Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

PH

Chuyên đ : Hình h c không gian

NG PHÁP XÁC Đ NH TÍNH NHANH GÓC
ĐÁP ÁN BÀI T P T

LUY N

Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG
Bài 1. Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông t i B . Bi t AB  2a , ACB  300 . Hình
chi u vuông góc c a S trên m t ph ng ( ABC ) là trung đi m c a c nh BC và góc t o b i SA và m t đáy
b ng 600 . Tính cosin c a góc t o b i AH và SC .
Gi i:
G i H là trung đi m c a BC , khi đó: SH  ( ABC ) , suy ra góc t o b i
S

2a
SA và m t đáy là SAH  60 . Có BC 

 2a 3
0
tan ACB tan 30
AB

0

 BH 


a 6
2
2
2

Tam giác AMB vuông t i B nên ta có: AM 2  AB2  MB2  4a 2  6a 2  10a 2

42
AH 2  HM 2  AM 2 7a 2  6a 2  10a 2
 0 (2)
Xét tam giác AMH có: cos AHM 


2 AH .HM
28
2.a 7.a 6
T (1) và (2) suy ra cosin c a góc t o b i AH và SC là cos AHM 

42
.
28

Bài 2. Cho hình chóp đ u S. ABC có SA  2a , AB  3a .
1. Tính góc gi a SA và m t ph ng đáy ABC .
2. Tính tan c a góc t o b i hai m t ph ng ( SBC ) và ( ABC ) .
Gi i:
G i H là hình chi u vuông góc c a S trên ( ABC ) .
Do S. ABC là hình chóp đ u nên H là tr ng tâm tam giác ABC
( ABC đ u nên tr ng tâm, tr c tâm, tâm đ ng tròn ngo i ti p, n i ti p c a tam giác ABC trùng nhau)

Xét tam giác SAH ta có:
cos SAH 

2a

3
AH a 3


 SAH  300
2a
2
SA

V y  SA,( ABC )   30 0 .

A

2. Ta có (SBC ) ( ABC )  BC .

 BC  AI
 BC  ( SAI )
Mà 
 BC  SH
( SAI ) ( SBC )  SI
M t khác: 
( SAI ) ( ABC )  AI

B
H

2 3
SH
a


3
IH a 3
2

2 3
.
3

Bài 3. Cho hình chóp đ u S. ABCD , đáy tâm O và có c nh b ng a . G i M , N l n l

t là trung đi m c a

SA, BC . Bi t góc gi a MN và ( ABCD) b ng 600 . Tính sin c a góc t o b i MN và ( SAC ) .

Gi i:
Do S. ABCD là hình chóp đ u nên ta có SO  ( ABCD)

S

G i P là trung đi m c a AO .
Khi đó MP / / SO  MP  ( ABCD)
Suy ra  MN,( ABCD)   MNP  600

M


 PM  NP tan MNP  a 10 tan 600  a 30  SO  2 PM  a 30

4
4
2
G i H là trung đi m c a OC . Suy ra NH / / BD mà BD  (SAC )  NH  (SAC )
Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t !!

T ng đài t v n: 1900 69-33

B
N
C

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

Chuyên đ : Hình h c không gian

Do đó  MN,(SAC )   NMH
1
a 2
5
NH a 2 a 10
Ta có NH  OB 

Khi đó 
 BC  SA

S

Suy ra  (SBC ),( ABC )   SMA.
Tam giác ABC cân t i A nên
AM  AC.cos MAC  a .cos 600 

a
2

A

C

1200

Trong tam giác vuông SAM có :
SA
a a
1

 SMA  300
tan SMA 
: 
AM 2 3 2
3

M

2SA' BC BC. A' B a .a 2 a 6



3
A' C
A' C
a 3

H

a 6
3
Trong tam giác BHD , áp d ng đ nh lí cosin ta có:
2a 2 2a 2

 2a 2
1
BH 2  DH 2  BD 2
3
 3

cos BHD 
2
2a
2
2 BH .DH
2.
3



Bài 6. Cho hình l ng tr đ u ABC. A' B ' C ' , đáy có c nh b ng a , c nh bên có đ dài b ng b . G i M là
trung đi m c a AB và  là góc t o b i đ ng th ng MC ' và m t ph ng ( BCC ' B ') . Tính tan  .
Gi i:
t là trung đi m c a A' B ' và BC

G i M ', N l n l

M

B

G i P là trung đi m c a BN . Ta có:
AN  BC 
  AN  ( BCC ' B ')
AN  BB '

A

P
N
C

M t khác MP // AN , nên suy ra MP  ( BCC ' B ')
Do đó  MC ',( BCC ' B ')     MC ' P
Tam giác ABC đ u c nh a nên AN 
Suy ra MP 

B'


2

2

Trong tam giác vuông C ' PM ta có tan MC ' P 

9a 2
MP a 3
a 3
: b2 


.
PC '
4
4
16b2  9a 2

Bài 7. Cho hình chóp đ u S. ABCD đáy có c nh b ng a . G i M , N l n l

t là trung đi m c a SA, SC .

Bi t ( BM , ND)  600 . Tính chi u cao c a hình chóp.
Gi i:
G i O là tâm c a hình vuông ABCD và G là tr ng tâm tam giác SAC .
ng th ng qua G song song v i BM c t BC F .
ng th ng qua G song song v i DN c t AD E .
 EA  2 ED
BF GM 1 GN ED



Hocmai – Ngôi tr

E

0

0

Suy ra SO  3GO  3.

S

F

C

3
EF
2

c EF 

10a
3

3 10
30a
.
.

6 3

30a
30a
ho c SO 
.
2
6

Bài 8. Cho hình l ng tr ABC. A' B ' C ' có đáy ABC là tam giác cân v i AB  AC  a , BAC  1200 và
c nh bên BB '  a . G i I là trung đi m c a CC ' . Tính cosin c a góc t o b i hai m t ph ng ( ABC ) và
( AB ' I ) .

Gi i:
C'

B'

I

A'

B

M

C
H
A


a 2  AM 2

 a2 
 3a 2  AM 2  7a 2  AM  a 7
2
4
2

2SACM
a 2 21a 2 a 70
3a 2 a 21
2
2
 IH  CI  CH 




Suy ra CH 
4 142
14
14
AM
2.a 7
Xét tam giác ICH ta có: cos CHI 

30
CH a 21 14
.



a 13
2
- Trang | 5 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

Khi đó AB '2  AI 2  ( AB2  BB '2 )  ( AC 2  CI 2 )  2a 2 
Suy ra SAB' I 

Chuyên đ : Hình h c không gian

5a 2 13a 2

 B ' I 2  AB ' I vuông t i A .
4
4

1
a 2 10
1
3a 2
. M t khác: SABC  AB. AC.sin BAC 
AB '. AI 
2
4
2
4

 BC  ( SAC )  BC  SC
 BC  SA
Do đó   SCA. Trong tam giác vuông SAC ta có:
 BC  AC  SC cos   a cos 

 SA  SC sin   a sin 

A

B

Khi đó th tích kh i chóp SABC là:
1
1
. ABC  a 3 cos 2  .sin 
V  SAS
3
3
Theo b t đ ng th c AM – GM (Cauchy) ta có:
1
1
V 2  a 6 cos 4  .sin 2   a 6 (1  sin 2  ) 2 .sin 2 
9
9

C

3

 1  sin 2  1  sin 2 


D u ‘=” x y ra khi

1  sin 2 
1
 1 
   arcsin 
 sin 2   sin  
.
2
3
 3

Bài 10. Cho hình chóp S. ABCD , đáy ABCD là hình vuông c nh b ng a , m t bên SAB là tam giác đ u
và n m trong m t ph ng . G i I là trung đi m c a AB .
S
1) Tính cosin c a góc t o b i BD và m t ph ng ( SAD) .
2) Tính cosin c a góc t o b i SD và m t ph ng ( SCI ) .
3) Tính cosin c a góc t o b i hai đ ng th ng IC và SD .
H
Gi i

 SI  AB

 SI  ( ABCD)
Ta có ( SAB)  ( ABCD)
( SAB) ( ABCD)  AB


N

 DA  ( SAB)  DA  BH (2)
 DA  SI
T (1) và (2), suy ra: BH  (SAD)
Khi đó DH là hình chi u vuông góc c a DB lên m t ( SAD)

SAB đ u c nh a  SI 

Suy ra ( BD,(SAD))  ( DH , DB)  BDH
Ta có BD  a 2 và BH 
Khi đó cos BDH 

2

a 3
a 5
3a
 DH  BD 2  BH 2  2a 2 

2
4
2

10
DH a 5
.
:a 2 

2
4
BD

DM
2
a 5
5
2
2

2

2

2

4a
a 6

Suy ra SK  SD  DK  2a 
5
5
2

2

2

Xét tam giác SDK ta có: cos DSK 

15
SK
a 6

2
SD  DN  SN
4
4  3 10  0
cos SDN 

2SD.DN
20
a 5
2.a 2.
2
3 10
V y cos( IC , SD)  cos( DN, SD)  cos SDN 
.
20

Ta có DN  CI  DM 

Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t !!

T ng đài t v n: 1900 69-33

- Trang | 7 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)



A

B

Khi đó  MN,( ABCD)   NPN '  

M

Ta có MM '  BM '; NN '  AN '  a  BN '

D'

M t khác MN  PN  PM

 MN cos   PN cos   PM cos   PN ' PM '  M ' N '

  MN sin   PN sin   PM sin   NN ' MM '

 (a  BN ')  BM '  a  ( BN ' BM ') (1)

Do đó M ' N '  BN '2  BM '2  MN cos 



P

C'
N



CB  AB
 CB  ( SAB)  CB  AH  AH  ( SBC )
Ta có 
CB  SA

S

Suy ra AH  SC  SC  ( AHK)  SC  KH

K

Khi đó AKH   (do AKH  900 )
BC AH AH BC
(1)
.

.
AB HK AB HK
AH SH

ABH ~ SAH  AB  SA
Do 
(2)
SCB ~ SHK  CB  SC

HK SH

Ta có tan  .tan  



AB HK SA SH SA

a
a2
a 1  cos 2 
 SC  SA2  AC 2  a 2 

cos 
cos 2 
cos 

SC
1  cos 2 
1  cos 2 

hay tan  .tan  
(đpcm).
cos 
SA
cos 

2. Do   600 nên tan  .tan   3 tan 

 3 tan  

1  cos 2 
1  cos 2 
1



( SAB) ( SAC )  SA
Suy ra hình chi u c a SB lên ( ABC ) là AB
Khi đó  SB, ( ABC )   (SB, AB)  SBA  
Tam giác ABC cân t i A có AD là trung tuy n
 BD  AD , mà ta có:  BD  SA BD  (SAD)

A

B
a

Suy ra hình chi u c a SB lên ( SAD) là SD

D

Khi đó  SB, (SAD)   ( SB, SD)  BSD  
C

2) Ch ng minh th tích c a kh i chóp S. ABC là V 

a sin  sin 
.
3cos(   ) cos(   )
3

 SB2  SA2  AB2  SA2  AD 2  BD 2

Ta có:  SA  SB sin 
 SB2  SB2 sin 2   a 2  SB2 sin 2 

1
a
V  SABC .SA  AD.BC.SA  a .2SB sin  .SB sin   .SB2 sin  sin 
3
6
6
3

Thay (1) vào (2) ta đ

(2)

a
a2
a 3 sin  sin 

sin
sin


(*)
c: V  .
3 cos 2   sin 2 
3(cos 2   sin 2  )

L i có: cos2   sin 2  

1  cos 2 1  cos 2 cos 2  cos 2

