DOÃN XUÂN HUY - THPT Ân Thi-Hưng Yên

1
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

I.Một số PT,BPT vô tỷ thông thường:

1/ 3 6 3;2/ 4 1 1 2 ;3/ 9 5 2 4;4/ ( 1) ( 2) ( 3)x x x x x x x x x x x x x                 2 2 2
5/ 2 8 6 1 2 2;6/ ( 1) ( 2) 2 ;7/( 1 1)( 1 1) 2x x x x x x x x x x x x              8/ 11 11 4;9/ 2 1 2 1 2;10/ 3 4 1 8 6 1 1x x x x x x x x x x x x                   22
4 1 3 20 20 2 2
11/ ;12/ 6;13/ 2 2
2 2 2 2
x x x x
x x x
xx
x x x x x x
   
     
   
   

22
20/ 2 1 ( 1 1) 0 ( 1 1)( 1 1 ) 0 2x x x x x x x x x x                
.

2
21/ 4 1 4 1 1( 1/2 1/ 2);22/ ( 2)(2 1) 3 6 4 ( 6)(2 1) 3 2x x x VT VP x x x x x x x                  

( ) ( 6 2).( 2 1 3) ( ). ( ) 4 5f x x x x g x h x x           
g(x)&h(x) đồng biến trên
(5; ) 
f(x) đồng

biến trên khoảng đó nên PT có nghiệm duy nhất x = 7.

   
23/ ( 1)(4 ) 2(4 1);24/ 1 3 4( 0);25/ 3 2 8 7 ( 4;5 6;7 )x x x x x x x x x x                2 2 2
26/ 2 3 5 2 ( 2 2);27/ 3 2 6 5 2 9 7( 5; 1)x x x x x x x x x x x                   
 
2 2 2 2
28/ 4 3 2 3 1 1 1 (4 13)/ 2;1/2 ;29/( 3) 4 9( 13/ 6; 3)x x x x x x x x x x

               


                
22
1 1 1 1 1
34/ 0 0;35/ 3 2 1 1( 2; 1)
2 ( 2)
11
x
x x x x x x x
x x x
x

               

2
7 21 11 13
36/ 1 4 2 1( 0);37/ 5 9 1 ; ;9 ;38/ 2 6 1 1( 0;0 2)
22
x x x x x x x x x x
   

               
   
   
   
2 2 2 2 2
1/ 3 3 3 6 3;2/3 15 2 5 1 2;3/ 7 4 4 ( 2)( 1;2)x x x x x x x x x x x x x t t                 2 2 2 2 2 2 2
4/ 4 1 2 2 9;5/ 3 2 1;6/ 11 31x x x x x x x x x x x x                2
7/3(2 2) 2 6( 2 3;(11 3 5)/ 2)x x x x t x         2 2 2 2 2 2 2
8/ / 1 2 2( 1) /( 1) 2 / 1 8 2 8 0x x x x x x x x x t t             2 3 2 2 3 2 3
9/ 2 5 1 7 1( 1 0; 1 0);10/2( 3 2) 3 8;11/ 2( 2) 5 1x x x u x v x x x x x x x                 23
12/ 2 4 2 4 ;13/ 1 3 2 ( 1)( 3) 4 2 ( 1 3);x x x x x x x x x t x x               22
14/ 4 4 2 2 16 12;15/ 3 2 1 4 9 2 3 5 2x x x x x x x x x              

3 3 3 3
33
1 2 3
27'/8 1 162 27 1 3 3 1 3 1 0 8 6 1 0; 2 3 1 0 ; ;x x u u u u x x x cosy cos y x x x                   

3 2 2 2
33
33
29/ (3 ) 3 3 ( 3) ,( 3 ( 3) );30/ 2 1 1,( 2 ; 1)x a a x a a t x a a x x u x v x               33
3 3 3 3 3 3
31/ 7 1;32/ 1 1 2;33/ 4 3 1,( 4; 3 7)x x x x x x u x v x u v                  3 3 3
2 2 2
3 3 3 3 3 3
34/ 2 1 1 3 1;35/ 2 1 16 2 1;36/ 7 8 6 7 2 13 12 3x x x x x x x x x x x x                 2
4 4 4
33
44
2 1 1 3 2 1 1
37/ 2;38/ 2 4 , 1; ;39/ 1 1 1 1 1
1 2 2 2 2



                

2
3
33
2
33
33
1
7 5 2
46/ 6 2 ( ) 0 5 7;47/ 1 (: ; )
3
75
2
ab
a
xx
x ab a b x x x t HVN
ab
xx
ab



  

0
52/( 1) ( 1) 3 1 0,( 1 2 3/9 3 2 0, : 1)x x x x t x x t t TM n x                DOÃN XUÂN HUY - THPT Ân Thi-Hưng Yên

4
2
0
3 1 1 16 6 7 16 6 7
53/3 2 7, 2 3 9 0 3 : 0; ;
2 4 4
22
x x t x t t t n
x
xx

   

             

   
   

   

4 2 2


Tìm các giá trị của m để PT sau có nghiệm:

2
1/ 2 2 (2 )(2 ) ;( 2 2 4 2 (2 )(2 ) 2 2 2x x x x m t x x t x x t                  2
2 2 4 ( ) 4 2 4;4 2 2 2;2m t t f t m
   
          
   

2
1
2/ 5 1 5 6 ,(2 2 2 2);3/( 3)( 1) 4( 3) ,( 4)
3
x
x x x x m m x x x m m
x

                 
2
4/ 3 6 ( 3)(6 ),(3 2 4,5 3);5/ 9 9 ,( 2,25 10)x x m x x m x x x x m m                  22

                    


2
4
2 1;1 );14/ ( ) 1 ,( '( ) 0 0 0;1 )f x x x m f x x m

          
15/ 12 ( 5 4 ); ( ) ( 12)/( 5 4 )x x x m x x f x x x x x x           
là hs đồng biến trên đoạn

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5
 
22
0;4 2 15 4 3 12;16/ 2 2 2 1 2 4 ,( 1)m x x m x x m           2
17/ 6 9 6 9 ( )/6; 6( 3 3) 9 ( ) 27,( 9 0)x x x x x m m t t t f t t x                 22

.

2 3 2
3 3 4 3 3 22
'( ) 1 4
2
1 2 1
x
f x x m m
x x x



        



  

23/ Tìm m để PT sau có 2 nghiệm phân biệt:
23
2 2 1 3 4 2x mx x x   2 3 2 3
3
2 1 3 4 2 (2 1)( 4 2 3 )

2
0
( : 2; 2 ( ) ( 2)( 4) '( ) 3 ( 4) 0n x x m f x x x f x x x           
nếu m > 0 thì PT có 2 nghiệm 2 và
2
2)x 25/ Tìm m đê PT sau có nghiệm dn:
3
4
1 2 (1 ) 2 (1 )x x m x x x x m      

- ĐK cần: dễ thấy nếu PT có nghiệm
 
0;1a
thì nó cũng có nghiệm 1 – a . Do đó để nó có nghiệm duy nhất thì
a = 1-a
3
1/ 2 2 2 0; 1a m m m        

- ĐK đủ: thay m = 0;- 1; 1 vào PT ta thấy 0 và – 1 TMYCBT.

26/ Tìm các giá trị của m để BPT sau TM với mọi
 
2
1;1 : 1 ,( 2)x x x m m     27/ Tìm các GT của m để BPT sau có nghiệm:


22
( 2 0; 3 ( ) 3 3;3,25 3)t x x m f t t t m
   
           
   29/ Tìm các giá trị của a để BPT sau có nghiệm với mọi x:
2
27a x x a  

2
21 21 21
( ) ;
6 6 6
2 7 1
x
a f x a
x


       





