Khái niệm lôgic học


Lôgic học là một khoa học nghiên cứu về các quy luật và hình thức của tư duy
hướng vào việc nhận thức đúng đắn hiện thực.
2.2.3. Khái niệm mệnh đề
Mệnh đề là một khái niệm cơ bản của lôgic, đó là những câu phản ánh tính
đúng đắn hoặc sai thực tế khách quan.
Những câu nghi vấn, câu cảm thán, câu mệnh lệnh đều không phải là mệnh đề
vì nó không phản ánh tính đúng hoặc sai một thực tế khách quan nào.
Trong lôgic mệnh đề, ta thường ký hiệu mệnh đề là a, b, c, Nếu mệnh đề
đúng, ta nói mệnh đề có giá trị chân lý bằng 1; nếu mệnh đề sai thì ta nói mệnh đề có
giá trị chân lý bằng 0.

2.2.4. Khái niệm hàm mệnh đề

cứ, luận chứng (lập luận).
Chứng minh bao gồm chứng minh trực tiếp và chứng minh gián tiếp.
Chứng minh trực tiếp: là chứng minh trong đó tính chân thực của luận đề được
trực tiếp rút ra từ các luận cứ.
Sơ đồ chứng minh trực tiếp:
p

: luận đề

a, b, c, : các luận cứ.
k, l, m,: các phán đoán chân thực được suy ra từ a, b, c
( a,b,c ) ( k,l,m ) p
Chứng minh gián tiếp: là chứng minh trong đó tính chân thực của luận đề được
rút ra trên cơ sở lập luận tính giả dối của phản luận đề.
2.3. Các quy luật cơ bản của tư duy
2.3.1. Quy luật đồng nhất
Trong quá trình lập luận, mọi tư tưởng đồng nhất với chính nó.
Trong lôgic kí hiệu (lôgic toán), nó được biểu thị:
a a hay a a
Quy luật đồng nhất được biểu thị a là a (đối với phán đoán), A là A đối với
khái niệm.
2.3.2. Quy luật không mâu thuẫn
Trong quá trình tư duy, lập luận về một đối tượng nào đó không được vừa
khẳng định, vừa phủ định ở cùng một quan hệ. Mặt khác, khi tư duy về một vấn đề nào
đó được thể hiện bằng hai phán đoán đối lập thì chúng không thể cùng chân thực hoặc
cùng giả dối. Trong lôgic kí hiệu, nó được biểu thị : a a .
2.3.3. Quy luật loại trừ cái thứ ba.


Quy luật này biểu đạt hai phán đoán nếu mâu thuẫn với nhau thì không thể

Hội của hai mệnh đề p và q là một mệnh đề đúng khi cả p và q cùng đúng và
sai trong các trường hợp còn lại. Kí hiệu là p q (Đọc là p và q)
Bảng giá trị chân lý:
p

q

p q

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0


1

0

0

0

2.4.1.4. Phép kéo theo:
Phép kéo theo của hai mệnh đề p và q là một mệnh đề sai khi p đúng, q sai và
đúng trong các trường hợp còn lại. Kí hiệu: p q (Đọc là p kéo theo q hay nếu p
thì q).
Bảng giá trị chân lý:

p

q

pq

1

1

1

1

0


1

1

0

0

0

1

0

0

0

1


2.4.2. Những đẳng thức cơ bản:
Đẳng thức về phủ định của phủ định

p p
Tính chất giao hoán của phép hội và phép tuyển
p q q p
p q q p
Tính chất kết hợp của phép hội và phép tuyển


Đẳng thức liên quan đến phép toán lôgic ( )
pq q p


2.5. Các quy tắc suy luận
2.5.1. Định nghĩa về quy tắc suy luận
Giả sử S1 , S2,, Sn, T là một dãy hữu hạn các công thức của cùng các biến p,
q,, r.
Nếu tất cả các bộ giá trị của p, q,, r làm cho S1, S2,, Sn nhận giá trị 1 cũng
đồng thời làm cho T nhận giá trị 1 thì T gọi là hệ quả lôgic của S1, S2,, Sn . Khi đó ta
cũng nói rằng có một quy tắc suy luận từ các tiền đề S1,S2,, Sn tới các hệ quả lôgic T
của chúng. Kí hiệu: S1 , S2, ,Sn
T
2.5.2. Các quy tắc suy luận thường gặp.
2.5.2.1. Quy tắc kết luận
Quy tắc suy luận : p,p q được gọi là quy tắc kết luận.
q
Dạng tổng quát của quy tắc kết luận là

p1, p 2 ,...., p n , p1 p 2 .... p n q
q
Theo quy tắc suy luận này thì nếu p1, p2,, pn là các mệnh đề đúng đồng thời
mệnh đề (p1 p2 pn) q cũng đúng thì mệnh đề q cũng đúng.
Chính từ quy tắc này, trong toán học, để chứng minh q là một mệnh đề đúng,
nếu đã có định lý (p1 p2 pn) q thì chỉ cần chứng minh p1, p2,,pn là các
mệnh đề đúng.
2.5.2.2. Quy tắc bắc cầu
Quy tắc suy luận p q ,p r được gọi là quy tắc suy luận bắc cầu.
pr

vài trường hợp riêng để nhận xét rồi rút ra kết luận chung.
Có thể tóm tắt nội dung của phép quy nạp không hoàn toàn như sau:
Tiền đề

- Các phần tử a1, a2,,an đều có tính chất p
- a1, a2,,an là một số phần tử của tập hợp X

Kết luận

(Dự đoán) Tất cả các phần tử của X đều có tính chất p.

( ở đây giả thiết là X có nhiều hơn n phần tử ).
Khi suy luận theo kiểu quy nạp không hoàn toàn có khi kết luận là đúng, có khi
kết luận là sai nên đây chỉ là một phép suy luận có lý và cần kiểm tra trước khi áp
dụng.
Phép quy nạp hoàn toàn: Phép quy nạp hoàn toàn là phép suy luận đi từ việc khảo sát
tất cả các trường hợp riêng rồi nhận xét để nêu ra kết luận chung cho tất cả các
trường hợp riêng đó và chỉ cho các trường hợp riêng ấy mà thôi.
Có thể tóm tắt nội dung của phép quy nạp hoàn toàn như sau:
Tiền đề

- Tập hợp A gồm tất cả các phần tử a1, a2,, an
- Các phần tử a1, a2,, an đều có tính chất p


Kết luận

Mọi phần tử của A đều có tính chất p.

Phép quy nạp hoàn toàn là một phép suy luận cho ta kết luận đúng vì kết luận

thức toán học sơ đẳng cần thiết, là bước chuẩn bị quan trọng cho quá trình dạy học
toán học ở các bậc học tiếp theo. Ngoài mục tiêu chủ yếu là rèn luyện kĩ năng tính
toán thì môn Toán ở Tiểu học còn phải phát triển tư duy và bồi dưỡng phương pháp
suy luận, bồi dưỡng tư duy khoa học và tư duy lôgic cho học sinh tiểu học. Sở dĩ toán
học có vị trí, vai trò quan trọng như vậy vì toán học là công cụ bổ trợ rất cần thiết để
tiếp thu các môn học khác, để nhận thức thế giới xung quanh, để hoạt động trong thực
tiễn có hiệu quảgóp phần rất quan trọng trong việc rèn luyện những đức tính, phẩm
chất cần thiết của người lao động mới: cần cù, sáng tạo,vượt khó
I.1.2. Đặc điểm của môn Toán ở Tiểu học
Môn Toán ở Tiểu học là môn học thống nhất không chia thành các phân môn
riêng.
Đặc điểm xây dựng chương trình SGK: Hạt nhân của môn Toán là số học (số tự
nhiên, phân số, số thập phân). Các nội dung cơ bản về đại lượng; các yếu tố đại số và
thống kê; các yếu tố hình học; giải các bài toán có lời văn được sắp xếp gắn bó với hạt
nhân số học tạo ra sự hỗ trợ lẫn nhau giữa các nội dung đó của môn toán.
Cấu trúc nội dung hạt nhân số học của môn Toán cùng với các nội dung khác là
cấu trúc theo kiểu đồng tâm. Nhờ cấu trúc sắp xếp này mà các nội dung của môn Toán
được củng cố thường xuyên và được phát triển từ đơn giản đến phức tạp, từ dễ đến khó.
Trong SGK Toán ở các lớp đều có phần ôn tập bổ sung ở đầu năm học, hệ thống hoá ở
cuối năm học. Ngoài các tiết dạy học kiến thức mới và luyện tập để củng cố kiến thức
mới còn có các tiết luyện tập chung để ôn tập củng cố kiến thức và kĩ năng trong từng
giai đoạn học tập.
I.1.3. Nội dung chương trình môn Toán ở Tiểu học


Môn Toán ở Tiểu học bao gồm 5 tuyến kiến thức chính là:
-

Số học.



Một bé hơn hai

Một cộng một bằng hai

b. Tìm giá trị chân lý của mệnh đề
VD2: Điền đúng (Đ) hoặc sai (S ) vào chỗ trống:
Điểm A ở trong hình tam giác.
Điểm B ở ngoài hình tam giác.

C.

Điểm E ở ngoài hình tam giác.

.A

Điểm C ở ngoài hình tam giác.

.B

.I

Điểm D ở trong hình tam giác.
Điểm I ở ngoài hình tam giác .

.D

(2). Lớp 2
a. Một số mệnh đề
VD3:

VD6: Khoanh vào chữ đặt trước câu trả lời đúng:
Trong các phép chia có dư với số chia là 3, số dư lớn nhất của các phép chia đó
là:

A. 3

C. 1

B. 2

D. 0

(4). Lớp 4
a. Một số mệnh đề
Các mệnh đề được đưa ra ở lớp 4 vẫn chủ yếu là những khẳng định đúng, tuy
nhiên, mệnh đề đã khái quát hơn. Để đưa ra được những mệnh đề đó (dưới dạng một
quy tắc, một kết luận) học sinh cần qua một số ví dụ hoặc qua một số các thao tác tư
duy.
VD7: Khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng thì tổng không thay đổi.
Khi đổi chỗ các số hạng trong một tích thì tích không thay đổi.
b. Tìm giá trị chân lý của mệnh đề
VD8: Điền số thích hợp vào ô trống
a.3 x 5 =

x 3

b. 2 m 4 dm = dm
(5). Lớp 5
a. Một số mệnh đề
VD9: - Phân số có tử số lớn hơn mẫu số thì lớn hơn 1.

b. 0 x 2 = 0

7 + 5 = 12

2x0=0

(3). Lớp 3
ở lớp 3, yếu tố hàm mệnh đề tiếp tục thể hiện có tính khái quát dưới dạng các
quy tắc, các cách tính nhiều hơn ở lớp 2: quy tắc tính chu vi, diện tích hình chữ nhật,
gấp một số lên nhiều lần, giảm một số đi nhiều lần,
VD4: Muốn gấp một số lên nhiều lần, ta lấy số đó nhân với số lần.
Muốn tính chu vi hình vuông, ta lấy độ dài một cạnh nhân với 4.
(4). Lớp 4


Hàm mệnh đề tiếp tục thể hiện dưới dạng khái quát hơn. Nó được thể hiện
thông qua một số biểu thức chúa chữ, công thức, phương pháp giải các bài toán điển
hình, một số dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9
VD5:

a. a + b = b + a.
b. Số bé = (tổng hiệu) : 2
c. Số lớn = (tổng + hiệu) : 2

(5). Lớp 5
Hàm mệnh đề ở lớp 5 chủ yếu thể hiện ở các quy tắc, các công thức
VD6: Công thức tính chu vi hình tròn: C = d x 3,14
I.2.3. Định nghĩa, khái niệm
Trong nội dung chương trình môn Toán ở Tiểu học, yếu tố định nghĩa, khái
niệm đa số được trình bày dưới dạng những biểu tượng, mô hình trực quan.


Đường gấp khúc ABCD


Tuy nhiên, cũng có những khái niệm được trình bày tương đối khái quát như:
khái niệm về chu vi hình tam giác, hình tứ giác
VD3 : Tổng độ dài các cạnh của một tam giác là chu vi của hình đó.
(3). Lớp 3
VD4:

M

C

A

O

B

P

Góc vuông

N

Góc không vuông

E



Còn : quả bóng
c. Suy luận lôgic


VD3: Viết các số : 7, 2, 5, 9, 8 theo thứ tự :
a, Từ bé đến lớn
b, Từ lớn đến bé.
d. Phép quy nạp
VD4:

1 ô tô ít hơn 2 ô tô
1 hình vuông ít hơn 2 hình vuông.
Kết luận: 1 bé hơn 2.

(2). Một số phép suy luận được thể hiện ở lớp 2:
Ngoài các phép suy luận đã được trang bị ở lớp 1 thì ở lớp 2 đuợc trang bị thêm
một số phép suy luận sau:
a) Suy luận vị từ khác loại:
VD5:

1 thuyền :

4 người

20 thuyền : người?
b) Phép tương tự
VD6: Viết tổng thành tích (theo mẫu)
Mẫu


Cả 2 ngày bán : kg gạo?
d) Suy luận vị từ khác loại
VD10: Có

:4 thuyền

Mỗi thuyền :5 người
Tất cả

: người?

e) Phép phân tích tổng hợp
VD11: Xếp 4 hình tam giác thành con cá

( 4). Một số phép suy luận được thể hiện ở lớp 4
Các phép suy luận đã được trang bị ở lớp 1,2,3 được củng cố và phát triển ở
mức độ cao hơn. Ngoài ra, học sinh còn được trang bị phép quy nạp không hoàn toàn
trong việc hình thành một số tri thức:
- Nhân nhẩm với 9, 11.
- Tính chất giao hoán của phép cộng, phép nhân
(5). Một số phép suy luận được thể hiện ở lớp 5
ở lớp 5 các phép suy luận được thể hiện ở mc độ đa dạng, phức hợp nhiều
phép suy luận để giải quyết một vấn đề.
I.2.5. Chứng minh
Phép chứng minh ở Toán Tiểu học không được gọi tên cụ thể mà được thể hiện
ẩn dưới dạng các bài toán. Quá trình giải bài toán để đi đến kết quả cuối cùng cũng
tương ứng với phép chứng minh. ở Tiểu học thường sử dụng phép chứng minh trực


tiếp, phép chứng minh gián tiếp thường chỉ thể hiện trong những bài toán phức tạp hay



viên cần hướng dẫn học sinh giải theo trình tự các bước để học sinh có thể hiểu được
bản chất của các bài tập.
II.1.1. Dạng bài điền đúng, sai.
Đây là dạng bài đơn giản thường gặp. Từ những yếu tố của đầu bài, để điền
được Đ hay S vào ô trống (xác định giá trị chân lý của mệnh đề), học sinh có thể thực
hiện như sau:
- Bước1: Thực hiện phép tính đã cho (nhẩm hoặc nháp)
- Bước 2: Đối chiếu với kết quả đã cho ở đầu bài
- Bước 3: Điền Đ hay S vào ô trống.
- Bước 4: Kiểm tra
VD1: BT4 (Trang 163 SGK T1)
Đúng điền Đ, sai điền S vào ô trống

15 + 2

6 + 12

31 + 10

21 + 22

41

17

19

42

+ Dạng 1: So sánh 2 số.