TÌM TÒI LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN

Phương pháp tọa độ trên mặt phẳng

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1. Họ và tên: TRƯƠNG NGỌC DŨNG
2. Ngày tháng năm sinh: 17 – 10 – 1959
3. Nam, nữ: NAM
4. Địa chỉ:
257/ 5, KP 9, Tân Biên, Biên Hòa, Đồng Nai
5. Điện thoại: 0918309278;
6. Email:
7. Chức vụ: TỔ TRƯỞNG CHUYÊN MÔN
8. Đơn vị công tác: TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI
II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
- Cử nhân Toán, Đại học sư phạm
- Năm nhận bằng: 1982
III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC
- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy Toán bậc THPT
- Số năm công tác: 34 năm
- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có:
 “Giải toán Hình học 11” – Nhà xuất bản Giáo dục năm 2008;
 “Giải toán Giải tích 12” – Nhà xuất bản Giáo dục năm 2009;
 “Giải toán Hình học 12” – Nhà xuất bản Giáo dục năm 2009;
 Kỹ thuật viết câu hỏi trắc nghiệm trong việc đổi mới phương pháp KTĐG –
Tập san Giáo dục Trung học Đồng Nai năm 2010;
 Đổi mới phương pháp KTĐG trong giảng dạy Toán bậc THPT năm 2011.
 Một số kinh nghiệm thiết kế ma trận và biên soạn đề kiểm tra tự luận môn
Toán bậc trung học phổ thông, năm học 2013 – 2014.
 Tìm tòi lời giải các bài toán về phương pháp tọa độ trên mặt phẳng (Phần

- Kiến thức cơ bản về hình học phẳng;
- Kiến thức cơ bản về đường thẳng, đường tròn và các vấn đề liên quan trên hệ tục tọa
độ Oxy trong chương trình hình học Lớp 10.

-2-




TÌM TÒI LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN

Phương pháp tọa độ trên mặt phẳng

III. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
PHẦN THỨ HAI:

CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TỨ GIÁC

A. CÁC VÍ DỤ
 Ví dụ 2.1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tứ giác lồi ABCD có đỉnh A có
hoành độ âm và thuộc đường thẳng d : 2x  y  1  0 , đường thẳng chứa đường chéo
BD là  : x  y  2  0 ; A và C đối xứng với nhau qua BD và AC  2 2 . Biết rằng

2
S
, đỉnh B có hoành độ là
3 ACD
số nguyên dương nhỏ nhất và đỉnh D có hoành độ là số nguyên. Tìm tọa độ các đỉnh
A, B , C , D của tứ giác.
các tam giác ABC và ACD thỏa mãn đẳng thức S ABC 

3 Vì a  0 , nên ta nhận được A(1; 3) .

a


1.


Khi đó đường thẳng (AC ) đi qua điểm A và nhận n  (1;  1) làm một vec-tơ chỉ
phương, suy ra (AC ) : x  y  2  0 .
x  yI  2  0
I  (AC )   nên ta có  I

x I  yI  2  0
x  2x I  x A
AC , nên ta có  C
 C (1; 1) .
yC  2yI  y A
Vì B , D   nên B(b; b  2) và D(d ; d  2) , b
tương ứng là S ABC 

x I  0
Vậy I (0; 2) là trung điểm của

yI  2.

 d . Khi đó diện tích ABC và ACD

1
1

cùng thuộc đường thẳng d2 : x  y  2  0 . Viết phương trình các đường thẳng chứa các
cạnh bên AD và BC của hình thang, biết rằng A và B đều có tung độ dương.

 Tìm tòi
A
B
Vì AC  BD nên diện tích của hình thang ABCD là
AC 2
S ABCD 
và A  d1 nên A(a; 4  a ) .
2
I
Gọi I  d1  d2 , ta có IAB và ICD đồng dạng


IC CD
nên

 IC  2 IA .
IA AB
D
C
Sử dụng S ABCD  36 , tìm được a . Suy ra tọa độ của
A và C .


B  d2  B(b; b  2) , b  2 . Sử dụng IB  IA và ID  2 IB , tìm được tọa độ các
đỉnh B và D . Từ đó suy ra phương trình các đường thẳng (AD ) và (BC ) .

 Lời giải

b  2 , nên ta nhận được B(7; 5) .


x  3  8
Mặt khác, ta cũng có ID  2 IB nên  D
suy ra D(5;  7) .
y D  1  8


Vì AD  (4;  12) và BC  (4;  12) nên ta có:

x 1 y 5

 (AD ) : 3x  y  8  0 ,
1
3
x 7 y 5
(BC ) :

 (BC ) : 3x  y  26  0 .
1
3
(AD ) :

-4-




TÌM TÒI LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN

;
 và
5 
 5


MI cùng phương với MA , tìm được m . Suy ra tọa độ A, C , D .

 Lời giải
x  3yB  5  0
x  4
Ta có B  AB  BD   B
 B
vậy B(4; 3) .
x

y

1

0
y

3
B
B
B





4
m

1

0
5
5
A
 A




Ta thấy: 2 MI  (m  22; m  2) , 5 MA  (6m  41; 2m  3) và ba điểm M , I , A thẳng


hàng MI cùng phương với MA nên ta có (m  22)(2m  3)  (m  2)(6m  41)
m  4 (loaïi)
 m 2  3m  4  0  
m  1 (nhaän).
3 1
Do đó: A(2; 1) , D(1;  2) và I  ;  .
2 2
x  2x I  x A
Vì I là trung điểm của AC nên  C
suy ra C (5; 0) .
y


B ; sử dụng AD  BC , tìm được tọa độ đỉnh D .
 Lời giải
Gọi I là trung điểm của MN , ta có I (2; 1) .

B

A

I
D

N

M
C


Vì AM  AN nên ta có AI  MN . Do đó đường thẳng (AI ) nhận MN  (4; 2) làm một
vec-tơ pháp tuyến, suy ra (AI ) : 2x  y  3  0 .
x  yA  4  0
A  d  (AI ) nên ta có  A
suy ra A(1;  5) .
2x A  yA  3  0

3
và CMN vuông cân
2
m  3  C (3; 3) (nhaän)
MN
tại C suy ra MC 

điểm của đoạn DM , đường thẳng (AN ) cắt đường thẳng (BC ) tại điểm F  ;   .
2
2
Biết rằng (AN ) : 3x  y  5  0 , tìm tọa độ các đỉnh A, C , D của hình bình hành.

 Tìm tòi
Gọi P là trung điểm của AD , G  AN  MP
M
C
B
F
2
suy ra G là trọng tâm của ADM  MG  MP .
N
E
3
Gọi E  (AN )  (CD) , ta có MG là đường
G
A
trung bình của hình thang ABEC
D
P
AB  CE
CD
2
 MG 
. Suy ra CE 
và DE  AB .
2
3

2
2
Suy ra CE 
và DE  AB . Vậy ta có d(D , (AN ))  d(B , (AN )) (1).
3
3
3
m  1  D(0; 1)
D  Oy  D(0; m ) . Khi đó (1)  m  5  4  
m  9  D(0; 9).
Vì B và D nằm khác phía đối với (AN ) nên ta chỉ nhận được D(0; 1) .

5 1
 1 
xC  
1
FC 1
2 2  C (3;  2) .
Ta có CE  CD và CD  AB , nên
  FC  FB  
3
FB 3
3
y  5  1
 C 2 2
 
x  4  3
Mặt khác, ta có BA  CD   A
suy ra A(1; 2) .
y

1
I


tìm
được
IA
,
suy
ra
tọa
độ
IA  2 IB và
IH 2 IA2 IB 2
đỉnh A và C .
D
Vì BD  AC nên tìm được phương trình đường thẳng (BD ) .
Sử dụng IA  2 IB , tìm được tọa độ của các đỉnh B và D .
 Lời giải
Ta thấy đường tròn (T ) có tâm I (2;  1) và bán kính là R  2 .
Khi đó I  AC  BD cũng là tâm của hình thoi, nên AC  2 IA và BD  2 IB .

-7-




TÌM TÒI LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN

Do đó AB 

2 Vì B và D đối xứng với nhau qua I , nên ta có:
Ta có IB 
 (b  2)2 

2
4
b  3 .

2
5 1
3
3
5 1
5
5
B  ;  , D  ;   hoặc B  ;   , D  ;  .
2
2
2 2
2
2
2 2
5 1
3
3
5
5
Do đó ta có: A(1; 0) , B  ;  , C (5;  2) , D  ;   hoặc A(1; 0) , B  ;   ,
2
2

Khi đó d(C , )  d (A, ) suy ra: 
4
4 4
2
m  4  C (4;  6).
D

Vì A và C nằm khác phía đối với  , nên ta chỉ nhận được C (4;  6) .
Từ đó tìm được B(7;  2) , D(4; 0) .

E
M

 Bài toán 2.2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD có hai đáy là AB
và CD thỏa mãn CD  2 AB ; đỉnh B thuộc đường thẳng d : 2x  y  2  0 đường
-8-



C


TèM TềI LI GII CC BI TON

Phng phỏp ta trờn mt phng

2
thng cha ng chộo AC l : 11x 2y 7 0 . Bit rng D(5; 1) v G ; 3 l
3
trng tõm ca tam giỏc ABC . Tỡm ta cỏc nh A, B , C ca hỡnh thang.

v nm trờn ng thng d : 2x y 3 0 sao cho ID 2 IA . Bit tam giỏc ACD cú
din tớch bng 40 v nh C cú honh dng. Tỡm ta cỏc nh B v C .

Gi ý tỡm tũi
I d I (t ; 3 2t ) , t 0 .
ID 2 IA 15t 2 26t 41 0 , vỡ t 0 nờn ta ch nhn c t 1 I (1; 1) .

Suy ra (AI ) : x y 2 0 vỡ C (AI ) nờn C (m; 2 m ) , m 0 .
Ta cú (AD ) : 3x y 6 0 v AD 2 10 , nờn din tớch ACD l S 10.d(C , (AD )) .
Do ú ta cú:

10.d(C , (AD)) 40 m 1 10 , vỡ m 0 nờn ta ch nhn m 9

C (9; 7) .
Vỡ AB / /CD nờn (AB ) : x 3y 8 0 , B (AB ) (DI ) nờn suy ra B(2; 2) .
Bi toỏn 2.4. Trong mt phng vi h ta Oxy , cho hỡnh bỡnh hnh ABCD cú nh
A(1; 2) v ng thng cha ng chộo BD l : 4x 3y 8 0 . Bit rng
AB 2 2 v nh B cú honh l s dng. Tỡm ta cỏc nh B , C , D ca hỡnh
bỡnh hnh.

Gi ý tỡm tũi
Ta cú B B(3b 2; 4b) . Vy AB 2 2 25b 2 22b 3 0
b 1
B(1; 4)
(nhaọn)


41
3
12

 9 38 
Sử dụng d(A, )  d (A, ) tìm được A   ;
.
 25 25 
Khi đó A C / / nên (AC ) : 4x  3y  6  0  C (3t ; 4t  2) .
ACA vuông tại A , nên A C 2  AA2  AC 2 suy ra C (0; 2) .
 
Sử dụng CD  BA suy ra D(2; 0) .

 Bài toán 2.5. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hình thoi ABCD có giao điểm
 1
của hai đường chéo là I (2; 1) và AC  2BD . Điểm M  0;  thuộc đường thẳng AB
 3
và điểm N (0; 7) thuộc đường thẳng CD . Tìm tọa độ đỉnh B , biết rằng B có hoành độ là
số dương.

 Gợi ý tìm tòi
Điểm đối xứng của N qua tâm I của hình thoi là N (4;  5) .
Khi đó M , N  cùng thuộc đường thẳng AB nên (AB ) : 4x  3y  1  0 .
Ta có IA  2IB , IH  d(I , AB )  2 và ABI nên suy ra 4IB 2  5IH 2  IB  5 .
Do đó B(1;  1) .
 Bài toán 2.6. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có diện tích
bằng 12 . Hai đỉnh C và D cùng thuộc đường thẳng d : x  y  1  0 , trung điểm M của
cạnh AD thuộc tia Oy . Biết rằng AC  26 và điểm B có hoành độ dương. Tìm tọa độ
các đỉnh A và B .

 Gợi ý tìm tòi
Vì AD  CD nên (AD ) : x  y  m  0 .
M  Oy và M  (AD )  M (0;  m ) , m  0 .
MD  d(M , d ) 


Phương pháp tọa độ trên mặt phẳng

 Gợi ý tìm tòi


Đường thẳng d có một vec-tơ pháp tuyến là n  (7;  1) ;

A  1  A(1  10a; a ) , C   2  C (4  3c; c ) .

 10a  3c  3 a  c 
Gọi I là tâm của hình thoi, ta có I 
;

2
2 

Vì I  d nên suy ra 71a  22c  27  0 (1).


Vì AC  BD nên AC  (10a  3c  5; c  a ) cùng phương với n , suy ra
3a  4c  5  0 (2).
Từ (1) và (2) ta có A(11;  1) và C (10; 2) .

1 1
Khi đó I  ;  và B  d  B(b; 7b  3) .
2 2
1
3
1

M
Gọi C (xC ; yC ) , vì M  (BC ) và MC  3MB
B
nên xảy ra các khả năng sau:


x  3x B  6
+ MC  3 MB   C
Suy ra BC  (2x B  6)2  (2yB  8)2 .
y  3yB  8.
 C

C

Vậy BC  2AB  (2x B  6)2  (2yB  8)2  2 (x B  2)2  (yB  1)2  yB  x B  2 (2).
Thế (2) vào (1), ta nhận được: x B2  x B  6  0 suy ra B(3; 1) , C (3; 11) .
 
Sử dụng AD  BC , tìm được đỉnh D .


+ MC  3 MB (giải tương tự như trên).
 Bài toán 2.9. Trên mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD với C (3;  3) ,
M là trung điểm của cạnh BC và đường thẳng DM có phương trình là x  y  2  0 ,
điểm A thuộc đường thẳng d : 3x  y  2  0 . Tìm tọa độ các đỉnh A, B , D biết rằng
điểm A có hoành độ âm.

 Gợi ý tìm tòi
Ta có A(a; 2  3a ) với a  0 .
- 11 -


 Bài toán 2.10. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hình bình hành ABCD có đỉnh
D(6;  6) ; đường trung trực của đoạn CD là d : 2x  3y  17  0 , đường phân giác

trong của góc BAC
là  : 5x  y  3  0 . Tìm tọa độ các đỉnh A, B , C của hình bình
hành.

 Gợi ý tìm tòi
Gọi M là trung điểm của CD , ta có M  d suy

ra M (3m  1;  2m  5) và DM  (3m  5;  2m  1) .

Vì d  CD và n  (2; 3) là một vec-tơ pháp tuyến của


đường thẳng d , nên DM cùng phương với n suy ra
m  1 . Do đó: M (4;  3) và C (2; 0) .

E

A

B



D

M
