241
VẤN ĐỀ 9
Đònh m để bất phương trình có
nghiệm trên R, vô nghiệm trên R, có
nghiệm hoặc vô nghiệm trên một tập
con của R.
242
Vấn đề 9
Đònh m để bất phương trình có
nghiệm trên R, vô nghiệm trên R, có
nghiệm hoặc vô nghiệm trên một tập
con của R.
A. VÀI VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI
Các bạn có thể tìm hiểu một vài ví dụ cơ bản sau :
VD1 :

Tìm m sao cho f(x) = x
2
≥ m, ∀x ∈ R (1)
Giải


Tìm m để |x – 1| + |x – 2| - m + 1
≥ 0 ,
∀x ∈ R
Giải
Đặt f(x) = |x – 1| + |x – 2|
⇔ |x – 1| + |x – 2| ≥ m – 1 243
Yêu cầu đề bài xảy ra khi m – 1
≤ minf(x), x ∈ R
⇔ m – 1 ≤ 1 ⇔ m ≤ 2
VD4:

Cho f(x) = x
2
+ 2(m + 1)x + m + 7
Đònh m để bất phương trình f(x)
≥ 0, ∀x ∈ [0 ; 1]
Giải
∆’ = (m + 1)
2
– m – 7 = m
2
+ 2m + 1 – m – 7 = m
2
+ m – 6
+
∆’ < 0 ⇔ m

+
∆ > 0 ⇔
<−
⎡
⎢
>
⎣
3
2
m
m

x 0 1 x
1
x
2
0 1
f(x) + 0 - 0 +
Dựa vào bảng xét dấu, xảy ra khi 0 < 1 ≤ x
1
< x
2
∪ x
1
< x
2
≤ 0 < 1
hay
≤<
⎡

+
++ +≥
⎧
⎪
<− ∨ >
⎨
⎪
−−−>
⎩
12 2 7 0
32
11 0
mm
mm
m
244
⇔
−
⎧
≥
⎪
⎪
<− ∨ >
⎨
⎪
<−
⎪

≥−
⎧
⎪
<
−∨ >
⎨
⎪
>−
⎩
7
32
1
m
mm
m

Vậy : m > 2 (d)
Hợp (a), (b), (c), (d)
⇔ m ≥
−
10
3

Bài tập tương tự – Bạn đọc tự giải .
Tìm m sao cho x
2
– 2x + 3 – m ≥ 0
a)
∀x ∈ (0 , +∞) Đáp số : m ≤ 2
b)

⎧
>+−−
≥−=
(2) 01mTT
0|mx|T
22

Để bất phương trình (1) luôn đúng với ∀x ∈ R thì bất phương trình (2)
luôn đúng ∀T ≥ 0 245
Xét f(T) = T
2
– T > m
2
– 1 , T ≥ 0 (*) mà
T
0
2
1
+∞
f(T)
0 -
4
1
+∞
(*) thỏa khi m
2
– 1 < minf(T) , khi T ≥ 0

∀
>
Giải
Ta có : a = 1 và
2
3m 4m∆=− + có dấu phụ thuộc vào a và
∆
nên ta
xét các trường hợp sau :
1) Xét
4
3
0m0m∆< ⇔ < ∨ >
Lúc này
f(x) 0, x R >∀∈. Mà (1; ) R
+
∞⊂ Nên : f(x) 0, x 1 >∀>
Kết luận : Nhận đáp số
4
3
m0m .(a)<∨ >

2) Xét
4
3
0m0m∆= ⇔ = ∨ =
• m0:
=

b

Kết luận :
4
m
3
= không nhận. (b2)
3) Xét
4
00m :
3
∆> ⇔ < <
Lưu ý bảng xét dấu cho : 246
Để f(x) 0, x 1 >∀>thì
12
xx1
<
≤
f(1) 0
4
0m
3
S
1
2
⎧
⎪
≥
⎪

3. Xác đònh m sao cho
43 2
x4xmx0khix1
+
+≥ ≥
Giải
1. Khảo sát, vẽ đồ thò (C) :
Hàm số
432
yx 4x 4x=+ + . Miền xác đònh : R
32 2
y' 4x 12x 8x 4x(x 3x 2)=+ += ++
x0(y0)
y' 0 x 1 (y 1)
x2(y0)
==
⎡
⎢
=⇔ =− =
⎢
⎢
=− =
⎣

22
y '' 12x 24x 8 4(3x 6x 2)=++= ++
2

uốn uốn

Bảng biến thiên : 247
x
-
∞ -2 -1 0
+∞

y’’ - 0 + 0 - 0 +
(C)
+
∞ 1 +∞
(max)
0 0
(min) (min) Đồ thò :
x1 y9
x3 y9+= ⇒ =
+=− ⇒ =Bây giờ ta chứng minh (C) có trục đối xứng.


248
2. Đònh m để
m
(C ) :
43 2
yx 4x mx=+ + có trục đối xứng :
Dễ thấy rằng
lim
x →±∞
y,
=
+∞
nên
m
(C ) chỉ có trục đối xứng thẳng
đứng. Coi điểm I(a, 0). Dời hệ trục Oxy về đến hệ trục IXY bằng
phép tònh tiến. Công thức đổi trục là
xXa
yY
=
+
⎧
⎨
=
⎩

Như vậy, đối với hệ trục IXY, đồ thò
m
(C ) có phương trình là :

⎧
=
−
⎧
⎪
⇔⇔
⎨⎨
=
++=
⎪⎩
⎩

Vậy chỉ với m = 4 thì
m
(C ) mới có trục đối xứng là đường thẳng
x1=− trong hệ trục Oxy (ta tìm được lại kết quả câu 1).
3. Đònh m sao cho :
43 2
x4xmx0khix1
+
+≥ ≥
Để ý rằng
43 222
x4xmx x(x4xm)++ = ++. Do đó,
[
)
x1; :
∀
∈∞
43 2 2

∈
∞
5m 0
⇔
+≥ m5
⇔
≥−
Vậy khi
m5≥− thì
43 2
x4xmx0khix1
+
+≥ ≥.
Chú ý :
Cách khác : Để f(x)
[
)
0, x 1;≥∀∈ ∞điều kiện là : 249
'0∆≤ hay
12
'0
'0
xx1

∆>
⎧
⇔

1. Dùng đònh nghóa của đạo hàm, hãy tính giá trò đạo hàm y'tại điểm
x = 0.
2. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số.
3. Tìm số a lớn nhất sao cho với mọi giá trò x ta đều có :
2
x
ax x
1x
≥+
+

Giải
1. Tính đạo hàm của y tại x = 0
Đặt
x
yf(x) .
1x
==
+
Miền xác đònh : R
f(0) = 0
Ta có, theo đònh nghóa :
lim
f(x) f(0)
y'(0) f '(0)
x0
x0
−
==
→

⎢
⎣−

lim
x →+∞
y = 1. Vậy đồ thò có tiệm cận ngang cho nhánh vô tận bên
phải là
1
(D ) : y = 1 250
lim
x →−∞
y = - 1. Vậy đồ thò có tiệm cận ngang cho nhánh vô tận bên
trái là
2
(D ): y = - 1
Kết hợp với kết quả câu 1/, đạo hàm là :
2
1
,
(1 x )
y' 1,
,
2
nếu x > 0
nếu x = 0
1
nếu x < 0

nên liên tục tại x = 0 và hệ số
góc của tiếp tuyến cho đồ thò
tại x = 0 là
y'(0) 1=
3. Tìm số a lớn nhất :
Xét bất đẳng thức :
2
x
ax x (1)
1x
≥+
+

Nếu x = 0 thì (1) thỏa và là đẳng thức,
aR.
∀
∈
Nếu x > 0
(1)
2
2
xx
ax x
1x 1x

−
⇔≤−=
++

1

2
x
ax x, xR a 1xR
1x
≥+∀∈⇔≤−∀∈
+

Vậy giá trò a lớn nhất là a = - 1
Bài 5
Cho hàm số
2
yx 1x m=+ − −

Tìm m để hàm số không nhận giá trò dương tại mọi điểm x thuộc miền
xác đònh của hàm số.
Giải
Miền xác đònh của hàm số là tập nghiệm BPT
22
1x 0 x 1 x 1 1x1 −≥⇔≤⇔≤⇔−≤≤
Vậy miền xác đònh của hàm số là
[
]
X1;1=−

2
22
x1xx
x(1;1):y'1
1x 1x


x
1 0
2
2
1

y’’ | + 0 - |
(C)
|
m−2 |
| (max) |
+ Rõ ràng
Max
xX∈
y2m=−
y không nhận giá trò dương trên miền xác đònh
Max
xX
⇔
∈
y0 2m0 m 2 ≤⇔ −≤⇔ ≥ 252
Bài 6
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số
2
xx2
y
x1

yx
x1 x1
−+
==+
−
−

Bảng biến thiên
x
-
∞ 1- 2 1 1+ 2 +∞
y’ + 0 - || - 0 +
y
1-2
2 || +∞
(max) ||
-
∞ -∞ || 1+2
2

(min)
Đồ thò :
Đồ thò (H) là 1 hypebol xiên góc (là
đường cong được vẽ nét liền trong
hình).

2. Xác đònh tập hợp tất cả điểm
N(x,y) sao cho
2
xx2

+ Nếu x > 1 thì f(x) > 0, do đó :
(1)
yf(x),nếu
y
0 (2)
y
-f(x),nếu
y
< 0 (3)
≥≥
⎡
⇔
⎢
≤
⎣

(2) Chứng tỏ tập hợp điểm
N(x,y) là phần gạch sọc trên (H),
kể cả (H), ứng với x > 1
(nhánhHypebol bên phải tiệm
cận đứng).
(3) Chứng tỏ tập hợp điểm
N(x,y) là phần gạch sọc dưới
(H'), kể cả (H'), với (H') là đối
xứng của (H) qua Ox, ứng với
x > 1.
Tóm lại : tập hợp tất cả điểm N(x,y) sao cho
2
xx2
y


(4)
2
X(m1)Xm20⇔−+++=
2
XX2(X1)m (5) ⇔−+=−
Dễ thấy X = 1 không là nghiệm của (5), do đó :
(4)
2
XX2
m
X1
−+
⇔=
−
với
[
]
X1;1 (6) ∈−
Đây chính là phương trình hoành độ điểm chung của hai đường 254
[
)
2
0
XX2
(H ) : y , X 1;1
X1

*
2m122:(6)−= <− có 2 nghiệm
[
)
X1;1∈− , do đó (4) có một
nghiệm
[
]
x0;∈π
*
m122:(6)>−
vô nghiệm, do đó (4) vô nghiệm.
Bài 7
Cho hàm số
22
mx 1
y
x
+
=
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số ứng với m = 1
2. Tìm những điểm trên đường thẳng y = 1, sao cho không thể có giá
trò nào của m để đồ thò của hàm số đi qua.
3. Tìm những điểm cố đònh mà đồ thò của hàm số đi qua, với mọi m.
4. Xác đònh a để
2
xax10−+>với mọi x > 0
Giải
1. Khảo sát sự biến thiên, vẽ
1

y
2
⇒=2. Tìm điểm thuộc đường thẳng y = 1
không có đồ thò đi qua
Xem
m
(C ) :
22
mx 1
y
x
+
=

. Gọi M(x,1) là điểm trên đường thẳng
y = 1 mà không có đồ thò của ho
m
(C ) ï
đi qua
22
mx 1
1
x

+
⇔=
vô nghiệm m

22
xm 1 xy 0⇔+−= có vô số nghiệm m (x 0)
≠
x0
1xy 0
(khôn
g
nhận)=
⎧
⇔
⎨
−=
⎩

Hệ này vô nghiệm
. Họ đồ thò không có điểm cố đònh
4. Đònh a để
2
xax10,x0−+>∀>
2
2
x1
x1ax
a
x
x0
x0
⎧
+
⎧

⎪
>
⎩
256
(Do đồ thò câu 1)
. Đáp số : a < 2
Cách khác :
Đặt
2
f(x) x ax 1=−+
12
0
f(x) 0, x 0 0 hay
xx 0

∆≥
⎧
>∀> ⇔∆<
⎨
≤
<
⎩

2
2
a40
a40hayf(0)0

Trường hợp 1 :

y = x, thay vào (1) ta được :
25x
2
+
1
100
≥ x – ax
2
+ x – 25x
2
với mọi x
⇔ (a + 50)x
2
– 2x +
1
100
≥ ∀x
⇔
a50 0
1
' 1 (a 50). 0
100
+>
⎧
⎪
⎨
∆= − + ≤
⎪
257
Vậy để thỏa đầu bài phải có :
a50
a50
≥
⎧
⎨
≤
⎩
⇒ a = 50
C. BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 1
Tìm m sao cho
2
2
2x mx13
3xx12
−+
≤≤
−+
đúng với mọi x.
Đáp số :
14
m
23
≤≤

Bài 2.

b) 2
1x + > x + m ĐS: m < 1.
Bài 4
Đònh m để bất phương trình : x
3
+ x
2
+ 2x + m
2
+ 5m ≥ 0 (1)
có tập nghiệm là [ 1 ,+
∞) .
Hưóng dẫn : Với f(x) = x
3
+ x
2
+ 2x
X
1 +
∞
f’ +
f 4
258
Do f không có max , (1) có tập nghiệm là [ 1 ,+∞) khi
–m
2
– 5m ≤ minf ⇔ m

f(x) x (1 3m)x 3m 2, x=+− +−∀thỏa x2>
e)
[]
2
f(x) 3x 2(m 1)x (m 3) 0, x-1,0=−−−+<∀∈

f)
22
f (x) (m 2) x 3(m 6)x m 1 0, x (1,0)=− − − −−<∀∈
g)
2
f(x) mx 4x 3m 1 0, x > 0=−++>∀
h)
2
f(x) 3(m 2)x 6mx 1 0, x > 0=+ − +≥∀
i)
2
f (x) (m 2)x 2(m 3)x 3 m 0, x <1=+ − ++−<∀
j)
2
(x 1)(x 3)(x 4x 6) m, xR++ ++≥∀∈
Bài 7
Tìm các giá trò của a và b để hàm số :
1xx
bax
y
2
+
+
+