1

MỘT VÀI DẠNG TOÁN CHỨA THAM SỐ TRONG CÁC KÌ THI ðẠI HỌC, CAO ðẲNG
Cao Minh Quang, THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, Vĩnh Long. E-mail:
*****
Bài toán tìm tham số, thường là
m
, ñể phương trình, hệ phương trình, bất phương trình (ñại số) có
nghiệm, vô nghiệm hoặc nghiệm ñúng trong một ñoạn, khoảng, nửa khoảng nào ñó trong cấu trúc của ñề thi
tuyển sinh ñại học, cao ñẳng thường ở mức ñộ khó, ñể giải ñược những dạng toán này, học sinh cần nắm vững
cơ sở lý thuyết liên quan.
Cho tập
D
≠ ∅
. Khi ñó
a) Dạng 1. Phương trình
(
)
m f x
=
có nghiệm trên
D

(
)
(
)
min max
f x m f x
⇔ ≤ ≤

m f x
≥
có nghi
ệ
m trên
D

(
)
min
m f x
⇔ ≥
.
d) Dạng 4.
B
ấ
t ph
ươ
ng trình
(
)
m f x
<
có nghi
ệ
m trên
D

(
)

ng trình
(
)
m f x
>
nghi
ệ
m
ñ
úng v
ớ
i m
ọ
i
x D
∈
(
)
max
m f x
⇔ >
.
g) Dạng 7.
B
ấ
t ph
ươ
ng trình
(
)

ệ
m
ñ
úng v
ớ
i m
ọ
i
x D
∈
(
)
min
m f x
⇔ <
.
i) Dạng 9.
B
ấ
t ph
ươ
ng trình
(
)
m f x
≤
nghi
ệ
m
ñ

ươ
ng trình
(
)
m f x
≤
có nghi
ệ
m.
L
ư
u ý: Gi
ả
s
ử

(
)
f x
là m
ộ
t hàm
ñơ
n
ñ
i
ệ
u trên
D
.

t.
N
ế
u
[
)
,
D a b
=
ho
ặ
c
(
]
,
a b
ho
ặ
c
(
)
,
a b
,
a
có th
ể
là
−∞
,

p này thì ta c
ầ
n l
ậ
p b
ả
ng bi
ế
n thiên c
ủ
a hàm s
ố

ñể

kh
ả
o sát.
T
ừ
nh
ữ
ng l
ư
u ý này, ta nh
ậ
n th
ấ
y r
ằ

ỗ
i bài toán c
ụ
th
ể
.
Sau
ñ
ây là m
ộ
t s
ố
ví d
ụ
minh h
ọ
a cho d
ạ
ng toán này.
Bài toán 1.
Xác
ñị
nh
m

ñể
ph
ươ
ng trình
(

t
t
t mt m m
+
+
+ + + = ⇔ =−

(2).
Ph
ươ
ng trình (1) có nghi
ệ
m n
ế
u ph
ươ
ng trình (2) có nghi
ệ
m
[
]
0,2
t
∈
hay
[ ]
(
)
[ ]
(

t
t
f t
+
+
= −
,
[
]
0, 2
t
∈
.
ðạ
o hàm c
ủ
a hàm này là
( )
( )
(
)
( ) ( )
2
2
2 2
2 2 4
4 4
2 2
'
t t t

ñó
[ ]
(
)
[ ]
(
)
0,2
0,2
min 2,max 4 4 2
f t f t
= − = −
. Suy ra
2 4 4 2
m
− ≤ ≤ −
.
Bài toán 2.
Xác
ñị
nh
m

ñể
ph
ươ
ng trình
4 2
cos sin cos 2
x x x m

, 0,1
f t t t t
= − ∈
.
ð
i
ề
u ki
ệ
n
ñể
ph
ươ
ng trình (3) có nghi
ệ
m là
[ ]
(
)
[ ]
(
)
0,1
0,1
min max
f t m f t
≤ ≤
.
Xét hàm s
ố

i các
ñ
i
ể
m biên và
ñ
i
ể
m t
ớ
i h
ạ
n là
(
)
(
)
(
)
1 1
2 4
0 0, 1 0,f f f
= = = −
.
Do
ñ
ó
[ ]
(
)

m thu
ộ
c
ñ
o
ạ
n
[
]
4
0,
π
.
Lời giải. Phương trình ñã cho tương ñương với
(
)
(
)
2 2
2 2 2
sin sin
sin sin sin
1 1
6 36
2 3 .12
x x
x x x
m m
−
+ = ⇔ + =

t
≤ ≤
.
Ph
ươ
ng trình (4) có nghi
ệ
m khi và ch
ỉ
khi
(
)
(
)
1 1
6 6
,1 ,1
min min
f t m f t
   
   
   
≤ ≤
, trong
ñ
ó
(
)
2
f t t t

≤ ≤ ⇔ ≤ ≤
.
V
ậ
y
1 6
6
2
m
+
≤ ≤
.
Bài toán 4.
Xác
ñị
nh
m

ñể
b
ấ
t ph
ươ
ng trình
(
)
(
)
2
1 1

2
x
x
t
≥ =
.
B
ấ
t ph
ươ
ng trình (5)
ñượ
c vi
ế
t l
ạ
i d
ướ
i d
ạ
ng
2
3 1
t t m
+ + >
.
Xét hàm s
ố
(
)

ươ
ng trình có nghi
ệ
m khi
[
)
(
)
2,
min
m f t
+∞
<
hay
11
m
<
.
Bài toán 5.
Xác
ñị
nh
m

ñể
b
ấ
t ph
ươ
ng trình

sao cho v
ớ
i m
ọ
i
[
]
0,2
x
∈
, ta ph
ả
i có
t

2
+∞

(
)
'
f t

+
(
)
f t+∞

ðiều kiện ñể (6.1) xảy ra là
[ ]
(
)
0,2
max
m f x
>
,
ñ
i
ề
u ki
ệ
n
ñể
(6.2) x
ả
y ra là
[ ]
(
)
0,2
8 min
m f x
− <
, trong
ñ
ó
(

Giá tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố
t
ạ
i các
ñ
i
ể
m biên và
ñ
i
ể
m t
ớ
i h
ạ
n là
(
)
(
)
(
)
0 0, 1 1, 2 0
f f f
= = =

ñể phương
trình trên có ít nhất một nghiệm thuộc
3
1,3
 
 
 
.
Lời giải.

ðặ
t
2
3
log 1
t x
= +
, phương trình (7) ñược viết lại dưới dạng
2
2 2
t t m
+ = +
(8).
V
ới
3
1,3
x
 
∈

1,2
t
∈
hay
[ ]
(
)
[ ]
(
)
1,2
1,2
min 2 2 max
f t m f t
≤ + ≤
, trong
ñ
ó
(
)
2
f t t t
= +
.
Vì
(
)
f t
là hàm
ñồ

ñể
h
ệ
ph
ươ
ng trình
1
1 3
x y
x x y y m


+ =




+ = −



có nghi
ệ
m.
Lời giải.

ðặ
t
, , 0, 0
a x b y a b

0
t t m
− + =
(9). Vì
, 0
a b
≥
và
1
a b
+ =
nên
[
]
0,1
t
∈
.
Phương trình (9) có nghiệm
[
]
0,1
t
∈
khi và chỉ khi
[ ]
(
)
[ ]
(

(
)
f t
t
ạ
i
ñ
i
ể
m t
ớ
i h
ạ
n và
ñ
i
ể
m biên là
(
)
(
)
(
)
1 1
2 4
0 1 0,f f f
= = = −
.
Do

3 1 1 2 1
x m x x
− + + = −
(10) có nghiệm.
Lời giải. ðiều kiện
1
x
≥
. Phương trình (10) tương ñương với
24
1 1
1 1
3 1 2 1 1 3 2
x x
x x
x x m x m
− −
+ +
− − + − = + ⇔ − + =
(11).
ðặt
1
2
4
4
1 1
1
x
x x
t

= −
, ta có
(
)
(
)
1
3
' 6 2, ' 0f t t f t t
= − + = ⇔ =
.

4

Hàm số
(
)
f t
ñồng biến trong
(
)
1
3
0,
, nghị
ch bi
ế
n trong
(
)

(
)
(
)
3 6 3 6
x x x x m
+ + − − + − =
có nghiệm. ðS.
6 2 9
2
3
m
−
≤ ≤
.
2. Xác
ñị
nh
m

ñể
ph
ươ
ng trình
6 4 4 2 2
3cos 2 sin cos 2 cos . 1 3cos 2
x x x m x x
+ + − = +
có nghi
ệ

S.
2 2
m
≤
.
4. Xác
ñị
nh
m

ñể
b
ấ
t ph
ươ
ng trình
2
2 5
x x m
+ − <
có nghi
ệ
m.
ð
S.
2 5
m
>
.
5. Xác

2
.4 1 .2 1 0
x x
m m m
+
+ − + − >

ñ
úng v
ớ
i m
ọ
i
x
∈
ℝ
.
ð
S.
1
m
≤
.
7. Xác
ñị
nh
m

ñể
ph

x
≥
. ðS.
2
m
<
.
9. [Kh
ối B_2007] Chứng minh rằng phương trình
(
)
2
2 8 2
x x m x
+ − = −
có hai nghiệm thực phân
bi
ệt với mọi giá trị dương của tham số
m
.
10. [Kh
ối D_2007] Tìm giá trị của tham số
m
ñể hệ phương trình sau có nghiệm thực
3 3
1 1
3 3
1 1
5
15 10