SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG I

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHÁT TRIỂN TƯ DUY HÀM CHO HỌC SINH
QUA CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

Người thực hiện: Trần Thanh Minh
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc môn: Toán

THANH HOÁ, NĂM 2016
1


MỤC LỤC
Nội dung
I. MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài.
2. Mục đích của đề tài.
3. Đối tượng, phạm vi.
4. Phương pháp nghiên cứu.
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
1. Các mệnh đề và tính chất thường dùng.
2. Các dạng toán cụ thể.
Dạng 1. Các bài toán sử dụng hàm số đại diện.
Dạng 2: Các bài toán áp dụng trực tiếp đạo hàm
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
3. Hiệu quả của sáng kiến

qua các bài toán về phương trình vô tỉ” nhằm giúp các em học sinh có thêm
một phương pháp nữa khi khi giải các bài toán về phương trình vô tỉ .
2. Mục đích yêu cầu.
- Trang bị cho học sinh thêm một phương pháp giải phương trình vô tỉ
mang lại hiệu quả cao.
- Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó học
sinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo khi giải toán.
3. Đối tượng nghiên cứu.
- Các dạng toán về phương trình vô tỉ trong chương trình toán học phổ
thông.
- Phân loại các dạng toán thường gặp và phương pháp giải.
4. Phương pháp nghiên cứu.
Phương pháp chung của dạng bài tập này: Sử dụng các tính chất về tính
đơn điệu của hàm số để giải.
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
1. Các mệnh đề và tính chất thường dùng.
a) Cho hàm số y = f ( x) xác định trên khoảng ( a; b ) . Nếu hàm số
y = f ( x) đơn điệu trên khoảng ( a; b ) thì phương trình f ( x) = 0 , nếu có nghiệm
trên khoảng ( a; b ) thì nghiệm đó là duy nhất.
b) Cho hàm số y = f ( x) đơn điệu trên khoảng ( a; b ) , ∀x1; x2 ∈ ( a; b ) .
Ta có f ( x1 ) = f ( x2 ) ⇔ x1 = x2 .
c) Cho phương trình f ( x) = g ( x) xác định trên khoảng ( a; b ) . Nếu một
trong hai hàm số f ( x) hoặc g ( x) là hàm đơn điệu trên khoảng ( a; b ) , hàm còn
3


lại là hàm hằng số hoặc đơn điệu ngược lại với hàm kia trên khoảng ( a; b ) , thì
phương trình nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.
2. Các dạng toán cụ thể.
Dạng 1. Các bài toán sử dụng hàm số đại diện.

x ≥ 0

(2) ⇔ f (2 x) = f ( 5 − 2 x ) ⇔ 2 x = 5 − 2 x ⇔ 

4 x + 2 x − 5 = 0
−1 + 21
Vậy nghiệm của phương trình là x =
4
2

)

(

⇔x=

(

−1 + 21
4

)

2
2
Ví dụ 2. Giải phương trình: ( 2 x + 1) . 2 + 4 x + 4 x + 4 + 3 x 2 + 9 x + 3 = 0 (1)

Giải:
Tập xác định: D = R


> 0, ∀t ∈ R

Vậy hàm số đồng biến trên D = R
Phương trình (2) ⇔ f (2 x + 1) = f (−3x) ⇔ 2 x + 1 = −3 x ⇔ x = −
Vậy nghiệm của phương trình (1) là x = −

1
5

1
5

Ví dụ 3. Giải phương trình: x3 + 3x 2 + 4 x + 2 = ( 3x + 2 ) 3x + 1 (1)
Giải:
Điều kiện xác định x ≥ −

1
3



Tập xác định: D =  − ; +∞ ÷
 3

1

(1) ⇔ ( x + 1)3 + x + 1 = ( 3x + 1 ) + 3x + 1 (2)
3

Xét hàm số f (t ) = t 3 + t , t ∈ R.

⇔ 2
⇔
x = 2
x − 4x + 3 = 0

f ( x + 2) = f

(

)

2x 2 + 7 ⇔ x + 2 = 2x 2 + 7

x = 1

Vậy nghiệm của phương trình là 
.
x = 2
3
2
Ví dụ 5. Giải phương trình: 2 x + 9 x − 6 x ( 1 + 2 6 x − 1 ) + 2 6 x − 1 + 8 = 0 (1)
Giải:

5


1
6

Điều kiện xác định x ≥

3

2

3

2

Xét hàm số f (t ) = t 3 + t 2 + t , t ∈ R.
Đạo hàm f '(t ) = 3t 2 + 2t + 1 > 0, ∀t ∈ R. vậy f (t ) đồng biến trên R.
3

x≥

3
2


x ≥
⇔   x = 2 ⇔ x = 2.
(2) ⇔ f ( x − 1) = f (2 x − 3) ⇔ x − 1 = 2 x − 3 ⇔  2
2
4 x − 13 x + 10 = 0

5

 x =
4

Vậy nghiệm của phương trình là x = 2.


Ví dụ 8: Giải phương trình: x3 − 4 x 2 − 5 x + 6 = 3 7 x 2 + 9 x − 4 (1)
Giải:
6


Tập xác định: D = R
Phương trình (1) ⇔ ( x + 1)3 + x + 1 =

(

3

)

3

7 x2 + 9 x − 4 + 3 7 x2 + 9 x − 4

(2)

Xét hàm số f (t ) = t 3 + t , t ∈ R
Đạo hàm f '(t ) = 3t 2 + 1 > 0, ∀t ∈ R hàm số đồng biến R
(2) ⇔ f ( x + 1) = f

(

3

)

x = 8

(2) ⇔ f ( x − 5 ) = f 3 7 x − 9 ⇔ x − 5 = 3 7 x − 9 ⇔ x − 15 x + 68 x − 96 = 0 ⇔  x = 4
 x = 3
x = 8

Vậy phương trình có nghiệm là  x = 4
 x = 3

(

)

3

2

Ví dụ 10: Giải phương trình ( x + 5) x + 1 + 1 = 3 3x + 4 (1)
Giải:
Điều kiện xác định x ≥ −1
Tập xác định: D = [ −1; +∞ )
(1) ⇔ ( x + 1 + 1) + ( x + 1 + 1) = ( 3 3x + 4 ) + 3 3 x + 4 (2)
3

3

Xét hàm số f (t ) = t 3 + t , t ∈ R
Đạo hàm f '(t ) = 3t 2 + 1 > 0, ∀t ∈ R hàm số đồng biến R
(2) ⇔ f ( x + 1 + 1) = f ( 3 3x + 4 ) ⇔ x + 1 + 1 = 3 3x + 4
Đặt

Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng f ( x) = g ( x) (hoặc f (u ) = g (u ) )
Bước 2: Xét hàm số y1 = f ( x ); y2 = g ( x) trên D .
- Tính y1 ' , xét dấu y1 ' , kết luận về tính đơn điệu của hàm số y1 = f ( x ) trên D .
- Tính y2 ' , xét dấu y2 ' , kết luận về tính đơn điệu của hàm số y2 = g ( x) trên D .
- Kết luận hai hàm số y1 = f ( x ); y2 = g ( x) đơn điệu ngược nhau hoặc môt trong
hai hàm là hàm hằng số.
- Tìm x0 sao cho f ( x0 ) = g ( x0 ) (hoặc tìm u0 sao ch f (u0 ) = g (u0 )
Bước 3: Kết luận.
- Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi x = x0 (hoặc u = u0 rồi giải phương trình
u = u0 ).
- Kết luận nghiệm của phương trình đã cho.
Các ví dụ cụ thể:
Ví dụ 1.Giải phương trình: 3 + x 2 + x − 3 = 0 (1)
Giải
Tập xác định: D = [ 0; +∞ )
Đặt f ( x ) = 3 + x 2 + x − 3
(1) ⇔ f ( x) = 0
Xét hàm số f ( x ) = 3 + x 2 + x − 3 trên D
Đạo hàm f ' ( x ) =

x
3 + x2

+

1
2 x

> 0; ∀x > 0


Giải

Tập xác định: D = [ 2; +∞ )
Đặt f ( x) = 4 4 x − 8 + 2 x + 4
(1) ⇔ f ( x) = 6
Xét hàm số f ( x) = 4 4 x − 8 + 2 x + 4 trên D
Đạo hàm f '( x) =

1
4

( 4 x − 8)

3

+

1
> 0; ∀x > 2
2x + 4

Vậy hàm số đồng biến trên D
Nên phương trình (1) nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất, ta thấy x = 6 là
nghiệm của (1)
Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 6.
Ví dụ 4: Giải phương trình x + 1 + x + 6 + x − 2 = 6 (1)
Giải:
Tập xác định: D = [ 2; +∞ )
Đặt f ( x) = x + 1 + x + 6 + x − 2
(1) ⇔ f ( x) = 6

(1) ⇔ f ( x) = 2 3
Xét hàm số f ( x) = 2 x3 + 3x 2 + 6 x + 16 − 4 − x trên D = [ −2; 4]
3( x 2 + x + 1)

Ta có đạo hàm f '( x) =

+

1
> 0, ∀x ∈ (−2; 4)
2 4− x

2 x 3 + 3 x 2 + 6 x + 16
⇒ Hàm số f ( x) đồng biến đoạn D = [ −2; 4] . Nên phương trình (1) nếu có nghiệm

thì nghiệm đó là duy nhất, ta thấy f (1) = 2 3
Nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Ví dụ 6. Giải phương trình: x − 3 1 − x = 5 − 4 x (1)
Giải:
Tập xác định D = [ 0; +∞ )
(1) ⇔ x − 3 1 − x + 4 x = 5 (2)
Đặt f ( x) = x − 3 1 − x + 4 x
(2) ⇔ f ( x) = 5
Xét hàm số f ( x) = x − 3 1 − x + 4 x Trên D = [ 0; +∞ )
Đạo hàm

f '( x) =

1
2 x


Xét hàm số f ( x) = x 5 + x 3 − 1 − 3 x + 4 trên D =  −∞; 
3
1



'
4
2
Ta có f ( x) = 5 x + 3 x +



3
1
> 0, ∀x


1
2
'
−
> 0, ∀x >
Đạo hàm f ( x) = 3 + x  2
÷
3
x 2 + 15 
 x +8
2

Vậy f ( x) đồng biến trên khoảng  ; +∞ ÷ ⇒ phương trình (2) nếu có nghiệm thì
3



nghiệm đó là duy nhất.
Ta thấy x = 1 là nghiệm của phương trình .
Vậy nghiệm của phương trình (1) là x = 1.
Ví dụ 9.Giải phương trình:
( x + 2 ) ( 2 x − 1) − 3 x + 6 = 4 − ( x + 6 ) ( 2 x − 1) + 3 x + 2 (1)
Giải:
1
Điều kiện xác định x ≥
2


Tập xác định: D =  ; +∞ ÷

Ví dụ 10. Giải phương trình: 3x − 8 − x − 1 =
Giải

5
(1)
2 x − 11

8

 x ≥ 3
Điều kiện xác định 
 x ≠ 11

2
 8 11   11

Tập xác định D =  ; ÷∪  ; +∞ ÷
3 2   2


Xét f ( x) = 3x − 8 − x + 1; g ( x) =
Phương trình (1) ⇔ f ( x) = g ( x)

5
với x ∈ D
2 x − 11

9 x + 9 − 3x − 8
3
> 0 ∀x ∈ D \   ⇒ f ( x ) đồng biến trên nữa khoảng

2


x = 3
⇒ phương trình (1) có nhiều nhất hai nghiệm trên D . Ta thấy 
là hai
x = 8

nghiệm của (1).
x = 3

Vậy nghiệm của phương trình (1) là 
x = 8
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Giải các phương trình sau:
1) ( 5 x − 6 ) −
2

2)

1
1
= x2 −
5x − 7
x −1

x +1 − 2
1
=
3

48,8%
18
43,9%
3
7,3%
12B1 41
3
7,3%
20
48,8%
18
43,9%
Qua đó tôi thấy đề tài đã mang lại hiệu quả khá cao khi cho học sinh giải các
phương trình vô tỉ.
III. KẾT LUẬN
- Hàm số có rất nhiều ứng dụng và một trong các ứng dụng đó là sử dụng tính
đơn điệu của hàm số vào việc giải phương trình vô tỉ mà tôi đã trình bày ở trên.
- Đề tài đã nêu được phương pháp giải cho các dạng toán về các loại phương
trình, đồng thời cũng đưa ra được hệ thống bài tập tương đối đầy đủ với các mức
độ khác nhau.
- Tuy vậy do nhiều nguyên nhân chủ quan cũng như khách quan nên đề tài
không tránh khỏi những thiếu sót nhất định. Rất mong nhận được sự góp ý của
các bạn đồng nghiệp, hội đồng khoa học trường THPT Nông Cống 1, Hội đồng
khoa học sở GD & ĐT Thanh Hoá để đề tài được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 6 tháng 5 năm 2016
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.