Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

KHO NG CÁCH T

Chuyên đ : Hình h c không gian

ĐI M T I M T

ĐÁP ÁN BÀI T P T

LUY N

Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG
Bài 1. Cho hình chóp S. ABC có ABC là tam giác đ u c nh a . Hai m t ph ng (SAC ),(SAB) cùng
vuông góc v i đáy và góc t o b i SC và đáy b ng 600 . Tính kho ng cách t

A t i m t ph ng ( SBC )

theo a .

Gi i

S

( SAC )  ( ABC )


Do ( SAB)  ( ABC )
  SA  ( ABC )
( SAC ) ( SAB)  SA

1
1
1
1
4
5
a 15
.
 2  2  2  2  2  AH 
2
5
AH
SA AI
3a
3a
3a

a 15
.
5

Bài 2. Cho hình chóp S. ABCD có ABCD hình thang vuông t i A và D . Bi t AD  DC  a , AB  2a ;

SA vuông góc v i đáy và góc t o b i SC và m t ph ng ( SAD) b ng 300 . Tính kho ng cách t

m t ph ng ( SBC ) .

Gi i

Ađ n


D
T ng đài t v n: 1900 69-33

B

C
- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

Chuyên đ : Hình h c không gian

AC
.
2
Suy ra tam giác ACB vuông t i C hay AC  CB
M t khác SA  CB  CB  (SAC ) .

ADCK là hình vuông nên: CK  a 

G i H là hình chi u vuông góc c a A trên SC
CB  AH

 AH  ( SBC )  d ( A, ( SBC ))  AH
 SC  AH
Ta có AC 2  AD2  DC 2  2a 2  SA2  SC 2  AC 2  4a 2  2a 2  2a 2
1


AH

( SBD)  B 

S

d ( A, ( SBD)) BA

2
d ( H , ( SBD)) BH

 d ( A,(SBD))  2d ( H ,(SBD)) (1)

K

K HM  DB ( M  DB ) và HK  MS ( K  SM )

 DB  HM
Khi đó 
 DB  ( SHM )  DB  HK
 DB  SH
Mà HK  SM do đó
HK  (SBD)  d ( H ,(SBD))  HK (2)

B

C

M

a
3
2a
T (1), (2) và (3) suy ra: d ( A, ( SBD)) 
.
3

Bài 4. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình ch nh t, AB  a , SA  BC  2a . Bi t hai m t ph ng
( SAC ) và ( SBD) cùng vuông góc v i m t đáy Tính theo a kho ng cách t A đ n m t ph ng ( SBC ) .
Gi i:

G i AC

BD  H  .

Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t !!

T ng đài t v n: 1900 69-33

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

Chuyên đ : Hình h c không gian

S

SH  SA  AH  4a 

4
2
D
d ( A, ( SBC )) AC
Do AH ( SBC )  C 

 2  d ( A, ( SBC ))  2d ( H , ( SBC )) (1)
d ( H , ( SBC )) HC
2

2

I

2

C

 BC  HI
AB a
K HI  BC ( I  BC ), suy ra 
 BC  ( SHI ) và HI 

2
2
 BC  SH
 HK  BC
K HK  SI ( K  SI ), suy ra 

Bài 5 (B 2013). Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông c nh a , m t bên SAB là tam giác
đ u và n m trong m t ph ng vuông góc v i đáy Tính theo a kho ng cách t A đ n m t ph ng
( SCD) .

T

và

ta đ

c: d ( A, ( SBC )) 

Gi i:

S

G i H là trung đi m c a AB  SH  AB và SH 

a 3
2

( SAB)  ( ABCD)

Ta có ( SAB) ( ABCD)  AB  SH  ( ABCD)
( SAB)  SH  AB

Có AH / /CD  AH / /(SCD)  d ( A,(SCD))  d ( H ,(SCD))
K HI  CD ( I  CD ) , suy ra CD  (SHI )

K

2
3a
3a
7
HK
SH
HI
a

a 21
.
7

Bài 6. Cho hình h p đ ng ABCD A B C D có đáy là hình vuông tam giác A AC vuông cân, A C = a. Tính
theo a kho ng cách t đi m A đ n m t ph ng (BCD ) .
Gi i:
Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t !!

T ng đài t v n: 1900 69-33

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

Chuyên đ : Hình h c không gian



D

C
1
1
1
2
4
6
a 6
a 6
. V y d ( A, ( BCD ')) 
.


 

 AK 
6
AH 2 AA'2 AB2 a 2 a 2 a 2
6
Bài 7 Cho hình lăng tr tam giác ABC. A' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông t i A và
AB  a , BC  2a . Bi t hình chi u c a B ' lên m t ph ng ( ABC ) trùng v i tâm c a đ ng tròn ngo i

ti p tam giác ABC và góc gi a đ

ng th ng CC ' và m t ph ng ( A' B ' C ') b ng 600 . Tính theo a

kho ng cách t đi m B t i m t ph ng ( B ' AC ) .

CC '/ / BB '
Do 
 ( BB ',( ABC ))  (CC ',( A' B ' C '))  600
( A' B ' C ') / /( ABC )
Khi đó B ' H  BH .tan B ' BH  a.tan 600  a 3

Ta có HI / / BA (vì cùng vuông góc v i AC ), suy ra HI 
1
1
1
1
4
13
a 39
Ta có:

 2  2  2  2  HK 
2
2
3a
3a
13
HK
SH
HI
a

T (1); (2) và (3), suy ra d ( B, ( B ' AC )) 

K

 d ( B,(SDC))  d ( A,(SDC )) (1)
Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t !!

T ng đài t v n: 1900 69-33

- Trang | 4 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

Chuyên đ : Hình h c không gian

K AN  DC ( N  DC )

S

Do ABCD là hình thoi c nh a và BAD  120
nên ABC, ADC đ u là các tam giác đ u c nh a
0

Suy ra AM  AN 

a 3
2

a 3
a 3

1
1
4
4
8
a 6
(3). T


 2  2  2  AH 
2
2
2
3a
3a
3a
4
AH
AS
AN
d ( B, ( SCD)) 

(1); (2) và (3), suy ra

a 6
.
4

Bài 9. Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là hình chóp đ u c nh a . G i M là trung đi m c a c nh
2a

 HK  SD
Tam giác ABC đ u c nh a nên CM 
Ta có HD // CM 

B

C
I

H
D
M

a 3
2

A

HD IH 1
1
a 3

  HD  CM 
3
6
CM IC 3

Do I là trung đi m c a BM  IM 

AB a

(3)


 2  2  2  HK 
2
2
2
12
HK
SH
HD
a
a
a

ng chung c a h c trò Vi t !!

T ng đài t v n: 1900 69-33

- Trang | 5 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

T

và

c: d (C , ( SAB)) 

2
2
T (1) và (2) suy ra tam giác SAM đ u.
Khi đó g i H là trung đi m c a AM  SH  AM
mà SH  BC (do BC  (SAM ) )  SH  ( ABC )  SH  AC
 AM  MC cot CAM 

S

K

K HI  AC ( I  AC )  AC  (SHI )

A

D ng HK  SI ( K  SI )  HK  (SAC )  d (H ,(SAC ))  HK
a
a 3
Ta có SAM là tam giác đ u c nh  SH 
2
4

a
a 3
Xét tam giác AHI có HI  AH sin IAH  .sin 600 
4
8

C



 2  d ( B, ( SAC ))  2d ( M , ( SAC )) (2*)
d ( M , ( SAC )) MC

Suy ra

M t khác MH

( SAC )   A 

d ( M , ( SAC )) MA

 2  d ( M , ( SAC ))  2d ( H , ( SAC )) (3*)
d ( H , ( SAC )) HA

a 15
.
5
Bài 11. Cho hình h p ABCD. A' B ' C ' D ' có ABCD là hình vuông c nh a . Hình chi u vuông góc c a
A' xu ng m t đáy ( ABCD) là trung đi m M c a AB và góc t o b i đ ng th ng AA' và m t

T (*); (2*) và (3*), suy ra d ( B, ( SAC ))  4d ( H , (SAC )) 

ph ng ( ABCD) b ng 600 . Tính kho ng cách t
Gi i:

B đ n m t ph ng ( AA' C ) theo a .

MA là hình chi u vuông góc c a AA' trên m t ph ng ( ABCD)



K MI  AC ( I  AC ).
BO BD a 2
v i BD AC  O


2
4
4
M t khác AC  A' M  AC  ( A' MI ) . G i H là hình chi u vuông góc c a M trên A' I

Khi đó MI 

 AC  MH

 MH  ( AA' C )  d ( M , ( AA' C ))  MH (2)
 A' I  MH
Xét tam giác A' MI :

1
1
1
4
8
28
a 21
(3)


 2  2  2  MH 


 d (M ,( ACC ' A'))  d ( H ,( ACC ' A')) (*)

D ng HI  AC ( I  AC ) và k HK  A' I (1)
 AC  IH
 AC  ( HIA')  AC  HK (2)
Khi đó 
 AC  A' H

K
I

A

T (1) và (2) suy ra HK  ( ACC ' A')

Suy ra A' H  HC.tan A' CH 

600
C
M

H

 d ( H ,( ACC ' A'))  HK (2*)

Do ABC là tam giác đ u c nh a nên CH 

C'


Xét tam giác A' HI ta có:
T

và

Hocmai – Ngôi tr

ta đ

1
1
1
16
4
52
3a 13
(3*)


 2  2  2  HK 
2
2
2
3a
9a
9a
26
HK
HI
HA'


2
MS 2
Do MS   MA nên M thu c đo n SA và

3
AS 5
d ( M , ( SBC )) MS 2
Ta có AM ( SBC )  {S} 


d ( A, ( SBC )) AS 5
2
 d ( M , ( SBC ))  d ( A, ( SBC )) (*)
5
M t khác: G i AH (SBC)  {I }



A

B

K
H

d ( A, ( SBC )) AI

 3  d ( A, ( SBC ))  3d ( H , ( SBC )) (2*)
d ( H , ( SBC )) HI

36 36 48
a 3
a 3
(3*)


 2  2  2  HK 
 d ( H , ( SBC )) 
2
2
2
3a
12
HK
HI
HS
a
a
12

và

ta đ

6 a 3 a 3
c: d ( H , ( SBC ))  .

10
5 12



AB  I  , suy ra:

K D

H

A
G
I

C
M

d (G, ( SAB)) GI GM 1
1


  d (G, ( SAB))  d ( H , ( SAB)) (1)
3
d ( H , ( SAB)) HI DM 3
B
Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t !!

T ng đài t v n: 1900 69-33

- Trang | 8 -


16
4
28
3a 7
(3)


 2  2  2  HK 
2
2
2
9a
3a
9a
14
HK
SH
HM

Xét tam giác SHM , ta có:

T (1); (2) và (3) suy ra d (G, ( SAB)) 
Bài 15 Cho lăng tr

a 7
.
14

ABCD. ABC
1 1 1 D1 có đáy ABCD là hình ch nh t, AB = a, AD  a 3 . Hình chi u

AB a

2
2

C1
600

A

a
a 3
 AH
 HM .tan HMA1  .tan 600 
1
2
2
K HI  CD ( I  CD) và HK  AI
1 ( K  AI
1 )

 CD  ( AHI
)  CD  HK  HK  ( ACD
)
1
1

K

M

1
4
4
8
a 6

 2  2  2  2  HK 
2
2
HK
AH
HI
3a
3a
3a
4
1

a 6
.
4

Bài 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông t i A và D; AB  AD  2a , CD = a; góc
gi a hai m t ph ng ( SBC ) và ( ABCD) b ng 600 . G i I là trung đi m c a c nh AD. Bi t hai m t ph ng
( SBI ) và ( SCI ) cùng vuông góc v i m t ph ng ( ABCD) , tính theo a kho ng cách t

I t im t

ph ng ( SBC ) .



( AB  DC ). AD (2a  a ).2a

 3a 2
2
2

SIAB  SIDC

I
M

AI . AB ID.DC 3a 2



2
2
2

Suy ra SIBC  SABCD  ( SIAB  SIDC ) 

3a
2

B

H

D

( ABC ) b ng 600 ; tam giác ABC vuông t i C và BAC  600 . Hình chi u vuông góc c a đi m B ' lên m t

ph ng ( ABC ) trùng v i tr ng tâm G c a tam giác ( ABC ) . Tính theo a kho ng cách t G t i m t
ph ng ( BCC ' B ') .

Gi i:
G i I là trung đi m c a AC . Do B ' G  ( ABC ) , suy ra

B'

A'

góc t o b i BB ' và m t ph ng ( ABC ) là B ' BG  600


a 3
 B ' G  BB '.sin B ' BG 
2

 BG  BB '.cos B ' BG  a  BI  3 BG  3a

2
2
4

C'
B

600



Hocmai – Ngôi tr

2
GK BG 2
a 13
và BC  ( B ' GK) (1)

  GK  CI 
3
26
CI
BI 3

ng chung c a h c trò Vi t !!

T ng đài t v n: 1900 69-33

- Trang | 10 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng)

Chuyên đ : Hình h c không gian

K GH  B ' K ( H  B ' K ) (2) . Theo (1) suy ra BC  GH (3)
T (2) và (3) suy ra GH  ( BCC ' B ')  d (G,( BCC ' B '))  GH
Ta có



( SAB)  ( ABCD)

Ta có ( SAB) ( ABCD)  AB  SH  ( ABCD)
 SH  AB

Do AB2  4a 2  SA2  SB2 , suy ra tam giác SAB vuông t i S Khi đó
1
1
1
1
1
4
a 3
 2  2  2  2  2  SH 
2
3a
3a
2
SH
SA SB
a

A K

D

H

N

2
2
2
2
2
4

Ta có CM  CN  a  MN  a 2 và AH 

Suy ra SAHND  SHBM  SNCM

 SHNM  SABCD  ( SAHND  SHBM  SNCM  4a 2 
Khi đó HI 

11a 2 5a 2

4
4

2SHNM
5a 2
5a 2


8
MN
4.a 2

Xét tam giác SHI , ta có:
V y d ( H , ( SMN )) 

14

ng chung c a h c trò Vi t !!

Giáo viên

: Nguy n Thanh Tùng

Ngu n

:

T ng đài t v n: 1900 69-33

Hocmai.vn

- Trang | 11 -