HOCMAI.VN

GV: Nguyễn Thanh Tùng

facebook.com/ ThayTungToan

PHƯƠNG PHÁP TIẾP CẬN CÁC BÀI TOÁN
PT – BPT – HPT CHỨA THAM SỐ
Giáo viên: Nguyễn Thanh Tùng

Hocmai.vn

DẠNG 1: BÀI TOÁN CÔ LẬP ĐƯỢC THAM SỐ
Ví dụ 1 (Nguyễn Thanh Tùng). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình:

x3  5 x 2  9 x  m  2 x  1
2) có một nghiệm thực.
Giải

1) có nghiệm thực.

3) có hai nghiệm thực.

1

2 x  1  0
x 
Ta có x  5 x  9 x  m  2 x  1   3

2
2

0

0

+
+∞

25

f(x)

+∞

8

4

Dựa vào bảng biến thiên ta có:
1) Phương trình có nghiệm thực khi: m  4 .
25
hoặc m  4 .
8
25
3) Phương trình có hai nghiệm thực khi: 4  m   .
8

2) Phương trình có một nghiệm thực khi: m  

Ví dụ 2 (Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc – 2014). Cho phương trình x 2  (m  2) x  4  (m  1) x3  4 x , với m là tham
số thực. Tìm m để phương trình có nghiệm thực.

x2  4
 m  2  (m  1)
x
x

AM  GM



2. x.

4
 2.
x

Khi đó phương trình có dạng: t 2  m  2  (m  1)t  m(t  1)  t 2  t  2  m 

t2  t  2
t 1

(2).

t2  t  2
Xét hàm số f (t ) 
với t  2 .
t 1

t 2  2t  3
; f '(t )  0  t 2  2t  3  0  t  1 hoặc t  3 và có lim f (t )   .
2

Ứng với mỗi t thỏa mãn t  2 thì phương trình (1) có nghiệm. Vậy m  7 là đáp số của bài toán.
 CHÚ Ý QUAN TRỌNG
Chú ý 1
Trong bài toán này nếu đề bài thay đổi câu hỏi, bởi các chuỗi câu hỏi sau:
Tìm m để phương trình:
1) có 1 nghiệm thực duy nhất.
2) có 2 nghiệm thực phân biệt.
3) có 3 nghiệm thực phân biệt.
4) có 4 nghiệm thực phân biệt.
Thì rất nhiều học sinh sẽ mắc sai lầm và đưa ra kết quả như sau:
Dựa vào bảng biến thiên ta được :
1) phương trình có 1 nghiệm thực duy nhất khi: m  7 hoặc m  8 .
2) phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt khi: 7  m  8
3) không có giá trị của m để phương trình có 3 nghiệm thực phân biệt.
4) không có giá trị của m để phương trình có 4 nghiệm thực phân biệt.
Song các kết quả trên đều không chính xác. Vì đáp án trên chỉ đúng với nghiệm là ẩn t trong phương trình (2)
nhưng không phải số nghiệm x trong phương trình (1). Bởi không có sự tương ứng 1 – 1 hoàn toàn trong
Tham gia các khóa học PEN - C & I & M môn Toán của Thầy Nguyễn Thanh Tùng trên HOCMAI.VN
tự tin chinh phục thành công kì thi THPTQG sắp tới !
2


HOCMAI.VN

GV: Nguyễn Thanh Tùng

facebook.com/ ThayTungToan

x2  4
(*). Hay nói cách khác, ứng với mỗi giá trị t trong phương trình (*) không phải

8

7
Do đó dựa vào bảng biến thiên ta nhận thấy:
+) Với m  7 thì t  3 , suy ra phương trình (1) có 2 nghiệm thực phân biệt.
+) Với 7  m  8 thì (2) có hai nghiệm t1 , t2 thỏa mãn 2  t1  3  t2 , suy ra (1) có bốn nghiệm thực phân biệt.
+) Với m  7 thì (2) có hai nghiệm t1 , t2 thỏa mãn 2  t1  3  t2 , suy ra (1) có ba nghiệm thực phân biệt.
+) Với m  8 thì (2) có một nghiệm t  (3; ) , suy ra phương trình (1) có hai nghiệm thực phân biệt.
Vậy từ đây ta có câu trả lời chính xác cho các câu hỏi trên là:
1) không có giá trị của m để phương trình có 1 nghiệm thực duy nhất.
2) phương trình có 2 nghiệm thực khi: m  7 hoặc m  8 .
3) phương trình có 3 nghiệm thực khi: m  8 .
4) phương trình có 4 nghiệm thực khi: 7  m  8 .
Chú ý 2
Trong nhiều bài toán việc tìm tập giá trị của biến mới ta có thể sử dụng luôn công cụ hàm số để làm điều này.

x2  4
ngoài cách sử dụng đánh giá bằng bất đẳng thức AM – GM để
x
tìm miền giá trị của t như ở cách giải trong ví dụ trên,
+∞
∞
2
x
2
0
ta có thể làm như sau:
Ví như trong bài toán trên khi đặt t 

g'(x)

 g ( x) . Cụ thể: g ( x)  4 hay t  2 thì cho ta 1 nghiệm x, còn g ( x)  4 hay t  2 thì suy ra
x
có 2 nghiệm phân biệt x. Các bạn sẽ thấy rõ được điều này qua ví dụ 3 tiếp theo.
trình t 

Tham gia các khóa học PEN - C & I & M môn Toán của Thầy Nguyễn Thanh Tùng trên HOCMAI.VN
tự tin chinh phục thành công kì thi THPTQG sắp tới !
3


HOCMAI.VN

GV: Nguyễn Thanh Tùng

facebook.com/ ThayTungToan

Ví dụ 3 (Chuyên Vinh – 2013 ). Cho phương trình (m  1) ( x2  2)3  ( x  4)(11x 2  8x  8)  0 , với m là tham
số thực. Tìm m để phương trình có bốn nghiệm thực phân biệt.
Giải
Biến đổi phương trình: (m  1) ( x 2  2)3  ( x  4) ( x  4) 2  12( x 2  2)   0
 (m  1) ( x2  2)3  ( x  4)3  12( x  4)( x 2  2)  0
3

 x4 
x4
 m 1  
 12
 0 (chia cả hai vế phương trình cho

2

 1 .
2
2
2
x

2
( x  2) x  2
x 2
x2  2
Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra tập giá trị của t là t   1;3 .

1

Cụ thể:
+) Với t  3 hoặc t  (1;1) phương trình (*) có đúng một nghiệm.

∞

x

2

t'

+) Với t  (1;3) phương trình (*) có hai nghiệm thực phân biệt.

0

+


+∞

3
+

+

12
f(t)

8
10
15

Để phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt thì phương trình (2) phải có 2 nghiệm phân biệt t1 , t2 thuộc
khoảng (1;3) hay 1  t1  t2  3 .
Dựa vào bảng biến thiên ta được m (15; 10) thỏa mãn bài toán. Vậy m (15; 10) là đáp số của bài toán.
Ví dụ 4 (Chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An). Cho bất phương trình mx 4 x





3

1  x  1  x3  3x  1 .

Tìm các số thực m để bất phương trình trên có nghiệm thực.
Giải


x x





1  x 1



1  x 1

3



3



 f ( x) .



1  x 1

3

với x   0;1 .

1  x
3  x  3
0


Do x   0;1   x

 f ( x)  3 . Dấu “=” xảy ra khi x  1 .
1

1
0  1  1  x  1 
3

 4 x 1 1 x

Suy ra min f ( x)  3 khi x  1 . Khi đó để bất phương trình có nghiệm thì m  min f ( x)  3 .
3





x 0;1

x 0;1

Vậy m  3 là đáp số của bài toán.
Ví dụ 5 (Lương Thế Vinh – Hà Nội). Cho bất phương trình
1  x  3  x  m  3  2 x  x 2  2 , với m là


2 1  x 2 3  x 2 (1  x)(3  x)

t '  0  3  x  1  x  x  1.

x

1

1

t'

+

Dựa vào bảng biến thiên ta có t   2; 2 2  .

3

0
2 2

t

Cách 2: Ta có: t 2  4  2 (1  x)(3  x) .
Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta được:

2

2

m  t   f (t )
m  tmin

t 2;2 2 
2;2 2 



4




GV: Nguyễn Thanh Tùng

t4
với t   2;2 2  . Ta có f (t )  1  t 3  0 với t   2;2 2  .




4
Suy ra hàm số f (t ) nghịch biến trên đoạn  2;2 2  , suy ra min f (t )  f 2 2  2 2  16 .


t 2;2 2 
Xét hàm số f (t )  t 





Giải
Điều kiện: xy  0 .
m  3( x  1) 2  y

2

(1  x) 2
(1  x) 2
m  3( x  1)  y

Hệ được viết lại: 
 y 
 m  3( x  1) 2 
x
x
 xy  1  x


x  1


(1  x)2
x 2  1 ( x  1)(3x  1)(2 x  1)
với x  1. Ta có f '( x)  6( x  1)  2 
;
x
x
x2
1


+∞

+

+∞

+∞

20
15

f(x)
4

12

3

4
∞

15   20 

Từ bảng biến thiên suy ra hệ có 3 cặp nghiệm thực phân biệt khi: m   4;     ;12 .
4  3



Tham gia các khóa học PEN - C & I & M môn Toán của Thầy Nguyễn Thanh Tùng trên HOCMAI.VN


Đặt z  y  1 với z  0 , khi đó hệ trở thành:  3
.
2

 x  3xz  m  2

Nhận thấy z  0 không là nghiệm của hệ, do đó z  0 .
3 2

(1)
 z (t  2t )  1
Đặt x  tz , hệ được viết lại:  3 3
.
z
(
t

3
t
)

m

2
(2)



Do z  0 nên từ (1)  t 2  2t  0  t  0 hoặc t  2 .


Ta có lim f (t )   ; lim f ( t)   và lim f (t )   , khi đó ta có bảng biến thiên:
x

x

t

x2

∞

f '(t)

0

1

2

3
0

+
+∞

f (t)

3
∞



GV: Nguyễn Thanh Tùng

HOCMAI.VN

facebook.com/ ThayTungToan

TỔNG KẾT DẠNG 1
Như vậy qua các ví dụ trên ta có thể đưa ra cách giải chung cho dạng toán này như sau:
Bài toán: Tìm m để phương trình (bất phương trình, hệ phương trình) (*) có n nghiệm thực phân biệt.
(Trong đó m là tham số thực và x là ẩn ( hệ có x, y là ẩn).
CÁCH GIẢI CHUNG
 Bước 1: Cô lập m bằng cách:
 Chuyển vế.
 Thực hiện phép chia:
 Với phương trình, phải xét tính khác 0 trước khi chia.
 Với bất phương trình, chú ý về dấu của biểu thức bị chia.
 Bước 2: Xử lí vế chứa x. Cụ thể xét hàm y  f ( x) với x  D , bằng cách đi tìm miền giá trị của f ( x) .
Bởi một trong các hướng sau:
 Hướng 1: Đạo hàm trực tiếp và dùng bảng biến thiên.
 Hướng 2: Đặt ẩn phụ :
 Tìm miền giá trị của ẩn mới (dùng bất đẳng thức hoặc đạo hàm).
 Chuyển về Hướng 1 hoặc sang hướng 3.
 Hướng 3: Dùng bất đẳng thức .
 Bước 3: Kết luận dựa vào yêu cầu bài toán.

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN THÊM
x  1  m x  1  2 4 x 2  1  0 có nghiệm thực.
3x 2  1

5  x  4  x có nghiệm thực.
Đáp số: 2 3





5  2  m  12 .

Bài 6 (Lý Thái Tổ - Bắc Ninh – 2014). Tìm số thực m để phương trình sau có nghiệm thực:

2 x  3  (2  2m) x  3  (m  1) x 2  9 .

Đáp số: 2 3





5  2  m  12

Tham gia các khóa học PEN - C & I & M môn Toán của Thầy Nguyễn Thanh Tùng trên HOCMAI.VN
tự tin chinh phục thành công kì thi THPTQG sắp tới !
8


HOCMAI.VN

GV: Nguyễn Thanh Tùng


16
x

y

1



x 1








DẠNG 2: BÀI TOÁN KHÔNG CÔ LẬP ĐƯỢC THAM SỐ
(Đang cập nhật…)

CẢM ƠN CÁC BẠN ĐÃ ĐỌC TÀI LIỆU

GV: Nguyễn Thanh Tùng
Tham gia các khóa học PEN - C & I & M môn Toán của Thầy Nguyễn Thanh Tùng trên HOCMAI.VN
tự tin chinh phục thành công kì thi THPTQG sắp tới !
9